Toán 10 Bài 2 số TRUNG BÌNH CỘNG số TRUNG vị mốt

CHƯƠNG 5: BÀI 2: SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu ý nghĩa số trung bình cộng, số trung vị, mốt + Nắm vững cách tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt  Kĩ + Tính số trung bình cộng, số trung vị + Tìm mốt bảng phân bố tần số + Nêu ý nghĩa số trung vị mốt tìm Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Số trung bình Cho bảng thống kê số liệu (các giá trị) dấu hiệu x Tỉ số tổng tất giá trị bảng giá trị bảng số trung bình, kí hiệu x Cơng thức tính số trung bình sau: a) Đối với bảng phân bố tần số rời rạc x   n1 x1  n2 x2   nk xk   f1 x1  f x2   f k xk n n1 ; f i  i  1; 2; ; k  tần số, tần suất giá trị xi ; n số liệu thống kê với n1  n2   nk  n b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp x   n1C1  n2C2   nk Ck   f1C1  f 2C2   f k Ck n Giá trị đại diện lớp ghép thường lấy trung bình cộng giá trị đầu cuối lớp Ci , ni , f i theo thứ tự giá trị đại diện, tần số, tần suất lớp thứ i  i  1, 2, ., k  Số trung vị Khi số liệu thống kê có chênh lệch lớn Sắp thứ tự giá trị thống kê theo thứ tự không giảm số trung bình cộng khơng đại diện cho khơng tăng số liệu Khi ta chọn số trung vị để - Nếu có n số liệu, n lẻ  n  2k  1 M e  xk 1 đại diện gọi trung vị - Nếu n chẵn Me   n  2k  , số trung vị xk  xk 1 Mốt Trong bảng phân bố tần số rời rạc, giá trị có tần số lớn gọi mốt bảng phân bố, kí hiệu M II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số trung bình bảng số liệu Phương pháp giải Trang Sử dụng bảng phân bố tần số tần suất ghép Ví dụ: Trong số liệu thống kê đây, người lớp, ta tính gần giá trị trung bình ta cho biết thành tích chạy 50m học sinh lớp giá trị bảng số liệu 10A trường THPT (đơn vị: giây) 63 66 74 71 65 70 72 75 69 72 70 76 86 85 81 87 a) Lập bảng phân bố 76 78 77 90 tần 62 68 82 67 71 83 73 71 84 73 75 87 77 75 78 số ghép lớn bảng phân bố tần suất ghép lớp, với lớp:  66;65 ;  65;70  ;  70;75  ;  75;80  ;  80;85  ;  85;90  b) Tính số trung bình mẫu số liệu Hướng dẫn giải a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp bảng phân bố tần suất ghép lớp Lớp thành tích (giây)  60;65  65;70   70;75  75;80   80;85   85;90  b) Cách x   Tần suất (%) 5,7 14,3 10 28,6 25,7 11,4 N  35 14,3 100%  x1  x2   xn  n  63  66   90  35 �75,1 Cách Áp dụng cơng thức tính số trung bình cộng Tần số (n) Cách Tính thơng qua bảng tần số ghép lớp x  Cách Sử dụng bảng phân bố tần số ghép n1.c1  n2 c   ni ci n 2.62,5  5.67,5   5.87,5 35 �75, 79 lớn Ví dụ mẫu Ví dụ Điều tra tuổi nghề công nhân phân xưởng người ta thu mẫu số liệu sau: Trang 20 18 5 Tính số trung bình mẫu số liệu 15 16 5 5 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu x   x1  x2   xn   7, 25 n Ví dụ Điểm trung bình thi học kì mơn Tốn sĩ số học sinh khối 10, 11, 12 trường THPT thống kê bảng sau Khối 10 Điểm TB mơn Tốn 6,4 Sĩ số 610 Tính điểm trung bình học sinh tồn trường Khối 11 6,8 540 Khối 12 7,2 520 Hướng dẫn giải Ta có điểm trung bình học sinh tồn trường x x1.n1  x2 n2  x3 n3 6, 4.610  6,8.540  7, 2.520  �6,8 n1  n2  n3 1670 Ví dụ Cho mẫu số liệu thống kê  8,10,12,14,16 Số trung bình mẫu số liệu A 12 B 14 C 13 D 12,5 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu x  10  12  14  16  12 Chọn A Ví dụ Điều tra chiều cao học sinh khối lớp 10, ta có kết sau: Nhóm Chiều cao (cm)  150;152   152;154   154;156   156;158  158;160   160;162  Số học sinh 18 40 26 N  100 Số trung bình A 155,46 B 155,12 C 154,98 D 154,75 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu x n1.c1  n2 c2   n6 c6 n Trang  5.151  18.153  40.155  26.157  8.159  3.161 100  155, 46 Chọn A Ví dụ Nghiên cứu cân nặng trẻ sơ sinh thuộc nhóm có bố khơng hút thuốc nhóm có bố nghiện thuốc tỉnh A, ta có kết sau (đơn vị: kg) Nhóm trẻ có bố khơng hút thuốc lá: 3,8 4,1 3,8 3,6 3,3 4,1 3,3 3,6 Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá: 3,8 3,5 3,5 2,9 3,6 4,1 3,6 3,8 3,3 2,9 2,9 3,3 3,6 3,8 3,6 3,5 2,6 2,6 Nhóm trẻ có cân nặng trung bình lớn hơn? 3,5 2,1 3,3 2,9 2,6 3,6 Hướng dẫn giải Số trung bình cân nặng nhóm trẻ có bố không hút thuốc x x1  x2   nn  3, 65 n Số trung bình cân nặng nhóm trẻ có bố hút thuốc y y1  y2   yn �3,13 n Ta thấy cân nặng trung bình nhóm trẻ có bố không nghiện thuốc lớn cân nặng trung bình nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Tốn (thang điểm 20) Kết sau: Điểm Tần số Số trung bình A 15,20 10 11 12 13 B 15,21 14 13 15 19 16 24 17 14 C 15,23 18 10 19 N  100 D 15,25 Câu 2: Sản lượng lúa (đơn vị tạ) 40 ruộng thí nghiệm có diện tích trình bày bảng số liệu sau: Sản lượng 20 21 Tần số Sản lượng trung bình 40 ruộng A 22,1 tạ B 22,2 tạ 22 11 23 10 24 C 22,3 tạ N  40 D 22,4 tạ Câu 3: Điều tra chiều cao 100 học sinh khối lớp 10, ta có kết sau: Nhóm Chiều cao (cm)  150;152   152;154   154;156  Số học sinh 18 40 Trang  156;158  158;160   160;162  26 N  100 Số trung bình A 155,46 B 155,12 C 154,98 D 154,75 Câu 4: Giá bán 60 mặt hàng cửa hàng thống kê bảng tần số ghép lớp sau (đơn vị nghìn đồng) Lớp giá (nghìn đồng)  40; 49 Tần số  50;59  60;69  70;79  80;89 19 23 N  60 Tính số trung bình bảng số liệu Câu 5: Để cấp chứng Anh văn trung tâm ngoại ngữ, học viên phải trải qua lần kiểm tra trắc nghiệm, thang điểm lần kiểm tra 100 phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên Qua lần thi Minh đạt điểm trung bình 64,5 điểm Hỏi lần kiểm tra cuối Minh phải đạt điểm để cấp chứng chỉ? Câu 6: Tiền lãi (nghìn đồng) 30 ngày khảo sát quầy bán báo cho bảng sau 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất theo lớp sau:  29,5; 40,5 ,  40,5;51,5  ,  51,5;62,5 ,  62,5;73,5  ,  73,5;84,5 ,  84,5;95,5  b) Tính số trung bình cộng Dạng 2: Tính số trung vị mốt bảng số liệu Phương pháp giải Sắp xếp phần tử bảng theo thứ tự khơng giảm sau chọn số trung vị M e theo định nghĩa Dựa vào bảng phân bố tần số ta chọn giá trị có tần số lớn làm mốt Kí hiệu M Một mẫu số liệu có nhiều mốt Ví dụ mẫu Ví dụ Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi 30 bệnh nhân Kết thu mẫu số liệu sau: 21 17 20 18 15 12 18 17 16 20 14 18 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất 20 15 19 17 16 13 15 21 16 13 15 19 15 12 18 20 18 17 b) Tính số trung bình Trang c) Tìm mốt Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất Tuổi bệnh nhân 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 b) Ta có số trung bình x  Tần số (n) 2 5 N  30 x1n1  x2 n2   xk nk  16,8 N Tần suất (%) 6,67 6,67 3,33 16,67 10 13,33 16,67 6,67 13,33 6,67 100% c) Trong bảng ta thấy giá trị có tần số lớn 15 18 Vậy mẫu số liệu có hai mốt M 0   15; M 0   18 Ví dụ Cho số liệu thống kê sản lượng chè thu năm (kg/sào) 20 hộ gia đình 111 112 112 113 112 113 113 114 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất 114 115 114 114 115 116 114 117 115 113 116 115 b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất: Giá trị x 111 112 113 114 115 116 117 Tần số N  20 Tần suất (%) 15 20 25 20 10 100 b) Số trung bình x  1.111  3.112  4.113  5.114  4.115  2.116  1.117   113,9 20 Sắp xếp bảng theo thứ tự không giảm Do kích thước mẫu N  20 số chẵn nên số trung vị trung bình cộng hai giá trị đứng thứ N N  10   11 Đó giá trị 114 114 2 Vậy M e  114 Trang Do giá trị 114 có tần số lớn nên ta có M  114 Ví dụ Các giá trị xuất nhiều mẫu số liệu gọi A mốt B số trung bình C số trung vị D độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải Chọn A Ví dụ Người ta xác định cân nặng 10 học sinh xếp thứ tự tăng dần Số trung vị 10 học sinh A khối lượng học sinh thứ năm B khối lượng học sinh thứ sáu C khơng tìm trung vị D khối lượng trung bình em thứ năm thứ sáu Hướng dẫn giải Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Bảng phân phối thực nghiệm đo chiều cao 50 lim X i  m 10 11 12 13 14 ni 10 10 50 a) Tính chiều cao trung bình 50 lim b) Tính trung vị mốt mẫu số liệu Câu 2: Để khảo sát kết thi tuyển sinh mơn Tốn kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua trường A, người điều tra chọn mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh Điểm mơn Tốn (thang điểm 10) học sinh cho bảng phân bố tần số sau đây: Điểm 10 Tần số 1 13 19 24 14 10 N  100 a) Tìm mốt, số trung vị b) Tìm số trung bình Câu 3: Có tài liệu tuổi nghề cơng nhân hai tổ xí nghiệp khí sau: Tổ I 2 9 10 10 11 Tổ II 4 5 7 12 Trong tổ, tính tuổi nghề bình qn, số mốt số trung vị? Câu 4: Kết kiểm tra mơn tốn 36 học sinh cho mẫu số liệu sau: 7,5 8,5 9,5 6,5 5,5 6,5 7,5 5,5 2,5 7,5 8,5 1,5 7,5 6,5 7,5 6,5 a) Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp (chính xác chữ số thập phân sau dấu phẩy) sử dụng lớp sau:  0;2  ;  2;  ;  4;6  ;  6;8  ;  8;10  b) Tính số trung bình, trung vị mốt bảng số liệu Trang Câu 5: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác khác 0, biết số trung bình số trung vị Tìm giá trị mẫu số liệu cho hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ Đáp án Dạng Tính số trung bình bảng số liệu 1-C 2-A 3-A HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN Câu Từ bảng tần số ghép lớp, ta thêm cột tần suất ghép lớp: Lớp giá (nghìn đồng)  40; 49 Tần số Tần suất (%) 5% 10% 19 32% 23 38% 60 15%  50;59  60;69  70;79  80;89 100% Ta có số trung bình x  f1.c1  f c2   f k ck  69,3 Câu a) Bảng phân bổ tần số - tần suất ghép lớp Lớp tiền lãi (nghìn đồng)  29,5; 40,5  Tần số (n) Tần suất (%) 10 16,7 23,3 20 16,7  40,5;51,5   51,5;62,5  62,5;73,5  73,5;84,5   84,5;95,5  N  30 b) Ta lập bảng giá trị đại diện tương ứng với bảng phân bố câu a Lớp tiền lãi  29,5; 40,5  40,5;51,5   51,5;62,5  62,5;73,5  73,5;84,5   84,5;95,5  13,3 100% Giá trị đại diện  ci  35 46 57 68 79 90 Tần số Trang Số trung bình cộng x  c1.n1  c2 n2   ck nk �63, N Dạng Tính số trung vị mốt bảng số liệu Câu a) Chiều cao trung bình 50 lim là: x  x1n1  x2 n2   xk nk  11,6  m  n b) Kích thước mẫu 50 chẵn nên trung vị trung bình cộng hai vị trí 25 26 Ta có Me  x25  x26  12 Giá trị có tần số lớn 11 12 Mẫu số liệu có hai mốt M 0 1  11, M 0 2  12 Câu a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất: M o  Kích thước mẫu số chẵn nên số trung vị trung bình cộng hai số đứng Vậy M e  67  6,5 b) Ta có số trung bình cộng x  x1n1  x2 n2   xk nk 0.1  1.1   10.2   6, 23 N 100 Câu +) Tổ I Tuổi nghề bình quân công nhân x  x1n1  x2 n2   xk nk �7,8 N Mẫu số liệu có 11 phần tử nên số trung vị M e  x6  Giá trị có tần số lớn Vậy mốt M o  +) Tổ II Tuổi nghề bình quân x  x1n1  x2 n2   xk nk �4,9 N Mẫu số liệu có 10 phần tử nên số trung vị M e  45  4,5  x5  x6   2 Giá trị có tần số lớn Vậy mốt M  Câu a) Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp: Lớp điểm KT  0;   2;   4;6   6;8   8;10  Tần số Tần suất 5,6% 8,3% 11,1% 21 58,3% N  36 16,7% 100% Trang 10 b) Ta có số trung bình x  f1.c1  f c2   f k ck  0, 056.1  0, 083.3   0,167.9  6, 444 +) Ta có bảng xếp thứ tự không giảm mẫu số liệu: 1,5 2,5 6 6 7 7 8,5 8,5 Vì kích thước mẫu số chẵn nên Me  6,5 6,5 7,5 9,5 6,5 7,5 5,5 6,5 7,5 5,5 7,5 7,5 x18  x19 6,5    6, 75 2 Giá trị có tần số lớn Vậy mốt mẫu số liệu Câu Giả sử giá trị mẫu số liệu a, b, c, d với  a  b  c  d ; a, b, c, d �N Ta có M e  bc  � b  c  10 Mà x  nên a  b  c  d  24 � a  d  14 abc b 1 � � �� �  b  5, b �N � b � 2;3; 4 Ta có � b  c  10 � 10  2b � +) Nếu b  c  , mà  a  b, a �N � a  1, d  13 Khi giá trị mẫu số liệu 1; 2;8;13 �a  � d  13 +) Nếu b  c  , mà  a  b, a �� � �a  � d  12 Khi có hai mẫu số liệu thỏa đề có giá trị 1; 3; 7; 13 2; 3; 7; 12 a  � d  13 � � a  � d  12 +) Nếu b  c  , mà  a  b, a �� � � a  � d  11 � Khi có ba mẫu số liệu thỏa đề có giá trị (1;4;6;13),  2; 4;6;12   3; 4;6;11 Suy với mẫu số liệu có giá trị 3; 4; 6; 11 hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ Trang 11 ... bày bảng số liệu sau: Sản lượng 20 21 Tần số Sản lượng trung bình 40 ruộng A 22 ,1 tạ B 22 ,2 tạ 22 11 23 10 24 C 22 ,3 tạ N  40 D 22 ,4 tạ Câu 3: Điều tra chiều cao 100 học sinh khối lớp 10, ta có... 6, 4. 610  6,8.540  7, 2. 520  �6,8 n1  n2  n3 1670 Ví dụ Cho mẫu số liệu thống kê  8 ,10, 12, 14,16 Số trung bình mẫu số liệu A 12 B 14 C 13 D 12, 5 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu... x1n1  x2 n2   xk nk  11,6  m  n b) Kích thước mẫu 50 chẵn nên trung vị trung bình cộng hai vị trí 25 26 Ta có Me  x25  x26  12 Giá trị có tần số lớn 11 12 Mẫu số liệu có hai mốt M