Bài 2 bài 2 QUY tắc TÍNH đạo hàm

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM BÀI QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm quy tắc cơng thức tính đạo hàm + Trình bày cách tìm đạo hàm thích hợp + Trình bày cách viết phương trình tiếp tuyến điểm  Kĩ + Tìm đạo hàm hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp + Viết phương trình tiếp tuyến giải toán liên quan + Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tính giới hạn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đạo hàm số hàm số thường gặp  c � 0,c số;  x � 1; � �1 � �x �  x2 ; ��  x � 21x ;  x  � n.x n1 n ( với n số tự nhiên) Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Cho hàm số u  u x ; v  v x có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ;  u v � u� v� ;  u v � u� v� � vu �;  � uv  uv � uv � vu � u� � �v � v2  v  v x �0 �� Chú ý: a)  k.v � kv�( k: số); � v� 1� b) � �v � v2  v  v x �0 �� Mở rộng:   u1 �u2 � �un  � u1��u2�� �un�;  w � u� v.w  uv � w  uv w.�  uv Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y  f  u x   f  u với u  u x �� Khi đó: y� x  yu.ux Bảng công thức đạo hàm số hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm hợp u  u x Trang  c � 0,c số  x � � u� �1 � �u �  u2 ��  u � 2u�u � �1 � �x �  x2 �� u  u  �  u�   x � 21x  1  x  � a.x   1 Đạo hàm hàm số lượng giác a) Giới hạn Định lý: lim x�0 sinx x sin x  x u x  Chú ý: Nếu hàm số u  u x thỏa mãn điều kiện: u x �0 với x �x0 xlim � x0 lim x� x0 sinu x u x  b) Đạo hàm hàm số y  sin x Định lý: Hàm số y  sin x có đạo hàm x��  sin x � cos x Chú ý: Nếu y  sinu u  u x  sinu � u� cosu c) Đạo hàm hàm số y  cos x Định lý: Hàm số y  cos x có đạo hàm x��  cos x �  sin x Chú ý: Nếu y  cosu u  u x  cosu � u� sinu d) Đạo hàm hàm số y  tan x Định lý:  Hàm số y  tan x có đạo hàm x �  k , k ��  tan x � cos2 x  Chú ý: Nếu y  tanu u  u x có đạo hàm K ,u x �  k  k �� với x�K u� cos2 u e) Đạo hàm hàm số y  cot x Khi K ta có:  tanu � Định lý: Trang Hàm số y  cot x có đạo hàm x �k , k��  cot x �  sin2 x Bảng đạo hàm hàm số lượng giác  sin x � cos x cosu  sinu � u�  cos x �  sin x sinu  cosu � u� cos2 x  cot x �  sin x u� cos2 u u�  cot u �  sin u  tan x �  tanu � Chú ý: Nếu y  cot u u  u x có đạo hàm K, u x �k  k �� với x�K Khi K ta u� sin2 u Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f  x điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến có:  cot u �  với đồ thị (C) hàm số điểm M  x0; y0   x0   x  x0   y0 Khi đó, phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x0; y0  là: y  y� Nguyên tắc chung để lập phương trình tiếp tuyến ta phải tìm hồnh độ tiếp điểm x0 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các quy tắc công thức tính đạo hàm Bài tốn Tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số Phương pháp giải Áp dụng bảng cơng thức quy tắc tính đạo hàm  Công thức đạo hàm   x � n.xn1 (với n số tự nhiên) n  Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Cho hàm số u  u x ;v  v x có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: a)  u1 �u2 � �un  � u1� �u2� � �u� n Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y  x3  3x2  2x  x Hướng dẫn giải � �2x  1� Ta có y�  x3 �  3x2 � � � � x �     3x2  6x   3x2  6x   2.x   2x  1 x2 x2 b)  uv w � u� v.w  uv � w  uv w� � uv � vu � u� c) � �v � v2  v  v x �0 �� Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số a) y   x  x  2020x x2 x b) y  Hướng dẫn giải � �3 � a) y�   x4 �  � x2 �  2020x � � y�  4x3  3x  2020 � �   b) y�    � x   x  1    x  1   x   x  1 �   x  1  x  2 x   x  1   x  1 2x  x x  x  1 1 x  x x  x  1 2 Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số a) y  x 2x  1  3x  2 b) y  x2  x x  Hướng dẫn giải     a) Ta có y  x 2x  1  3x  2  2x  x  3x  2 Khi � � y� � �2x  x  3x  2 �      2x2  x �  3x  2   3x  2 � 2x2  x     4x  1  3x  2  2x2  x  18x2  2x  b) Ta có     � y�  x2 �  x x  5�  2x  x� x  x �.x Trang  2x  x   2x  x x x Ví dụ 3: Chứng minh công thức tổng quát sau a b c d � a) �ax  b � (a, b, c, d số) ; �cx  d � � �  cx  d a b a c b c x 2 x � a1 c1 b1 c1 (a, b, c, a1, b1,c1 số) b) �ax  bx  c � a1 b1 � � �a1x  b1x  c1 � a1x2  b1x  c1   b c a.a1x2  2a.b1x  � a1 b1 (a, b, c, a1, b1 số) c) �ax  bx  c � � �  a1x  b1  � a1x  b1 � Hướng dẫn giải a) Ta có �  ax  b �  cx  d   ax  b  cx  d � �ax  b �  �cx  d � � �  cx  d   a cx  d   ax  b c  cx  d ad  bc  cx  d a b c d � Vậy �ax  b � �cx  d � � �  cx  d b) Ta có       � ax2  bx  c �a x2  b x  c  ax2  bx  c a x2  b x  c � �ax2  bx  c � 1 1 1 � � 2 �a1x  b1x  c1 � a x  b x c  1   2ax  b  a1x2  b1x  c1    ax2  bx  c  2a1x  b1   ax    b1x  c1   a1.c x   bc  b1.c  a.b1  a1.b x2  2 ac ax  b1x  c1  Trang a b a c b c x  x  � a1 c1 b1 c1 (điều phải chứng minh) Vậy �ax  bx  c � a1 b1 � � �a1x  b1x  c1 � a x2  b x  c  1  �  ax2  bx  c �  a1x  b1    ax2  bx  c  a1x  b1  � �ax2  bx  c � c) Ta có � � a x  b  ax1  b1  � 1 �  2ax  b  a1x  b1    ax2  bx  c a1   a1x  b1   a.a1x2  2a.b1x   bb  a1.c  a1x  b1  (điều phải chứng minh) b c a.a1x2  2a.b1x  � a1 b1 Vậy �ax  bx  c � � �  a1x  b1  � a1x  b1 � Bài toán Tìm đạo hàm hàm số hợp Phương pháp giải Nếu hàm số u  g x có đạo hàm x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số  � u� x hàm số y  f  u có đạo hàm u yu hàm hợp y  f  g x  có đạo hàm x �� y� x  yu.ux Công thức đạo hàm số hàm hợp thường gặp:  u  � nu u�  n��*  n1 n  u � 2u�u ;  y  x4  2x  2x2  Hướng dẫn giải � Ta có y� �  �x4  2x � � �  2x2    2x2  � � y�  x  2x x  2x  2x2          � y�  x4  2x 4x3    � y�  4x x3  2x3   � u� �1 � �u �  u2 �� 4x 2x2  2x 2x2  u  u x Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: �2x  1� a) y  � �; �x  � b) y  3x2  2x  Hướng dẫn giải a) Ta có: Trang 2 � �2x  1� 9 2x  1 3 �2x  1� �2x  1� � y  3.�  �.� � 3.� � �x  � �x  � �x  �  x  1  x  1  3x b) Ta có: y�    2x  � 6x  3x    3x2  2x  3x2  2x  3x2  2x  Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: 2 � 1 x � ; a) y  � � � �  x � � � � b) y  � x  � x� � Hướng dẫn giải � � � 1 x � 1 x � a) Ta có: y�  2� � � � � � 1 x � 1 x � � � � � � 1 x � 2  2� � � 1 x � � �1 x      x � 1 x x 1 x  � � � �� �� � � � b) Ta có: y� � x   x  x  � � � � �� � x �� x �� x� � � � � � � � � �1  2.� x   � � � x� � �2 x 2x x �  � � � 1� 1 � � � x � x� x� � x� � 1� � 1� � 1 � 1 � � � x� � x�  1 x2 Ví dụ 3: Tìm đạo hàm hàm số y  x2  1 2x  Hướng dẫn giải x Ta có: y�  x 1 2 2 x2  1 2x   x  x2    x2   x2   2x  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số f  x  ax  b , với a, b hai số thực cho Khẳng định sau đúng? Trang  x  a A f �  x  a B f �  x  b C f �  x  b D f � Câu 2: Đạo hàm hàm số f  x  x  5x  x  A – B – Câu 3: Hàm số y  C D 2x  có đạo hàm x1  B y�  A y�  x  1  C y�  x  1  D y�  x  1 Câu 4: Cho hàm số u  u x ,v  v x có đạo hàm khoảng J v x �0 với x�J Khẳng định sau sai? � A � u x  v x �  x  v�  x � � u� � v�x �1 �   B � � v x � v  x � � C � u x v x �  x v x  v�  x u x � � u� � u�x v x  v�x u x � u x �         D � � v x � v2  x � Câu 5: Tìm đạo hàm hàm số y   2x3  2x2  A y� x4 2x3   8 x 1 x2  2x3  2x2  C y� Câu 6: Cho hàm số y   1  4 A y�  2x3  2x2  B y� x2  2x3  2x2  D y� x2 x2  x Đạo hàm hàm số x  x  1  5 B y� Câu 7: Đạo hàm hàm số y   1 x3   1  3 C y�  1  2 D y� A y�  5 1 x3  B y�  15x2  1 x3  C y�  3 1 x3  D y�  5x2  1 x3  4 Câu 8: Hàm số  A y�  x  2 y 1 x  x2  2x có đạo hàm  B y�  2 x  2 C y�  D y�  1 x x2  2x  1 x x2  2x  1 x 2 Câu 9: Tìm đạo hàm hàm số y  x  2x  1  5x  3  40x2  3x2  6x A y�  40x3  3x2  6x B y� Trang  40x3  3x2  6x C y�  40x3  3x2  x D y� Câu 10: Đạo hàm hàm số y  x   x x  3x5  A y�  x x  6x5  B y�  x x  3x5  C y�  x x  6x5  D y�  x x 5� � Câu 11: Tìm đạo hàm hàm số y  �4x  � x � � 2 5� � 10 � � A y�  3� 4 � 4x  � � x � � x � � 5� � 10 � � B y�  3� 4 � 4x  � � x � � x � � 2 5� � C y�  �4x  � x � � 5� � 10 � � D y�  3�4 � 4x  � � x � � x � � Câu 12: Đạo hàm hàm số f  x   3x2 A 3x  3x B 2  3x Câu 13: Cho hàm số y  f  x  A y�  0  2 x  x2 C 2  3x2 D 3x  3x2  0 Giá trị y� B y�  0  Câu 14: Đạo hàm hàm số y  6x2 x2   0  C y�  0  D y� ax có dạng x  1 Khi a nhận giá trị sau đây? A a  4 B a  1 C a  D a  3 Câu 15: Tìm đạo hàm hàm số y  x2  x x   2x  x   A y�  C y� x  2x  x   B y� x x  2x  x   D y� x1 Câu 16: Tính đạo hàm hàm số sau y   x  2  x  3 A y�  3 x2  5x  6  2 x  3  x  2  x x x x B y�  2 x2  5x  6  3 x  3  x  2  D y�  3 x2  5x  6  2 x  3  x  2  x2  5x   2 x  3  x  2 C y� 3 Câu 17: Đạo hàm hàm số y    x2  3x  7 A y�  7 2x  3   x2  3x  7 B y�  7  x2  3x  7 Trang 10 Câu 21 uu r Đường thẳng  : x  y  1 có vectơ pháp tuyến là: n1   1;1 uu r Gọi  d : y  kx  m tiếp tuyến cần tìm � d có vectơ pháp tuyến n1   k; 1 uu r uu r n n u u r u u r 4 � cos n1, n2  � uu r uu r  Theo giả thiết, ta có: cos  41 41 41 n1 n2   k � � � 41 k   k  � 9k  82k   � � k � 2 +) Với k  d : y  9x  m � �x  6x  9x  9x  m  1 d tiếp xúc với (C) hệ � có nghiệm 3x  12x    2 � x  0��� m � y  9x � Ta có:  2 � 3x  12x  � � x  4��� m 32 � y  9x  32 � +) Với k  1 d : y  x  m 9 �3 x  6x2  9x  x  m 3 � � d tiếp xúc với (C) hệ � có nghiệm � 3x  12x    4 � Ta có:  4 � 27x2  108x  80  � x  18�2 21 �� Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn u cầu tốn có phương trình là: y  9x; y  9x  32 Câu 22 7 � 2� y� 3� x 4x� m 3�x m m � 3 � 3� y� m y� m x  3 7� 10 m �  1  1� �  1  1 � m Theo toán ta có: y� � � 3� Câu 23 �f  x Ta có y� � �f x �   � � f x2 f �  x  f  x 2x f �x2 �  T  x 2 � f x �        1  10 T  1  3, f  x  0,x�� Từ giả thiết ta có f � Do 10 f 1  3  1 � f  1  10 Câu 24 Trang 57 Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: x  1� y  � x3  3x  k x  1  �  x  1 x2  x   k  � �2 x  x  2 k  0 1 �   d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – �   1  � k  � � �� �� g  �   � � k �0 � Khi đó, d cắt (C) M  1;2 ,N  x1; y1  , P  x2; y2  với x1, x2 nghiệm (1) �S  x1  x2  Theo định lý Vi – ét: � �P  x1x2  k      x1  y�  x2   1� 3x12  3x22   1 Tiếp tuyến N P vng góc với � y� � 9x12x22  9 x12  x22    1� 9P  18P  9S2   1 � 9k2  18k  1 � k  3�2 3 Vậy tích phần tử S Câu 25 � 2a �  a; Giả sử A� Ta có y� �  x  2 � a 2� Phương trình tiếp tuyến (C) A:  a  2 x  y 4a  a  2  2a  � d  A,d  a 8 a  2  a  2  16 Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, khơng tính tổng qt giả sử xA  a  2 Đặt t  a  � t  Khi d A, d  Xét f  t  8t t  16 8t t4  16 f  t  f  2  t  0 , từ bảng biến thiên ta có max t0 Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến A lớn a  hay A 0;0 Do tính đối xứng nên B 4;4 Vậy AB  Câu 26 Đặt h x  f  x  g x   1  g�  1  h�  1  k Giả sử f � Trang 58  x  Ta có: h� f� g x  3� g 1  f  1 � g 1  f  1 �  x �  x � � � g� �f  x  3� �� k  k � � �� � � � 2 � � � g x  3� g 1  3� g 1  3� � � � � � � � g2  1  5g 1  f  1   Tồn g 1 � � 11 f 1 11  1 Câu 27  x0   x  x0   y x0    Phương trình tiếp tuyến điểm x0 y  y�  x0  1  x  x0   x0  � 2x  � � 0; Tọa độ giao điểm tiếp tuyến với trục tọa độ A 2x0  1;0 , B� �  x  1 � � �  2x0  1 �3 �   � x0  � � ;4� 2  x0  1 �4 � Suy SOAB Câu 28 d : 2x  y   � y  2x  � kd  2, y   2m 1 x4  m � y�  4 2m 1 x3 4 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y   2m 1 x  m điểm có hồnh độ x  1 ktt  y�  1  4 2m 1  1  4 2m 1 Ta có ktt.kd  1� 8 2m 1  1 � m 16 Câu 29 1 � 3�  Tập xác định: D  �\ � � Ta có y�  2x  3 �2 Tiếp tuyến d : y  kx  m cắt Ox, Oy hai điểm A, B nên m�0, k �0 �m �  ;0�, B�Oy nên B 0;m Do A �Ox nên A� �k � Do tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên OA  OB � Do k    2x0  3  nên k  1 Suy ra: k  1 � m �1 �  m � m2 �  1� � � k k1 �k � � x  1� y0  �  1�  2x0  3  1� �0 x0  2 � y0   2x0  3 � 1 + Phương trình tiếp tuyến (C) M1  1;1 là: y    x  1  1� y   x (loại) + Phương trình tiếp tuyến (C) M2  2;0 là: y    x  2 � y   x  Khi đó: k  m 1  3 Câu 30 Trang 59 �f �  2   2  x  2  f  2  3x  � � Phương trình tiếp tuyến  C1  A y  f � � �f  2  10 Phương trình tiếp tuyến  C1  B y  f�  2 �  f  2   x  2  f �f �  10   2   f�  2 �  10  x  2  f  10  6x  13� � � �f  10  25  10  x  2  f  10  24. x  2  25  24x  23 Phương trình tiếp tuyến  C3  C y  12 f � Câu 31   Gọi M x0; x0  2x0  tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M có dạng là: y  x0  2x0   x0  � y x02  2x0  x  x0  x  2x0   x  x0  3 x0 x02  2x0  Vì tiếp tuyến (C) M qua điểm A 1;a nên ta có: a x0  x02  2x0   3 x0 x02  2x0   a � � � a x02  2x0   � �2 a x0  2x0   x02  2x0  �   a � � � �2 a x0  2ax0  3a2   0 *  � Vì qua A kẻ hai tiếp tuyến đến (C) nên hệ phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt �a  a a � � 15 � �� �� � � 15 � 0 a  15 2 �  3a  5a  � �  3a   �  a � � 3 Vì a�� nên a  Câu 32 Nhận xét: hàm số cho hàm số chẵn có đạo hàm � Việc chứng minh hàm số có đạo hàm �, ta cần chứng minh hàm số có đạo hàm x  Thật vậy, ta có: lim x�0 y x  y 0 x  lim x�0 x  3x2 x  lim x�0 x2 x  3x2 x  lim x x  3x  nên hàm số có đạo hàm x  x�0 Vì hàm số cho hàm số chẵn nên đồ thị (C) đối xứng qua Oy Do từ điểm A trục Oy kẻ tiếp tuyến d đến (C) ảnh d qua phép đối xứng trục Oy tiếp tuyến (C) Vậy để qua điểm A trục Oy kẻ đến (C) ba tiếp tuyến điều kiện cần đủ có Trang 60 tiếp tuyến vng góc với trục tung tiếp tuyến với nhánh phải đồ thị (C), tức phần đồ thị hàm số y  f  x  x  3x  1, với x �0 Gọi M  0;m thuộc Oy    tiếp tuyến qua M  0;m có hệ số góc k Ta có:    : y  kx  m � �x  3x  1 kx  m Điều kiện tiếp xúc � 3x  6x  k �   2 Suy ra: x  3x  1 x 3x  6x  m� m 2x  3x  1 *  Yêu cầu đề tương đương phương trình (*) có nghiệm x  nghiệm x  Phương trình (*) có nghiệm x  nên m x � � Thử lại, với m (*) trở thành: 2x  3x  � (đúng) � x � Vậy m Câu 33     3 Gọi A x1; x1  3x1  , B x2; x2  3x2  với  x1 �x2  Do tiếp tuyến A, B song song với nên chúng có hệ số góc k  9 3k  � k  3 *  Khi phương trình 3x2  6x  k  có hai nghiệm phân biệt � �     2 2� 3 2 2 � � AB2   x2  x1   � x  x  x  x  x  x  x  x x  x  x  x   � 1 �2 � 1 2 � 2 � � �� � 32  �  x  x  x x  x  x �x1  x2   4x1x2 �      1 2 �� �� � � � Với x1  x2  x1x2   k 4 k  3 9  k  6 nên  1 � 32  �  k  9 k2   � k  (thỏa 3   mãn (*)) � x  1� A 1;3 � AB : x  y  Khi 3x  6x   � � x  3� B 3;1 � Do đường thẳng AB qua điểm N  4;2 Câu 34  x0   x  x0   y0  1 Phương trình tiếp tuyến elip điểm  x0; y0  y  y� Từ phương trình elip � y�  x0    2x 2y.y� b2x x2 y2 �   � y   , đạo hàm hai vế ta   a2 b2 a2y a2 b2 b2 x0  * a2 y0 Khi (*) vào (1) ta phương trình tiếp tuyến sau: Trang 61 y  b2x0 x.x0 y.y0 x02 y02 x.x y.y 2 2 2 x  x  y � a y  b x  b x x  a y y �    � 20  20   0 0 0 2 a y0 a b a b a b Do  x0; y0  thuộc elip nên x02 y02  1 a2 b2 Câu 35 Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số a  1 (P) cắt Ox điểm có hồnh độ x1  m 1 m  x2 ۳ m Do yêu cầu đề ۣ m 1ۣ Câu 36 Gọi M  x0; y0  � C  Phương trình tiếp tuyến M: y  3  2x0  1  x  x0   y0 Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoành trục tung � yB  Từ trọng tâm G OAB có tung độ yG  Vì G �d nên 2x02  4x0  3 2x0  1 2x02  4x0   2x0  1 yB 2n02  4n0   3 2n0  1  2m 2x02  4x0  6x0   2x0  1 6x02    1�1 Mặt khác: 2  2x0  1  2x0  1  2x0  1 ۳ Do để tồn điểm M thỏa mãn tốn 2m� Vậy giá trị nhỏ m m 3 Câu 37  3x2  m� y�  0  m Ta có M  0;1 m giao điểm  Cm  với trục tung y� Phương trình tiếp tuyến với  Cm  điểm M y  mx  1 m 1 m � � ;0�và Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hồnh trục tung, ta có tọa độ A� �m � B 0;1 m Nếu m tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả Nếu m�0 ta có:  1 m  16 � 1 1 m SOAB  � OAOB  8� 1 m  � 2 m m � m 9�4 � m 7�4 � Vậy có giá trị cần tìm Trang 62 Câu 38 Giả sử tiếp tuyến (d) (C) M  x0; y0  � C  cắt Ox A, Oy B cho OA  4OB Do OAB vuông O nên tan A  OB 1  � Hệ số góc (d)  OA 4 � � 3� x0  1�y0  � � 1 � 2�  0�   ��  x0    Hệ số góc (d) y� 2 � � 5�  x0  1  x0  1 x0  3�y0  � � � 2� � � � y    x  1  y   x � � 4 �� Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là: � � 13 � y    x  3  y   x � � � � 4 Câu 39 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm có hồnh độ x  là: y f�  1  x  1  f  1 Từ giả thiết ta có: f  1 3x  9x  f  1 x  1 Với x  thay vào (1) ta được: f  1   �f  1   1 � � �f  1  1  1 3x  9 3f  1 x f �  1 x (2) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta f  1 3x f �  1  9 3f2  1 �  1 (3) Với x  thay vào (2) ta được: f 1 � Trường hợp 1: Với f  1  thay vào (3) ta được:  (vô lý)  1  9 �  1 � f �  1  1 Trường hợp 2: Với f  1  1 thay vào (3) ta được: 6 f� Suy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm có hồnh độ x  y f�  1  x  1  f  1    x  1  1  x Vậy y   x Câu 40 Ta có M  a;b � C  � b  1 1 2a   k Lại có y� nên tiếp tuyến d M có hệ số góc a1  x  1  a  1 uuu r � � IM � a  1; Đường thẳng IM có vectơ phương nên có vectơ pháp tuyến a  1� � � r n  1; a  1   Trang 63   1  Do đường thẳng IM có hệ số góc k�  1� Để d  IM k.k� 1  a  1  a  1   a  1 a  1 a � �  1�  a  1  1� � �� a  1 1 � a �  a  1 Mà a  , nên a  b  Do a  b  Câu 41  x2  2mx  2m Ta có y� 1 Đường thẳng  d : x  2y   �  d : y   x  có hệ số góc k   2 k  1� y� 2 Gọi M  x0; y0  � C  Tiếp tuyến (C) M vng góc với d nên y� x0  x0  � x02  2mx0  2m  � x02  2mx0  2m  0 *  Yêu cầu toán � (*) có hai nghiệm trái dấu � 2m  � m Vì m nguyên dương nên m� 1;2 Câu 42  2  g�  2 k3  Theo đề ta có k1  k2  f � f�  2 g 2  g�  2 f  2 g2  2 Theo đề ta có k1  k2  2k3 �0 nên ta có phương trình f� g 2  f  2 �  2 � � � f �2 � g2  2g  f          g  2 2 Do g 2 giá trị thuộc tập giá trị hàm số nên phương trình g  2  2g 2  f  2  có � 0 1 f 2 nghiệm ����  2 Câu 43  Hàm số xác định với x �1 Ta có: y� 4  x  1  x0   x  x0   y0 Gọi M  x0; y0  tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y  y� Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vng góc với  x0   �1 hai đường phân giác y  �x , hệ số góc tiếp tuyến �1 hay y�  0,x �1 nên ta có Mà y� y�  x0   1� 4  x0  1  1� x0  1, x0  Trang 64  x0  1� y0  �  : y   x   x0  3� y0  �  : y   x  Câu 44  x   f �  2 x h�  x  � f �  2 x  Ta có h� x  12 � �  12  x  1 x g  x  � � (Vì g x  0,x ) x  1 �  x Từ ta có bảng xét dấu h� Chú ý đạo hàm hàm số h x điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị tan Câu 45 Vì M �d : 2x  y  1 nên M  m;2m 1 Tiếp tuyến (C) qua M có phương trình dạng y  k x  m  2m �x  �x   k x  m  2m 1 1 � Từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới (C) hệ � 4 có �  k   � � x  1 nghiệm Thay (2) vào (1), ta được: x 4  x  m  2m 1�  x  3  x  1  4 x  m   2m 1  x  1 ,  x �1 2 x   x  1 Lần lượt thử phương án: Với m 1 phương trình trở thành 2x2  4x   có nghiệm x  1 Vậy m 1� M  1;1 Câu 46  Ta có y� 3  x  1 Gọi M  x0; y0  tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  có dạng: y  3  x0  1  x  x0   2x0  x0  Trang 65  �y  � 2x   �Ox  A : � 3 x  x0   0  � x  1 x  � �2x2  2x0  � ;0� Suy A� � �  �x  � 3x0 2x   �Oy  B : � y  �  x  1 x0  � � 2x2  2x  1� � 0; Suy ra: B� �  x  1 � � � 1 �2x2  2x0  1� Diện tích tam giác OAB: S  OAOB  � � � x0  � �2x2  2x0  1� Suy SOAB  � � � � x0  � � x  0, x   0 � � � 2x  2x0  1 x0  2x  x  �� �� �� 2x0  2x0  1  x0  � 2x0  3x0   � � x0  , x0  2 � � 2 Từ ta tìm tiếp tuyến là: y  3x  1, y  3x  11, y  12x  2, y   x  3 Câu 47  x  f  2x  1  2x f �  2x  1 � g�  1  f 1  �  1 Ta có: g� d1 có hệ số góc f �  1 d2 có hệ số góc g�  1  f 1  �  1 2� Mà d1  d2 � f �  1 g�  1  1� f�  1 �  1 �  1  1 �  1  f� � 1�  1  f 1 �  1 ��۳  1 Để tồn f� f  1 2 Câu 48  2 , k2  g�  2 ;k3  Ta có: k1  f � f�  2 g 2  f  2 g�  2 g  2  k1.g 2  k2 f  2 g2  2 Mà k1  k2  2k3 �0 nên ta có: k3  2k3.g 2  2k3 f  2 g  2 2 1 1 � f  2   g2  2  g 2   � g 2  1�  � � � 2 2 Câu 49 Trang 66  3x2  2 m 1 x Ta có: y� Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x   m 1 x  2m 1 x  m � x3   m 1 x2  x  m 0 *  �A a;a  m 1 � Gọi �B b;b  m 1 tọa độ giao điểm (C), d a, b, c đôi khác � C  c;c  m 1 �    a  f �  b  f �  c  19 � a2  b2  c2  2 m 1  a  b c  19 Theo đề ta có f � � 3�  m 1  a  b  c  19 �a  b c  2 ab  bc  ca � �  a  b  c  m � Mặt khác từ (*) � � ab  bc  ca  1 � 2  2 m 1  19 �  m 1  13 � m � 13  �m 1  2� Do ta có 3� � Vậy tổng giá trị m1  m2  2 Câu 50  3x2  2mx  m Gọi M  x0; y0  � C  suy hệ số góc tiếp tuyến (C) M có hệ số Ta có: y� 2 � �m2  3m� � m� �m � k  y x  x  m x  m  x    m góc  0 �� � � 0 �0 � �3 � � � � � � Để đường thẳng tiếp xúc với (C) có hệ số góc dương thì: �m2  3m� �m2  3m� � � � � � � 3 m � � � � � Tập giá trị nguyên m là: T   2;1 Vậy tổng phần tử T là: -3 Câu 51 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  C : y  x2  2mx  m trục hoành x m � x2  2mx  m �x  2mx  m 0 *   0� � x m �x �m Trang 67 Đồ thị hàm số y  x2  2mx  m cắt trục Ox hai điểm phân biệt � phương trình (*) có hai nghiệm x m �� m � � �  m  m �� � m �� phân biệt khác m� � 3m  m�0 � � m� � � 2 Gọi M  x0; y0  giao điểm đồ thị (C) với trục hồnh y0  x0  2mx0  m hệ số góc tiếp tuyến với (C) M là:  2x0  2m  x0  1   x02  2mx0  m k  y�  x0    x0  m  2x0  2m x0  m Vậy hệ số góc hai tiếp tuyến với (C) hai giao điểm với trục hoành k1  2x1  2m 2x  2m , k2  x1  m x2  m �2x  2m� �2x2  2m� Hai tiếp tuyến vng góc � k1.k2  1� � � � � 1 x  m x  m � � � � � 4� x1x2  m x1  x2   m2 � x1x2  m x1  x2   m2 � � �  � � � **  m �x1x2  m � Ta lại có � , (**) � m  5m � � Nhận m m � �x1  x2  2m Câu 52 Do y  f  x có đồ thị cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3, x4 nên f  x  a x  x1   x  x2   x  x3   x  x4  , a �0 � f�  x  a x  x2   x  x3   x  x4   a x  x1   x  x3   x  x4   a x  x1   x  x2   x  x4   a x  x1   x  x2   x  x3   x1   a x1  x2   x1  x3   x1  x4   1 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) A k1  f �  f�  x  4ax3  3bx2  2cx  d � f �  x1   4ax13  3bx12  2cx1  d  2 Ta có y�  x1   4ax13  3bx12  2cx1  d Từ (1) (2) ta suy k1  f �  x2   a x2  x1   x2  x3   x2  x4   2ad3 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) B k2  f � Do hai tiếp tuyến (C) A, B vng góc với nên  k1.k2  1� 12 ad3   1� a2d6  12 Ta có: f �  x3   a x3  x1   x3  x2   x3  x4   2ad3 � �  x3  � �f � � 4a d  Trang 68 f�  x4   a x4  x1   x4  x2   x4  x3   6ad3 � �  x4  � �f � � 36a d  Vậy S  3�  x3  �  x4  � �f � � � �f � � 2 Câu 53 Ta có: � �f  1 2x � � x  � �f  1 x � �  1 � 4� f�  1 2x  1 3�  1 x  2 �f  1 2x � � �f  1 x � � f � Cho x  �f  1   1 � � �f 1 � � � �  1 � � � � �f  1  1  2 � f 1 �  1  1 3�  1 �f 1 � � � Ta thấy f  1  không thỏa mãn, với f 1  1� �  1   Phương trình tiếp tuyến là: y   x  7 Câu 54 Từ giả thiết f  2x  f  1 2x  12x ,x��(*) Chọn x  0, x  ta � f 0  � � f 1  �  1  � �f  0  1 ��  0  �f  1   2x  f �  1 2x  24x,x�� Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f � Chọn x  0, x  ta � f�  0  �  1  �  0  � �f � � � � f�  1  �  0  12 �f �  1  � Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  4 x  1   4x  Câu 55 Từ giả thiết � �f  1 2x � � x  � �f  1 3x � �,x ��(*) 2 Chọn x  ta f  1   3 �f  1   1 � � �f  1  1 Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f  1 2x f �  1 2x  1 f  1 3x  f �  1 3x , x��  1  1 9f2  1 �  1 Chọn x  ta f 1 � f  1  � vô lý Trang 69 Suy f  1  1 f �  1   13 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y    x 12  x  1  1  13 13 13 Câu 56 �f  2  3 � � � � f   � � � �     � f  x   f x   10 x Từ � (*), cho ta có x      � � � � � � � � �f  2  1 Đạo hàm hai vế (*) ta 2 f   x  2 f �   x  2  3�  x  2  10 �f  x  2 � � f � Cho x  ta 2 f 2 �  2  �  2  10 �f 2 � � � � f 2 � 3f  2  2�  2 � � � 10 (**) Nếu f  2  (**) vơ lý  2  3 2  10 � �  2  Nếu f  2  1, (**) trở thành  f� Phương trình tiếp tuyến y  2 x  2  1� y  2x  Câu 57 Đường tròn    : x2   y 1  có tâm I  0;1 , bán kính R  2  4x3  4mx � y�  1   4m Ta có A 1;1 m ; y� Suy phương trình  : y   4 4m  x  1  1 m �3 � Dễ thấy  qua điểm cố định F � ;0�và điểm F nằm đường tròn    �4 � Giả sử  cắt    M, N Thế ta có: MN  R2  d2  I ;   4 d2  I ;  Do MN nhỏ � d I ;  lớn � d I ;    IF �   IF r uur �3 �r ; u   1;4  4m nên ta có: Khi đường  có vectơ phương u  IF  � ;1� �4 � rr 13 un  �    4m  � m 16 Câu 58 Từ giả thiết f  2x  f  1 2x  4x  x ,x �� *  Trang 70 � f 0  � Chọn x  0, x  ta � 2 f 1  � � � f  0   � � 12 1� �  0  � �f  1   1   2x  f �  1 2x  12x2  2x,x�� Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f � � � f    � � � � f  0   1  � � �� Chọn x  0, x  ta � 2 f�  1  �  0  �f � �  1  � Suy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm có hồnh độ y  1 x  y  x  3 12 1 1 Do a  ;b  ;a1  ;b1  3 12 Vậy 2a  5b 46  3b1  2a1 Trang 71 ...  20 18 20 18 x  20 17 2x  1 20 17x  1  20 1 920 17  2. 201 920 17  3 .20 1 920 17   20 18 .20 1 920 17  20 1 920 17  1  3  20 18 Suy f �  20 1 920 17 20 18 .20 19  1009 .20 1 920 18 Câu 23 x2 a2 ... v2  x � Câu 5: Tìm đạo hàm hàm số y   2x3  2x2  A y� x4 2x3   8 x 1 x2  2x3  2x2  C y� Câu 6: Cho hàm số y   1  4 A y�  2x3  2x2  B y� x2  2x3  2x2  D y� x2 x2  x Đạo. .. 1 2cos2 x  cos4 x 1 2sin2 x  sin4 x  cos4 x  2sin4 xcos2 x  2sin2 xcos4 x   cos2 x  sin2 x  2sin2 xcos2 x  2sin2 xcos2 x cos2 x  sin2 x  Trang 12  1�  Vậy y� Ví dụ 2: Tính đạo