Giáo án đại số lớp 11 chuyên đề cấp số nhân

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm cấp số nhân + Nắm tính chất số hạng liên tiếp cấp số nhân + Nắm công thức tổng qt, cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân  Kĩ + Nhận biết cấp số nhân dựa vào định nghĩa + Tìm yếu tố cịn lại biết yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng đầu tiên, công bội, số số hạng cấp số nhân + Áp dụng tính chất cấp số nhân vào toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức + ứng dụng vào toán thực tế   Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số nhân dãy sô (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu  un  cấp số nhân với công bội q, ta có cơng thức truy hồi un 1  un q với n  * Đặc biệt:  Khi q  , cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, , 0,  Khi q  , cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , , u1 ,  Khi u1  với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, , 0, Số hạng tổng quát Định lí Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un  u1.q n 1 với n  Tính chất Định lí Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk2  uk 1.uk 1 với k  Tổng n số hạng cấp số nhân Định lí Cho cấp số nhân  un  với công bội q  Đặt S n  u1  u2   un Khi S n  u1 1  q n  1 q Chú ý: Nếu q  cấp số nhân u1 , u1 , u1 , , u1 , S n  nu1 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang   Số hạng thứ k Số hạng tổng quát un  u1.q n 1 CẤP SỐ NHÂN uk2  uk 1.uk 1  n  2 un  un 1.q  k  2 Tổng n số hạng S n  nu1 q  Sn  u1 1  q n  1 q q  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh dãy  un  cấp số nhân Phương pháp giải Chứng minh un 1  un q, n  q số khơng đổi Nếu un  0, n  * ta lập tỉ số un 1 k un * k số  un  cấp số nhân có cơng bội q  k * k phụ thuộc vào n  un  không cấp số nhân Để chứng minh dãy  un  cấp số nhân, ta cần ba số hạng liên tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn u3 u2  u2 u1 Để chứng minh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac  b b  ac Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm cơng bội cấp số nhân a) un   4  n 1 b) un   7  53n 1 n Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang    4   4  16 số không đổi nên u cấp số nhân với cơng bội q = 16 u a) Ta có n 1     n n 1 un  4  n 3  7  u b) Ta có n 1  n un  7  53n1 n 1 3 n 1 1  7.53  875 không đổi nên  un  cấp số nhân với công bội q  875 Ví dụ Xét dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm cơng bội cấp số nhân  u1   a)  un 1  u n   u 2 b)  un 1  un Hướng dẫn giải Ta có un 1 un u u  n  n 1  un 1  un 1 , n  un un 1  u  u3  u5   u2 n 1 Do có  u2  u4  u6   u2 n  Theo đề ta có u1   u2  3 u1 1  2 (3) Từ (1), (2), (3) suy u1  u2  u3  u4  u5   u2 n  u2 n 1 Do  un  cấp số nhân với cơng bội q = b) Ta có u2  u12  4, u3  u22  16, u4  u32  256 suy u2 u u u 256     16   u1 u3 16 u1 u3 Do  un  khơng cấp số nhân Ví dụ Cho  un  cấp số nhân có cơng bội q  0; u1  Chứng minh dãy số   với  un u2 n cấp số nhân Hướng dẫn giải Ta có un u2 n u q n 1.u q n 1   n  2 n 3  q nên   cấp số nhân với công bội q 1 un 1.u2 n 1 u1.q u1.q  u1  , n  Chứng minh dãy số   xác Ví dụ Cho dãy số  un  xác định  un 1  4un  định  un  3, n  cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân TOANMATH.com Trang   Hướng dẫn giải Ta có  un  (1)  1  un 1  (2) Theo đề un 1  4un   un 1    un  3 (3) Thay (1) (2) vào (3) ta 1  4vn , n   1  (không đổi) Suy   cấp số nhân với công bội q = số hạng đầu v1  u1   Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân?  u1  A  u  u n  n 1 B un 1  nun u  C  un 1  5un D un 1  un 1  Câu 2: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? A un  1 3n B un  n2 C un  n  D un  n  Câu 3: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? u1  A  u u  n  n  B un 1  un u  C  un 1  6un D un 1  2un  C un  32 n D un  n  Câu 4: Dãy số sau cấp số nhân? A un  n  B un  n  Câu 5: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A un   3n B un  n2 C un  2n  D un  n  Câu 6: Dãy số dãy số sau vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân? A 1; 1; 1; 1; 1; B 1;0;0;0;0; C 3; 2;1;0; 1; D 1;1;1;1;1; Câu 7: Cho cấp số nhân có u1  công bội q  Trong nhận xét sau, nhận xét đúng? A un  với n B un  với n lẻ un  với n chẵn C un  với n D un  với n chẵn un  với n lẻ Câu 8: Hỏi A un  1 1 , , , bốn số hạng đầu dãy số sau đây? 32 2n B un  2n  C un  2n D un  n2 Câu 9: Dãy số không cấp số nhân? 1 A 1;  ;  ;  25 125 C 2; 2; 4 2;8 TOANMATH.com 1 B  ;  ;  ;1 1 D 1; ; ; 27 Trang   Câu 10: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A un   n u1   B  un 1  un C un  2n  D un  n 1 n 1 Câu 11: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân?  u1  A  u  u n  n 1  u1  B  u   2.u n  n 1 u  1; u2  D  un 1  un 1.un C un  n  Câu 12: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? 1 A un  n B un   n2 C un   2n D un  n3  Câu 13: Cho dãy số  un  cấp số nhân với un  0, n   Dãy số sau cấp số nhân? A u1 ; u3 ; u5 ; B 3u1 ;3u2 ;3u3 ; C 1 ; ; ; u1 u2 u3 D u1  1; u2  1; u3  1; Câu 14: Cho dãy số  un  xác định u1  2; un  2un 1  3n  Công thức số hạng tổng quát dãy số cho biểu thức có dạng a.2n  bn  c , với a, b, c số nguyên với n  2; n   Khi tổng a + b + c có giá trị A – B C – D Câu 15: Cho dãy số  un  có số hạng đầu 5, 10, 15, 20, 25,… Số hạng tổng quát dãy A un  5(n  1) B un  5n C un   n D un  5n  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1-C 2-B 3-C 4-C 5-B 11-B 12-B 13-D 14-C 15-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-B Câu 1:  u1  u Ta có   n 1  5   un  cấp số nhân có số hạng đầu u1  cơng bội q  5 un un 1  5un Câu 2: Xét un  Ta có n2  un 1  3n 1 un 1 1  n 1 : n   ,  * un 3 Vậy  un  cấp số nhân có cơng bội q  Câu 3: TOANMATH.com Trang   Xét un 1  nên  un  cấp số nhân có cơng bội q  un Câu 4: Vì un 32 n  n   32  nên un  32 n cấp số nhân có cơng bội q  un 1 Câu 5: n2 un 1 Vì   nên un  n  cấp số nhân có cơng bội q  un 1 5 5n  Câu 6: Dãy số 1; 1; 1; 1; 1;… vừa cấp số cộng công sai 0, số hạng đầu vừa cấp số nhân số hạng đầu 1, công bội Câu 7: Vì u1  0; q   u2  u1.q  0; u3  u1.q  Hay u2 n  u1.q n 1  0; u2 n 1  u1.q n  Câu 8: 1 Xét cấp số nhân  un  với u1  , q  2 Ta có un  u1.q n 1 1    2 n 1  2n Câu 9: 1 1  1 Dãy  ;  ;  ;1 có      nên không cấp số nhân 4  2 Câu 10:  u1  un 1 1  Dãy số   cấp số nhân với u1  2, q   un un 1  un Câu 11:  u  u1  có n 1   nên cấp số nhân với công bội q   Dãy số  un u   2.u n  n 1 Câu 12: Ta có un   n2  TOANMATH.com un       :  un 1  3n    3n 3  Trang   Suy un   n2 cấp số nhân với công bội q  Câu 13: Dãy u1 ; u3 ; u5 ; cấp số nhân công bội q Dãy 3u1 ;3u2 ;3u3 ; cấp số nhân công bội 3q Dãy 1 1 ; ; ; cấp số nhân công bội u1 u2 u3 q Dãy u1  1; u2  1; u3  1; cấp số nhân Câu 14: Ta có un  2un 1  3n   un  3n   un 1   n  1  5 với n  2; n   Đặt  un  3n  , ta có  2vn 1 với n  2; n   Như   cấp số nhân với công bội q = v1  10 Do  10.2n 1  5.2n Suy un  3n   5.2n hay un  5.2n  3n  với n  2; n   Vậy a  5, b  3, c  5 nên a  b  c    3   5   3 Câu 15: Ta có u1  5; u2  10  5.2; u3  15  5.3;  un  5.n Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng cấp số nhân Phương pháp giải Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1 Giải hệ phương trình tìm q u1 Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un  u1.q n 1  n   Tổng n số hạng  S n  nu1  u1 1  q n    Sn   q  q  q  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết  u  u  51 a)  u2  u6  102 u 6 b)   S3  43 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang    u1 1  q   51 *  u1  u1.q  51  u1  u5  51    a) Ta có  u2  u6  102 u1q  u1q  102 u1q 1  q   102 ** Chia vế (**) cho (*) ta  q   u1  u1q 1  q  u1 1  q  Sử dụng công thức uk  u1.q k 1 Đưa hệ phương trình 102  51 51 51  3  q 17 hệ phương trình hai ẩn q u1 Vậy u1  q =  u1q  u1q   *  u2    b)     q3   43 u1 1  q  q   43 **  S3  43 u1  1 q u1q  chia vế (*) cho (**) ta u1 1  q  q  43 q   43q  1  q  q   6q  37q     q    Với q   u1   Với q  Sử dụng công thức uk  u1.q k 1 Và S n  u1  qn ,q 1 1 q Đưa hệ phương trình hệ phương trình hai ẩn q u1  u1  36  q  q  Vậy  u1  u1  36 Ví dụ Cho cấp số nhân  un  có cơng bội ngun số hạng thỏa  u2  u4  10 mãn  u1  u3  u5  21 a) Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân b) Tổng số hạng đầu tiện 1365? Sử dụng công thức uk  u1.q k 1 Đưa hệ phương trình hệ phương trình hai ẩn q u1 c) Số 4096 số hạng thứ cấp số nhân? a) Ta có  u1  q  q   51  u1.q  u1.q  10  q  q 21       4 q q 10  u u q u q 21     u q q 21      1       1  10q  21q  10q  21q  10   10  q    21 q    10  q  q   Đặt q  1  t  t   q  Ta có phương trình q q TOANMATH.com Trang    5 t  2 10  t    21t  10   10t  21t  10    t2    q  2 5 Với t    q     2q  5q     q   q  Mà q nguyên nên q  2  Với t  2  q    5q  2q   (vô nghiệm) q Ta có q  2  u1  10  1 q  q3 Vậy q  2; u1  1 b) Ta có S n  1365  u1  qn  1365 1 q   2   1365  2n  4096  n  12  1 1 n Vậy tổng 12 số hạng 1365 c) Ta có uk  4096  u1.q k 1  4096   1 2  k 1  4096  2k 1  4096  2k 1  212  k   12  k  13 Vậy số 4096 số hạng thứ 13 cấp số nhân Ví dụ Tính tổng sau a) Sn  1 1     n 2 2 2 1 1  1   b) S n            3n  n  3  9    Hướng dẫn giải a) Ta có dãy số 1 1 ; ; ; ; n cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  công bội 2 2 2 q  2 n 1 1   n 1 q 1 Do S n  u1     1 n 1 q 1 2 TOANMATH.com Trang 10 ... Dãy số sau cấp số nhân? A un  n  B un  n  Câu 5: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A un   3n B un  n2 C un  2n  D un  n  Câu 6: Dãy số dãy số sau vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân? ... cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, , 0,  Khi q  , cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , , u1 ,  Khi u1  với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, , 0, Số hạng tổng quát Định lí Nếu cấp số nhân có số. .. TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số nhân dãy sô (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu  un  cấp số nhân với công bội