Bài 1 QUY tắc đếm – HOÁN vị CHỈNH hợp – tổ hợp

CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT BÀI QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững quy tắc cộng, quy tắc nhân + Hiểu phân biệt khái niệm: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Kĩ + Vận dụng quy tắc cộng nhân cho toán đếm + Giải dạng toán đếm liên quan đến tổ hợp, chỉnh hợp + Giải phương trình liên quan đến cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các quy tắc đếm Mở rộng: Một công việc hoàn thành a) Quy tắc cộng k phương án A1 , A2 , A3 , , Ak Định nghĩa Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m Nếu phương án A1 có m1 cách thực hiện, phương án A2 có m2 cách thực hiện,… cách thực hiện, phương án B có n cách thực phương án Ak có mk cách thực khơng trùng với cách phương án A cách thực phương án cơng việc có m  n cách thực khơng trùng cơng việc có Cơng thức Nếu A, B tập hợp không giao n  A �B   n  A   n  B  m1  m2  m3   mk cách thực Cho tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: b) Quy tắc nhân Định nghĩa Một cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với A1 �A2 � �An  A1  A2   An Mở rộng: Một cơng việc hồn thành cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp có m.n cách thực Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, Công thức Nếu A, B tập hữu hạn phần tử n  A �B   n  A  n  B  hành động A2 có m2 cách thực hiện, , hành động Ak có mk cách thực cơng việc có m1.m2 m3 mk cách hồn Hốn vị Định nghĩa thành Một tập hợp gồm n phần tử  n �1 Mỗi cách xếp n Cho tập A1 , A2 , , An hữu hạn phần tử phần tử theo thứ tự gọi hốn vị n Khi đó: A1 �A2 � �An  A1 A2 An phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn  n !  1.2.3 n Hoán vị lặp Quy ước: 0!  Cho k phần tử khác a1 , a2 , , ak Mỗi cách xếp n !   n  1 !n n phần tử gồm n1 phần tử a1 ; n2 phần tử a2 ; ; nk n!   p  1  p   n p! phần tử ak  n1 , n2 , , nk  n  theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu  n1 , n2 , , nk  k phần tử ( với n, p ��, n  p ) n!   n  p  1  n  p   n  n  p ! Trang Số hoán vị lặp cấp n kiểu  n1 , n2 , , nk  k phần tử là: Pn  n1 , n2 , , nk   (với n, p ��, n  p ) n! n1 !n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vòng quanh n phần tử là: Qn   n  1 ! Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A  �k �n  theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank  n  n  1  n    n  k  1  Công thức cho trường hợp k  n!  nk! k  n n Khi k  n An  Pn  n ! Chỉnh hợp lặp Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A , phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank  n k Tổ hợp Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k  �k �n  Quy ước: Cn  phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp tử Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công Số tổ hợp chập k n phần tử: thức: Ank n! C   k ! k ! n  k  ! k n Tính chất Cn0  Cnn  1; Cnk  Cnk11  Cnk1 ; Cnk  Cnn  k ; Ank  k !Cnk + Chỉnh hợp: có thứ tự + Tổ hợp: khơng có thứ tự + Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử ta dùng chỉnh hợp Ngược Trang kCnk  nCnk11 ; Cnk   k  1 kCnk   n  1 nCnk11 n  k  k 1 Cn ; k lại, tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử 1 Cnk  Cnk11 ; k 1 n 1  k �n  k + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cn Tổ hợp lặp Cho tập A   a1 ; a2 ; ; an  số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử tập hợp gồm k phần k + Có thứ tự, khơng hồn lại: An + Có thứ tự, có hồn lại: Ank tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk  Cnk k 1  Cnnk11 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA QUY TẮC CỘNG Công việc A Phương án cách Phương án … Phương án cách … cách cách Trang QUY TẮC NHÂN Công việc A Hành động cách Hành động … Hành động cách … cách cách II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Quy tắc đếm Phương pháp giải Để đếm số cách lựa chọn thực cơng việc Ví dụ Một trường THPT cử học sinh dự A quy tắc cộng, ta thực bước: trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12B Biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến Hỏi nhà trường có cách chọn? Bước 1: Phân tích xem có phương án Hướng dẫn giải riêng biệt để thực cơng việc A (có nghĩa cơng Nhà trường chọn học sinh tiên tiến lớp việc A hồn thành 11A lớp 12B phương án A1 ; A2 ; ; Ak Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ; x2 ; ; xk phương án A1 ; A2 ; ; Ak Chọn học sinh tiên tiến lớp 11A có 31 cách chọn Chọn học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 cách chọn Bước 3: Dùng quy tắc cộng, ta tính số cách Theo quy tắc cộng, số cách cử học sinh dự lựa chọn để thực công việc A trại hè là: 31  22  53 (cách) x  x1  x2  xk Ví dụ Một bó hoa có bơng hoa hồng trắng, Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A hoa hồng đỏ bơng hoa hồng vàng Hỏi có quy tắc nhân, ta thực bước: cách chọn lấy ba bơng hoa có đủ ba màu? Trang Bước 1: Phân tích xem có cơng đoạn liên Hướng dẫn giải tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả Để lấy ba hoa có đủ ba màu ta sử A hồn thành sau cơng đoạn lấy loại bơng A1 ; A2 ; ; Ak hồn thành) Số cách lấy hoa hồng trắng cách Bước 2: Đếm số cách chọn x  x1  x2  xk Số cách lấy hoa hồng đỏ cách công đoạn A1 ; A2 ; ; Ak Số cách lấy hoa hồng vàng cách Theo quy tắc nhân ta có số cách lấy ba bơng có đủ Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa ba màu là: 5.6.7  210 chọn để thực công việc A x  x1  x2  xk Ví dụ mẫu Ví dụ Một người có quần khác nhau, áo khác nhau, cà vạt khác a) Để chọn quần áo cà vạt số cách chọn A 13 B 72 C 12 D 30 Hướng dẫn giải Số cách chọn quần cách Số cách chọn áo cách Số cách chọn cà vạt cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn là:    13 (cách) Chọn A b) Số cách chọn gồm quần, áo cà vạt A 13 B 72 C 12 D 30 Hướng dẫn giải Số cách chọn quần cách Số cách chọn áo cách Số cách chọn cà vạt cách Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 4.6.3  72 (cách) Chọn B Ví dụ Trên giá sách có 10 sách Văn khác nhau, sách Toán khác sách Tiếng Anh khác Hỏi có cách chọn hai sách khác môn? Hướng dẫn giải Theo quy tắc nhân, ta có: Có 10.8  80 cách chọn sách Văn sách Toán khác 10.6  60 cách chọn sách Văn sách Tiếng Anh khác Trang 8.6  48 cách chọn sách Toán sách Tiếng Anh khác Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai sách khác môn 80  60  48  188 (cách) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Một học sinh muốn chọn đồ vật bút chì bút bi tập số cách chọn khác A 480 B 24 C 48 D 60 Câu 2: An muốn qua nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường đến nhà Cường? A B C 10 D 24 Câu 3: Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ A đến D mà qua B C lần? A B 10 C 18 D 24 Câu 4: Có cách cắm bơng hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không một bông)? A 60 B 10 C 15 D 720 Câu 5: Một thi có 15 người tham dự, giả thiết khơng có hai người có điểm Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể? A 2730 B 2703 C 2073 D 2370 Dạng 2: Các toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Phương pháp giải Hoán vị: Một tập hợp gồm n phần tử  n �1 Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử tập A  �k �n  theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 �k �n) phần tử tập A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ví dụ mẫu Ví dụ Từ số tự nhiên 1, 2,3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Hướng dẫn giải Mỗi cách xếp thứ tự bốn chữ số 1, 2,3, ta số tự nhiên theo yêu cầu đề Do số số tự nhiên có bốn chữ số khác lập từ chữ số 1, 2,3, là: 4!  24 Trang Ví dụ Có cách xếp học sinh có An Bình vào hàng ghế dài gồm ghế cho An Bình ngồi hai ghế đầu? Hướng dẫn giải An Bình ngồi đầu ngồi cuối, hốn đổi cho nên có 2! cách xếp Xếp vị trí cho bạn cịn lại, ta có 5! cách xếp Vậy ta có 2!.5!  240 cách xếp Ví dụ Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? Hướng dẫn giải Có 8! cách xếp người Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh Khi có 2!.7! cách xếp người cho hai giáo viên đứng cạnh Mà hai giáo viên không đứng cạnh nên số cách xếp 8! 2!.7!  30240 cách xếp Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, ,9? A 15120 B 95 C 59 D 126 Hướng dẫn giải Số số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, ,9 số cách xếp thứ tự chữ số khác từ chữ số cho Do số số thỏa mãn là: A9  15120 Chọn A Ví dụ Có cách xếp học sinh ngồi xung quanh bàn tròn có Hốn vị vịng quanh: Cho ghế? tập A gồm n phần tử Hướng dẫn giải Một cách xếp n phần Xếp học sinh theo hình trịn nên ta phải cố định vị trí bạn, sau xếp tử tập A thành vị trí cho bạn cịn lại có 7! cách dãy kín gọi Vậy có 7!  5040 cách hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử Qn   n  1 ! Ví dụ Trong túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng Các viên bi khác có kích cỡ Tính số cách lấy viên bi xếp chúng vào ô cho bi có viên bi đỏ Hướng dẫn giải Trang Bước 1: Chọn bi Số cách chọn viên bi C45 cách Số cách chọn viên bi khơng có viên bi đỏ C35 cách Số cách chọn viên bi có viên bi đỏ C45  C355 cách Số cách xếp viên bi vào ô 5! Theo quy tắc nhân ta có 5!  C  C 45 35   107655240 (cách) Bước 2: Sắp xếp viên bi Ví dụ Một thầy giáo có 10 sách khác có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Thầy muốn lấy tặng cho em học sinh A, B, C , D, E em Hỏi thầy giáo có cách tặng cho em học sinh cho số sách lại có đủ ba loại? Hướng dẫn giải Trường hợp 1: Tặng hết sách Toán Số cách chọn sách Toán cách Số cách chọn lại cách Vậy có cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A5  120 cách Tìm tốn đối tìm số cách cho sau tặng sách xong có mơn hết sách Vậy có 6.120  720 cách Trường hợp 2: Tặng hết sách Lí Số cách chọn sách Lí cách Số cách chọn cịn lại C7 cách Vậy có 21 cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A5  120 cách Vậy có 21.120  2520 cách Trường hợp 3: Tặng hết sách Hóa: Tương tự trường hợp có 2520 cách Số cách chọn 10 tặng cho em C105 A55  30240 cách Vậy số cách chọn cho sau tặng xong, loại sách cịn lại 30240  720  2520  2520  24480 (cách) Ví dụ Có cách xếp người vào toa tàu cho trống toa? Hướng dẫn giải Ta thực bước sau: Trang Chọn toa toa để xếp người, ta có C7 cách chọn Chọn toa chọn người lên toa có C5 C4 cách chọn Xếp người vào toa cịn lại chọn, có 3! cách chọn Vậy số cách xếp thỏa mãn đầu là: C7 C5 C4 3!  8400 (cách) Bài tập tự luyện dạng * Câu 1: Cho tập A có n phần tử  n ��  , khẳng định sau sai? A Số hoán vị  n  1 phần tử Pn  1.2.3  n    n  1 n k B Số chỉnh hợp chập k n phân tử An  k C Số tổ hợp chập k n phần tử Cn  n! *  n  k  ! với k �n, k �� n! với k �n, k �� k ! n  k  ! n D Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn  An Câu 2: Một tổ gồm có bạn học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn bạn ln có bạn nam nữ? A 120 (cách) B 126 (cách) C (cách) cho D 60 (cách) Câu 3: Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam 10 nữ, có cách chọn nhóm người cho có nam có nữ? A 12900 (cách) B 450 (cách) C 633600 (cách) D 15494 (cách) Câu 4: Có cách xếp bạn nam, bạn nữ giáo ngồi vào bàn trịn có chỗ cho cô giáo ngồi bạn nữ? A (cách) B 72 (cách) C 12 (cách) D 36 (cách) Câu 5: Một trường cấp có giáo viên toán gồm nữ nam, giáo viên vật lý có giáo viên nam Có cách chọn đồn tra có người có đủ hai mơn tốn lý vả có đủ giáo viên nam giáo viên nữ? A 90 (cách) B 60 (cách) C 12960 (cách) D 120 (cách) Câu 6: Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ tới 10 20 cầu xanh đánh số từ 11 tới 30 Lấy hai hộp Có cách lấy hai cầu có số chẵn? A 210 (cách) B 55 (cách) C 50 (cách) D 105 (cách) Câu 7: Cho hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu xanh, cầu đỏ Hộp thứ hai có chứa cầu xanh, cầu vàng Lấy hộp cầu Có cách lấy tổng cộng mà có đủ màu? A 981 (cách) B 2184 (cách) C 1944 (cách) D 630 (cách) Câu 8: Có cách chia quà khác cho người cho người có quà, người quà, người có quà? A 381024 (cách) B 30240 (cách) C 5040 (cách) D 7560 (cách) Trang 10 Nhận xét 2016      gồm 2015 dấu  Chọn dấu  2015 dấu  để hình thành số a, b, c có C2015 cách Suy có C2015 cách chọn số có tổng 2016 (tính hoán vị) Ta xét trường hợp: Trường hợp : a  b  c  672, có số Trường hợp 2: có số nhau, chẳng hạn a  b �c � 2a  c  2016 Khi c chẵn c   1008  a  Vì a �1 nên c �2014 Do c � 2; 4;6; ; 2014 \  672 Vậy có 1006 cách chọn c Bộ  a; a; c có hốn vị Vậy số cách chọn trường hợp 1006.3  3018 cách a �b �c � Vây có C2015   3018  2026086 số abc thỏa mãn � a  b  c  2016 � Mỗi số  a; b; c lập có 3!  cách hốn đổi vị trí Do số cách lập số  a; b; c thỏa yêu cầu a  b  c 2026086  337681 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Từ chữ số 0,1, 2,3,5 lập số gồm chữ số khác không chia hết cho 5? A 72 B 120 C 54 D 69 Câu 2: Có số tự nhiên có sáu chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền chữ số ? A 249 B 1500 C 3204 D 2942 Câu 3: Có số tự nhiên nhỏ 1000 lập từ chữ số 0,1, 2,3, 4? A 125 B 120 C 100 D 69 Câu 4: Lập số tự nhiên có chữ số khác chọn từ tập A   1; 2;3; 4;5 cho số lập ln có mặt chữ số 3? A 72 B 36 C 32 D 48 Câu 5: Cho tập A   0;1; 2;3; 4;5;6 từ tập A lập số tự nhiên có chữ số chia hết cho 2? A 1230 B 2880 C 1260 D 8232 Trang 17 Câu 6: Có số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số 3? A 3204 số B 249 số C 2942 số D 7440 số Câu 7: Có số có chữ số viết từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 cho số chia hết cho 15? A 234 B 243 C 132 D 432 Câu 8: Từ chữ số 1; 2;3; 4;5; lập số tự nhiên chẵn có sáu chữ số thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số số khác chữ số hàng nghìn lớn 2? A 720 số B 360 số C 288 số D 240 số Câu 9: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 5;6;7;8;9 Tính tổng tất số thuộc tập S A 9333420 B 46666200 C 9333240 D 46666240 Câu 10: Từ chữ số 2,3, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần? A 1260 B 40320 C 120 D 1728 Dạng Các tốn liên quan đến hình học Phương pháp giải Một số kết thường gặp • Cho n điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng + Số đường thẳng qua điểm: Cn2  n  n  1 + Số vectơ nối hai điểm bất kì: n r + Số vectơ khác nối hai điểm bất kì: An  n  n  1 + Số tam giác tạo thành: Cn3  n  n  1  n   + Nếu n điểm điểm đồng phẳng số tứ diện tạo thành: Cn • Cho đa giác lồi n đỉnh: + Số đường chéo đa giác: Cn2  n  n  n  3 + Số đường chéo qua đỉnh đa giác: n  + Nếu khơng có đường chéo đồng quy số giao điểm đường chéo Cn4  n  n  1  n    n  3 24 + Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: Cn3  n  n  1  n   + Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: nCn   n  n   + Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: n Trang 18 + Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác: C  n  n  n    n n  n  9n  20  + Số tam giác vuông: Khi n chẵn: số tam giác vuông n.C n Khi n lẻ: số tam giác vuông + Số tam giác tù: Khi n chẵn: số tam giác tù n.C n  2 Khi n lẻ: số tam giác tù n.C n 1 + Số tam giác nhọn = số tam giác - (số tam giác vuông + số tam giác tù) �2 � C n  C n2 � Khi n chẵn: số tam giác nhọn Cn  n � �2 � Khi n lẻ: số tam giác nhọn Cn  n.C n 1 Cho đa giác 2n đỉnh n �2 : + Số đường chéo xuyên qua tâm  n số hình chữ nhật: Cn2  n  n  1 + Số tam giác vuông:  2n   n MỘT SỐ KẾT QUẢ HAY GẶP VỀ TAM GIÁC Số đỉnh đa giác Số tam giác cân Số tam giác Số tam giác cân 2n 6n  3n  1  2.2n không 6n  3n  1  3.2n 6n  6n  6n  2n  6n  6n   6n  1 3n  6n   3n  6n  3  3n  1   2n  1  6n    3n  1  6n  5  3n    6n  1 3n  6n   3n  6n  3  3n  1   2n  1  6n    3n  1  6n  5  3n   6n Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 25 điểm nói trên? Hướng dẫn giải Số tam giác lập thuộc hai loại sau: Loại 1: Hai đỉnh thuộc d1 đỉnh thuộc vào d Số cách chọn hai điểm 10 điểm thuộc d1 C10 Trang 19 Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc d C15 Loại có C10 C15 tam giác Loại 2: Một đỉnh thuộc d1 hai đỉnh thuộc d Số cách chọn điểm 10 điểm thuộc d1 C10 Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d C15 Loại có: C10 C15 tam giác 1 Vậy có tất cả: C10C15  C10C15 tam giác thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Hỏi đa giác có cạnh? Hướng dẫn giải Đa giác có n cạnh  n  �, n 3 Số đường chéo đa giác là: Cn  n Ta có: Cn  n  2n � n7 � n!  3n � n  n  1  6n � � � n  (vì n �3 ) n0  n   !.2! � Vậy đa giác có cạnh Ví dụ Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d2 có n điểm phân biệt  n �2  Biết có 1725 tam giác có đỉnh ba số điểm thuộc d1 d nói Tìm n Hướng dẫn giải Để tạo thành tam giác có hai khả năng: Lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d 2 Tổng số tam giác tạo thành là: S  C10 Cn  C10 Cn Theo giả thiết có S  1725 2 Ta có phương trình C10 Cn  C10 Cn  1725 � 10 n! n!  45  1725 2!  n   !  n  1 ! � 5n  n  1  45n  1725 � 5n  40 n  1725  n  15 � �� � n  15 (vì n �2 ) n  23 � Vậy n  15 Ví dụ Trong mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với 2018 đường thẳng song song khác cắt nhóm 2017 đường thẳng Tính số hình bình hành nhiều tạo thành có đỉnh giao điểm nói Hướng dẫn giải Trang 20 Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song Vì số hình bình hành tạo thành số cách chọn cặp đường thẳng song song hai nhóm đường thẳng Chọn đường thẳng song song từ 2017 đường thẳng song song có C2017 (cách) Chọn đường thẳng song song từ 2018 đường thẳng song song có C2018 (cách) 2 Vậy có C2017 C2018 (hình bình hành) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Đa giác lồi 20 đỉnh có tất đường chéo? A 40 B 360 C 190 D 170 Câu 2: Trong mặt phẳng có 30 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng khác vectơ - không mà điểm đầu điểm cuối lấy từ 30 điểm trên? A 870 B 435 C 302 Có vectơ D 230 Câu 3: Tính số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt khơng có ba đường đồng quy hai đường song song? A 90 B 35 C 45 D 19 Trên d lấy 10 điểm phân biệt, d �lấy 15 điểm phân Câu 4: Cho hai đường thẳng song song d , d � biệt Hỏi có tam giác mà đỉnh chọn từ 25 đỉnh nói trên? A 1050 B 675 C 1725 D 708750 Câu 5: Từ điểm A, B, C , D, E khơng thẳng hàng, ta lập tam giác? A C5  10 (tam giác) B A5  60 (tam giác) C P5  120 (tam giác) D P3  (tam giác) Câu 6: Trong mặt phẳng cho đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với cắt đường cho Hỏi có hình bình hành tạo nên từ 14 đường thẳng cho? 2 A C6 C6 (hình) 2 B A6 A8 (hình) C C14 (hình) D A14 (hình) Câu 7: Cho đa giác có n đỉnh n �� n �3 Giá trị n biết đa giác có 90 đường chéo? A 15 B 12 15 C 18 D � Câu 8: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt cho ba điểm khơng thẳng hàng Hỏi có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối thuộc 2010 điểm cho? A 4039137 B 4038090 C 4167114 D 167541284 Câu 9: Cho 20 đường thẳng có nhiều giao điểm? A 40 B 380 C 190 D 144 Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt  n �2  Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm nói Giá trị n A 20 B 21 C 30 D 32 Trang 21 Câu 11: Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt  n �2  Biết có 1725 tam giác có đỉnh ba số điểm thuộc d1 d nói Giá trị n A 13 B 15 C 14 D 16 Câu 12: Cho đa giác 2018 đỉnh Hỏi có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc ? lớn 100� A 2018.C897 B C1009 C 2018.C895 D 2018.C896 ĐÁP ÁN BÀI QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Dạng Quy tắc đếm 1–B 2–D 3–D –A –A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn khác là:   10  24 (cách) Câu Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn đường để An đến nhà Cường 4.6  24 (cách) Câu Theo quy tắc nhân, số cách từ A đến D mà qua B C lần 4.2.3  24 (cách) Câu Theo quy tắc nhân ta có số cách cắm bơng hoa vào lọ khác 5.4.3  60 (cách) Câu Có 15 cách chọn giải nhất, 14 cách chọn giải nhì, 13 cách chọn giải ba Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn giải nhất, nhì, ba 15.14.13  2730 (cách) Dạng Các toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp –A –A –A 4–C –A 6–D –A 8–D 9–C 10 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Số hoán vị  n  1 phần tử Pn 1  1.2.3  n    n  1 n  n  1 nên A sai Câu Có C9 cách chọn bạn bạn Có C5 cách chọn bạn nam Có C4 cách chọn bạn nữ 4 Vậy ta có số cách chọn bạn ln có bạn nam nữ là: C9  C5  C4  120 (cách) Câu 3 + Chọn nam, nữ có: C10 C10 cách Trang 22 + Chọn nam, nữ có: C10 C10 cách + Chọn nam, nữ có: C10 C10 cách 3 Áp dụng quy tắc cộng ta có C10 C10  C10 C10  C10 C10  12900 (cách) Câu Chọn vị trí cho giáo bàn trịn, có cách chọn bạn nữ ngồi hai bên giáo hốn vị 2, có 2! cách xếp Cịn lại bạn nam xếp vào chỗ lại, có 3! cách Áp dụng quy tắc nhân ta có 1.2!.3!  12 cách xếp Câu 1 + Chọn nam toán, nữ toán, nam lý có C5 C3 C4 cách + Chọn nữ toán, nam lý: C3 C4 cách + Chọn nữ toán, nam lý: C3 C4 cách 1 1 2 Áp dụng quy tắc cộng ta có C5 C3 C4  C3 C4  C3 C4  90 (cách chọn) Câu Trong 30 cầu ta có 15 cầu có số chẵn Do chọn 15 tổ hợp chập 2 15, ta có C15  105 cách chọn Câu + Ở hộp thứ chọn đỏ, hộp thứ hai chọn xanh, vàng: 1 có C3 C7 C6 cách chọn + Ở hộp thứ chọn xanh, đỏ hộp thứ hai chọn xanh, vàng: 1 1 có C5 C3 C7 C6 cách chọn + Ở hộp thứ chọn xanh, đỏ hộp thứ hai chọn vàng: 1 có C5 C3 C6 cách chọn 1 1 1 1 Áp dụng quy tắc cộng, ta có C3 C7 C6  C5 C3 C7 C6  C5 C3 C6  981 (cách chọn) Câu Số cách chọn quà là: C9 cách Chọn người để nhận quà có C3 cách Do có C9 C3  108 cách chia người nhận quà Chọn q q cịn lại có C7 cách Chọn người cịn lại để nhận quà có cách Do có C7  70 cách chia người nhận q Cịn lại q người nên có cách chọn Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu toán là: 108.70.1  7560 cách Câu Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh có 2!.8! cách Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có học sinh lớp C có 2!.4.7! cách Trang 23 Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2! A4 6! cách Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2! A4 5! cách Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2! A4 4! cách Vậy theo quy tắc cộng có 2! 8! A4 7! A4 6! A4 5! A4 4!  145152 (cách) Câu 10 Chọn câu 30 câu để làm thành đề thi có C30 cách chọn Dạng Phương trình, bất phương trình chứa cơng thức tổ hợp 1–B 2–C 11 – A 12 – D –A 4–B –A –A 7–B 8–D 9–C 10 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu x !  x  1 !  x  1 !  �   x!  �   x  1 !  x  1 !  x  1 ! x  x  x  1 x2 � � x2  5x   � � x  � Vậy tập nghiệm phương trình S   2;3 Câu �n ��* Điều kiện: � �n �2 Ta có An  n ! � n!  n! �  �  n  2 !  �  n  2 !  n  2 ! n2 n2 � � �� � n  1 n3 � � Vậy n  n  Câu Điều kiện: �n �� n 1 Ta có: An Cn  48 � n! n  48 � n  n  1 n  48 � n3  n  48  � n   n   !  n  1 ! Vậy n  Câu Điều kiện: n  �, n An2  Cnn11  �  n  1 !  � n  n  n n   � n  n!       n   ! 2! n  1 ! Câu Điều kiện: �k �12, k �� Trang 24 Phương trình trở thành: � 14! 14! 14!  2  14  k  !k !  12  k  ! k   !  13  k  ! k  1 !    14  k   13  k   k  1  k    13  k   k  1 �  k  1  k     14  k   13  k    14  k   k   k 8 � � 4k  48k  128  � � k 4 � Vậy k � 4;8 Câu Điều kiện: x �3, x �� Bất phương trình trở thành x! x! 5 �21x � x  x  1  x    x  x  1 �21x  x  3 !  x   ! �  x  1  x     x  1 �21 (do x  ) � x  x  24 �0 � 6 �x �4 Vì x �3, x ��nên x � 3; 4 Vậy tập nghiệm bất phương trình S   3; 4 Câu Điều kiện: n �2, n �� Pn  6A 2n  12  Pn An2 � Pn   An2    An2    �  An2     Pn   n2 � � n! 2 � � n  n  1  n2 An2  � � �  n  2 ! � � �� �� �� n  1 � � n  Pn  n3 � � � � � n3 n!  � � Vậy có giá trị n thỏa phương trình Câu Điều kiện: x �3, x �� x! x! x! A2 x  Ax2 � Cx3  10 �  �  10 x  x   !  x   ! x 3! x  3 ! � x  x  1  x  x  1 � x  1  x    10 � x  x  x  x �x  3x   10 ۣ x 12 x Kết hợp với điều kiện xác định, ta có �x �4 Vậy S   3; 4 tập nghiệm bất phương trình Câu Theo đề ta có: xn  với n ��*  n  4 ! A 143 Khi n   n !  143  �  n   !  143  0� Pn  Pn  n   ! 4.n !  n  2 ! Trang 25 �  n    n  3  � n  7n  143  95 19  �   n  � n � 1; 2 2 �63 23 � Vậy xn �� ; � �4 Câu 10 Điều kiện: x �3, x �� Phương trình cho trở thành:  x  1 !  x  1 ! x!    3x  6! 159  x  3 ! 2! x  1 ! 2! x  3 ! � x  x  1  x    x  x  1   x  1  x    3x  879 � x  12 Câu 11 Điều kiện: �y �x �2 Axy  Cxy  50 �Axy  20 � � � Ta có: � y �y Ax  2Cxy  80 Cx  10 � � y Từ C x  Ay Axy suy y !  xy   2! � y  Cx y! x5 � 2 � x  Từ Ax  20 � x  x  1  20 � x  x  20  � � x  4 � Vậy x  5; y  Câu 12 Điều kiện: n �5 n �� Ta có Cn 1  Cn 1  �  n  1 !   n  1 !   n   !  An   � 4! n   ! 3! n   !  n   !  n  1  n    n  3  n     n  1  n    n  3   n    n   4! 3! 0 � n  9n  22  � 2  n  11 Kết hợp điều kiện suy n � 5;6;7;8;9;10 Dạng Các toán liên quan đến chọn số –A –A –A 4–B 5–D 6–D 7–B 8–D 9–C 10 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Gọi số cần tìm dạng abcd với a �0 Số số tự nhiên có chữ số khác nhau: A4  96 số Trang 26 Các số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 5: 3 + Trường hợp 1: d  số a, b, c có A4 cách chọn Do có A4 số 2 + Trường hợp 2: d  số a, b, c có 3.A3 cách chọn Do có 3.A3 số Vậy có A4  3A3  42 số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho Vậy số số tự nhiên có chữ số khác khơng chia hết cho là: 96  42  54 số Cây Chữ số đứng liền hai chữ số nên ta có 154 451 Xét số abc (các chữ số khác đôi a, b, c thuộc  0; 2;3;6;7;8;9 , sau ta chèn thêm 154 451 để có số gồm chữ số cần tìm Trường hợp 1: a �0 , số cách chọn a 6, số cách chọn b c A6 , sau chèn 154 451 vào vị trí cịn lại nên có A6 4.2 cách Trường hợp 2: a  , số cách chọn a 1, số cách chọn b c A6 , sau chèn 154 451 vào vị trí trước a có 1cách nên có A6 cách 2 Vậy có A6 4.2  A6  1500 (số) Câu Các số tự nhiên nhỏ 1000 bao gồm số tự nhiên có 1, 2,3 chữ số Gọi số cần tìm abc  a, b, c � 0;1; 2;3; 4  (không thiết chữ số phải khác 0) a có cách chọn b có cách chọn, c có cách chọn Vậy có 5.5.5  125 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Gọi số tạo thành có dạng x  abc với a, b, c đôi khác lấy từ A Chọn vị trí a, b c cho số có cách chọn Chọn hai chữ số khác từ A xếp vào hai vị trí cịn lại X có A4 cách Theo quy tắc nhân có A4  36 cách Mỗi cách xếp cho ta số thỏa yêu cầu Vậy có 36 số cần tìm Câu a1a2 a3 a4 a5 ; a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Gọi số có chữ số cần tìm x ι� A; a1 0; a5  0; 2; 4;6 Công việc thành lập số x chia thành bước: Chọn chữ số a1 có lựa chọn a1 khác Chọn chữ số a2 , a3 , a4 chữ số có lựa chọn Chọn chữ số a5 có lựa chọn số tạo thành chia hết cho Số số thỏa mãn yêu cầu toán là: 6.73.4  8232 (số) Câu Trang 27 Vì chữ số đứng liền hai chữ số nên số cần lập có ba số 123 321 Xét số abcd (các chữ số khác đôi a, b, c, d thuộc  0; 4;5;6;7;8;9 ), sau ta chèn thêm 123 321 để có số gồm chữ số cần tìm Trường hợp 1: số cần lập có ba số 123 +) Nếu ba số 123 đứng đầu số có dạng 123abcd 4 Có A7  840 cách chọn bốn số a, b, c, d nên có A7  840 số +) Nếu ba số 123 không đứng đầu có vị trí đặt ba số 123 3 Có cách chọn số đứng đầu có A6  120 cách chọn ba số b, c, d Theo quy tắc nhân có 6.4 A6  2880 số Theo quy tắc cộng có 840  2880  3720 số Trường hợp 2: số cần lập có ba số 321 Do vai trị ba số 123 321 nên có 3720 số Từ hai trường hợp, ta có 2.3720  7440 số Câu Đặt tập E   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 �x M3 15 � � � d  hay d có cách chọn Gọi số cần tìm có dạng x  abcd Ta có x M �x M5 Chọn a có cách  a �E  Chọn b có cách  b �E  Khi tổng a  b  d chia hết cho chia dư chia dư nên tương ứng trường hợp c chia hết cho chia dư chia dư Nhận xét: Các số chia hết cho 3;6;9 Các số chia dư 1; 4;9 Các số chia dư 2;5;7 Mỗi tính chất có số nên c có cách chọn từ số Vậy có 1.9.9.3  243 số thỏa yêu cầu Câu Gọi số có sáu chữ số cần tìm n  abcdef , sáu chữ số khác đôi một, c  f số chẵn Trường hợp 1: Nếu f  n  abcde Có cách chọn c nên có 4.4!  96 số Trường hợp 2: Nếu f  n  abcde Có cách chọn c nên có 3.4!  72 số Trường hợp 3: Nếu f  n  abcde6 Có cách chọn c nên có 3.4!  72 số Vậy số số cần tìm 96  72  72  240 số Câu Trang 28 Số số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ 5;6;7;8;9 5!  120 số Vì vai trị chữ số nên chữ số 5;6;7;8;9 xuất hàng đơn vị 4!  24 lần Tổng chữ số hàng đơn vị 24        840 Tương tự số lần xuất hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn chữ số 24 lần Vậy tổng số thuộc tập S 840   10  10  10  10   9333240 Câu 10 Chọn vị trí cho chữ số có C9 cách Chọn vị trí cho chữ số có C7 cách Chọn vị trí cho chữ số có C4 cách Vậy số số tự nhiên thỏa yêu cầu toán C9 C7 C4  1260 số Dạng Các tốn liên quan đến hình học 1–D –A 11 – B 12 – D 3–C 4–C –A –A –A 8–B 9–C 10 – A HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu Số cách lấy điểm 20 điểm C20  190 Lấy điểm kề ta cạnh, điểm khơng kề ta đường chéo Mà đa giác 20 đỉnh có 20 cạnh Vậy số đường chéo 190  20  170 Câu Điểm thứ vectơ có 30 cách chọn Điểm thứ hai vectơ có 29 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân có 30.29  870 cách chọn Câu Đường thẳng thứ giao với đường cịn lại nên có giao điểm Đường thẳng thứ hai giao với đường cịn lại nên có thêm giao điểm (đã tính giao điểm với đường thẳng thứ trên) Đường thẳng thứ giao với đường lại nên có thêm giao điểm Vậy có          45 giao điểm Câu Trường hợp Lấy hai điểm thuộc d , điểm thuộc d � Lấy điểm thứ thuộc d có 10 cách, lấy điểm thứ hai thuộc d có cách Lấy điểm thuộc d �có 15 cách Vì thay đổi đỉnh tam giác khơng tạo thành tam giác nên hai đỉnh lấy d đổi thứ tự lấy không tạo thành tam giác Do có 10 � � 15  675 tam giác Trang 29 Trường hợp 2: Lấy hai điểm thuộc d � điểm thuộc d : Tương tự có 15 � 14 � 10  1050 tam giác Vậy có 675  1050  1725 tam giác Câu Số tam giác lập từ điểm A, B, C , D, E số tổ hợp chập nên ta có C5  10 (tam giác) Câu Một hình bình hành tạo từ cặp cạnh song song Chọn đường từ đường song song có C6 cách Chọn đường từ đường song song có C8 cách 2 Áp dụng quy tắc nhân ta có C6 C8 hình bình hành Câu Tổng số cạnh đường chéo đa giác cho Cn Đa giác có n đỉnh có n cạnh nên số đường chéo đa giác Cn2  n  90 � n  n  1 n!  n  90 �  n  90  n   !.2! n  15 � � n  3n  18 � � � n  15 n  12 � Vậy n  15 Câu Mỗi vectơ thỏa yêu cầu toán ứng với chỉnh hợp chập 2010 nên số vectơ cần tìm là: A2010  4038090 Câu Để nhiều giao điểm 20 đường thẳng phải đôi cắt điểm phân biệt Vậy có C20  190 giao điểm Câu 10 Tam giác cần lập thuộc hai loại Loại : Tam giác có đỉnh thuộc d1 hai đỉnh thuộc d Loại có C10 Cn tam giác Loại 2: Tam giác có đỉnh thuộc d hai đỉnh thuộc d1 Loại có C10 Cn tam giác 2 Theo ta có: C10 Cn  C10 Cn  2800 � 10 n  n  1  45n  2800 � n  8n  560  � n  20 Câu 11 Để tạo thành tam giác có hai khả năng: Lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d lấy điểm thuộc d1 điểm thuộc d 2 Tổng số tam giác tạo thành là: S  C10 Cn  C10 Cn Trang 30 Theo giả thiết ta có S  1725 2 Ta có phương trình C10 Cn  C10 Cn  1725 � 10 n! n!  45  1725 2!  n   !  n  1 ! n  15 � � 5n  n  1  45n  1725 � 5n  40n  1725  � � � n  15 n  23 � Câu 12 Gọi A1 , A2 , , A2018 đỉnh đa giác 2018 đỉnh nội tiếp đường tròn  O  Các đỉnh đa giác chia  O  thành 2018 cung trịn nhau, cung trịn có số đo 360� 2018 Vì tam giác cần đếm có đỉnh đa giác nên góc tam giác góc nội tiếp  O  Suy góc lớn 100�sẽ chắn cung có số đo lớn 200� Cố định đỉnh Ai Có 2018 cách chọn Ai Gọi Ai A j Ak đỉnh thứ tự theo chiều kim đồng hồ cho số đo cung nhỏ Ai Ak nhỏ 100�thì số đo cung lớn Ai Ak lớn 200� Ai Aj Ak  100�và Ai A j Ak tam giác cần đếm Suy � � � �160 � Khi cung Ai Ak hợp liên tiếp nhiều � � 896 cung trịn nói �360 � �2018 � 896 cung trịn có 897 đỉnh Trừ đỉnh Ai cịn 896 đỉnh Do có C896 cách chọn hai đỉnh A j , Ak Vậy có tất 2018.C896 tam giác thỏa mãn Trang 31 ... giải nhì, 13 cách chọn giải ba Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn giải nhất, nhì, ba 15 .14 .13  2730 (cách) Dạng Các toán hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp –A –A –A 4–C –A 6–D –A 8–D 9–C 10 – B HƯỚNG... tổ hợp 1? ??B 2–C 11 – A 12 – D –A 4–B –A –A 7–B 8–D 9–C 10 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu x !  x  1? ?? !  x  1? ?? !  �   x!  �   x  1? ?? !  x  1? ?? !  x  1? ?? ! x  x  x  1? ?? x2 � � x2... D 16 Câu 12 : Cho đa giác 2 018 đỉnh Hỏi có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc ? lớn 10 0� A 2 018 .C897 B C1009 C 2 018 .C895 D 2 018 .C896 ĐÁP ÁN BÀI QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP