Bài 2 các PHÉP TOÁN TRÊN tập hợp số PHỨC

CHUYÊN ĐỀ BÀI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức  Kĩ + Thành thạo phép toán cộng, trừ hai số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Thành thạo phép nhân hai số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Thành thạo phép toán chia hai số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Vận dụng phép toán học để giải số toán tổng hợp Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép cộng số phức Ví dụ: ( + 4i ) + ( − 2i ) = + 2i Định nghĩa Tổng hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ¡ ) số phức z + z′ = a + a′ + ( b + b′ ) i Tính chất Với z, z ′, z′′ ∈ £ ta có: Tính chất kết hợp: ( z + z′ ) + z′′ = z + ( z ′ + z′′ ) ; Ví dụ: 2 z = − i có số đối − z = −5 + i 7 Tính chất giao hoán: z + z′ = z ′ + z; Cộng với 0: z + = + z = z; z + ( − z ) = ( − z ) + z = Phép trừ số phức Hiệu hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ¡ ) : z − z′ = z + ( − z′ ) = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i Phép nhân số phức Ví dụ: ( + 4i ) − ( − 2i ) = + 6i Ví dụ: Định nghĩa Tích hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ¡ ) ( + 4i ) ( − 2i ) = ( 15 + 8) + ( 12 − 10 ) i = 23 + 2i số phức zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i Tính chất Chú ý: • Ta thực phép cộng phép nhân Với z, z ′, z′′ ∈ £ ta có: • Tính chất giao hốn: zz′ = z ′z; • Tính chất kết hợp: ( zz′ ) z′′ = z ( z′z′′ ) ; số phức theo quy tắc phép toán cộng nhân số thực ° Các đẳng thức số thực • Nhân với 1: 1.z = z.1 = z; số phức • Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: Ví dụ: z + = z − ( 2i ) = ( z − 2i ) ( z + 2i ) z ( z′ + z ′′ ) = zz ′ + zz′′ Phép chia cho số phức khác Ví dụ: Số nghịch đảo số phức z ≠ kí hiệu z −1 , số phức z = − 2i có số phức nghịch đảo −1 thỏa mãn zz = 1, , hay z = −1 z z Thương phép chia số phức z′ cho số phức z khác 0, 1 = ( + 2i ) = + i z 13 13 13 Ví dụ: + 4i ( + 4i ) ( + 2i ) + 22i 22 = = = + i − 2i ( − 2i ) ( + 2i ) 13 13 13 Trang kí hiêu z′ z′ z = z′z −1 = z z SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Phép cộng số phức Tổng hai số phức Tính chất phép cộng số phức Với ta có số phức Phép trừ số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu hai số phức vàlà số phức Tính chất phép nhân số phức Với ta có Phép nhân số phức Tích hai số phức vàlà số phức Phép chia số phức khác Số nghịch đảo số phức kí hiệu là số phức thỏa mãn hay Thương phép chia số phức cho số phức , kí hiệu Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực phép toán số phức Phương pháp giải Cho hai số phức z = a + bi z′ = a′ + b′i , Ví dụ: a, b, a′, b′ ∈ ¡ Khi đó: Hai số phức z1 = − 7i, z2 = + 3i có • z + z ' = a + a '+ ( b + b′ ) i; z1 + z2 = ( + ) + ( −7 + 3) i = − 4i; • z − z ' = ( a − a ' ) + ( b − b′ ) i ; z1 − z2 = ( − ) + ( −7 − 3) i = −1 − 10i; • zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i; z1 z2 = ( 3.4 − ( −7 ) 3) + ( 3.3 + ( −7 ) ) i = 33 − 19i; • z′ z′ z = z z z1 ( − 7i ) ( − 3i ) 37 = = − − i z2 ( + 3i ) ( − 3i ) 25 25 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 = + 3i, z2 = −4 − 5i Số phức z = z1 + z2 A z = −2 − 2i B z = −2 + 2i C z = + 2i D z = − 2i Hướng dẫn giải z = z1 + z2 = + 3i + ( −4 − 5i ) = −2 − 2i Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 = − 2i, z2 = + 3i Số phức w = z1 − z2 A w = −3 + 8i B w = −5 + i C w = −3 − 8i D w = −3 + i Hướng dẫn giải Ta có w = z1 − z2 = − 2i − ( + 3i ) = −3 − 8i Chọn C Ví dụ 3: Cho hai số phức z = − + i Số phức w = + z + z 2 A − 3i B C D − + i 2 Hướng dẫn giải     w = +  − + i÷ +  − + i÷ ÷ ÷ =  2   2  Chọn C Chú ý: Các đẳng thức số thực dùng số phức Ví dụ 4: Tất số phức z thỏa mãn z − ( + i ) = iz + − 3i Trang A z = − i 5 C z = B z = − 2i + i 5 D z = + 2i Hướng dẫn giải Ta có: z − ( + i ) = iz + − 3i ⇔ ( − i ) z = 10 ⇔ z = 10 ⇔ z = + 2i 2−i Chọn D Ví dụ 5: Cho hai số phức z = ( + i ) ( + 2i ) Số phức z A −4 + 2i B −4 − 2i C − 2i D + 2i Hướng dẫn giải Ta có: z = ( + i ) ( + 2i ) = 2i ( + 2i ) = −4 + 2i Do đó: z = −4 − 2i Chọn B Ví dụ 6: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ A S = − ) thỏa mãn z + + 3i − z i = Giá trị S = a − 3b B S = C S = −3 D S = Hướng dẫn giải Ta có z + + 3i − z i =  a + = ⇔ a + + b + − a + b2 i = ⇔  2 b + = a + b ( )  a = −1  a = −1   b ≥ −  ⇔  ⇔ ⇒ S =  b + = + b b = − ) ( Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hai số phức z1 = − 7i z2 = + 3i Số phức z = z1 + z2 A z = − 10i B z = − 4i C z = − 10i D z = + 3i Câu 2: Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = − 4i Số phức z1 + z2 − z1 z2 số phức sau đây? A 10i B −10i C 11 + 8i D 11 − 10i C z = − 3i D z = −2 − 3i Câu 3: Số phức z thỏa mãn z + ( + i ) z = − 5i A z = + 3i B z = −2 + 3i Câu 4: Cho hai số phức z1 = − 2i , z2 = −3 + 3i Khi số phức z1 − z2 A −5 + 5i B −5i C − 5i D −1 + i Câu 5: Cho số phức z = + 2i Số phức w = z + z Trang A w = −3 + 2i B w = + 3i C w = + 2i D w = −2 − 3i Bài tập nâng cao Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn ( + z ) ( + i ) − + i = Số phức w = + z A −1 + 3i B − 3i C −2 + 3i D − 3i Câu 7: Cho số phức z = − i Số phức w = iz + 3z A w = B w = + i C w = 10 + i D 10 Câu 8: Cho z1 = + 4i , z2 = − 5i Số phức w = z1.z2 A −152 + 4i B −152 − 4i C 152 − 4i D 152 + 4i Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z ( − 2i ) + z.i = 15 + i Số phức z A z = −3 + 4i B z = + 4i C z = − 4i Câu 10: Có số phức z thỏa mãn z + + 3i = A B Vô số D z = −3 − 4i z số ảo? z−2 C D Dạng 2: Xác định yếu tố số phức qua phép tốn Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo số phức Phương pháp giải • Số phức z = a + bi có phần thực a phần ảo Ví dụ: Phần thực số phức z thỏa mãn ( − i ) z = − 17i b Chú ý: Học sinh thường nhầm phần ảo số phức z = − 12i −12i A B C D −2 −3 Hướng dẫn giải ( − i ) z = − 17i ⇔ z = − 17i = − 3i 5−i Phần thực số phức z Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z = 14 − 2i Tổng phần thực phần ảo z A 14 B C −2 D −14 Hướng dẫn giải Ta có: ( + i ) z = 14 − 2i ⇔ z = 14 − 2i ⇔ z = − 8i ⇒ z = + 8i 1+ i Suy ra, z có phần thực phần ảo Trang Do tổng phần thực phần ảo z 14 Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số phức z = + 2i z′ = a + ( a − 11) i Tất giá trị thực a dể z + z′ số thực A a = −3 B a = C a = a = −3 D a = 13 a = − 13 Hướng dẫn giải 2 Ta có: z + z′ = + 2i + a + ( a − 11) i = + a + ( a − ) i  a = −3 z + z′ số thực a − = ⇔  a = Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z = ( + i ) ( + 2i ) Số phức có phần ảo A B C −2 D 2i Hướng dẫn giải Ta có: z = ( + i ) ( + 2i ) = ( + 2i + i ) ( + 2i ) = 2i ( + 2i ) = 2i + 4i = 2i − Vậy số phức z có phần ảo Chọn A Bài tốn Tìm số phức liên hợp, tính mơđun số phức Phương pháp giải • Số phức z = a + bi có z = a − bi z = a + b Chú ý: Nếu z = a + bi z + z = 2a; z.z = a + b Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z = ( − 3i ) ( + 2i ) A z = 12 − 5i B z = −12 + 5i C z = −12 − 5i D z = 12 + 5i Hướng dẫn giải Ta có z = ( − 3i ) ( + 2i ) = − 5i − 6i = 12 − 5i ⇒ z = 12 + 5i Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z ( − i ) + 13i = Mô đun số phức z Trang A z = 34 B z = 34 C z = 34 D z = 34 Hướng dẫn giải Ta có: z ( − i ) + 13i = ⇒ z = − 13i = − 5i 2−i Do z = 32 + ( −5 ) = 34 Chọn C Ví dụ 2: Cho số phức z1 = + 2i, z2 = + 5i Số phức liên hợp số phức z = 6z1 + 5z A z = 51 + 40i B z = 51 − 40i C z = 48 + 37i D z = 48 − 37i Hướng dẫn giải Ta có: z = 6z1 + 5z = ( + 2i ) + ( + 5i ) = 48 + 37i Suy z = 48 − 37i Chọn D Ví dụ 3: Gọi z1 , z2 có điểm biểu diễn M N mặt phẳng Oxy hình bên Khi z1 + z2 B 20 A 29 C D 116 Hướng dẫn giải Từ hình vẽ ta có điểm M ( 3; ) biểu diễn số phức z1 = + 2i, điểm N ( 1; −4 ) biểu diễn số phức z2 = − 4i Ta có z1 + z2 = − 2i ⇒ z1 + z2 = ( 4) + ( −2 ) = Chọn C Ví dụ 4: Cho số phức z = a + bi, với a, b số thực thỏa mãn a + bi + 2i ( a − bi ) + = i, với i đơn vị ảo Môđun ω = + z + z A ω = 229 C ω = 229 B ω = 13 D ω = 13 Hướng dẫn giải a + 2b = −4 a = ⇔ Suy z = − 3i Ta có a + bi + 2i ( a − bi ) + = i ⇔  b + 2a = b = −3 Do ω = + z + z = −2 − 15i Vậy ω = ( −2 ) + ( −15 ) = 229 Chọn A Trang Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z = A w = + 3i Môđun số phức w = i.z + z 1− i B w = C w = D w = 2 Hướng dẫn giải Ta có: z = + 3i = −1 + 2i 1− i ⇒ z = −1 − 2i ⇒ w = i ( −1 + 2i ) + ( −1 − 2i ) = −3 − 3i ⇒ w= ( −3 ) + ( −3) = 18 = 2 Chọn C Ví dụ 6: Cho z1 , z2 số phức thỏa mãn z1 = z2 = z1 − z2 = Giá trị biểu thức P = z1 + z2 A P = C P = B P = D P = Hướng dẫn giải Đặt z1 = a1 + b1i; a1 , b1 ∈ ¡ , z2 = a2 + b2i; a2 , b2 ∈ ¡ 2 2 Suy a1 + b1 = a2 + b2 = z1 − z2 = ⇔ a1.a2 + b1.b2 = −1 Ta có: z1 + z2 = 2a1 + a2 + ( 2b1 + b2 ) i ⇒ z1 + z2 = ( 2a1 + a2 ) + ( 2b1 + b2 ) = 2 (a 1 + b12 ) + ( a22 + b22 ) + ( a1a2 + b1b2 ) Suy P = z1 + z2 = Chọn A Bài toán Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Điểm biểu diễn số phức z = A ( 3; −2 ) 2 3 B  ; ÷  13 13  − 3i C ( −2;3) Hướng dẫn giải z= D ( 4; −1) độ điểm biểu diễn số phức, ta cần viết số phức dạng + 3i = = + i − 3i ( − 3i ) ( + 3i ) 13 13 Suy điểm biểu diễn số phức z = Chú ý: Để xác định tọa z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) 2 3 là:  ; ÷ − 3i  13 13  Chọn B Trang Ví dụ 2: Gọi z1 , z2 có điểm biểu diễn M , N mặt phẳng phức (hình bên) Khi phần ảo số phức A z1 z2 14 17 C − 17 − B D Hướng dẫn giải Dựa vào hình vẽ ta có z1 = + 2i, z2 = − 4i ⇒ z1 + 2i 14 = = − + i z2 − 4i 17 17 Chọn A Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z = 11 − 3i Điểm M biểu diễn cho số phức z mặt phẳng tọa độ A M ( 4; −7 ) B M ( 14; −14 ) C M ( 8; −14 ) D M ( 7; −7 ) Hướng dẫn giải Ta có: ( + i ) z = 11 − 3i ⇒ z = 11 − 3i = − 7i 1+ i Suy điểm biểu diễn cho số phức z M ( 4; −7 ) Chọn A Ví dụ 4: Cho A, B, C điểm biểu diễn số phức − 3i, ( + 2i ) i, Số phức có điểm i biểu diễn D cho ABCD hình bình hành A z = −6 − 4i B z = −6 + 3i C z = − 5i D z = − 2i Hướng dẫn giải Ta có A điểm biểu diễn số phức − 3i nên A ( 4; −3) B điểm biểu diễn số phức ( + 2i ) i = −2 + i nên B ( −2;1) C điểm biểu diễn số phức = −i nên C ( 0; −1) i Trang 10 uuur uuur Điều kiện để ABCD hình bình hành AD = BC  xD − x A = xC − xB  xD = xC + x A − xB = ⇔ ⇔ ⇒ D ( 6; −5 ) ⇒ z = − 5i  y D − y A = yC − y B  y D = yC + y A − y B = − Chọn C Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C điểm biểu diễn hình học số phức z1 = − i, z2 = −1 + 6i, z3 = + i Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề sau đúng? A z4 = − 2i B z4 = C ( z4 ) = 13 + 12i D z4 = − 2i Hướng dẫn giải Ta có: A ( 2; −1) , B ( −1;6 ) , C ( 8;1) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ( 3; ) ⇔ z4 = + 2i ⇒ z4 = − 2i Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z1 , z2 thoả mãn z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng toạ độ Diện tích S ∆OAB (với O gốc toạ độ) B S = A S = C S = 25 D S = 12 Hướng dẫn giải Ta có: z1 = OA = 3, z2 = OB = 4, z1 − z2 = AB = ⇒ ∆OAB vuông O (vì OA2 + OB = AB ) 1 ⇒ S ∆OAB = OA.OB = 3.4 = 2 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + z = − 4i với i đơn vị ảo Phần ảo số phức z A −4 Câu 2: Biết z = B ( +i C D ) ( + i ) Phần thực, phần ảo số phức z A Phần thực −4 phần ảo 3i B Phần thực phần ảo −4 3i C Phần thực phần ảo D Phần thực −4 phần ảo −4 Câu 3: Cho số phức z = ( 2a − b + ) − ( a + b + ) i, với a, b ∈ ¡ , i đơn vị ảo Biết z số Trang 11 ảo z + + i số thực Giá trị S = a + b A S = 13 B S = C S = 20 D S = 36 Câu 4: Cho số phức z = 3a − ( 2a + 1) i với a ∈ ¡ , i đơn vị ảo Biết z số phức có phần thực , giá trị a A a = −1; a = − B a = 1; a = Câu 5: Số phức z = ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) A 21009 − 170 2018 B 21009 + Câu 6: Môđun số phức z = + 3i − A z = C a = −1; a = D a = 1; a = − có phần ảo 1009 D − ( + 1) C − 21009 + 5i 3−i B z = 170 D z = 170 C z = 170 Câu 7: Cho số phức z thoả mãn ( + i ) z = 10 − 5i Hỏi điểm biểu diễn số phức z điểm điểm M , N , P, Q hình bên? A Điểm Q B Điểm M C Điểm P D Điểm N Câu 8: Biết điểm M hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Điểm biểu diễn số phức iz A M B N C P D Q Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z ( + i ) = − 5i Môđun z A z = 17 B z = 16 C z = 17 D z = Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z ( + 2i ) − = iz + + 7i Trong hình bên, điểm biểu diễn số phức z − + i A M B Q C P D N Trang 12 Bài tập nâng cao Câu 11: Cho số phức z có phần thực số nguyên z thỏa mãn z − z = −7 + 3i + z Môđun số phức w = − z + z A w = 445 B w = 425 C w = 37 D w = 457 Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn ( + 2i ) z + ( − i ) = + i Mô đun số phức w = ( z + 1) z A B 10 C D Câu 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 6, z2 = Gọi M , N điểm biểu diễn cho z1 iz2 2 · Biết MON = 60° Giá trị T = z1 + z2 A T = 18 B T = 24 C T = 36 ( D T = 36 ) Câu 14: Môđun số phức z thỏa mãn: z.z + 2017 z − z = 12 − 2018i A z = B z = 2017 C z = D z = 2018 z12016 Câu 15: Cho hai số phức z1 = + i, z2 = − 2i Môđun số phức w = 2017 z2 A w = B w = C w = D w = Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z = điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức bốn điểm M , N , P, Q Khi điểm biểu diễn số iz phức w w= A Điểm Q B Điểm M C Điểm N D Điểm P Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( + 3i ) z = − 9i Số phức w = có điểm biểu diễn điểm điểm A, B, C , D iz hình bên? A Điểm D B Điểm C C Điểm B D Điểm A Câu 18: Cho A, B, C , D bốn điểm mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn số phức + 2i; + + i; + − i; − 2i Biết ABCD tứ giác nội tiếp tâm I Tâm I biểu diễn số phức sau đây? A z = B z = − 3i C z = D z = −1 Trang 13 Câu 19: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 = 4, z2 = 3, z3 = z1 z2 + 16 z2 z3 + z1 z3 = 48 Giá trị biểu thức P = z1 + z2 + z3 A B C D Câu 20: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = Khi z1 + z2 + z1 − z2 A B C D Dạng Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ mẫu  z − i = z − ? Ví dụ 1: Có số phức z thỏa mãn   z − 2i = z A B C D Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ )  x + ( y − 1) = ( x − 1) + y ⇒ x = y = Ta có hệ phương trình:  2 2  x + ( y − ) = x + y Do z = + i nên có số phức thỏa mãn Chọn A Ví dụ 2: Có số phức z thỏa điều kiện z.z + z = z = 2? A B C D Hướng dẫn giải Ta có: z.z + z = ⇔ z + z = ⇔ z + = 2 Suy điểm M biểu diễn số phức z giao hai đường tròn ( C1 ) : x + y = ( C2 ) : ( x + ) + y = Vì I1 I = R1 + R2 ( I1 , I tâm đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) ) nên ( C1 ) ( C2 ) tiếp xúc nhau) Suy ra: Có số phức z thỏa mãn yêu cầu Chọn C Ví dụ 3: Có số phức thỏa mãn z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z ? A B C D Hướng dẫn giải Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với z cho ta số phức z Đặt z = a ≥ 0, a ∈ ¡ , ta có z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z ⇔ a ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z Trang 14 ⇔ ( a − + i ) z = 6a + − 2i ⇔ ( a − + i ) z = 6a + ( a − ) i ⇔ ( a − + i ) z = 6a + ( a − ) i ⇔ ( a − ) + 1 a = 36a + ( a − )   ⇔ a − 14a + 13a + 4a − = ⇔ ( a − 1) ( a − 13a + ) = Hàm số f ( a ) = a − 13a ( a ≥ ) có bảng biến thiên: Đường thẳng y = −4 cắt đồ thị hàm số f ( a ) hai điểm nên phương trình a − 13a + = có hai nghiệm khác (do f ( 1) ≠ ) Thay giá trị môđun z vào giả thiết ta số phức thỏa mãn điều kiện Chọn B Ví dụ 4: Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn z − ( 2m − 1) − i = 10 z − + i = z − + 3i ? A 40 B 41 C 165 D 164 Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) M ( x, y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: z − ( 2m − 1) − i = 10 ⇔ z − ( 2m − 1) − i = 100 ⇔  x − ( 2m − 1)  + ( y − 1) = 100 2 Khi điểm biểu diễn số phức z nằm đường trịn ( C ) có tâm I ( 2m − 1;1) , bán kính R = 10 Lại có z − + i = z − + 3i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i = ( x − ) + ( − y ) i 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − ) + ( − y ) ⇔ 2x + y − 11 = 2 2 Khi điểm biểu diễn số phức z nằm đường thẳng ∆ : x + y − 11 = Có hai số phức z thỏa mãn đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) điểm phân biệt Tức d ( I , ∆ ) < 10 ⇔ ( 2m − 1) + − 11 < 10 ⇔ − 20 17 + 20 17 Đặt z = a + bi; a, b ∈ ¡ ta có hệ phương trình a + b =   2  a − + ( b + 1) = m ( ) Phương trình a + b = đường trịn tâm O, bán kính R = ( Phương trình a − ) 2 + ( b + 1) = m đường tròn tâm I ( ) 3; −1 , bán kính R = m Có số phức thỏa mãn đề a + b =  ⇔ Hệ phương trình  có nghiệm a − + ( b + 1) = m  ( ) ⇔ Hai đường tròn tiếp túc với m = ⇔ OI = m ± ⇔ m ± = ⇔  (thỏa mãn m > ) m = Vậy, có hai số thực thỏa mãn Chọn A Trang 16 z z + = z z Ví dụ 7: Có tất số phức z thỏa mãn z = A B C D Hướng dẫn giải Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) Ta có z = a + b = ⇒ a + b = ( a + bi ) + ( a − bi ) z z z2 + z + = = z z z z z 2 = 2a − 2b = a + b2 = a + b =  a + b =   ⇔  2  2 Ta có hệ:  2  2a − 2b =  a − b = a − b = −     a =  a = ⇔  b = b =   4  3  3  1    ; − ; ± ; ; ± ; − ;± ÷ Suy ( a; b ) ∈  ; ± ÷  ÷  ÷      ÷ ÷ 2÷ ÷        Vậy có cặp số ( a; b ) có số phức thỏa mãn Chọn D Bài tập nâng cao dạng Bài tập Câu 1: Có số phức z thỏa mãn điều kiện z = z + z ? A B C D Câu 2: Số số phức thỏa mãn điều kiện z + z = A B C D 2 Câu 3: Có số phức z thỏa mãn z = z + = ? A B Câu 4: Có số phức z thỏa mãn A B C D z số ảo z + = ? 1+ z C D Bài tập nâng cao Câu 5: Có số phức z thỏa mãn z + z i − − i = 0? A B C D Câu 6: Có số phức z thỏa mãn z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z ? A B C D Trang 17 Câu 7: Có số phức z thỏa mãn z + 2i z = 0? A B C D Câu 8: Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z − 10 + 2i = z + − 14i z − − 10i = 5? A Hai B Khơng C Một D Vơ số Câu 9: Có số phức z thỏa mãn z + 16i z = 0? A B 10 C D ( ) Câu 10: Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + z + ( z − ) z + số ảo? A B C D Câu 11: Có số phức z thỏa mãn z + − 3i = ( z + 2i ) số ảo? A B C D Câu 12: Có số phức z thỏa mãn z + − i = 2 ( z − 1) số ảo? A B C D z số ảo? z+2 Câu 13: Có số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 A Vô số B C Câu 14: Có số phức z thỏa mãn z − 3i = A B Vô số D z số ảo? z−4 C D Câu 15: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − −3 − 4i = m Tổng phần tử thuộc S A 10 B 42 C 52 D 40 Dạng 4: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, tính chất hình học biết Cho trước điểm cố định I , F1 , F2 ; F1 F2 = 2c ( c > ) Ví dụ: Trên mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu Tập hợp điểm M thoả mãn MI = R ( R > ) đường trịn tâm I bán kính R Tập hợp điểm M thoả mãn MF1 + MF2 = 2a ( a > c ) diễn số phức z thoả mãn z + − 5i = đường tròn tâm I ( −2;5 ) , bán kính R = elip có hai tiêu điểm F1 , F2 Tập hợp điểm M thoả mãn MF1 = MF2 đường trung trực đoạn thẳng F1 F2 Trang 18 Ví dụ mẫu ( ) Ví dụ 1: Xét số phức z thỏa mãn ( z − ) + z.i số thực Biết tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn, có tâm I ( a; b ) bán kính R Giá trị a + b + R A B C 12 D 24 Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy , ( x − a) + ( y − b ) = R phương trình đường trịn có tâm I ( a; b ) bán kính R>0 Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ( ) Vì ( z − ) + z.i = ( x − ) + yi  ( y + ) + xi  số thực nên x ( x − ) + y ( y + ) = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = 25 2 Tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn có tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = Vậy a + b + R = Chọn B Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Một parabol B Một đường tròn C Một elip D Một hypebol Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z − + z + = 10 ⇔ ( x − 3) + yi + ( x + 3) + yi = 10(*) Gọi M điểm biểu diễn số phức z điểm F1 ( 3;0 ) , F2 ( −3;0 ) Dễ thấy F1 F2 = = 2c Khi đó: z − + z + = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 = 2a Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z elip có hai tiêu điểm F1 , F2 , độ dài trục lớn 2a = 10 Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z = 10 w = ( + 8i ) z + ( − 2i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn có tâm A I ( −3; −4 ) B I ( 3; ) C I ( 1; −2 ) D I ( 6;8 ) Hướng dẫn giải Ta có w = ( + 8i ) z + ( − 2i ) ⇔ w − ( −3 − 4i ) = ( + 8i ) z ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 62 + 82 z Trang 19 ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 10.10 ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 100 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn ( C ) có tâm I ( −3; −4 ) Chọn A Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn z − + 2i = z + + 2i đường thẳng có phương trình A x − y + = B x + y = C x − y = D x + y + = Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: z − + 2i = z + + 2i ⇔ x + yi − + 2i = z − yi + + 2i ⇔ ( x − 1) + ( y + ) i = ( x + 1) + ( − y ) i ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = ( x + 1) + ( − y) ⇔ x2 − 2x + + y2 + y + = x2 + 2x + + y − y + ⇔ x − y = Vậy tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng có phương trình x − y = Chọn C Ví dụ 5: Gọi M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + i = z − z + 3i Trong mặt phẳng Oxy , Tập hợp tất điểm M A Một parabol B Một đường thẳng C Một đường tròn D Một elip Chú ý: y = ax + bx + c ( a ≠ ) phương parabol Hướng dẫn giải trình đường Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi; ∀x; y ∈ ¡ Khi z + i = z − z + 3i ⇔ x + ( y + 1) = x + ( −3 y + ) 2x 2 ⇔  x + ( y + 1)  = x + ( −3 y + 3) ⇔ y = −   2 Vậy tập hợp tất điểm M đường parabol Chọn A Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ≤ z − 3i + ≤ Tập hợp Chú ý: Phần hình phẳng điểm biểu diễn z tạo thành hình phẳng Diện tích hình phẳng cần tính diện tích hình vành khăn màu xám Trang 20 A S = 25π B S = 8π C S = 4π D S = 16π hình vẽ đây: Hướng dẫn giải Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z A ( −1;3) điểm biểu diễn số phức −1 + 3i Khi AM = z − 3i + = ( a + 1) + ( b − 3) Suy 32 ≤ ( a + 1) + ( b − 3) ≤ 52 ⇔ 32 ≤ AM ≤ 52 Tập hợp điểm biểu 2 diễn z hình vành khăn giới hạn hai đường tròn ( A;3) ( A;5 ) , kể điểm nằm hai đường tròn S = 25π − 9π = 16π Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = + 8i +i z đường trịn Bán kính r đường trịn A r = 40 B r = 5 C r = D r = 10 Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z = tập hợp điểm biểu diễn số phức w = ( + 2i ) z + 3i đường trịn Toạ độ tâm bán kính r đường trịn A I ( 3;0 ) , bán kính r = 10 B I ( 3;0 ) , bán kính r = 10 C I ( 0;3) , bán kính r = 10 D I ( 0;3) , bán kính r = 10 Câu 3: Cho hai số phức z w = z + + 5i Biết w số ảo tập hợp diễn số phức z −i z lả đường trịn Bán kính r đường trịn A r = B r = 10 C r = D r = Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + − i = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Một đường thẳng B Một elip C Một đường tròn D Một hypebol Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = z + z − Tập hợp điểm biểu diễn z A Một đường tròn B Một elip C Một parabol D Một hypebol Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = z + + i Tập hợp điểm biểu diễn z A Một đường tròn B Một elip C Một parabol D Một đường thẳng ( ) Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z − = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = + i z + đường tròn Bán kính r đường trịn A r = B r = C r = 2 D r = Trang 21 Câu 8: Gọi A, B, C , D điểm biểu diễn số phức + 2i,1 + + i,1 + − i,1 − 2i mặt phẳng tọa độ Biết tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn, tâm đường trịn biểu diễn số phức có phần thực A B C D Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z + = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức ( ) w = + i z + i đường trịn Bán kính r đường trịn A B 36 C D Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z + − i + z − − i = 10 A 15π B 12π C 20π D 18π Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn ( z + 2i) ( z - 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A B 2 Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn C D 1+ z − 2i − i = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = +i iz z đường trịn Bán kính đường trịn A 13 B 13 C 13 D 13 Câu 13: Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn z − − 3i = z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 đường trịn có phương trình đây? 2 5  3  A  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2  B ( x − 10 ) + ( y − ) = 36 C ( x − 10 ) + ( y − ) = 16 5  3  D  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2  2 2 ( 2 ) Câu 14: Xét số phức z thỏa mãn z − 2i ( z + ) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A 2 B C D Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2iz + − 3i đường trịn Diện tích hình trịn giới hạn đường trịn A 9π B 36π C 6π D 18π Trang 22 ... số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu hai số phức vàlà số phức Tính chất phép nhân số phức Với ta có Phép nhân số phức Tích hai số phức vàlà số phức Phép chia số phức khác Số nghịch đảo số phức. .. + b2 = z1 − z2 = ⇔ a1.a2 + b1.b2 = −1 Ta có: z1 + z2 = 2a1 + a2 + ( 2b1 + b2 ) i ⇒ z1 + z2 = ( 2a1 + a2 ) + ( 2b1 + b2 ) = 2 (a 1 + b 12 ) + ( a 22 + b 22 ) + ( a1a2 + b1b2 ) Suy P = z1 + z2 =... 5i Số phức z = z1 + z2 A z = ? ?2 − 2i B z = ? ?2 + 2i C z = + 2i D z = − 2i Hướng dẫn giải z = z1 + z2 = + 3i + ( −4 − 5i ) = ? ?2 − 2i Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 = − 2i, z2 = + 3i Số phức