Bài 2 cấp số CỘNG toán 11

CHUYÊN ĐỀ BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm cấp số cộng + Nắm công thức tổng quát, tổng n số hạng cấp số cộng + Biết số hạng đầu công sai cấp số cộng  Kĩ + Tìm yếu tố cịn lại biết yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số số hạng, tổng n số hạng đầu cấp số cộng + Liên hệ kiến thức cấp số cộng để giải tốn thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (vơ hạn hay hữu hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d không đổi, nghĩa  un  cấp số cộng � n �2, un  un 1  d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí Nếu  un  cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức uk  uk 1  uk 1 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a + c = 2b Định lí Nếu cấp số cộng có số hạng đầu công thức sau: un  u1   n  1 d u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định Định lí Giả sử  un  cấp số cộng có cơng sai d n Gọi ( S n  �uk  u1  u2   un k 1 Sn tổng n số hạng cấp số cộng) Ta có Sn  2u1   n  1 d � n  u1  un  n � �  � 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Nhận diện cấp số cộng số Số hạng tổng quát CẤP SỐ CỘNG un  un 1  d Số hạng thứ k Hệ Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng  n �2  Tổng n số hạng Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng dãy số cấp số cộng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa  un  cấp số cộng un 1  un  d , Để chứng minh dãy số  un  cấp số cộng, ta xét với d số d  un 1  un  un  cấp số cộng với công sai d  Nếu d số  Nếu d phụ thuộc vào n  un  khơng cấp số cộng Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un  2020n  2021 b) Dãy số  un  với un  2n  Hướng dẫn giải a) Dãy số Ta có Vậy un 1  un  2020  n  1  2021   2020n  2021  2020  un  cấp số cộng với công sai b) Dãy số Ta có Vậy  un  với un  2020n  2021 d  2020  un  với un  2n  un 1  un  2  n  1    2n    2  un  cấp số cộng với cơng sai d  2 Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un  n2  n  u u  1 b) Dãy số  n  với n   n  3n Hướng dẫn giải a) Dãy số  un  với un  n2  n  un 1  un   n  1   n  1    n  n  1  2n  2 Ta có phụ thuộc vào n Trang Vậy  un  không cấp số cộng u u  1 b) Dãy số  n  với n   Ta có Vậy un 1  un   1 n 1 n  3n   n  1  �   1    1    1  1  3n� � �   phụ thuộc vào n n n n n  un  không cấp số cộng Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Dãy số sau cấp số cộng? A 1; 3; 6; 9; 12 B 1; 4; 7; 10; 14 C 1; 2; 4; 8; 16 D 0; 4; 8; 12; 16 Câu 2: Trong dãy sau đây, dãy cấp số cộng? n A un  B un   3 n 1 C un  3n  D un  5n  n u1   , d  u  2 có dạng khai triển sau đây? Câu 3: Một cấp số cộng n với 1  ; 0; 1; ; 1; A 1  ; 0; ; 0;  ; 2 B ; 1; ; 2; ; 2 C 1  ; 0; ; 1; ; 2 D Câu 4: Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng A 1; -2; -4; -6; -8 B 1; -3; -6; -9; -12 C 1; -3; -7; -11; -15 D 1; -3; -5; -7; -9 Câu 5: Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng? A un  n  1, n �1 B un  2n  3, n �1 C un  n  1, n �1 un   2  n 1 D un   3 n 1 D D u1  � � un1  un  1, n �1 � , n �1 Câu 6: Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số cộng? A un  3n  2020 Câu 7: Trong dãy số A un  3n  B un  3n  2020  un  sau đây, dãy số cấp số cộng? un   n  1  n B un   n Câu 8: Các dãy số sau có số dạng tổng quát A 1; 3; 5; 7; n C un  C un , dãy số cấp số cộng? B 13; 17; 21; 25; 29 C un   3n D un   n    n D un   n  1 Câu 9: Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng? A u1  1 � � un 1  2un  � B u1  1 � � un 1  un  � C un  n C un  3n ,  n ��*  Câu 10: Dãy số cấp số cộng? A un  n  2n ,  n ��*  B un  3n  1,  n ��*  D un  3n  ,  n ��*  n2 Trang Câu 11: Khẳng định sau sai? A Dãy số 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;… cấp số cộng � u1   � � 1� 1 � d  ;0; ;1; ; B Dãy số 2 cấp số cộng với � � u  � �1 � 1 1 � d ; ; ; � 2 2 C Dãy số cấp số cộng có ba số hạng D Dãy số -2; -2; -2; -2;… cấp số cộng u1  2 � � �d  Câu 12: Cho dãy số có số hạng đầu 8; 15; 22; 29; 36;… Viết công thức số hạng tổng quát? A un  n  C Không viết dạng công thức B un  n D un  7n  Câu 13: Cho cấp số cộng hữu hạn 4; 7; 10; 13; 16;… 1; 6; 11; 16; 21;…; cấp số cộng có 100 số hạng Hỏi có tất số có mặt hai cấp số trên? A 21 B 20 C 18 D 19 Câu 14: Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? A Dãy số  an  , với an   2n    4n , n ��* B Dãy số  bn  , với b1  1, bn1  3bn  4, n ��* d1  1, d n 1  2020 , n ��* dn  c , d , C Dãy số  n  với cn  2019 , n �� D Dãy số  n  với Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai cấp số cộng, tìm số hạng thứ k cấp số cộng, tính tổng k số hạng n * Phương pháp giải Ta lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d Sau giải hệ phương trình tìm u1 d Muốn tìm u  u1   k  1 d u số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm d Sau áp dụng cơng thức k Muốn tính tổng k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 d Sau áp dụng công thức Sk  k  u1  uk  k� 2u1   k  1 d � �  � Ví dụ mẫu u1  u2  u3  � �2 u1  u22  u32  35 � Ví dụ Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng Hướng dẫn giải Trang Cách Ta có u1  u1  d  u1  2d  � u1  u2  u3  � � � �2 �2 2 u1  u22  u32  35 � u1   u1  d    u1  2d   35 � u1   d � u1   d u  3d � � � �� � �2 � �1 2 d  �2   d      d   35 �d  � � Với d  � u1  Với d  2 � u1  Cách Đặt Áp dụng công thức un  u1   n  1 d lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d u1  x  d ; x2  x; u3  x  d �x  d  x  x  d  u1  u2  u3  � � � �2 � 2 u1  u22  u32  35 x  d   x   x  d   35  � � Ta có �x  �x  �x  � �� � �2 �� 2   d      d   35 �d  �d  �2 � Với d  � u1  Với d  2 � u1  Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng - Nếu số số hạng cấp số 20 tổng bình phương chúng 120 cộng lẻ gọi cơng sai Hướng dẫn giải d  x, chẵn gọi cơng Giả sử bốn số hạng a  3x; a  x; a  x; a  x lập thành cấp số cộng với công sai d  x viết số sai d  x hạng dạng đối xứng �  a  3x    a  x    a  x    a  3x   20 � � 2 2 a  x    a  x    a  x    a  3x   120  � Khi ta có - Nếu cấp số cộng �4a  20 �a  �� � � x  � a  20 x  120 � � thỏa mãn a1  a2   an  p � �2 a1  a22   an2  s � a1  Vậy bốn số cần tìm 2; 4; 6;  an  � n  n  1 � d � �p  n� � v d � 12  ns  p  n  n  1 Ví dụ Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng thứ 50 tổng 20 số Áp dụng công thức hạng cấp số cộng un , biết u5  19 � � u9  35 � un  u1   n  1 d Lập hệ phương trình Hướng dẫn giải Trang Áp dụng cơng thức ta có un  u1   n  1 d , gồm hai ẩn Để tính tổng k số hạng đầu u5  19 u  4d  19 u 3 � � � � �1 � �1 � u9  35 � u1  8d  35 �d  � Vậy số hạng Số hạng thứ 50 u1  3, u1 d tiên, ta áp dụng công thức k� 2u1   k  1 d � � Sk  � công sai d  u50  u1  49d   49.4  199 Tổng 20 số hạng 50  2u1  49d   25  2.3  49.4   5050 Ví dụ Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng S50  a) �S12  34 � �S18  45 b) �S  20 � �1 1 25 �u  u  u  u  24 �1 Hướng dẫn giải �S12 � �S18 a) Ta có b) 12  2u1  11d  � � 31 u1   34 � �  34 6u1  33d  17 � � � �� �� ��  45 18  2u1  17 d  �2u1  17 d  � � d   45 � � � �  2u1  3d   20 �S  20 � � �1 1 25 � �1 1 25 �u  u  u  u  24 �u  u  u  u  24 �1 �1 Áp dụng công thức k� 2u1   k  1 d � � Sk  � S4 Biểu diễn � u1   d � � 1 25 �    �  3 24 �5  d  d  d  d  2d  d  3d � 2 2   * � �� � 1 �� 1 ��  �  � 3 d d �5  d  d � �5  5 � 2 �� 2 theo hai u   * ẩn d Áp dụng công thức un  u1   n  1 d Lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d � � 25 10 10 25 �   � 2 9d d 24 � 24 25  25  � 4 d2  t ; t �0, Đặt ta  25  t    25  9t  10 10 25   �  25  9t 25  t 24 24  25  9t   25  t  Trang � 100  20t  � 24  20  4t    25  9t   25  t   25  9t   25  t  24 � 145 t � 9t  154t  145  � � � t 1 � Nếu t 145 145 145 � d2  �d � 9 Với  Với  d 145 145 � u1   d  145 145 � u1   2 Nếu t  � d  � d  �1  2 Với 13 d  1 � u1    2 Với d  � u1     Ví dụ Biết u4  u8  u12  u16  224 Tính S19 Hướng dẫn giải Ta có u4  u8  u12  u16  224 � u1  3d  u1  7d  u1  11d  u1  15d  224 � 4u1  36d  224 � u1  9d  56 Ta có S19  19  2u1  18d   19  u1  9d   19.56  1064 Ví dụ Cho cấp số cộng  un  biết un   5n Tìm S100 Hướng dẫn giải un 1  un  �   n  1 �    5n   5, n ��* d  5, u1  � � Ta có Suy Vậy S100  n  2u1   n  1 d   100  2.4  99  5    24350 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Số hạng đầu A u1 công sai d cấp số cộng  un  có u2  7; u3  u1  1; d  Câu 2: Cho cấp số cộng cộng A u8  B u1  10; d  3  un  với số hạng đầu B u8  1 C u1  4; d  3 D u1  4; d  3 u1  15 công sai d  2 Số hạng thứ cấp số C u8  103 D u8  64 Trang Câu 3: Cho cấp số cộng  un  có u1  1; d  2; Sn  483 A n  20 B n  21 Câu 4: Cho cấp số cộng cộng? A 15  un  tổng quát xác định u1  2 � � un 1  un  � D n  23 Số 70 số hạng thứ cấp số C 25 D 205  un  có u1  tổng 50 số hạng đầu 5150 Công thức số hạng un un   4n B Câu 6: Cho cấp số cộng  un  A C n  22 B 23 Câu 5: Cho cấp số cộng Giá trị n un  5n có C un   2n B n  15 C n  20 D n  16  un  biết un   3n un  2n  Biết Sn  320, giá trị n A n  16 n  20 Câu 7: Cho dãy số D un  2n  Chọn khẳng định A  un  cấp số cộng với công sai d  B  un  cấp số cộng với công sai d  2 C  un  cấp số cộng với công sai d  D  un  cấp số cộng với công sai d  5 Câu 8: Cho cấp số cộng A  un  biết u1  u15  u3  46 Câu 9: Cho dãy số định sau B d  Lựa chọn kết kết sau u29  u22  28 C u17  u13  18  un  cấp số cộng có công sai D u1000  u100  350 d  Chọn khẳng định khẳng A Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 10 B Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 20 C Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 30 D Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n �1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 15 Câu 10: Cho cấp số cộng hệ thức sau A u3  u8  u5  u6 Câu 11: Cho cấp số cộng A u1  8; d  3 Câu 12: Số hạng đầu  un  có cơng sai d Gọi B u5  u9  2u7  un  , biết B u1  2u5  � � �S  14 u1  8; d  Sn tổng n số hạng Hãy hệ thức sai C u4 u9  u6 Số hạng đầu C u1 công sai d u1  8; d  3 u1 công sai d cấp số cộng  un  có S3  S5  2S  d D D u1  u5  u3  10 � � u1  u6  � u1  8; d  Trang u1  33; d  12 B Câu 13: Cấp số cộng  un  có A A 620 Câu 14: Cho cấp số cộng A 79 u1  36; d  13 C u1  35; d  13 D u1  34; d  13 S6  18, S10  110 tổng 20 số hạng B 280 C 360 D 153 un  5n  Biết S n  16040, số số hạng cấp số cộng B 3024 C 80 D 100 Câu 15: Chọn khẳng định khẳng định sau Nếu số a, b, c khác lập thành cấp số cộng A nghịch đảo chúng lập thành cấp số cộng B bình phương chúng lập thành cấp số cộng C c, b, a theo thứ tự lập thành cấp số cộng D Tất khẳng định sai Câu 16: Cho cấp số cộng có A -325 S10  85, S15  240, S20 B -170 C -395 D -470 Câu 17: Tổng tất số tự nhiên chẵn nhỏ 555 A 77145 B 77284 C 76450 D 77006 1 u1  , d   4 Chọn khẳng định khẳng định sau đây? Câu 18: Cho cấp số cộng có S5  A Câu 19: Cho cấp số cộng A u3  1 S5  B  un  , với u1  2, d  3 B Câu 20: Cho cấp số cộng có A 690 S5   C u3  7 Kết sau đúng? C u4  7 B 680 C 600 B d  S10  175 B Câu 23: Cho cấp số cộng có A n  20 u6  S10  350 D 500 u1  10 số hạng cuối u21  50 C d  Câu 22: Tổng 10 số hạng đầu cấp số cộng có A D u2  u22  60 Tổng 23 số hạng đầu Câu 21: Công sai d cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu A d  4 S5   D D d  2 u1  8, u10  62 C S10  700 D S10  1400 u1  1, d  2, Sn  483 Số số hạng cấp số cộng B n  21 C n  22 D n  23 Câu 24: Cho cấp số cộng có tổng số hạng 22, tổng bình phương chúng 166 Bốn số hạng cấp số cộng A 1; 4; 7; 10 Câu 25: Cho cấp số cộng B 1; 4; 5; 10  un  thỏa mãn C 2; 3; 5; 10 u2  u5  42 � � u3  u10  66 � D 2; 3; 4; Tổng 346 số hạng đầu Trang 10 Câu 1: Cho tổng   11  16   x  970 Giá trị x A 96 Câu 2: Biết B 69 C 97 D  x  1   x     x      x  28   155 Giá trị x A x  B x  1 C x  D x  3 Câu 3: Với giá trị x  x; x  5;1  x lập thành cấp số cộng? A x  B x  �1 C x  � D x �� Câu 4: Chu vi đa giác 158 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  cm Biết cạnh lớn 44 cm Số cạnh đa giác A B C D Câu 5: Phương trình x  10 x  m  có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Khi m thuộc khoảng sau đây? A m � 0;5  B m � 5;15  C m � 25;0  D m � 15; 25  Câu 6: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Số đo góc A, B, C ,120� ,50� A 10� ,105� , 60� B 15� , 60� , 25� C 5� , 60� ,100� D 20� Câu 7: Một công ty thực việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 15 triệu đồng/quý kể từ quý làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 1,5 triệu đồng quý Tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho công ty A 495 triệu đồng B 279 triệu đồng C 384 triệu đồng D 558 triệu đồng Câu 8: Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác A R  B R  C R  1 D R  Câu 9: Độ dài ba cạnh tam giác vuông lập thành cấp số cộng Nếu cạnh trung bình cơng sai cấp số cộng A 7,5 B 4,5 C 0,5 D 1,5 Câu 10: Giá trị a, b để phương trình x  ax  b  có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A b  0, a  B b  0, a  C b  0, a  D b  0, a  Câu 11: Một em học sinh dùng que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật thể hình Trang 17 Số que diêm để xếp thành hình tháp 10 tầng A 69 que B 39 que C 420 que D 210 que 2 Câu 12: Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thỏa mãn a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chọn khẳng định khẳng định sau 2 A tan A, tan B, tan C theo thứ tự lập thành cấp số cộng 2 B cot A, cot B, cot C theo thứ tự lập thành cấp số cộng C cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng 2 D sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu 13: Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Số đo góc nhỏ A 25� B 30� C 45� D 35� Câu 14: Người ta trồng 3420 theo hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, kể từ hàng thứ trở số trồng hàng nhiều so với hàng liền trước Hỏi có tất hàng cây? A 81 B 82 C 80 D 79 Câu 15: Chu vi đa giác 158 cm, cạnh đa giác lập thành cấp số cộng với công sai d  3cm Biết cạnh lớn có độ dài 44 cm, độ dài cạnh nhỏ đa giác A 32 cm B 33 cm C 38 cm D 35 cm Câu 16: Giá trị n để Cn , Cn , Cn theo thứ tự lập thành cấp số cộng A n  B n  C n  D n  Câu 17: Giá trị x để 2; x  1;5 theo thứ tự lập thành cấp số cộng x A x B x C D x  D  A2 2 Câu 18: Cho A, B, C , D bốn số thực dương lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức C  B A Câu 19: Cho B C D -1 x1 , x2 nghiệm phương trình x  x  a  y1 , y2 nghiệm phương trình x  11x  b  Nếu x1 , x2 , y1 , y2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng tích ab có giá trị Trang 18 A ab  1 B ab   Câu 20: Tìm m để phương trình cộng, ta m x3   2m  1 x  x  B P  20 Câu 21: Cho tam giác P1 , P2 , P3 , C ab  585 D ab  54 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số a a , b với a, b ��, phân số b tối giản Giá trị biểu thức P  a  b A P  13 thành tam giác 585 A2 B2C2 , C P  D P  10 A1B1C1 có độ dài cạnh Trung điểm cạnh tam giác A1B1C1 tạo trung điểm cạnh tam giác chu vi tam giác A2 B2C2 A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , tạo thành tam giác Giá trị biểu thức A3 B3C3 , Gọi P  P1  P2  P3  A P  B P  24 C P  D P  18 Câu 22: Cửa hàng xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1; 3; 5; … (hộp) từ xuống (số hộp sơn hàng xếp từ xuống số lẻ liên tiếp hình bên dưới) Hàng cuối có hộp sơn? A 63 B 65 C 67 D 69 Câu 23: Một đội công nhân trồng xanh từ kilômet số đến kilômet số Cứ 20m trồng Hỏi có trồng? A 100 B 200 C 250 D 101 Câu 24: An từ thành phố quê thăm ông bà quãng đường 54 km Biết An 15km sau An trước 1km Thời gian An từ nhà quê A 27 B C D 15 Câu 25: Ngày thứ cửa hàng bán 10 cốc nước mía, ngày sau bán nhiều ngày hơm trước cốc nước mía Hỏi ngày thứ 10 cửa hàng bán cốc nước mía? A 15 cốc B 17 cốc C 19 cốc D 21 cốc Câu 26: Một nhóm gồm 3003 người xếp thành hình tam giác sau: hàng thứ có người, hàng thứ hai có người, hàng thứ ba có người,… Hỏi có hàng? A 75 B 76 Câu 27: Tổng tất giá trị m để phương trình lập thành cấp số cộng C 77 D 78 x   m  1 x  2m   có bốn nghiệm phân biệt Trang 19 A 40  40 B C  32 32 D ĐÁP ÁN Dạng Nhận dạng dãy số cấp số cộng 1-D 11 - C 2-C 12 - D 3-D 13 - B 4-C 14 - A 5-B 6-B 7-B 8-C 9-B 10 - B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Dãy số 0; 4; 8; 12; 16 cấp số cộng có số hạng đầu u1  cơng sai d  Câu Ta có  n  1  1� un  3n  cấp số cộng un 1  un  � � �  3n  1  Câu 1 u1   , u2  0, u3  , u4  1, u5  , 2 Ta có Câu Dãy số  un  có tính chất un 1  un  d gọi cấp số cộng Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai -4 Câu Ta có un 1  un   n  1   2n   2, n �1 Do dãy số đáp án B cấp số cộng theo định nghĩa Câu Ta có un 1  un   n  1  2020   3n  2020   � un 1  un  Vậy dãy số cấp số cộng có cơng sai d  Câu n n 1 n Ta có un   khơng cấp số cộng un 1  un   Câu n n 1 n * Xét dãy số un   , suy un 1   Ta có un 1  un  2.3 , n �� n Do un   cấp số cộng Câu Ta có u1  1 � � un 1  un  � cấp số cộng u1  1 � � un 1  un  � un 1  un  � Câu 10 Trang 20 Ta có un  3n  1 n ��*  cấp số cộng un 1  un   n  1   3n   số Câu 11 Xét đáp án C 1 1 1  �   ; ; ; 2 2 nên dãy số 22 23 không cấp số cộng Câu 12 Dãy số 8; 15; 22; 29; 36; … cấp số cộng với u1  � � � �d  công thức tổng quát un  7n  Câu 13 Gọi cấp số cộng thứ Ta có  un  cấp số cộng thứ hai   un  u1   n  1 d    n  1 � un  3n  1; vk  v1   k  1 d    k  1 � vk  5k  �,1 n 100,1 k 100 Với k , n Σ��� Ta có un  vk � 3n   5k  � 3n   k  1 Mà hai số nguyên tố nên n chia hết cho Đặt n  5t , t ��� k  3t  Do �n �100,1 �k �100 nên t � 1; 2;3; ; 20 Câu 14 an   2n    4n , n ��* � an  20n  25, n ��* Ta có * a Do an 1  an  20, n �� nên  n  cấp số cộng với công sai d  20 Dạng Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai cấp số cộng, tìm số hạng thứ k cấp số cộng, tính tổng k số hạng 1–B 11 – A 21 – C 31 – C –A 12 – B 22 – B 32 – D 3–D 13 – A 23 – D 33 – C 4–C 14 – C 24 – A 34 – D 5–A 15 – C 25 – A 35 – A 6–D 16 – C 26 – A 7–A 17 – D 27 – A 8–B 18 – C 28 – A 9–C 19 – C 29 – A 10 – C 20 – A 30 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có u2  7; u3  suy d  3 từ u1   (3)  10 Câu Ta có un  u1   n  1 d � u8  u1  d  15  7.( 2)  Câu Trang 21 n� 2u1   n  1 d � n  23 �� 2.483  n   n  � n  n  483  � � Sn  �     � n   21 � Ta có * Do n �� nên n  23 Câu Ta có u1  2 � � u1  2; d  � un 1  un  � un  2   n  1  3n  Suy Từ 70  3n  � n  25 Câu Ta có S50  50  2u1  49d   5150 � d  Số hạng tổng quát cấp số cộng un  u1   n  1 d   4n Câu Ta có u1  suy Sn  n   2n    n  4n Câu u  3 � un  2n  � �1 � d  u2  u1  u   �2 Câu u15  u3  u1  14d   u1  2d   12d  48 �6 u29  u22  u1  28d   u1  21d   7d  28 loại A; chọn B; u17  u13  u1  16d   u1  12d   4d  16 �18 loại C; u1000  u100  900d �350 loại D Câu Gọi  an  cấp số cộng theo thứ tự u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n �1, lúc ta có a1  u10  u1  9d � � d '  a2  a1  10d  30 � a2  u20  u1  19d � Câu 10 Ta có u4 u9   u1  3d   u1  8d   u12  24d  11u1d u62   u1  5d   u12  25d  10u1d 2 Suy u4 u9 �u6 Câu 11 Trang 22 � u1   u1  4d   u1  2u5  3u  8d  u 8 � � � � �� �� � �1 � 2u1  3d  S  14 d  3  2u1  3d   14 � � � � Ta có Câu 12 Ta có � u1   u1  4d    u1  2d   10 u1  u5  u3  10 u  2d  10 u  36 � � � � �� � �1 � �1 � u1  u6  2u1  5d  d  13 u1   u1  5d   � � � � Câu 13 Ta có �  2u1  5d   18 2u  5d  u  7 �S6  18 � � � �� �� � �1 � 2u1  9d  22 d 4  2u1  9d   110 � �S10  110 � � Từ mà S 20  10  2u1  19d   10   7   19.4   620 Câu 14 Ta có cấp số cộng: un  5n  nên u1  3, u2  8, � d  n n 2u1   n  1 d �  16040 � � 2.3   n  1 � � � � � 16040 2� n  80 � � � 5n  n  32080  � � n  80 401 � n (loai) � Sn  16040 � Câu 15 Không tổng quát giả sử a  b  c � c  b  b  a  d với d cơng sai Khi b 1 1 d 1 d     �   a b a a  d a  a  d  b c  a  d   a  2d   a  2ad  d  � c  b  2ad  3d  nên loại A nên loại B Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng với cơng sai d c, b, a lập thành cấp số cộng với công sai –d Câu 16 �S10  S1  9d  85 �S  194 � �1 � S 20  S1  19d  395 � d  31 �S15  S1  14d  240 � Câu 17 Theo giả thiết    552  554  278.554  77006 Câu 18 � 1� S5  5u1  10d   10 �  �  � 4� Theo giả thiết Câu 19 Ta có u4  u1  3d    3  7, u6  u1  5d    3   13 Trang 23 Câu 20 u2  u22  60 � 2u1  22d  60 � S 23  23 23.60  690  2u1  22d   2 Câu 21 Ta có u1  10 u  10 u  10 � � � � �1 � �1 � u21  50 � u1  20d  50 d  � � Câu 22 Ta có u1  u 8 u 8 � � � � �1 � �1 � u10  62 u1  9d  62 d  � � � Suy S10   2u1  9d    2.8  9.6   350 Câu 23 n n 2u1   n  1 d   483 � �  1   n  1 �  � 483 2� n  23 � � n  2n  483  � � � n  23 n  21(loai ) � Sn  483 � Câu 24 u1  u2  u3  u4  22 4u1  6d  22 u 1 � � � �� � �1 �2 2 2 d 3 u1  u2  u3  u4  166 4u1  12u1d  14d  166 � � � u1  10 � � d  3 � Câu 25 u2  u5  42 2u  5d  42 u  11 � � � 346 �� � �1 � S346   2.11  345.4   242546 � u3  u10  66 2u1  11d  66 d 4 � � � Câu 26 Ta có u5  18 � u1  4d  18  1 � n  n  1 d � � 2n  2n  1 d � 4Sn  S2n � � nu1  2nu1  � � � 2 � � � � � 4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d � 2u1  d  Từ (1) (2) suy  2 u1  2; d  Câu 27 Ta có a    a � a  3;7  a  b  � b  14   11 Câu 28 an  S n  Sn 1  2n  3n   n  1   n  1  4n  Ta có số hạng thứ n dãy Suy an 1  4n  Khi an 1  an  �� �  an  cấp số cộng với cơng sai Trang 24 Câu 29 Ta có S14  n 2u1   n  1 d � � � 280 2� Câu 30 Ta có a    a � a  4;6  a  b  � b  � a.b  32 Câu 31 Từ giả thiết ta có S1  u1  3.1  4.1  Ta có S n  3n  4n  Cách khác n   6n   n   6n  1 � u n  6n  � u10  61 un  S n  Sn 1 � u10  S10  S9  3.102  4.10   3.92  4.9   61 Câu 32 Xen hai số 24 thêm số để cấp số cộng có số hạng S8   u1  u8     24   108 2 Câu 33 Ta có d  25  4 u  u1  49d  25  49.4  171 Do 50 Câu 34 Gọi d công sai cấp số cho Ta có S100  50  2u1  99d   24850 � d  � 5S  497  2u1 5 99 5    u1u2 u2 u3 u49 u50  u u u2  u1 u3  u2    50 49 u1u2 u 2u3 u 49u50  1 1 1 1         u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50  1 1 245 49     �S  u1 u50 u1 u1  49d 246 246 Câu 35 Ta có u1  4d   u1  2d    u1  d   21 � u5  3u3  u2  21 � 3u  9d  21 � u 2 � � �� �� � �1 � 3u7  2u4  34 u1  12d  34 d  3  u1  6d    u1  3d   34 � � � � S  u4  u5   u30  S30  S3  30 2.2  29  3    2.2  2.3   1242  2 Dạng Dựa vào tính chất cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình tốn thực tế Trang 25 –A 11 – D 21 – B –A 12 – D 22 – B 3–D 13 – B 23 – D 4–D 14 – C 24 – B 5–B 15 – D 25 – D 6–D 16 – D 26 – C 7–B 17 – C 27 - D 8–D 18 – C 9–D 19 – B 10 – C 20 – C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu x  un Khi cấp số cộng có cơng sai d  Giả sử   11   x  Do 2u1   n  1 d n �   n  1 n  970 n  20 � � � 5n  3n  1940  � 97 � n Ta có x  u20  u1  19d   19.5  96 � Câu Ta có  x  1   x     x      x  28   155 x   x  28 10  155 � x  29  31 � x  Do Câu 2  x      x     x  Để số  x; x  5;1  x lập thành cấp số cộng � x  x   (phương trình vơ nghiệm) � Khơng tìm x thỏa u cầu Câu Ta có 158  44  41  38  35 nên đa giác có cạnh Câu x  10 x  m   1 t  10t  m  Đặt t  x , t �0, phương trình (1) trở thành  2 Phương trình (1) có nghiệm số hạng liên tiếp cấp số cộng phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t2  9t1  *  ,  t2  t1  Điều kiện phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt � t2  t1  10 � � t2 t1  m � Theo định lý Vi-ét �   * Từ   ** suy  '  25  m  � � �  m  25 �P  m  �S  10  �     ** *** t1  1, t2  vào   *** ta m  (nhận) Trang 26 Câu ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng � Ta có Câu n �N *   u n Gọi (triệu đồng) mức lương kỹ sư quý làm việc thứ n Ta có u1  15; d  1,5 Đến quý thứ 12 mức lương kỹ sư u12  u1  11d  31,5 (triệu đồng) Vậy tổng số tiền nhận kỹ sư sau năm S12  u1  u2   u12  12  15  31,5   279 (triệu đồng) Câu Gọi độ dài cạnh tam giác cần tìm a, a  2, a   a   a6 � 2 a   a     a   � a - 4a -12  � � a  -2 � Theo ra, ta có Suy độ dài cạnh huyền   10 Vậy R  Câu Theo giả thiết  6-d  62    d  � 36 -12d  12d � d  36  24 Câu 10 Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Suy x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng x2  x1  x3 Mặt khác  x - x1   x - x2   x - x3   � x3 -  x1  x2  x3  x   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x - x1 x2 x3  Đồng với phương trình x  ax  b  Suy Thay x1  x2  x3  � x2  x2  vào phương trình cho, ta b  x0 � x  ax  � �2 x a 0 � Phương trình cho trở thành  1 Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt � a  Vậy b  0, a  Câu 11 Ta có số que diêm để xếp tầng đế tháp cấp số cộng với u1  3; d  Trang 27 Suy số que diêm để xếp tầng đế tháp 10 u10  u1  9d  39 Từ số que diêm để xếp hình tháp 10 tầng S10  u1  u2   u10  10   39   210 que Câu 12 Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có a  R sin A, b  R sin B, c  R sin C 2 2 2 Theo giả thiết a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a  c  2b � R sin A  R sin C  2.4 R sin B � sin A  sin C  2.sin B 2 Vậy sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu 13 Gọi góc nhỏ x, ta có bốn góc x, x  d , x  2d , x  3d (với d công sai) �x   x  d    x  2d    x  3d   360� � x  3d  x Ta có hệ � Giải hệ ta tìm x  30� Câu 14 Giả sử trồng n hàng  n �1, n �� Số hàng lập thành cấp số cộng có u1  công sai d  Theo giả thiết Sn  3240 � n  80 � n 2u1   n  1 d �  3240 � n  n  1  6480 � n  n  6480  � � � � � n  81 � Kết hợp với điều kiện, ta n  80 Vậy có tất 80 hàng Câu 15 Giả sử đa giác có n cạnh; độ dài cạnh thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d  3cm u1; u2 ; ; un Từ giả thiết ta có un  44 � u1  3n  47 u1  47  3n un  44 u  35 � � � � � � � u1  un  n �� �� � �1 � n  u1  44   316 n4 3n  91n  316   158 � � �Sn  158 � � � Câu 16 Ta có Cn1  Cn3  2Cn2  n �3 Trang 28 � n7 � n! n! n!   � n  9n  14  � � �n7 n2  n  1 ! 3!  n  3 ! 2!  n   ! �  n �3  Câu 17 x    2     x  1 � x  Ta có 2; x  1;5 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên Câu 18 Ta có B  A  d , C  A  2d , D  A  3d  A  3d   A2  Ad  9d  D  A2  C  B  A  2d    A  d  2 Ad  3d 2 Khi Câu 19 a� ) Phương trình x  x  a  (có nghiệm Theo định lý Vi-ét, ta có �x1  x2  � �x1.x2  a 121 b� ) Phương trình x  11x  b  (có nghiệm Theo định lý Vi-ét, ta có Theo �y1  y2  11 � �y1 y2  b x1 , x2 , y1 , y2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d nên � x1  d  � �x  � �1 � x1  5d  11 � � d 2 � 13 585 a.b     2 Suy Câu 20 x0 � x3   2m  1 x  x   1 � �2 x  m  x       � Ta có Phương trình (2) ln có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 ac   9   9  Do phương trình (1) ln có ba nghiệm phân biệt x1   x2 x1  x2  2.0 � 2m   � m   Để ba nghiệm lập thành cấp số cộng Vậy P  Câu 21 Trang 29 P2  Ta có 1 1 1 P1 ; P3  P2  P1 ; P4  P3  P1 ; Pn  n 1 P1 2 P  P1  P2  P3   P1  Vậy 1 P P1  P1  P1    P1  24 1 Câu 22 Giả sử 1089 xếp thành n hàng Từ giả thiết ta có số hộp sơn hàng số hạng cấp số cộng  un  Do với số hạng đầu u1  công sai d  S n  1089 � n  n  n  1  1089 � n  33 Vậy số hộp sơn hàng cuối u33   32.2  65 (hộp sơn) Câu 23 Khoảng cách từ đến mốc ki-lô-mét tạo thành cấp số cộng có cơng sai d  20m Ta có un  u1   n  1 d  6000   n  1 20 Cây cuối vị trí ki-lơ-mét nên ta có 8000  6000   n  1 20 � n  101 Câu 24 Quãng đường An cấp số cộng Ta có Sn  n4 � n n � 2u1   n  1 d � � 54  � 30   n  1  1 � � n  31n  108  � � � � � � n  27 2 � u  u1   27  1 d  11 Với n  27 27 nên vơ lý Vậy An từ nhà quê hết Câu 25 Số cốc nước bán ngày lập thành cấp số cộng với công sai d  Số cốc nước bán ngày thứ 10 u10  u1  9d  10  9.1  19 Câu 26 Gọi n số hàng cần tìm, ta có     n  3003 � n  77 n  n  1 �  3003 � � � n  77 n  78 � Trang 30 Câu 27 t   m  1 t  2m   Đặt t  x , t �0, ta thu phương trình  2 Điều kiện để phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương m �0 � � � m t1 , t2  t1  t2  hay � � Khi bốn nghiệm  t2 ,  t1 , t1 , t2 Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng t2  t1  t1 hay t2  9t1 m  4, m   Kết hợp định lý Vi-ét tìm 32 Từ tổng giá trị m Trang 31 ... ; B Dãy số 2 cấp số cộng với � � u  � �1 � 1 1 � d ; ; ; � 2 2 C Dãy số cấp số cộng có ba số hạng D Dãy số -2; -2; -2; -2; … cấp số cộng u1  ? ?2 � � �d  Câu 12: Cho dãy số có số hạng đầu... minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un  20 20n  20 21 b) Dãy số  un  với un  2n  Hướng dẫn giải a) Dãy số Ta có Vậy un 1  un  20 20  n  1  20 21   20 20n  20 21  20 20 ...  2n  3n Khi A  an  cấp số cộng với công sai B  an  cấp số cộng với công sai C  an  cấp số cộng với công sai D  an  cấp số cộng với công sai Câu 29 : Cho cấp số cộng cấp số cộng A 28 0