BÀI GIẢNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Mục tiêu Kiến thức + Hiểu khái niệm biến cố phân biệt biến cố giao, biến cố hợp, biến cố đối biến cố độc lập + HIểu định nghĩa xác suất biến cố tính chất xác suất + Nắm vững công thức cộng xác suất công thức nhân xác suất Kĩ + Tính xác suất biến cố toán xác suất cổ điển + Vận dụng quy tắc tính xác suất tốn thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên Ví dụ: Phép thử: Khi ta tung đồng xu có Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí mặt, ta hồn tồn khơng biết trước kết nghiệm mà ta khơng đốn trước kết nó, mặc dù biết tập hợp tất kết có phép thử Tuy nhiên, ta lại biết chắn đồng xu rơi xuống trạng thái: Khơng gian mẫu sấp (S) ngửa (N) Tập hợp kết xảy phép thử Khơng gian mẫu phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu S ; N Biến cố A: “Kết tung đồng xu sấp” Biến cố Một biến cố A (còn gọi kiện A) liên quan tới Ta có A phép thử T biến cố mà việc xảy hay khơng xảy cịn tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu A Để đơn giản, ta dùng chữ A để kí hiệu tập hợp kết thuận lợi cho A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập kí hiệu Biến cố khơng thể biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập Các phép toán biến cố Tập \ A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: Tập A B gọi hợp biến cố A B Tập A B gọi giao biến cố A B TOANMATH.com Trang Nếu A B ta nói A B xung khắc Xác suất biến cố Định nghĩa xác suất Giả sử phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả Khi xác suất biến cố A liên quan tới T tỉ số số kết thuận lợi cho A số kết P A A Trong sống nói biến cố, ta thường nói biến cố có nhiều khả xảy ra, biến cố có khả xảy ra, biến cố có nhiều khả xảy biến cố Tốn học định lượng hóa khả cách gán cho biến cố số không âm, nhỏ gọi xác suất biến cố Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có bước để tính Nhận xét: Việc tính số kết (bước xác suất biến cố sau: 1) thường dễ dàng nhiều so với việc Bước Xác định khơng gian mẫu tính số phần tính số kết thuận lợi cho A (bước 1) Để tử , tức đếm số kết phép thử T giải tốt toán xác suất ta cần Bước Xác định tập A mơ tả biến cố A tính số nắm phần tổ hợp trước phần tử A, tức đếm số kết thuận lợi cho A Bước Lấy kết bước chia cho bước Từ định nghĩa cổ điển xác suất suy ra: P A 1; P 1; P Chú ý: Các kí hiệu n ; n A hiểu tương đương với ; A số phần tử không gian mẫu tập hợp thuận lợi cho biến cố A Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A, B xung khắc P A B P A P B Nếu biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak đôi xung khắc P A1 A2 Ak P A1 P A2 P Ak Cơng thức tính xác suất biến cố đối Xác suất biến cố đối A biến cố đối A TOANMATH.com Vì A A A A nên theo công thức cộng xác suất Trang P A P A P P A P A Biến cố độc lập Một cách tổng quát, cho k biến cố Hai biến cố gọi độc lập việc xảy hay không A1 , A2 , A3 , , Ak Chúng gọi độc lập xảy biến cố không ảnh hưởng tới xác suất xảy với việc xảy hay không xảy biến cố nhóm biến cố khơng làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại Quy tắc nhân xác suất Nếu A B hai biến cố độc lập P AB P A P B Một cách tổng quát, k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak đôi độc lập P A1 , A2 , A3 , , Ak P A1 P A2 P Ak Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, Chú ý: Nếu đẳng thức bị vi B A độc lập Do đố A B độc lập ta cịn có phạm hai biến cố A B không độc lập với đẳng thức: P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất Phương pháp giải Trong toán này, việc xác định số phần tử Ví dụ: Một hộp chứa 11 viên bi đánh số từ thuận lợi cho biến cố cần tìm dễ dàng xác định (có đến 11 Chọn viên bi cách ngẫu nhiên thể liệt kê phương án, tính cách cộng số viên bi rút với chọn ngắn gọn) Tính xác suất để kết thu số lẻ Hướng dẫn giải Bước Tìm số phần tử không gian mẫu Chọn ngẫu nhiên viên bi 11 viên bi số cách chọn n C116 462 Bước Đếm số phần tử thuận lợi không Gọi A biến cố: “Chọn viên bi cộng số gian mẫu viên bi thu số lẻ” Trong 11 viên bi có viên bi mang số lẻ {1;3;5;7;9;11} viên bi mang số chẵn {2;4;6;8;10} Trường hợp 1: viên bi mang số lẻ viên bi TOANMATH.com Trang mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C61.C55 cách Trường hợp 2: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C63 C53 cách Trường hợp 3: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C65 C51 cách Suy n A C61 C55 C63 C53 C65 C51 200 30 236 Bước Tính xác suất P A n A n Ta có P A A 236 118 462 231 Ví dụ mẫu Ví dụ Một hộp đựng 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ A B 418 455 C 13 D 12 13 Hướng dẫn giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn n C153 455 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: Trường hợp 1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C81.C72 Trường hợp 2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C82 C71 Trường hợp 3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C83 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n A C81.C72 C82 C71 C83 420 Vậy P A C81.C72 C82 C71 C83 12 13 C153 Chọn D Cách khác: Nhận xét: Trong nhiều Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn tốn tính xác suất, việc n C153 455 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” TOANMATH.com tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó Trang biến cố A “cả ba viên bi lấy khơng có màu đỏ” (tức lấy ba khăn có q nhiều trường hợp, ta tìm viên bi màu xanh) Số cách chọn viên bi mà viên bi màu xanh số phần tử thuận lợi cho biến cố đối biến cố A n A C73 35 Sau lấy số phần tử Số cách chọn viên bi mà có viên bi màu đỏ không gian mẫu trừ kết 455 – 35 = 420 cách n A n n A 455 35 420 vừa tìm ta có Vậy P A n A 420 12 n 455 13 số phần tử thuận lợi cho biến cố A Ví dụ Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1; 3; 5; 7; Tính xác suất để tìm số không bắt đầu 135 A B 60 C 59 60 D Hướng dẫn giải Số phần tử không gian mẫu n 5! 120 Gọi A biến cố “số tìm không bắt đầu 135” Biến cố A biến cố “số tìm bắt đầu 135” Nhóm số 1; 3; thành 135 ta số phần tử Số số tạo thành thỏa mãn số 135 đứng đầu 1.2.1 = cách Vậy n A 120 118 cách Vậy P A n A 118 59 n 120 60 Chọn C Ví dụ Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm câu có bốn phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 1,0 điểm Một thí sinh làm 10 câu, câu chọn phương án Tính xác suất để thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên A 436 410 B 463 410 C 436 104 D 163 104 Hướng dẫn giải Với câu hỏi, thí sinh có phương án lựa chọn nên số phần tử không gian mẫu n 410 Gọi X biến cố “thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên” Trường hợp 1: Thí sinh câu (tức 8,0 điểm): Chọn câu số 10 câu hỏi câu cịn lại câu có cách chọn đáp án sai nên có C108 32 cách để thí sinh câu TOANMATH.com Trang Trường hợp 2: Thí sinh câu (tức 9,0 điểm): Chọn câu số 10 câu hỏi câu cịn lại có cách chọn đáp án sai nên có C109 31 cách để thí sinh câu Trường hợp 3: Thí sinh 10 câu (tức 10,0 điểm): Chỉ có cách Suy số kết thuận lợi cho biến cố X n X C108 32 C109 31 436 Vậy xác suất cần tìm P X n X 436 n 410 Chọn A Ví dụ Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật A 216 B 969 C 323 D Hướng dẫn giải Số cách chọn đỉnh 20 đỉnh C204 4845 n Gọi A biến cố: “4 đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật” Số đường chéo đa giác qua tâm O đường tròn 10 (do đa giác có 20 đỉnh) Cứ hai đường chéo tạo thành hình chữ nhật Do số hình chữ nhật tạo thành n A C102 45 Vậy P A n A 45 n 4845 323 Chọn C Ví dụ Cho hai đường thẳng song song a b Trên đường thẳng a lấy điểm phân biệt; đường thẳng b lấy điểm phân biệt Chọn ngẫu nhiên điểm điểm cho hai đường thẳng a b Tính xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác A 11 B 60 169 C 11 D 11 Hướng dẫn giải Số phần tử không gian mẫu n C113 165 Gọi A biến cố: “3 điểm chọn lập thành tam giác” Trường hợp 1: Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C62 C51 cách Trường hợp 2: Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C61 C52 cách Suy n A C62 C51 C61.C52 135 Vậy xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác P A n A n 11 Chọn D TOANMATH.com Trang ... chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập kí hiệu Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập Các phép toán biến cố Tập \ A gọi biến cố đối biến cố A,... khả xảy ra, biến cố có khả xảy ra, biến cố có nhiều khả xảy biến cố Toán học định lượng hóa khả cách gán cho biến cố số không âm, nhỏ gọi xác suất biến cố Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có... xác suất Giả sử phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả Khi xác suất biến cố A liên quan tới T tỉ số số kết thuận lợi cho A số kết P A A Trong sống nói biến cố, ta thường nói biến cố có