Giáo án đại số lớp 11 định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm khoảng, đoạn + Nắm quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số + Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm + Trình bày ứng dụng đạo hàm vào giải tốn vật lý  Kĩ + Tính đạo hàm hàm số điểm, khoảng cách dùng định nghĩa + Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm +   Vận dụng đạo hàm vào giải tốn vật lí Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  x0   a; b  Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x  x0 f  x   f  x0  giới hạn x  x0 gọi đạo hàm hàm số y  f  x  x0 kí hiệu f   x0  có nghĩa f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  y  lim x  x x  x0 Trong x  x  x0 gọi số gia đối số x x0 y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  gọi số gia tương ứng hàm số Đạo hàm bên trái, bên phải f   x0   lim f  x   f  x0  ; x  x0 f   x0   lim f  x   f  x0  x  x0 x  x0 x  x0 Hệ quả: Hàm f  x  có đạo hàm x0 tồn f   x0  f   x0  , đồng thời f   x0   f   x0  Đạo hàm khoảng, đoạn - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm thuộc  a; b  - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  f  x  + Có đạo hàm x   a; b  ; + Có đạo hàm trái f   b   ; + Có đạo hàm phải f   a   Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục x0 Ý nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp TOANMATH.com Chú ý: + Nếu y  f  x  gián đoạn x0 khơng có đạo hàm x0 Trang   tuyến M 0T đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f  x0   + Nếu y  f  x  liên tục Phương trình tiếp tuyến x0 khơng có đạo hàm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm x0 M  x0 ; f  x0   y  y0  f   x0  x  x0  y0  f  x0  Ý nghĩa vật lí đạo hàm + Vận tốc tức thời : v  t0   s  t0  ; + Gia tốc: a  t0   v  t0    s  t0   ; + Cường độ dòng điện tức thời: I  t0   Q  t0  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Đạo hàm điểm ĐẠO HÀM f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  y  lim x  x x  x0  x  x  x ; y  f  x   f  x   Đạo hàm trái f   x0   lim Đạo hàm bên Đạo hàm khoảng Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có x  x0 f  x   f  x0  x  x0 Đạo hàm phải f   x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 ; đạo hàm điểm thuộc  a; b  Đạo hàm đoạn Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  f   x  , x   a; b     f   b    f   a  TOANMATH.com Trang   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; f  x0   Ý nghĩa hình học y  y0  f   x0  x  x0  k  f   x0  hệ số góc tiếp tuyến Ý NGHĨA Vận tốc tức thời CỦA ĐẠO v  t   s   t0  ; HÀM Ý nghĩa vật lí Gia tốc tức thời a  t0   v  t0  ; Cường độ tức thời I  t   Q  t0  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Dùng định nghĩa tính đạo hàm Bài tốn Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số điểm Phương pháp giải Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Hướng dẫn giải điểm x0 Tính y  f  x0  x   f  x0  Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y Bước 2: Lập tỉ số x y Bước 3: Tìm lim x  x y  f   x   f      x     2.22  3  2x  x   Tỉ số y 2x  x     2x  x x y  lim  2x    x  x x  lim TOANMATH.com Trang   Vậy f     y tồn hữu hạn x0 hàm x + Nếu lim x  y ; x  x số có đạo hàm f   x0   lim y không tồn hữu hạn x 0 x + Nếu lim x0 hàm số khơng có đạo hàm Ví dụ mẫu Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  2x 1 x0  x 1 Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f   x   f  3    x   5  2x 3x ;      x  4  x 4   x  y 3x   x x.4   x    x  Do lim x  y 3x 3  lim  lim   x   x  x x.4   x    x  16 Vậy f   3  16 Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f 1  x   f 1  1  x     y  x x lim x   2x  2x    2x ; 2x   ; 2x   y  lim   x  x 2x   Vậy f  1  Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  sin x x0   Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Giả sử x số gia đối số x0    Ta có: y  f   x       x       x  f    sin   x   sin  cos    sin ; 3 3  3  x sin y   x   cos    x   x x sin y   x  Do lim  lim cos    x x  x x  3  x  nên lim y  lim cos    x   cos     x  x x  x 3  sin Vì lim x    Vậy f     3  x  12 , x  Ví dụ Chứng minh hàm số f  x    khơng có đạo hàm x  có đạo  x , x  hàm x  Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim  x  1  1; lim f  x   lim   x    lim f  x   lim f  x  x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Suy hàm số gián đoạn x  nên khơng có đạo hàm f   x   f   1  x   12  lim  x  lim  lim   x  x 0 x  x x Vậy hàm số y  f  x  có đạo hàm x  f     Ví dụ Chứng minh hàm số f  x   2x2  x  x 1 liên tục x  1 khơng có đạo hàm điểm Hướng dẫn giải Vì f  x  hàm số sơ cấp xác định x  1 nên liên tục  Ta có: f   1   lim    x 1  f   1   lim    x  1 TOANMATH.com f  x   f  1 2x  lim   1; x  1 x  x 1 f  x   f  1 x 1  lim   x  1 Trang     Do f   1   f   1  nên f  x  khơng có đạo hàm x  1     Ví dụ Cho đồ thị hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  hình vẽ Dựa vào hình vẽ cho biết điểm x1 , x2 , x3 , x4 a, Hàm số có liên tục khơng? b, Hàm số có đạo hàm khơng? Tính đạo hàm có Hướng dẫn giải a, Hàm số gián đoạn điểm x1 , x3 đồ thị bị đứt điểm Hàm số liên tục x2 , x4 đồ thị đường liền nét qua điểm b, Tại điểm x1 , x3 hàm số khơng có đạo hàm hàm số gián đoạn điểm x1 , x3 Hàm số khơng có đạo hàm x2 đồ thị bị gãy (khơng có tiếp tuyến đó) Hàm số có đạo hàm x4 f   x4   x4 đồ thị hàm số có tiếp tuyến tiếp tuyến song song với trục hồnh (hệ số góc tiếp tuyến 0) Bài tốn Dùng định nghĩa tìm đạo hàm khoảng Phương pháp giải Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm x0 số y  x khoảng  ;   ? Tính y  f  x0  x   f  x0  Hướng dẫn giải Bước 2: Lập tỉ số y x y x  x Bước 3: Tìm lim  Giả sử x số gia đối số x Ta có: y  f  x  x   f  x    x  x   x 2  2x.x   x  Hàm số y  f  x  có đạo hàm có đạo hàm điểm Tỉ số y  2x.x   x   x  x x x  a; b   a; b  TOANMATH.com Trang    Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm thuộc  a; b  đồng thời tồn đạo hàm y  lim  x  x   x x  x x  lim Vậy f   x   x trái f   b   đạo hàm phải f   a   Ví dụ mẫu Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x x 1 khoảng  ;1  1;   ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x Ta có y  f  x  x   f  x   x  x x x   x  x  x   x  x  1 x  1 y x 1   x x  x  x  1 x  1  x  x  1 x  1 y 1 1  lim  x  x x   x  x  1 x  1  x  1 lim Vậy f   x   1  x  1 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y  cos x khoảng  ;   ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x x  x  Ta có: y  f  x  x   f  x   cos  x  x   cos x  2sin  x   sin   x  x x  x   2sin  x  sin sin  x  sin   y  2      x  x x y  lim  lim x  x x 0 x  x  sin  x   sin     sin x x Vậy f   x    sin x Bài tốn Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm Phương pháp giải TOANMATH.com Trang   Sử dụng tính chất  x2  x   Hàm f  x  có đạo hàm x0 Ví dụ Tìm m để hàm số f  x    x   2m x     tồn f   x0  f   x0  đồng thời có đạo hàm x  f   x0   f   x0  Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim x 1 x 1 x2   2; f 1  2m x 1 Để hàm số có đạo hàm x  f  x  phải liên tục x 1, suy lim f  x   f 1  2m   m  x 1 Thay m  vào hàm số f  x  thỏa mãn có đạo hàm x 1 Ví dụ mẫu  x  x x  có đạo hàm x  Ví dụ Tìm a, b để hàm số f  x    ax  b x  Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim  x  x   2; lim f  x   lim  ax  b   2a  b x  2 x2 x2 x2 Để hàm số có đạo hàm x  hàm số liên tục x  Do 2a  b  2  b  2a  Ta lại có: lim f  x   f  2 x  3x   lim  lim  x  1  1; x2 x2 x2 x2 lim f  x   f  2 ax  b   2  ax  b   lim  lim x2 x 2 x2 x2 x2 x 2 x 2 Do b  2a  nên lim x 2 ax  b  ax  2a   ax  2a  lim  lim a x2 x 2 x2 x2 x2 Để hàm số có đạo hàm x  lim x 2 f  x   f  2 f  x   f  2 a  a   lim   x2 x2 x2 b  2a  b  4 cos x, x  Ví dụ Chứng minh hàm số f  x     sin x, x  khơng có đạo hàm x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f  x   lim cos x  1; lim f  x   lim   sin x    lim f  x   lim f  x  x 0 TOANMATH.com x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Trang   Suy hàm số gián đoạn x  nên khơng có đạo hàm  x3 x   có đạo hàm x  Ví dụ Tìm a, b để hàm số f  x    ax  b x   Hướng dẫn giải Điều kiện cần  x3  1 Ta có f 1  ; lim f  x   lim    lim f  x   lim  ax  b   a  b x 1 x 1 x 1 x 1  3 Để hàm số f  x  có đạo hàm x  f  x  liên tục x  Do lim f  x   lim f  x   f 1  a  b  x 1 x 1 Điều kiện đủ: x3  f  x   f 1  3  lim x  x    lim f  1   lim x 1 x 1 x 1 x  x 1 f  1   lim x 1 f  x   f 1 f  x   f 1 ax  b   a  b  ax  a  lim  lim  lim  a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để hàm số f  x  có đạo hàm x  f  1   f  1   a   b   Vậy a  1; b   thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Số gia hàm số f  x   x điểm x0  ứng với x  A B Câu 2: Biểu thức y A y  0, C D y hàm số y  x  tính theo x x x y  x B y   x   x.x, C y  x.x   x   2, y  x  x x D y   x  , y  x  x x y  x x Câu 3: Đạo hàm hàm số y  x  điểm x0  1 A -1 B C D Câu 4: Đạo hàm hàm số y  x  x điểm x0 2 A f   x0   lim  x   x   x   B f   x0   lim  x   x  x0  x0   x 0  C f   x0   lim  x0 x   x   x   x   TOANMATH.com D f   x0   lim  x  x0  1 x 0 Trang 10 ... + Có đạo hàm phải f   a   Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục x0 Ý nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc... Dạng Dùng định nghĩa tính đạo hàm Bài tốn Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số điểm Phương pháp giải Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Hướng... x0  Đạo hàm khoảng, đoạn - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm thuộc  a; b  - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  f  x  + Có đạo hàm x   a; b  ; + Có đạo hàm trái