Untitled BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 1 Định nghĩa Ta nói rằng dãy số ( )nu có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số[.]
BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Nói cách ngắn gọn, lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Từ định nghĩa suy rằng: a) lim un = lim un = b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = , có giới hạn c) Dãy số ( un ) có giới hạn un gần được, miễn n đủ lớn Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1 Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un với n lim = lim un = STUDY TIP Định lí 4.1 thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn Định lí 4.2 Nếu q lim qn = Người ta chứng a) lim =0 n b) lim = n c) lim k = với số nguyên dương k cho trước n Trường hợp đặc biệt : lim = n nk = với k * a cho trước an STUDY TIP Cách ghi nhớ kết bên sau: Khi tử số không đổi, mẫu số lớn (dần đến dương vơ cực) phân số nhỏ (dần ) II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa d) lim Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn số thực L lim ( un − L ) = Kí hiệu: lim un = L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn STUDY TIP a) Dãy số không đổi ( un ) với un = c , có giới hạn c b) lim un = L khoảng cách un − L trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ miễn n đủ lớn; nói cách hình ảnh, n tăng điểm un “ chụm lại” quanh điểm L c) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử lim un = L Khi a) lim un = L lim un = L b) Nếu un với n L lim un = L Định lí 4.4 Giả sử lim un = L , lim = M c số Khi a) lim ( un + ) = L + M b) lim ( un − ) = L − M c) lim ( unvn ) = LM D) lim ( cun ) = cL e) lim un L (nếu M ) = M Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa q Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: u S = u1 + u1q + u 1q + = 1− q III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn + Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un = + Nói cách ngắn gọn, lim un = + un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Người ta chứng minh rằng: a) lim un = + b) lim un = + c) lim n k = + với số nguyên dương k cho trước Trường hợp đặc biệt : limn = + d) lim qn = + q Dãy số có giới hạn − Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn − với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un = − Nói cách ngắn gọn, lim un = − un nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở Nhận xét: a) lim un = − lim ( −un ) = + b) Nếu lim un = + un trở nên lớn miễn n đủ lớn Đo 1 = trở un un nên nhỏ được, miễn n đủ lớn Nói cách khác, lim un = + lim =0 un STUDY TIP Các dãy số có giới hạn + − gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực Định lí 4.5 Nếu lim un = + lim =0 un STUDY TIP Ta diễn giải “nơm na” định lí 4.5 sau cho dễ nhớ: Khi tử số khơng đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối lớn(dần đến vơ cực) phân số nhỏ(dần ) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim un = lim = lim ( un ) cho bảng sau: lim un lim lim ( un ) + + + + − − − + − − − + STUDY TIP Vì − + khơng phải số thực nên khơng áp dụng định lí giới hạn hữu hạn cho dãy số có giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim un = lim = L lim ( un ) cho bảng sau: lim un Dấu L lim ( un ) + + + − + − + − − − − + Quy tắc Nếu lim un = L lim = kể từ số hạng trở u lim n cho bảng sau: Dấu L Dấu lim un + + − + − + + − − − − + STUDY TIP Ở ba quy tắc, dấu, tương tự quy tác dấu phép nhân phép chia hai số Để cho dễ nhớ, ta diễn giải quy tắc cách “nôm na” sau: - Quy tắc 1: Tích hai đại lượng vô lớn đại lượng vô lớn - Quy tắc 2: Tích đại lượng vô lớn với đại lượng khác đại lượng vô lớn - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức nhỏ(dần ) phân thức lớn(dần vơ cực) B CÁC DẠNG TỐN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: lim ( n3 − 2n + 1) A Đáp án D C − B D + Lời giải Cách 1: Ta có: n3 − 2n + = n3 1 − + n n 1 Vì lim n3 = + lim 1 − + = nên theo quy tắc 2, lim ( n3 − 2n + 1) = + n n Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức n3 − 2n + giá trị lớn n (do n → + ) sau: Nhập vào hình biểu thức X − X + Bấm CALC Máy hỏi X ? Câu 2: nhập 105 , ấn = Máy kết hình bên Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số dương lớn Do chọn D lim ( 5n − n2 + 1) A + B − C Hướng dẫn giải D −1 Chọn B 1 Cách 1: Ta có 5n − n2 + = n2 −1 + + n n 1 Vì lim n = + lim −1 + + = −1 nên lim ( 5n − n2 + 1) = − (theo quy tắc 2) n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số âm nhỏ Do chọn đáp án có giới hạn − Tổng quát: Cho k số nguyên dương a) lim ( ak nk + ak −1nk −1 + + a1 n + a0 ) = + ak b) lim ( ak nk + ak −1nk −1 + + a1 n + a0 ) = − ak Chẳng hạn: lim ( n3 − 2n + 1) = + a3 = ; lim ( 5n − n2 + 1) = − a2 = −1 STUDY TIP Cho un có dạng đa thức (bậc lớn 0) n - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số dương lim un = + - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số âm lim un = − Câu 3: lim un , với un = A 5n2 + 3n − bằng: n2 B C Hướng dẫn giải D −7 Chọn B 5n 3n Cách 1: Ta có: lim un = lim + − = lim + − = n n n n n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự ví dụ Đây khơng phải giá trị xác giới hạn cần tìm, mà giá trị gần số hạng với n lớn, n dần vô cực Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đáp án B STUDY TIP 1500044 15 = nên chọn B Một số dòng máy kết dạng phân số, chẳng hạn Do 300007 Câu 4: lim un , với un = A −3 2n3 − 3n2 + n + n3 − n2 + B C Hướng dẫn giải D Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân 2− + + n n n Vì lim − + + = lim 1 − + = thức), ta được: un = n n n3 n n 1− + n n 2n − 3n + n + nên lim = = n3 − n2 + Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Câu 5: Giới hạn dãy số ( un ) , với un = A B n3 + 2n + n4 + 3n3 + 5n2 + C + Hướng dẫn giải D Chọn B Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n bậc cao n phân thức), ta + + n + 2n + n n3 n = = lim un = lim = lim n + 3n3 + 5n + 1+ + + n n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Câu 6: Giới hạn dãy số ( un ) với un = A 3n3 + 2n − 2n2 − n C + B D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta 3n + − 3n + 2n − n n Vậy lim u = lim 3n = + = un = n 2n − n 2 2− n Cách 2: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân thức), ta 3+ − n n Vì lim + − = , lim − = − với lim un = lim n n2 n n3 n n − n n n nên theo quy tắc 3, lim un = + 1 n3 + − 3+ − n n = lim n n n Vì limn = + Cách 3: Ta có lim un = lim 2− n2 − n n 3+ − n n = nên theo quy tắc 2, lim u = + lim n 2− n Cách 4: Sử dụng MTCT tương ví dụ STUDY TIP Rõ ràng làm theo cách (chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n mẫu thức) phải lập luận cách cách Tổng quát: Xét dãy số ( un ) với un = ni + −1ni −1 + + a1n + a0 , , bk bk nk + bk −1n k −1 + + b1n + b0 (dạng phân thức với tử số mẫu số đa thức n ) a) Nếu i k (bậc tử lớn bậc mẫu) lim un = + aibk 0, lim un = − aibk b) Nếu i = k (bậc tử bậc mẫu) lim un = bk c) Nếu i k (bậc tử nhỏ bậc mẫu) lim un = STUDY TIP Cho un có dạng phân thức n - Nếu bậc tử cao bậc mẫu ( un ) có giới hạn vơ cực - Nếu bậc tử bậc mẫu lim un hệ số lũy thừa cao tử chia cho hệ số lũy thừa cao mẫu - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu lim un = Câu 7: sin ( n!) n2 + A lim B C + Hướng dẫn giải D Chọn A Ta có sin ( n !) 1 = nên chọn đáp án A mà lim 2 n +1 n +1 n +1 Lưu ý: Sử dụng MTCT Với X = 13 , máy tính cho kết hình bên Với X 13 , máy bào lỗi việc tính tốn vượt q khả máy Do với này, MTCT cho kết mang tính chất tham khảo Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh rằng: a) lim sin k ( un ) cos k ( un ) = 0; b) lim =0 vn Trong lim = , k nguyên dương n sin cos3 ( 3n + 1) cos 2n + = ; lim = ; … Chẳng hạn: lim ; lim = n 2 n + 2n + n − 5n3 + n + STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với toán liên quan đến lượng giác, trước tính tốn ta cần chọn chế độ Rad (radian) Deg (degree) cho phù hợp với đề ( −1) lim n ( n + 1) n Câu 8: A −1 B C + Hướng dẫn giải D Chọn D ( −1) n ( n + 1) n Cách 1: Ta có 1 1 ( −1) = = = mà lim = nên suy lim n n ( n + 1) n.n n n ( n + 1) n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Nhận xét: Dãy (( −1) ) n có giới hạn Câu 9: Tính giới hạn I = lim A I = ( ( −1)n khơng có giới hạn dãy , lim = n2 − 2n + − n ) B I = −1 C I = Hướng dẫn giải D I = + Chọn B Cách 1: Ta có I = lim ( n − 2n + − n ) ( = lim n − 2n + − n )( n − 2n + + n ) n − 2n + + n −2 + n − 2n + ) − n ( −2 −2n + n = lim = lim = = −1 = lim 2 +1 n − 2n + + n n − 2n + + n 1− + +1 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ ba: ( a − b )( a + b ) = a2 − b2 Hai biểu thức a − b a + b gọi biểu thức liên hợp n2 − 2n + − n Ví dụ: n2 − 2n + + n hai biểu thức liên hợp Nhận xét: a) bước ta chia tử mẫu cho n Lưu ý n = n2 n2 − 2n + − n = n − + − 1 , Vì limn = + lim − + − 1 = nên n n n n không áp dụng quy tắc ví dụ trước b) Ta có ) ( Câu 10: lim n − 8n3 + 3n + bằng: B − A + C −1 Hướng dẫn giải D Chọn B ) ( Cách 1: Ta có lim n − 8n3 + 3n + = lim n 1 − + + n n ) ( Vì lim n = +,lim 1 − + + = − = −1 nên lim n − 8n3 + 3n + = − n n Cách 2: Sử dung MTCT ví dụ ( ) Câu 11: lim n − n 4n + bằng: A −1 B D − C + Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Ta có n2 − n 4n + = n2 1 − + n n2 Vì lim n = + lim 1 − + = nên theo quy tắc 2, lim n − n 4n + = + n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Tổng quát: ( ) Xét dãy số un = r ni + −1ni −1 + + a1n + a0 − s bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 , , bk i k = : Giới hạn hữu hạn r s + Nếu hai bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp - Nếu r = s bk + Nếu hai không bậc: Thêm bớt với r ni nhân với biểu thức liên hợp i k : Đưa lũy thừa bậc cao n dấu Trong r s trường hợp un có giới hạn vơ cực - Nếu r s bk Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, em học bậc s ( s nguyên dương) r lũy thừa với số mũ hữu tỉ Người ta định nghĩa a s = s a r , a số thực dương, r số nguyên dương, s số nguyên dương, s Các tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương 1 Chẳng hạn: n = n , n = n , n2 = n Chẳng hạn: a) Với un = n2 − 2n + − n = n2 − 2n + − n2 : nhân chia với biểu thức liên hợp n2 − 2n + − n n2 − 2n + + n Dãy số có giới hạn hữu hạn −1 b) Với un = n − 8n3 + 3n + = n3 − 8n3 + 3n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) = − c) Với un = n2 − n 4n + = n ) ( n2 − 4n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) + ) ( lim n − n3 + 3n2 + : Câu 12: A −1 C + Hướng dẫn giải B Chọn A D − Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) n − n3 + 3n2 + n3 − ( n3 + 3n2 + 1) 3 lim n − n + 3n + = lim 3 3 n + n n + 3n + + ( n + 3n + 1) −3 − n = lim = −1 ) ( 1 + + + + 1 + + n n n n STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ bảy: a3 − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b2 ) Hai biểu thức a − b a + ab + b gọi hai biểu thức liên hợp (bậc ba) Câu 13: lim A ( Chọn A ( ) n2 + n + − n3 + 3n + : C + B Hướng dẫn giải ) n + n + − n3 + 3n + = lim n n Câu 14: lim ( − ) : lim D − ( ) ( ) n + n + − n + n − n3 + 3n + = A − C + B D Hướng dẫn giải Chọn C n Ta có 5n − 2n = 5n 1 − 5 n Vì lim 5n = + lim 1 − = nên theo quy tắc 2, lim ( 5n − 2n ) = + 5 n +1 n Câu 15: lim ( 3.2 − 5.3 + 7n ) : A − B + C Hướng dẫn giải Chọn A D −5 n n 2 lim ( 3.2n+1 − 5.3n + 7n ) = 3n −5 + + n = − 3 4.3n + 7n+1 Câu 16: lim : 2.5n + 7n A B C D 5 Hướng dẫn giải Chọn B n 3 + 4.3n + 7n+1 7 lim = lim n = =7 n n 2.5 + 5 + 7 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi Nhập vào hình Bấm CALC Máy hỏi X? Nhập 100, ấn = Máy kết 4n+1 + 6n+2 Câu 17: lim n n : +8 A B C 36 Hướng dẫn giải Chọn A n n D 4 6 + 36 n +1 n+2 +6 8 lim n n = lim n = +8 5 +1 8 STUDY TIP Khi sử dụng máy tính cầm tay, nhập giá trị X lớn, máy báo lỗi giá trị an , a tăng nhanh X tăng, nên vượt khả tính tốn máy Khi cần thử lại giá trị khác X Như toán chứa an , a ta khơng nên tính với n lớn Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự ví dụ ... III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn + Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un = + ... : limn = + d) lim qn = + q Dãy số có giới hạn − Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn − với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un = − Nói... − B D + Đáp án D Phân tích: Đề không cho biết dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn hay khơng Có đáp án hữu hạn, có đáp án vơ cực Do chưa thể khẳng định dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực Lời