Giáo án đại số lớp 11 giới hạn của hàm số

BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Giới hạn hữu hạn điểm Định nghĩa 1: Cho ( a; b ) khoảng chứa điểm x0 hàm số y = f ( x ) xác định ( a; b ) f ( x ) = L  với dãy số xn  mà ( a; b ) \  x0  xlim →x xn  ( a; b ) \ x0  , xn → x0 ta có lim f ( xn ) = L Nhận xét: - Giới hạn hàm số định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn dãy số - Hàm số không thiết phải xác định x0 Định nghĩa (Giới hạn bên): Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( x0 ; b ) lim+ f ( x ) = L  với dãy số xn  mà x → x0 x0  xn  b, xn → x0 ta có lim f ( xn ) = L Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; x0 ) lim− f ( x ) = L  với dãy số xn  mà x → x0 a  xn  x0 , xn → x0 ta có lim f ( xn ) = L STUDY TIP x → x0+ nghĩa x → x0 x  x0 x → x0− nghĩa x → x0 x  x0 Định lí lim f ( x ) = L  lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 Giới hạn vô cực điểm Định nghĩa Cho ( a; b ) khoảng chứa điểm x0 hàm số y = f ( x ) xác định ( a; b ) f ( x ) = +  ( a; b ) \  x0  xlim →x với dãy số xn  mà xn  ( a; b ) \ x0  , xn → x0 ta có f ( xn ) = + Lưu ý: Các định nghĩa lim f ( x ) = −; lim+ f ( x ) = +; lim+ f ( x ) = −; lim− f ( x ) = +; lim− f ( x ) = − x → x0 x → x0 x → x0 phát biểu hoàn toàn tương tự Lưu ý: a) f ( x ) không thiết phải xác định điểm x0 x → x0 x → x0 b) Ta xét giới hạn f ( x ) điểm x0 có khoảng ( a; b ) (dù nhỏ) chứa x0 mà f ( x ) xác định ( a; b ) ( a; b ) \ x0  Chẳng hạn, hàm số f ( x ) = x có tập xác định D = 0; +  ) Do ta khơng xét giới hạn hàm số điểm x0 = , khơng có khoảng ( a; b ) chứa điểm mà f ( x ) xác định Tương tự ta không xét giới hạn f ( x ) điểm x0  c) Ta xét giới hạn bên phải f ( x ) điểm x0 có khoảng ( x0 ; b ) (khoảng nằm bên phải x0 ) mà f ( x ) xác định Tương tự, ta xét giới hạn bên trái f ( x ) điểm x0 có khoảng ( a; x0 ) (khoảng nằm bên trái x0 ) mà f ( x ) xác định Chẳng hạn, với hàm số f ( x ) = x − , điểm x0 = , ta xét giới hạn bên phải Với hàm số g ( x ) = − x , điểm x0 = , ta xét giới hạn bên trái d) lim f ( x) = +  lim− f ( x) = lim+ f ( x) = + x →xo x →x x →x o o lim f ( x) = −  lim− f ( x) = lim+ f ( x) = − x →xo x →x o x →x o II ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Giới hạn hữu hạn vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; + ) lim f ( x ) = L  với dãy số ( xn ) x →+ , xn  a xn → + ta có lim f ( x ) = L LƯU Ý: Định nghĩa lim f ( x ) = L phát biểu hoàn toàn tương tự x →− Giới hạn vô cực vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; + ) lim f ( x ) = +  với dãy số (x ), x n n x →+  a xn → + ta có lim f ( x ) = + LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f ( x ) = +, lim f ( x ) = −, lim f ( x ) = − phát biểu hoàn toàn tương x →− x →+ tự III MỘT SỐ GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT a) lim x = xo x → xo b) lim c = c; lim c = c ( c số ) x → xo x → c = ( c số, k nguyên dương ) x → x k c) lim x →− d) lim x k = + với k nguyên dương; lim x k = − k số nguyên lẻ; lim x k = + x →− x →+ x →− k số nguyên chẵn Nhận xét: lim f ( x ) = +  lim  − f ( x ) = − x →+ x →+ IV ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí Giả sử lim f ( x ) = L lim g( x ) = M Khi x → xo x → xo a) lim  f ( x)  g( x) = L  M x →xo b) lim  f ( x)g( x) = LM ; lim cf ( x) = cL với c x →xo x →xo f ( x) L = ( M  0) g( x ) M c) lim x → xo STUDY TIP: Giới hạn hữu hạn, giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm tổng, hiệu, tích, thương giới hạn chúng điểm (trong trường hợp thương, giới hạn mẫu phải khác khơng) Định lí Giả sử lim f ( x ) = L Khi x → xo a) lim f ( x ) = L x → xo b) lim f ( x ) = L x → xo c) Nếu f ( x )  với J \  xo  , J khoảng chứa xo , L  lim x → xo f ( x) = L LƯU Ý: Định lí định lí thay x → xo x → x − o , x → x + o V QUY TẮC VỀ GIỚI HẠN VƠ CỰC Các định lí quy tắc áp dụng cho trường hợp: x → xo , x → x −o , x → x +o , x → + x →− Tuyên nhiên, gọn, ta phát biểu cho trường hợp x → xo Quy tắc (Quy tắc tìm giới hạn tích) L = lim f ( x ) x → xo L0 L0 STUDY TIP: Giới hạn tích hai hàm số lim g( x ) x → xo + − + − lim  f ( x)g( x) x →xo + − − + - Tích hàm số có giới hạn hữu hạn khác với hàm số có giới hạn vơ cực hàm số có giới hạn vô cực - Dấu giới hạn theo quy tắc dấu phép nhân hai số Quy tắc (Quy tắc tìm giới hạn thương) L = lim f ( x ) x → xo L L0 lim g( x ) x → xo Dấu g( x ) lim x → xo  Tùy ý + + L0 (Dấu g ( x ) xét khoảng K tính giới hạn, với x  xo ) f ( x) g( x ) + − − + STUDY TIP: Giới hạn thương hai hàm số Tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0: - Mẫu thức tang (dần đến vơ cực) phân thức nhỏ (dần đến 0) - Mẫu thức nhỏ (dần đến 0) phân thức có giá trị tuyệt đối lớn (dần đến vô cực) - Dấu giới hạn theo quy tắc dấu phép chia hai số VI CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH: GỒM  , ,0. VÀ  −   B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG 1: TÌM GIỚI HẠN XÁC ĐỊNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ VÀ QUY TẮC Phương pháp: - Xác định dạng toán: giới hạn điểm hay giới hạn vô cực? giới hạn xác định hay vô định? - với giới hạn hàm số điểm ta cần lưu ý: Cho f ( x ) hàm số sơ cấp xác định khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 Khi đó, lim f ( x ) = f ( xo ) x → xo - Với giới hạn hàm số vô cực ta “xử lí” tương tự giới hạn dãy số - Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, định lí giới hạn hữu hạn quy tắc giới hạn vô cực STUDY TIP: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = f ( x) giới hạn x → x0 - Chọn hai dãy số khác ( an ) ( bn ) thỏa mãn an bn thuộc tập xác định hàm số y = f ( x) khác x0 ; an → x0 ; bn → x0 - Chứng minh lim f ( an )  lim f ( bn ) chứng minh hai giới hạn không tồn f ( x ) không tồn TH x → x0 x →  chứng minh tương tự - Từ suy xlim →x o Ví dụ 1: Chọn khẳng định khẳng định sau: B lim sin x = −1 A lim sin x = C lim sin x = x →+ x →+ x →+ D lim sin x không tồn x →+ Đáp án D Lời giải Xét dãy số ( xn ) với xn =  + 2n   Ta có xn → + limsin xn = limsin  + 2n  = 2  Lại xét dãy số ( yn ) với yn = −  (1) + 2n    Ta có yn → + limsin yn = limsin  − + 2n  = −1   ( 2) Từ (1) ( 2) suy lim sin x không tồn Vậy chọn đáp án D x →+ Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) = x2 + , lim f ( x) bằng: x →3 x A + B C D STUDY TIP: Giới hạn điểm Nếu f ( x ) xác định x0 tồn khoảng ( a; b ) thuộc tập xác định f ( x ) chứa x0 lim f ( x ) = f ( xo ) x → xo - Việc sử dụng hay khơng sử dụng MTCT để tính f ( xo ) tùy thuộc vào mức độ phức tạp f ( xo ) khả tính toán độc giả Đáp án C Lời giải Hàm số cho xác định ( 0;+ ) Cách (sử dụng định nghĩa): Giải sử ( xn ) dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn  0, xn  xn → n → + Ta có xn2 + 32 + lim f ( xn ) = lim = = ( áp dụng quy tắc giới hạn hữu hạn dãy số) Do xn lim f ( x) = x →3 Cách (sử dụng định lí giới hạn hữu hạn): Theo định lí ta có: x + lim1 lim x.lim x + lim1 3.3 + ( x2 + 1) lim x + lim x →3 x →3 x →3 x →3 lim f ( x ) = lim = = = x→3 x→3 = = x →3 x →3 x lim 2.lim x lim lim x lim x x →3 x →3 x →2 x →3 x →3 ( ) Tuy nhiên thực hành, câu hỏi trắc nghiệm nên ta làm sau Cách 3: Vì f ( x ) hàm số sơ cấp xác định lim f ( x ) = f ( 3) = x →3 ( 0;+ ) chứa điểm x0 = nên 10 = 3 Do sử dụng MTCT ta làm cách Cách 4: Nhập biểu thức vào hình Bấm phím CALC, máy hỏi X ? nhập = Máy hiển thị kết hình: Do chọn đáp án C Ví dụ 3: Chọn khẳng định khẳng định ? x+2 = x−2 A lim x+2 =1 x−2 B lim C lim x+2 = −1 x−2 D Hàm số f ( x ) = x →3 x →3 x →3 x+2 khơng có giới hạn x → x−2 Đáp án B Lời giải Hàm số f ( x ) = x+2 xác định khoảng ( −;2) ( 2;+ ) Ta có  ( 2; + ) x−2 Cách : lim f ( x ) = f ( 3) = x →3 3+ = 3− x+2 hình MTCT Bấm phím CALC , máy x−2 hỏi X? nhâp = Máy hiển thị kết hình: Cách : Nhập biểu thức hàm số f ( x ) = Vậy lim x →3 Ví dụ 4: x+2 = x−2 lim ( −2 x + x ) bằng: x →− A −2 C + B D − Đáp án C Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị f ( x ) = −2x3 + 5x điểm có giá trị âm nhỏ (do ta xét giới hạn hàm số x →− ), chẳng hạn −1020 Máy hiển thị kết hình: Đó giá trị dương lớn Vậy chọn đáp án C , tức lim ( −2 x3 + x ) = + x →− 5  Cách 2: Ta có −2 x3 + 5x = x3  −2 +  x   5 5   Vì lim x3 = − lim  −2 +  = −2  nên lim x3  −2 +  = + x →− x →− x →− x  x    5  Vậy theo Quy tắc 1, lim −2 x3 + 5x = lim x3  −2 +  = + Do chọn C x →− x →− x   ( ) Lưu ý 1: 5  - Để hiểu lim x3 = − lim  −2 +  = −2 xin xem lại phần giới hạn đặc biệt x →− x →− x   - Bài tốn thuộc dạng tính giới hạn hàm số x dần tới vô cực, x →− Do khơng thể áp dụng kết biết giới hạn dãy số, giới hạn dãy số xét n → + Ta áp dụng kĩ thuật biết giới hạn dãy số Lưu ý 2: Có thể dễ dàng chứng minh kết sau : Cho hàm số f ( x ) = ak xk + ak −1xk −1 + + a1x + a0 (ak  0) đa thức bậc k x x → + k ak Giới hạn f ( x ) ak  + ak  − ak  + ak  − ak  − Tùy ý k chẵn x →− k lẻ ak  + a a a  Thật vậy, ta có f ( x ) = x k  ak + k −1 + + k1−1 + 0k x x x     a a  a  Vì lim  ak + k −1 + + k1−1 + 0k  = ak lim x k = + với k tùy ý, lim x k = + k chẵn, x →+ x →− x → x x x   lim x k = − k lẻ nên ta dễ dàng suy bảng kết x →− Ví dụ 5: lim ( 3x − x + 1) bằng: x →− A + B − C D Đáp án A Lời giải Cách 1: Theo nhận xét lim ( 3x − x + 1) = + ( x → −, k chẵn ak  ) Thật x →−   vậy, ta có 3x − x + = x  − +  x x   1  Vì lim x = + lim  − +  =  nên lim ( 3x − x + 1) = + x →− x →− x → x x   STUDY TIP - Giới hạn vô cực hàm đa thức vô cực, phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao - Giới hạn hàm đa thức + phụ thuộc vào hệ số lũy thừa bậc cao (Giống với giới hạn dãy số dạng đa thức) - Giới hạn hàm đa thức − phụ thuộc vào bậc hệ số lũy thừa bậc cao Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f ( x ) = 3x4 − x2 + x = −1020 , ta kết hình : Kết số dương lớn Do chọn đáp án A, Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) = x − x + Khẳng định ? A lim f ( x ) = − B lim f ( x ) = + C lim f ( x ) = D lim f ( x ) không tồn x →− x →− x →− x →− Đáp án B Lời giải Hàm số f ( x ) = x − x + xác định Có thể giải nhanh sau : Vì x − x + hàm đa thức x nên có giới hạn vơ cực Mà x2 − x +  với x nên giới hạn f ( x ) = x − x + − chắn + Thật vậy, ta có   x − x + = x 1 − +  = x − + x x  x x  Vì lim x = + lim − + =  nên lim x2 − x + = + x →− x →− x →− x x Hoặc ta sử dụng MTCT để tính giá trị f ( x ) giá trị âm nhỏ x , chẳng hạn x = −1020 ta kết hình: Kết số dương lớn Do ta chọn đáp án B (Dễ thâý kết hiển thị máy tính kết gần khả tính tốn hạn chế MTCT Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án xác) STUDY TIP Ta có lim x = + x → Khi x →− x  Với x  ta có x2 = − x Cần đặc biệt lưu ý điều tính giới hạn − hàm chứa thức Ví dụ 7: Giới hạn hàm số f ( x ) = x − x − x + x →− bằng: A − B + C −1 Đáp án A Lời giải Cách 1: Ta có:  1  1  x − x − x + = x 1 −  − x  +  = x − − x + x  x x  x   1  = x  − − +  x x    1 Mà lim x = + lim  − − +  x →− x → x x    = − = −1   D Vậy lim x →− (   1 x − x − x + = lim  x  − − + x →− x x   )    = −   Lưu ý: - Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa thức để hiểu lại có định hướng giải (mà khơng nhân chia với biểu thức liên hợp) x2 − x = +; lim x2 + = + - Có thể thấy sau: Vì lim x→− x→− Mà hệ số x x + lớn hệ số x x − x nên suy lim x →− ( ) x − x − x + = − Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = −1010 ta kết hình Vậy chọn đáp án A Ví dụ 8: 2017 bằng: x →+ x − x lim A 2017 B − C + D Đáp án D Lời giải Cách 1: Vì lim ( x3 − x5 ) = − nên theo quy tắc 2, lim x →+ x →+ 2017 =0 3x3 − x5 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = 1010 ta kết hình Đó kết gần Do chọn đáp án D STUDY TIP Khi hàm số không xác định x0 ta thử áp dụng quy tắc giới hạn vơ cực Đó quy tắc áp dụng cho dạng L. ; - Dạng L : giới hạn  L L ; Lưu ý cách xác định dấu giới hạn  L : Giới hạn vô cực - Dạng L. Ví dụ 9: Giới hạn bên phải hàm số f ( x ) = A + 3x − x → x−2 B − C D Đáp án B Lời giải Hàm số f ( x ) = 3x − xác định ( −; +) \ 2 x−2 Cách 1: Ta có lim+ ( x − ) = 0, x −  với x  lim+ ( 3x − ) = 3.2 − = −1  Do x →2 x →2 theo quy tắc lim+ x→2 3x − = − x−2 Cách 2: Sử dụng MTCT Tính giá trị f ( x ) = 3x − x = ta thấy máy báo lỗi Math Error x−2 (do f ( x ) không xác định x = ) Quay lại tính giá trị f ( x ) x = + 10−10 (tức 2, 0000000001 ) giá trị x lớn gần Kết số âm nhỏ Do chọn đáp án B 3x + x − Ví dụ 10: Xét tốn “Tìm lim− ”, bạn Hà giải sau: x →2 x − x + Bước 1: Vì lim− ( x − x + ) = x →2 Bước 2: x − x +  với x  x đủ gần 2, Bước 3: lim− ( 3x + x − 1) = 13  x →2 Bước 4: nên theo quy tắc 2, lim− x →2 3x + x − = + x2 − 5x + Hỏi lời giải bạn Hà sai từ bước thứ ? A Bước B Bước C Bước D Bước Đáp án B Lời giải Xét dấu biểu thức g ( x ) = x2 − 5x + ta thấy g ( x )  với x  (1;2 ) 3x + x − = − ) Vậy lời giải sai từ bước (Lời giải cho kết lim− x →2 x − x + STUDY TIP x → x0+ nghĩa x → x0 x  x0 x → x0− nghĩa x → x0 x  x0 Nếu x → x0+ tính giá trị hàm số x = x0 + 10−k Nếu x → x0− tính giá trị hàm số x = x0 −10−k Trong k sơ ngun dương Ví dụ 11: Giới hạn lim x →4 1− x ( x − 4) bằng: B −3 A D + C − Đáp án C Lời giải Cách 1: Ta có lim (1 − x ) = −3  0, lim ( x − ) = ( x − )  với x  nên theo quy x→4 tắc 2, lim x →4 1− x ( x − 4) 2 x→4 = − Vậy chọn đáp án C Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = + 10−8 x = − 10−8 kết hình Vậy chọn đáp án C 5 x + x  Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x ) =  Khẳng định ?  x − x  A lim f ( x ) = B lim f ( x ) = −2 C lim− f ( x ) = D lim+ f ( x ) = x →1 x →1 x →1 x →1 Đáp án D Lời giải Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( x + ) = 5.1 + = Vì có đáp án nên chọn đáp án D x →1 x →1 STUDY TIP Cần xác định biểu thức f ( x ) x → x0+ x → x0− Giải thích thêm : Ta có lim− f ( x ) = lim− ( x − 3) = 12 − = −2 x →1 x →1 Vậy lim− f ( x )  lim+ f ( x ) nên lim f ( x ) không tồn x →1 x →1 x →1 Các đáp án A, B, C sai STUDY TIP lim f ( x ) = L  lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L x→x0 x → x0 x → x0  x − x   Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x ) =  x − x    x+2 (1) ( 2) Trong biểu thức (2) trên, cần thay số số để hàm số f ( x ) có giới hạn x → ? A 19 B C −1 D Khơng có số thỏa mãn Đáp án C Lời giải Hàm số cho định \ 2 Cách 1: Ta có lim+ f ( x ) = lim+ x2 − = 32 − = x→3 Đặt f ( x ) = x→3 x2 − m x  ( m tham số, m  ) x+2 x2 − m 32 − m − m = = Ta có lim− f ( x ) = lim− = x →3 x →3 x+2 3+ Để hàm số f ( x ) có giới hạn x → lim+ f ( x ) = lim− f ( x )  x →3 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức x →3 9−m =  m = −1 X − X = kết Sử dụng X2 − A X = nhận giá trị 19,1 −1 Ta X +2 thấy A = −1 biểu thức nhận giá trị Vậy chọn đáp án C MTCT tính giá trị biểu thức Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình đây: Quan sát đồ thị cho biết giới hạn sau, giới hạn + ? A lim f ( x ) x →− B lim f ( x ) x →+ C lim + f ( x ) D lim− f ( x ) x →( −3) x →3 Đáp án C Lời giải Khi x → −3+ , đồ thị hàm số đường cong lên từ phải qua trái Do lim + f ( x ) = + x→( −3) Tương tự ta có lim f ( x ) = lim f ( x ) = ; lim− f ( x ) = − x →− x →+ x →3 Do chọn đáp án C DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VƠ ĐỊNH DẠNG STUDY TIP  Khi tính giới hạn mà khơng thể áp dụng trực tiếp định lí giới hạn hữu hạn hay quy tắc giới hạn vơ cực biết ta gọi dạng vô định  , , 0.  −  Để tính giới hạn dạng vơ định ta phải biến đổi biểu  thức hàm số dạng áp dụng định lí quy tắc biết Làm gọi “khử dạng vơ định”  Kí hiệu dạng vơ định gồm: Bài tốn: Tính lim x → x0 f ( x) lim f ( x ) = lim g ( x ) = , f ( x ) g ( x ) đa thức thức x → x0 x → x0 g ( x) Phương pháp giải (tự luận) ✓ Phân tích tử mậu thành tích nhân tử giản ước Cụ thể, lim f ( x ) = lim g ( x ) = nên x → x0 x → x0 f ( x ) g ( x ) có nghiệm x = x0 Do ta phân tích f ( x ) = ( x − x0 ) A ( x ) g ( x ) = ( x − x0 ) B ( x ) Khi ta có: lim x → x0 tính lim x → x0 f ( x) ( x − x0 ) A ( x ) = lim A ( x ) cơng việc cịn lại = lim g ( x ) x→ x0 ( x − x0 ) B ( x ) x→ x0 B ( x ) A( x) B ( x) ✓ Nếu f ( x ) g ( x ) có chứa thức nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp trước phân tích chúng thành tích để giản ước STUDY TIP Phân tích đa thức thành nhân tử: ✓ Áp dụng đẳng thức đáng nhớ ✓ Khi biết f ( x ) có nghiệm x = x0 , ta sử dụng lược đồ Hooc-ne chia f ( x ) cho x = x0 thương A ( x ) Khi f ( x ) = ( x − x0 ) A ( x ) ✓ Áp dụng kết quả: phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm x1 , x2 ax2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Tổng quát: phương trình ak xk + ak −1xk −1 + + a1x1 + a0 = có nghiệm thực x1, x2 , , xm ak xk + ak −1 xk −1 + + a1x1 + a0 = ak ( x − x1 ) ( x − xm ) A ( x ) , A ( x ) đa thức bậc k − m Tuy nhiên, thực tế, ta dùng kết có đủ k nghiệm thực, tức m = k Trường hợp ngược lại nên dùng lược đồ Hooc-ne (với phương trình bậc hai, bậc ba dùng MTCT để tìm nghiệm) Ví dụ 1: Tính lim x →2 A B x2 − x − 3x + C −2 D −4 Phân tích: Vì lim ( x − ) = lim ( x − 3x + ) = nên giới hạn vô định dạng Ta thấy x − x − 3x + triệt tiêu x = nên x = nghiệm x − x − 3x + Từ ta có cách giải sau x →2 x →2 Lời giải ( x − )( x + ) = lim x + = + = x2 − = lim Cách 1: Ta có lim x →2 x − 3x + x →2 ( x − )( x − 1) x →2 x − −1 x2 − Cách 2: Dử dụng MTCT tính giá trị hàm số f ( x ) = x = ta thấy máy báo lỗi x − 3x + Math Error (do hàm số không xác định x = ) Quay lại tính giá trị hàm số 2, 0000000001 ta kết sau: Lại quay lại tính giá trị hàm số 1,9999999999 ta kết sau: Vậy chọn đáp án B Ví dụ 2: Tính giới hạn lim x →1 xm − xn ( m, n  *) , ta kết quả: x −1 B m − n A + C m D Lời giải  xm − xn −  xm − xn = lim  − Cách 1: Ta có lim  x →1 x →1 x −1  x −1 x −1  ( x − 1) ( x xm −1 = lim Lại có lim x →1 x − x →1 Tương tự: lim x →1 Vậy lim x →1 m −1 + x m−2 + + x + 1) x −1 = lim ( x m−1 + x m− + + x + 1) = m x →1 xn −1 = n x −1  xm −1 xn −1  xm − xn xm −1 xn −1 = lim  − = lim − lim = m−n  x →1 x −1  x − x −  x→1 x − x→1 x − Cách 2: Cho m n giá trị cụ thể, chẳng hạn m = m = Sử dụng MTCT tính lim x →1 x3 − x x3 − x ta kết lim = −4 Vậy đáp án B x →1 x − x −1 STUDY TIP  x m − = ( x − 1) ( x m−1 + x m−2 + + x + 1)  lim xm −1 =m x −1  lim xn −1 =n x −1 x →1 x →1 Ví dụ 3: Chọn khẳng định khẳng định sau: A lim x+3 −2 =0 x − 3x + B lim x+3 −2 = + x − 3x + C lim x+3 −2 = − x − 3x + D lim x+3 −2 không tồn x − 3x + x →1 x →1 x →1 Phân tích: Vì lim x →1 ( ) x + − = lim ( x3 − x + ) = nên dạng vô định ta chưa thể phân tích liên hợp x →1 x + − x →1 Tuy nhiên x + − thành nhân tử mà phải nhân tử mẫu với biểu thức x +3 +2 Lời giải x+3 −2 = x − 3x + Cách 1: Ta có = Mà lim− x →1 ( ) ( ( ( )( x + − 2) x + + ) ( x − 3x + ) x+3 +2 x −1 x + + ( x − 1)( x + ) Do lim x →1 Suy lim x →1 ( ) ) x + + ( x − 1) ( x + ) = − ; lim+ x →1 x + + ( x − 1)( x + ) ( = ) ( ) x + + ( x − 1)( x + ) x + + ( x − 1)( x + ) = + không tồn x+3 −2 không tồn Vậy chọn đáp án D x − 3x + x+3 −2 x = ta thấy máy báo lỗi Math x − 3x + Error Quay lại tính giá trị biểu thức x = 1, 000001 x = 0,999999 ta kết quả: Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức Hai kết số dương lớn, số âm nhỏ Do kết luận lim x →1 x+3 −2 x − 3x + khơng tồn Nhận xét: - Nếu tính giá trị biểu thức điểm dễ chọn đáp án sai L dạng xác định 0 - Ở ta chuyển dạng vơ định - Dùng MTCT tìm nghiệm phương trình x3 − 3x + = ta x1 = 1, x2 = −2 Như phải có nghiệm nghiệm kép phương trình bậc ba Trong trường hợp này, theo Tip nêu, ta nên dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức x3 − 3x + thành nhân tử Ví dụ 4: Giới hạn lim x →1 x − − 3x − bằng: x −1 C + B A Phân tích: lim x →1 ( ) D 2 x − − 3 x − = lim ( x − 1) = nên dạng vô định x →1 Ta chưa thể phân tích f ( x ) = x − − 3x − thành nhân tử Mà f ( x ) lại hiệu hai thức 2x −1 3x − đạt giá trị x = nên ta biến đổi không bậc Ta để ý thấy sau: f ( x ) = ( ) ( ) x − − + − 3x − tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp Lời giải Cách 1: Ta có x − − 3x − 2 x − − 1 − 3x − = + x −1 x −1 x −1 = ( 2x − ) x − + ( x − 1) + (1 + − 3x ) 3x − + ( 3x − 22 ) ( x − 1) − x − + 1 + 3 x − + ( x − 22 ) =    =0 − Tac có: lim  x →1  x − + + 3x − + ( 3x − )    Do lim x →1 x − − 3x − = x −1 x − − 3x − x = ta thấy máy báo lỗi x −1 Math Error Quay lại tính giá trị biểu thức x = 0,99999999 x = 1, 00000001 ta kết Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức quả: Do chọn đáp án B tức lim x →1 x − − 3x − =0 x −1 STUDY TIP Cho f ( x ) = A( x) − B ( x) đổi sau: f ( x ) = Ví dụ 5: Tính giới hạn lim x →1 A (chứa hai khác bậc) A ( x0 ) = B ( x0 ) = m ta biến x − x0 A( x) − m + m − B ( x) x − x0 6x − − 4x − ( x −1) C + B −2 Lời giải Cách 1: Đặt t = x −1 x = t + 1, lim t = x →1 D − 6x − − 4x − ( x − 1) 6t + − 4t + 6t + − ( 2t + 1) ( 2t + 1) − 4t + = + t2 t2 t2 = = 6t + − (8t + 12t + 6t + 1) 2 t  ( 6t + 1) + ( 2t + 1) 6t + + ( 2t + 1)    −8t − 12 = ( 6t + 1) 3 Vậy lim 6x − − 4x − ( x −1) x →1 2 + ( 2t + 1) 6t + + ( 2t + 1) ( 6t + 1) t →0 3 Vậy lim + ( 2t + 1) 6t + + ( 2t + 1) 6x − − 4x − ( x −1) x →1 2 + 4t + 1) − ( 4t + 1) ( t 2t + + 4t + ) 2t + + 4t +   −8t − 12   = lim + 2 t →0   t + + t +  ( 6t + 1) + ( 2t + 1) 6t + + ( 2t + 1)  −8t − 12 Mà lim + ( 4t + =− 4 12 = −4 ; lim = = t → 2t + + 4t + = −4 + = −2 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức 6x − − 4x − ( x − 1) x = 0,9999999 x = 1, 0000001 ta kết quả: Do chọn đáp án B Lưu ý: - Trong cách thứ 2, ta tính giá trị biểu thức x = 0,999999999 x = 1, 000000001 ta kết quả: Do vượt q giới hạn tính tốn máy Do khơng thử lại với cá trị lớn ta chọn đáp án A có nhiều vấn đề cần phân tích thêm Nếu làm ví dụ ta biến đổi 6x − − 4x − ( x − 1) = ( = ) 1+ 4x − − ( ( x − 1) ( x − 5) ( 6x − −1 − 4x − nhân liên hợp để thu + 2 ( x −1) ( x −1) ( x − 5) ) + 6x − +1 )( + 6x − +1 1+ 4x − ) 6x − − 4x − ( x − 1) nên tiếp tục phải khử dạng vô định Mà việc khử phức tạp biểu thức thu cồng kềnh Để giải khó khăn ta thấy lời giải trình bày trên, ta tiến hành đổi biến mẫu gọn lại không thêm bớt tử thức mà thêm bớt nhị thức 2t + Vậy sở để tìm nhị thức đó? - Ta thấy giới hạn thu cịn dạng vơ định Ta mong muốn sau thêm bớt tử thức với lượng A ( t ) tách thành hai phân thức để nhân liên hợp tử thức xuất nhân tử t để giản ước với t mẫu 6t + − 4t + 6t + − A ( t ) A ( t ) − 4t + = + t2 t2 t2 Vậy ta phải có A2 ( t ) − ( 4t + 1) = kt  A2 ( t ) = kt + 4t +  k = A2 ( t ) = ( 2t + 1)  A ( t ) = 2t + - Ở nhiều toán giới hạn, ta thấy việc sử dụng MTCT nhanh giải thông thường Tuy nhiên khuyến nghị độc giả nên nắm vững phương pháp giải thơng thường (theo hình thức tự luận), nhiều tập khơng đơn tính giới hạn mà người đề hỏi nhiều hình thức khác nhau, đặc biệt có nhiều cách đề hạn chế việc sử dụng MTCT để tìm đáp án STUDY TIP Trong nhiều tốn, khơng nên tính giá trị hàm số điểm mà nên tính lại số điểm từ lớn đến nhỏ từ hai phía trái, phải x0 x2 − ( a + 2) x + a + Ví dụ 6: Giới hạn hàm số f ( x ) = x → x3 − a A − B a C −a − D 2−a Lời giải x2 − ( a + 2) x + a + ( x − 1)( x − a − 1) = lim x − a − = − a = lim Cách 1: lim x →1 x − x + x + x →1 x3 − ( )( ) x→1 x + x + Cách 2: (Đặc biệt hóa để sử dụng MTCT) Cho a giá trị bất kì, chẳng hạn a = , f ( x) = x − 3x + a x − 3x + Dùng MTCT ta tìm lim =− =− 3 x →1 x −1 3 x −1 Vậy chọn đáp án A Giải thích: phương trình x2 − ( a + 2) x + a + = có tổng hệ số nên ta có nghiệm 1, nghiệm lại a +1 Do ta phân x − ( a + 2) x + a + = ( x −1)( x − a − 1) STUDY TIP  Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm tích ... → xo - Với giới hạn hàm số vô cực ta “xử lí” tương tự giới hạn dãy số - Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, định lí giới hạn hữu hạn quy tắc giới hạn vô cực... STUDY TIP: Giới hạn tích hai hàm số lim g( x ) x → xo + − + − lim  f ( x)g( x) x →xo + − − + - Tích hàm số có giới hạn hữu hạn khác với hàm số có giới hạn vơ cực hàm số có giới hạn vơ... TẮC Phương pháp: - Xác định dạng toán: giới hạn điểm hay giới hạn vô cực? giới hạn xác định hay vô định? - với giới hạn hàm số điểm ta cần lưu ý: Cho f ( x ) hàm số sơ cấp xác định khoảng ( a; b