Thông tin tài liệu
ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO Mục tiêu Kiến thức + Trình bày định nghĩa vi phân + Trình bày phương pháp tính gần nhờ vi phân + Trình bày phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n Kĩ + Tính vi phân hàm số f x x0 cho trước + Tìm vi phân hàm số f x + Biết cách tính gần số dựa vào vi phân + Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n + Biết chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm cấp 2,3 Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vi phân Cho hàm số y f x xác định a; b có đạo hàm Nếu chọn hàm số y x ta có dy dx 1.x x x a; b Gọi x số gia x Ta gọi tích f x x vi phân hàm số y f x x ứng với số gia x Kí hiệu df x dy , tức Do ta thường kí hiệu x dx dy f x dx dy df x f x x Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Cơng thức tính gần nhờ vi phân f x0 x f x0 f x0 x Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f Nếu f có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu f , tức f f + Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n ( với n , n ) f n 1 Nếu f n 1 có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f , tức n f n f n 1 + Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai s t gia tốc tức thời chuyển động s s t thời điểm t II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính vi phân Bài tốn Tìm vi phân hàm số Phương pháp giải TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho hàm số y x3 3x 2x a)Tính vi phân hàm số điểm x0 ,ứng với số gia x 0, 02 b) Tìm vi phân hàm số a) Tính vi phân hàm số f x x0 cho trước: - Tính đạo hàm hàm số x0 - Vi phân hàm số x0 ứng với số gia x df x0 f x0 x Hướng dẫn giải a) Ta có y f x x x Do vi phân hàm số điểm x0 ,ứng với số gia x 0, 02 df 1 f 1 x 3.12 6.1 0, 02 0,14 b) Tìm vi phân hàm số f x b) dy f x x x x dx - Tính đạo hàm hàm số - Vi phân hàm số dy df x f x x Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y x3 x Tính vi phân hàm số điểm x0 , ứng với số gia x 0, 02 Hướng dẫn giải Ta có y f x x x Do vi phân hàm số điểm x0 ,ứng với số gia x 0, 02 df 1 f 1 x 3.12 4.1 0, 02 0, 02 Ví dụ Tìm vi phân hàm số y x x 1 Hướng dẫn giải 2 x2 x2 x x x Ta có y dy y dx dx 2 x 1 x 1 x2 1 x 1 Bài toán Tính gần giá trị hàm số Phương pháp giải Để tính gần giá trị hàm số f x 49, 25 (lấy Ví dụ Tính gần giá trị điểm x x0 x cho trước, ta áp dụng chữ số thập phân kết quả) Hướng dẫn giải công thức f x0 x f x0 f x0 x Ta có 49, 25 49 0, 25 Xét hàm số f x x f x TOANMATH.com x Trang Chọn x0 49 x 0, 25 , ta có f x0 x f x0 f x0 x 49 0, 25 49 0, 25 0, 01786 49 7, 01786 Vậy 49 0, 25 7, 01786 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính gần 0,9995 Hướng dẫn giải a) Ta có 1 0,9995 0, 0005 Xét hàm số f x 1 f x x x Chọn x0 x 0, 0005 , ta có f x0 x f x0 f x0 x 0, 0005 1, 0005 0, 0005 Ví dụ Tính gần sin 46 Hướng dẫn giải Ta có sin 46 sin 45 1 sin 180 Xét hàm số f x sin x f x cos x Chọn x0 x 180 , ta có f x0 x f x0 f x0 x 2 sin sin cos 4 180 360 180 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Vi phân hàm số f x x x điểm x , ứng với x 0,1 A -0,07 B 10 C 1,1 D -0,4 Câu 2: Vi phân hàm số y x x biểu thức sau đây? A dy x 5x C dy dx 2x x2 5x dx B dy D dy 2x x2 5x dx 2x x2 5x dx Câu 3: Vi phân hàm số y x sin x cos x TOANMATH.com Trang A dy 2sin x x cos x dx B dy x cos xdx C dy x cos x D dy sin x cos x dx 3 Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư tan kết 80 A 1,2608 B 1,2611 C 1,3391 D 1,3392 Câu 5: Khẳng định sau đúng? A d sin x cot x d cos x B d sin x tan x d cos x C d sin x cot x d cos x D d sin x tan x d cos x Câu 6: Cho hàm số y f x x 1 Biểu thức sau vi phân hàm số f x ? A dy x 1 dx B dy x 1 dx C dy x 1 D dy x 1 dx Câu 7: Vi phân hàm số y x3 x 12 x A dy x 18 x 12 dx B dy 3 x 18 x 12 dx C dy 3x 18 x 12 dx D dy 3x 18 x 12 dx Câu 8: Vi phân hàm số y x A dy C dy 1 x 2x x2 dx B dy dx D dy x x2 x2 x2 dx dx Câu 9: Vi phân hàm số y x A dy dx 3x B dy dx 3x C dy dx 3x D dy dx 3x Câu 10: Vi phân hàm số y A dy C dy x 1 dx B dy dx D dy x 1 2x 2x 1 x 1 dx x 1 dx Câu 11: Hàm số y x sin x cos x có vi phân A dy x cos x sin x dx B dy x cos x dx C dy cos x sin x dx D dy x sin x dx TOANMATH.com Trang Câu 12: Xét hàm số y f x cos 2 x Khẳng định sau đúng? A df x C df x sin x cos x cos x C dy cos x x sin x x x cos x sin x dx cos 2 x sin x cos 2 x dx tan x x x dx x x cos x Câu 14: Cho hàm số y A dy D df x dx Câu 13: Vi phân hàm số y A dy B df x dx B dy dx D dy sin x x x cos x dx x sin x x x cos x dx Vi phân hàm số 3x3 dx B dy dx x4 C dy dx x4 D dy x dx Dạng 2: Đạo hàm cấp cao Bài tốn Tính đạo hàm đến cấp n hàm số Phương pháp giải + Áp dụng trực tiếp cơng thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y cos x hai y y Tính y x0 Hướng dẫn giải + Cấp 3,4… ta tính tương tự Ta có y cos x 1 cos x y sin x y 2 cos x y 4sin x Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y 3x x2 Hướng dẫn giải Ta có y x 2 2 7 x 14 y x 2 x 2 14 x 42 x 42 4 168 y y x 2 x 2 x 2 x 2 Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y sin 2 x Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang Ta có y sin 2 x 1 cos x y 2sin x y 8cos x y 32sin x y 4 128cos x y 5 512sin x Bài toán Tính đạo hàm cấp cao hàm số Phương pháp giải Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y sin x n * Hướng dẫn giải Bước 1: Tính y, y, y Dựa vào đạo hàm Ta có: y cos x sin x ; vừa tính, dự đốn cơng thức tính y n y sin x sin x ; 2 Dự đoán: y n sin x n , n * 1 2 Bước 2: Chứng minh cơng thức vừa dự đốn Chứng minh 1 quy nạp: phương pháp quy nạp n : 1 Hiển nhiên Giả sử 1 với n k nghĩa y k sin x k 2 Ta phải chứng minh 1 với n k nghĩa ta phải chứng minh y k 1 sin x k 1 2 Thật vậy, xét ta có ' VT y k 1 y k sin x k cos x k 2 sin x k 1 VP 2 Suy đúng,nghĩa 1 với n k Theo ngun lí quy nạp ta có công thức y n sin x n , n * 2 TOANMATH.com Trang ... x Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f Nếu f có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu f , tức f f + Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm. .. Tính vi phân Bài tốn Tìm vi phân hàm số Phương pháp giải TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho hàm số y x3 3x 2x a)Tính vi phân hàm số điểm x0 ,ứng với số gia x 0, 02 b) Tìm vi phân hàm số. .. Tính vi phân hàm số f x x0 cho trước: - Tính đạo hàm hàm số x0 - Vi phân hàm số x0 ứng với số gia x df x0 f x0 x Hướng dẫn giải a) Ta có y f x x x Do vi phân hàm
Ngày đăng: 07/12/2022, 15:08
Xem thêm:
