BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Nói cách ngắn gọn, lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Từ định nghĩa suy rằng: a) lim un = lim un = b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = , có giới hạn c) Dãy số ( un ) có giới hạn un gần được, miễn n đủ lớn Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1 Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un với n lim = lim un = STUDY TIP Định lí 4.1 thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn Định lí 4.2 Nếu q lim qn = Người ta chứng a) lim =0 n b) lim = n c) lim k = với số nguyên dương k cho trước n Trường hợp đặc biệt : lim = n nk = với k * a cho trước an STUDY TIP Cách ghi nhớ kết bên sau: Khi tử số không đổi, mẫu số lớn (dần đến dương vơ cực) phân số nhỏ (dần ) II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa d) lim Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn số thực L lim ( un − L ) = Kí hiệu: lim un = L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn STUDY TIP a) Dãy số không đổi ( un ) với un = c , có giới hạn c b) lim un = L khoảng cách un − L trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ miễn n đủ lớn; nói cách hình ảnh, n tăng điểm un “ chụm lại” quanh điểm L c) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử lim un = L Khi a) lim un = L lim un = L b) Nếu un với n L lim un = L Định lí 4.4 Giả sử lim un = L , lim = M c số Khi a) lim ( un + ) = L + M b) lim ( un − ) = L − M c) lim ( unvn ) = LM D) lim ( cun ) = cL e) lim un L (nếu M ) = M Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân có công bội q thỏa q Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: u S = u1 + u1q + u 1q + = 1− q III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn + Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un = + Nói cách ngắn gọn, lim un = + un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Người ta chứng minh rằng: a) lim un = + b) lim un = + c) lim n k = + với số nguyên dương k cho trước Trường hợp đặc biệt : limn = + d) lim qn = + q Dãy số có giới hạn − Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn − với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un = − Nói cách ngắn gọn, lim un = − un nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở Nhận xét: a) lim un = − lim ( −un ) = + b) Nếu lim un = + un trở nên lớn miễn n đủ lớn Đo 1 = trở un un nên nhỏ được, miễn n đủ lớn Nói cách khác, lim un = + lim =0 un STUDY TIP Các dãy số có giới hạn + − gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực Định lí 4.5 Nếu lim un = + lim =0 un STUDY TIP Ta diễn giải “nơm na” định lí 4.5 sau cho dễ nhớ: Khi tử số khơng đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối lớn(dần đến vơ cực) phân số nhỏ(dần ) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim un = lim = lim ( un ) cho bảng sau: lim un lim lim ( un ) + + + + − − − + − − − + STUDY TIP Vì − + số thực nên khơng áp dụng định lí giới hạn hữu hạn cho dãy số có giới hạn vơ cực Quy tắc Nếu lim un = lim = L lim ( un ) cho bảng sau: lim un Dấu L lim ( un ) + + + − + − + − − − − + Quy tắc Nếu lim un = L lim = kể từ số hạng trở u lim n cho bảng sau: Dấu L Dấu lim un + − + − + + − − + − − + STUDY TIP Ở ba quy tắc, dấu, tương tự quy tác dấu phép nhân phép chia hai số Để cho dễ nhớ, ta diễn giải quy tắc cách “nôm na” sau: - Quy tắc 1: Tích hai đại lượng vô lớn đại lượng vô lớn - Quy tắc 2: Tích đại lượng vơ lớn với đại lượng khác đại lượng vô lớn - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức nhỏ(dần ) phân thức lớn(dần vơ cực) B CÁC DẠNG TỐN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: lim ( n3 − 2n + 1) A Đáp án D C − B D + Lời giải Cách 1: Ta có: n3 − 2n + = n3 1 − + n n 1 Vì lim n3 = + lim 1 − + = nên theo quy tắc 2, lim ( n3 − 2n + 1) = + n n Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức n3 − 2n + giá trị lớn n (do n → + ) sau: Nhập vào hình biểu thức X − X + Bấm CALC Máy hỏi X ? Câu 2: nhập 105 , ấn = Máy kết hình bên Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số dương lớn Do chọn D lim ( 5n − n2 + 1) A + B − C Hướng dẫn giải D −1 Chọn B 1 Cách 1: Ta có 5n − n2 + = n2 −1 + + n n 1 Vì lim n = + lim −1 + + = −1 nên lim ( 5n − n2 + 1) = − (theo quy tắc 2) n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số âm nhỏ Do chọn đáp án có giới hạn − Tổng quát: Cho k số nguyên dương a) lim ( ak nk + ak −1nk −1 + + a1 n + a0 ) = + ak b) lim ( ak nk + ak −1nk −1 + + a1 n + a0 ) = − ak Chẳng hạn: lim ( n3 − 2n + 1) = + a3 = ; lim ( 5n − n2 + 1) = − a2 = −1 STUDY TIP Cho un có dạng đa thức (bậc lớn 0) n - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số dương lim un = + - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số âm lim un = − Câu 3: lim un , với un = A 5n2 + 3n − bằng: n2 B C Hướng dẫn giải D −7 Chọn B 5n 3n Cách 1: Ta có: lim un = lim + − = lim + − = n n n n n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự ví dụ Đây khơng phải giá trị xác giới hạn cần tìm, mà giá trị gần số hạng với n lớn, n dần vô cực Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đáp án B STUDY TIP 1500044 15 = nên chọn B Một số dòng máy kết dạng phân số, chẳng hạn Do 300007 Câu 4: lim un , với un = A −3 2n3 − 3n2 + n + n3 − n2 + B C Hướng dẫn giải D Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân 2− + + n n n Vì lim − + + = lim 1 − + = thức), ta được: un = n n n3 n n 1− + n n 2n − 3n + n + nên lim = = n3 − n2 + Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Câu 5: Giới hạn dãy số ( un ) , với un = A B n3 + 2n + n4 + 3n3 + 5n2 + C + D Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n bậc cao n phân thức), ta + + n + 2n + n n3 n = = lim un = lim = lim n + 3n3 + 5n + 1+ + + n n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Câu 6: Giới hạn dãy số ( un ) với un = A 3n3 + 2n − 2n2 − n C + B D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta 3n + − 3n + 2n − n n Vậy lim u = lim 3n = + = un = n 2n − n 2 2− n Cách 2: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân thức), ta 3+ − n n Vì lim + − = , lim − = − với lim un = lim n n2 n n3 n n − n n n nên theo quy tắc 3, lim un = + 1 n3 + − 3+ − n n = lim n n n Vì limn = + Cách 3: Ta có lim un = lim 2− n2 − n n 3+ − n n = nên theo quy tắc 2, lim u = + lim n 2− n Cách 4: Sử dụng MTCT tương ví dụ STUDY TIP Rõ ràng làm theo cách (chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n mẫu thức) phải lập luận cách cách Tổng quát: Xét dãy số ( un ) với un = ni + −1ni −1 + + a1n + a0 , , bk bk nk + bk −1n k −1 + + b1n + b0 (dạng phân thức với tử số mẫu số đa thức n ) a) Nếu i k (bậc tử lớn bậc mẫu) lim un = + aibk 0, lim un = − aibk b) Nếu i = k (bậc tử bậc mẫu) lim un = bk c) Nếu i k (bậc tử nhỏ bậc mẫu) lim un = STUDY TIP Cho un có dạng phân thức n - Nếu bậc tử cao bậc mẫu ( un ) có giới hạn vô cực - Nếu bậc tử bậc mẫu lim un hệ số lũy thừa cao tử chia cho hệ số lũy thừa cao mẫu - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu lim un = Câu 7: sin ( n!) n2 + A lim B C + Hướng dẫn giải D Chọn A Ta có sin ( n !) 1 = nên chọn đáp án A mà lim 2 n +1 n +1 n +1 Lưu ý: Sử dụng MTCT Với X = 13 , máy tính cho kết hình bên Với X 13 , máy bào lỗi việc tính tốn vượt khả máy Do với này, MTCT cho kết mang tính chất tham khảo Nhận xét: Hồn tồn tương tự, ta chứng minh rằng: a) lim sin k ( un ) cos k ( un ) = 0; b) lim =0 vn Trong lim = , k nguyên dương n sin cos3 ( 3n + 1) cos 2n + = ; lim = ; … Chẳng hạn: lim ; lim = n 2 n + 2n + n − 5n3 + n + STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với toán liên quan đến lượng giác, trước tính tốn ta cần chọn chế độ Rad (radian) Deg (degree) cho phù hợp với đề ( −1) lim n ( n + 1) n Câu 8: A −1 B C + Hướng dẫn giải D Chọn D ( −1) n ( n + 1) n Cách 1: Ta có 1 1 ( −1) = = = mà lim = nên suy lim n n ( n + 1) n.n n n ( n + 1) n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Nhận xét: Dãy (( −1) ) n có giới hạn Câu 9: Tính giới hạn I = lim A I = ( ( −1)n khơng có giới hạn dãy , lim = n2 − 2n + − n ) B I = −1 C I = Hướng dẫn giải D I = + Chọn B Cách 1: Ta có I = lim ( n − 2n + − n ) ( = lim n − 2n + − n )( n − 2n + + n ) n − 2n + + n −2 + n − 2n + ) − n ( −2 −2n + n = lim = lim = = −1 = lim 2 +1 n − 2n + + n n − 2n + + n 1− + +1 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ ba: ( a − b )( a + b ) = a2 − b2 Hai biểu thức a − b a + b gọi biểu thức liên hợp n2 − 2n + − n Ví dụ: n2 − 2n + + n hai biểu thức liên hợp Nhận xét: a) bước ta chia tử mẫu cho n Lưu ý n = n2 2 n2 − 2n + − n = n − + − 1 , Vì limn = + lim − + − 1 = nên n n n n không áp dụng quy tắc ví dụ trước b) Ta có ) ( Câu 10: lim n − 8n3 + 3n + bằng: B − A + C −1 Hướng dẫn giải D Chọn B ) ( Cách 1: Ta có lim n − 8n3 + 3n + = lim n 1 − + + n n ) ( Vì lim n = +,lim 1 − + + = − = −1 nên lim n − 8n3 + 3n + = − n n Cách 2: Sử dung MTCT ví dụ ( ) Câu 11: lim n − n 4n + bằng: A −1 B D − C + Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Ta có n2 − n 4n + = n2 1 − + n n2 Vì lim n = + lim 1 − + = nên theo quy tắc 2, lim n − n 4n + = + n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Tổng quát: ( ) Xét dãy số un = r ni + −1ni −1 + + a1n + a0 − s bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 , , bk i k = : Giới hạn hữu hạn r s + Nếu hai bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp - Nếu r = s bk + Nếu hai không bậc: Thêm bớt với r ni nhân với biểu thức liên hợp i k : Đưa lũy thừa bậc cao n dấu Trong r s trường hợp un có giới hạn vô cực - Nếu r s bk Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, em học bậc s ( s nguyên dương) r lũy thừa với số mũ hữu tỉ Người ta định nghĩa a s = s a r , a số thực dương, r số nguyên dương, s số nguyên dương, s Các tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương 1 Chẳng hạn: n = n , n = n , n2 = n Chẳng hạn: a) Với un = n2 − 2n + − n = n2 − 2n + − n2 : nhân chia với biểu thức liên hợp n2 − 2n + − n n2 − 2n + + n Dãy số có giới hạn hữu hạn −1 b) Với un = n − 8n3 + 3n + = n3 − 8n3 + 3n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) = − c) Với un = n2 − n 4n + = n ) ( n2 − 4n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) + ) ( lim n − n3 + 3n2 + : Câu 12: A −1 C + Hướng dẫn giải B D − Chọn A Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) n − n3 + 3n2 + n3 − ( n3 + 3n2 + 1) 3 lim n − n + 3n + = lim 3 3 n + n n + 3n + + ( n + 3n + 1) −3 − n = lim = −1 ) ( 1 + + + + 1 + + n n n n STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ bảy: a3 − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b2 ) Hai biểu thức a − b a + ab + b gọi hai biểu thức liên hợp (bậc ba) Câu 13: lim A ( ) n2 + n + − n3 + 3n + : C + B D − Hướng dẫn giải Chọn A ( ) n + n + − n3 + 3n + = lim n n Câu 14: lim ( − ) : lim ( ) ( ) n + n + − n + n − n3 + 3n + = A − C + B D Hướng dẫn giải Chọn C n Ta có 5n − 2n = 5n 1 − 5 n Vì lim 5n = + lim 1 − = nên theo quy tắc 2, lim ( 5n − 2n ) = + 5 n +1 n Câu 15: lim ( 3.2 − 5.3 + 7n ) : A − B + C Hướng dẫn giải D −5 Chọn A n n 2 lim ( 3.2n+1 − 5.3n + 7n ) = 3n −5 + + n = − 3 4.3n + 7n+1 Câu 16: lim : 2.5n + 7n A B C D 5 Hướng dẫn giải Chọn B n 3 + 4.3n + 7n+1 7 lim = lim n = =7 n n 2.5 + 5 + 7 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi Nhập vào hình Bấm CALC Máy hỏi X? Nhập 100, ấn = Máy kết 4n+1 + 6n+2 Câu 17: lim n n : +8 A B C 36 D Hướng dẫn giải Chọn A n n 4 6 + 36 n +1 n+2 +6 8 lim n n = lim n = +8 5 +1 8 STUDY TIP Khi sử dụng máy tính cầm tay, nhập giá trị X lớn, máy báo lỗi giá trị an , a tăng nhanh X tăng, nên vượt q khả tính tốn máy Khi cần thử lại giá trị khác X Như toán chứa an , a ta khơng nên tính với n q lớn Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự ví dụ ... III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn + Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un = + ... : limn = + d) lim qn = + q Dãy số có giới hạn − Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn − với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un = − Nói... cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa q Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: u S = u1 + u1q + u 1q + = 1− q III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN