0856 suy luận ngoại suy và quy nạp trong khám phá quy luật dãy số những phân tích lí thuyết và thực nghiệm

Trương Thị Khánh Phương TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SUY LUẬN NGOẠI SUY VÀ QUY NẠP TRONG KHÁM PHÁ QUY LUẬT DÃY SỐ NHỮNG PHÂN TÍCH LÍ THUYẾT VÀ THỰC NGHIỆM TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG* TÓM TẮT Khám phá quy luật dãy số hỗ trợ học sinh phát triển lực suy luận toán học việc hiểu khái niệm hàm số biến số (NCTM, 2000) Bài báo phân tích sở lí thuyết cho thấy hai loại suy luận sử dụng để khám phá quy luật dãy số ngoại suy quy nạp Kết thực nghiệm phản ánh khó khăn học sinh việc đưa giả thuyết ngoại suy đủ mạnh để hỗ trợ cho quy nạp nhằm đến quy tắc tổng quát Các phương án ngoại suy dựa việc khám phá biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số khắc phục vấn đề Từ khóa: quy luật dãy số, tổng quát hóa, suy luận ngoại suy, suy luận quy nạp ABSTRACT Abductive reasoning and inductive reasoning in discovering sequence patterns – some theoretical and empirical analysis Discovering sequence patterns supports students to develope their reasoning and their conceptual understanding of functions and variables (NCTM, 2000) This paper shows that abductive reasoning and inductive reasoning are used to explore sequence patterns The analysis of data shows that students have difficulties in suggesting a strong abduction that can combine with induction to get an algebraic rule of sequence pattern Abduction based on visual representation which describes the sequence pattern can overcome this problem Keywords: sequence patterns, generalization, abductive reasoning, inductive reasoning Giới thiệu Polya cho toán học tồn hai kiểu suy luận: suy luận diễn dịch suy luận có lí Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ suy luận diễn dịch suy luận có lí sau: “Tốn học xem mơn khoa học chứng minh, nhiên khía cạnh Chúng ta cần phải dự đốn định lí tốn học trước chứng minh nó, phải dự đoán đường lối tư tưởng chủ đạo chứng minh trước chứng minh, cần phải đối chiếu kết quan sát suy điều tương tự, phải mò mẫm thử thử lại nhiều lần Nếu việc dạy toán phản ánh mức độ việc hình thành tốn học việc giảng dạy phải dành chỗ cho dự đốn, cho suy luận có lí”2 Trong nghiên cứu này, chúng tơi đề cập đến hai * NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: phuongttk@gmail.com loại suy luận có lí suy luận quy nạp suy luận ngoại suy chúng liên quan trực tiếp đến hoạt động khám phá quy luật dãy số trình bày phần sau Suy luận quy nạp suy luận ngoại suy 2.1 Suy luận quy nạp Suy luận quy nạp tiến trình quan sát tính chất/đặc trưng số trường hợp đến kết luận tồn tính chất cho nhóm lớn trường hợp ([6]) Không giống suy luận diễn dịch, kết luận suy luận quy nạp khơng chắn Mức độ có lí kết luận tăng lên có nhiều trường hợp kiểm chứng đúng, kết luận bị bác bỏ có phản ví dụ 2.2 Suy luận ngoại suy Mặc dù khái niệm ngoại suy đề cập đến lần Aristole, nhà toán học, triết học logic học người Mĩ Charles Sanders Peirce (1839-1914) người phát triển khái niệm đưa vào hệ thống loại suy luận Nhận thức truyền thống liên quan đến chất suy luận toán học giữ quan điểm suy diễn quy nạp hình thành nên cặp đôi mà tất loại suy luận suy diễn rơi vào trường hợp cịn lại quy nạp [7] Tuy nhiên, Peirce đề xuất loại suy luận mới: suy luận ngoại suy nhằm tìm kiếm giả thuyết để lí giải cho kiện quan sát Mơ hình suy luận ngoại suy Peirce: Một thật C quan sát, Nếu A đúng, C hiển hiên đúng; Vì thế, hợp lí giả thuyết A ([6], 5.189) J Josephson & S Josephson [6] phát triển mơ hình ngoại suy Peirce thêm giai đoạn: đánh giá giả thuyết tốt Mơ hình nhằm đưa giả thuyết ngoại suy đủ tốt viết lại sau: D tập liệu (sự kiện, quan sát, cho) (1) H giải thích D (nếu H đúng, giải thích D) (2) Khơng có giả thuyết khác giải thích D tốt H (3) Như vậy, H có lẽ (4) Tính có lí giả thuyết ngoại suy tăng lên hay bị giảm đi, chí bị bác bỏ có thêm kiện/thông tin cung cấp Khi có nhiều giả thuyết có lí giải thích cho quan sát, nhiệm vụ ngoại suy chọn giả thuyết có lí 2.3 Suy luận trình khám phá quy luật dãy số a) Các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số Các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số thể bối cảnh số học (Nhiệm vụ 1) hay sử dụng biểu diễn trực quan (BDTQ) để mô tả (Nhiệm vụ 2) minh họa đây: Nhiệm vụ Năm số hạng dãy số là: 1, 4, 7, 10, 13… a) b) Viết tiếp số hạng thứ 6, thứ 10 thứ 50 dãy số Em viết quy tắc để tìm kiếm số hạng thứ n dãy số giá trị n cho sẵn? Giải thích em tìm câu trả lời Nhiệm vụ Các bìa hình vng xếp thành hình chữ T theo sơ đồ có quy luật sau: Cỡ Cỡ Cỡ Cỡ Hình Biểu diễn trực quan mơ tả quy luật hình chữ T a) Viết cơng thức để tìm số bìa cần sử dụng cho hình chữ T cỡ n b) Sử dụng công thức câu a), tìm số bìa cần sử dụng cho hình chữ T cỡ 100, cỡ 178 Trong nhiệm vụ 1, việc tìm kiếm số hạng thứ địi hỏi học sinh (HS) phải xem xét số hạng cho trước suy quy luật số hạng này, chẳng hạn: số hạng đứng sau số hạng liền kề trước cộng đơn vị Do đó, số hạng thứ 13 + = 16 Việc tìm kiếm số hạng thứ 10 50 gọi nhiệm vụ tổng quát hóa (TQH) gần TQH xa TQH gần yêu cầu HS tìm kiếm số hạng khơng hẳn phải liền kề sau số hạng cho, vị trí dãy quy luật đủ gần để HS thực bước đếm có câu trả lời TQH xa yêu cầu HS tìm kiếm số hạng vị trí xa nhiều so với số hạng cho sẵn khiến cho việc đếm bước trở nên không hiệu Tuy nhiên với nhiệm vụ 2, HS khơng cần phải tiến hành TQH xa để đạt câu trả lời cho câu hỏi b) c) mà câu trả lời cho vị trí suy từ quy luật thiết lập câu hỏi a) Các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số mà sử dụng nghiên cứu mô tả BDTQ b) Suy luận có lí khám phá quy luật dãy số Khi đề cập đến suy luận xảy dựa việc quan sát số trường hợp cụ thể đến kết tổng quát, người ta thường nghĩ đến suy luận quy nạp Khái niệm ngoại suy không nhắc đến phân tích tác giả Reid [9], Canadas & Castro [4] suy luận HS thực nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số Tuy nhiên, việc đồng nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số với hành động kiểm chứng tổng quát hóa quy luật từ trường hợp cho sẵn dãy số dường phớt lờ yếu tố sáng tạo trình này, yếu tố mà Peirce đặc trưng ngoại suy Trong đó, Canadas Castro khẳng định số bảy bước tiến trình suy luận quy nạp bao gồm: (1) Quan sát trường hợp đặc biệt; (2) Sắp xếp trường hợp đặc biệt cách hệ thống; (3) Tìm kiếm dự đốn quy luật; (4) Hình thành giả thuyết; (5) Kiểm chứng giả thuyết (với trường hợp đặc biệt); (6) Tổng quát hóa giả thuyết; (7) Xác minh giả thuyết tổng quát bước thứ (Hình thành giả thuyết) quan trọng xuất thường xuyên làm HS Đây rõ ràng nhiệm vụ ngoại suy Một số câu hỏi đặt ra: Liệu ngoại suy có tham gia vào hoạt động khám phá quy luật dãy số? Nếu có ngoại suy thể đâu trình này? Quay trở lại tìm hiểu nghiên cứu suy luận ngoại suy Peirce đặc biệt giai đoạn thứ (từ năm 1878 trở sau), chúng tơi tìm thấy dẫn cho câu trả lời, đến năm 1901, Peirce bắt đầu sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” nhằm đến “sự khởi động để đưa giả thuyết” (Peirce, [65, 6.525]) “Ngoại suy đơn bước khởi đầu Nó bước suy luận khoa học, quy nạp bước kết luận sau cùng” (Peirce, [65, 7.218]) Chúng phát số điểm khác biệt sau ngoại suy quy nạp qua trình khảo cứu tài liệu liên quan: • Mục đích ngoại suy đưa giả thuyết nhằm giải thích cho quan sát [7] Mục đích quy nạp nhằm tổng qt hóa tính chất từ việc quan sát tính chất trường hợp riêng • Quy nạp “cho thấy tồn tượng mà quan sát trường hợp tương tự trước đó”, “xu hướng kiện mới” ([1], tr 234), ngoại suy “đề xuất điều mà thường khơng thể quan sát cách trực tiếp” ([8], 2.640) Ngoại suy loại suy luận tạo tri thức người học Kết luận quy nạp chắn ngoại suy, sáng tạo • Quy nạp phát triển xu hướng dự đoán cho quan sát xa hơn, ngoại suy không (trực tiếp) quan tâm đến quan sát xa sau mà hướng đến mục đích lí giải cho trường hợp xảy Nói cách khác, ngoại suy bắt đầu có quan sát gây ngạc nhiên thúc đẩy việc tạo giả thuyết để giải thích giai đoạn nhất, làm hẹp bớt miền giả thuyết xảy Quy nạp bắt đầu vận hành có giả thuyết từ ngoại suy, cách kiểm tra giả thuyết thông qua trường hợp cụ thể Quy nạp khơng tạo ý tưởng ban đầu [8] Những phân tích cho thấy chức kết suy luận ngoại suy quy nạp hoàn toàn khác Tuy nhiên việc phân biệt hai loại suy luận trình khám phá quy luật dãy số trở nên phức tạp theo hai lí sau Thứ nhất, Deutscher [3] cho phép quy nạp gắn liền với việc tổng quát hóa thuộc tính hay mối quan hệ từ hai trường hợp cụ thể cho lớp toàn đối tượng, phép ngoại suy đòi hỏi biến đổi đột biến có tính khái niệm từ trường hợp giả thuyết có tính giải thích Nói cách khác, ưu ngoại suy tận dụng đưa giả thuyết dựa quan sát đơn lẻ (hoặc số quan sát có liên quan đến khơng thiết tương tự nhau), quy nạp cần phải dựa số lượng quan sát tương tự Thứ hai, giả thuyết ngoại suy thường phát biểu dựa mối quan hệ nguyên nhân hệ quả, kết luận quy nạp phát biểu mang tính tổng qt hóa Tuy nhiên, khám phá quy luật dãy số, giả thuyết ban đầu đề xuất phần lớn để lí giải cho vài trường hợp cho sẵn không trường hợp, giả thuyết thường bị nhầm lẫn với kết luận suy luận quy nạp tổng quát hóa Như vậy, trình khám phá quy luật dãy số, việc đề xuất giả thuyết ban đầu quy luật công việc ngoại suy, phát biểu cuối nhằm tổng quát hóa quy luật khẳng định quy nạp, thông qua kiểm chứng với trường hợp thực nghiệm Chúng tơi tìm thấy quan điểm tương tự nghiên cứu Becker & Rivera [3] tác giả quan sát vấn trình suy luận 42 giáo viên (GV) toán lúc giải nhiệm vụ liên quan đến tổng quát hóa quy luật bậc Trên sở quy trình khám phá quy luật hàm số bậc ngoại suy-quy nạp đề xuất Becker & Rivera [3] mơ hình suy luận quy nạp gồm bảy bước của Canadas & Castro [4], chúng tơi xây dựng quy trình lí thuyết để khám phá quy luật dãy số gồm bước hình 2: Hình Quy trình khám phá quy luật dãy số suy luận ngoại suy-quy nạp Minh họa cho bước quy trình trình bày cụ thể sau qua toán sử dụng thực nghiệm nghiên cứu 2.4 Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số Thực nghiệm tiến hành 81 HS thuộc hai lớp 10 Trường THPT Lê Lợi, thành phố Đông Hà, Quảng Trị nhằm khảo sát giả thuyết ngoại suy mà HS đề xuất quy trình mà em thực để khám phá quy luật dãy số HS yêu cầu trả lời hai tốn: Hình chữ Z Hình chữ S Hai tốn đưa cho HS với bối cảnh hồn tồn giống nhau, BDTQ mơ tả cho số hạng cụ thể tương tự nhau, hàm số mơ tả quy luật Hình chữ Z hàm bậc Hình chữ S hàm bậc hai CÂU HỎI HÌNH CHỮ Z Nam sử dụng bìa hình vng giống hệt để thiết kế mẫu hình chữ Z trang trí cho buổi tiệc sinh nhật với kích cỡ khác Dưới minh họa mẫu hình chữ Z mà Nam thiết kế với ba kích cỡ tương ứng Cỡ Cỡ Cỡ Khi kích cỡ mẫu hình chữ Z tăng lên, cần chuẩn bị nhiều bìa hình vng a) Em đề xuất quy tắc giúp Nam tìm số bìa hình vng cần chuẩn bị cho mẫu hình chữ Z với cỡ giá trị n b) Mơ tả rõ ràng làm em tìm quy tắc Em dùng hình vẽ, lập bảng số liệu hay diễn đạt lời CÂU HỎI HÌNH CHỮ S Bình sử dụng bìa hình vng giống hệt để thiết kế mẫu hình chữ S trang trí cho hội trại với kích cỡ khác Dưới minh họa mẫu hình chữ S mà Bình thiết kế với ba kích cỡ tương ứng Cỡ Cỡ Cỡ Khi kích cỡ mẫu hình chữ S tăng lên, cần chuẩn bị nhiều bìa hình vng a) Em đề xuất quy tắc giúp Bình tìm số bìa hình vng cần chuẩn bị cho mẫu hình chữ S với cỡ giá trị n b) Mơ tả rõ ràng làm em tìm quy tắc Em dùng hình vẽ, lập bảng số liệu hay diễn đạt lời Do tương tự mặt chất hai tốn trên, báo chúng tơi trình bày phân tích tiền thực nghiệm dựa quy trình mà chúng tơi đề xuất cho Hình chữ Z: - Bước Quan sát, thu thập liệu cho trường hợp cho sẵn HS quan sát BDTQ mơ tả Hình chữ Z cỡ 1, cỡ 2, cỡ 3, thu thập liệu cách đếm để có số bìa Hình chữ Z cỡ 1, cỡ 2, cỡ 5, 8, 11 - Bước Đề xuất giả thuyết ngoại suy quy tắc mang tính thăm dị nhằm lí giải cho xuất theo quy luật trường hợp có sẵn Quy tắc phát dựa việc tổ chức, hệ thống hóa liệu số (chúng gọi phương án ngoại suy Số học) hay khai thác cấu trúc BDTQ mô tả dãy Hình chữ Z theo cách khác nhằm làm xuất lặp lại số đặc trưng trường hợp cho sẵn (chúng tơi gọi phương án ngoại suy Hình học) Sau minh họa số phương án ngoại suy Số học: (1) Quy tắc đệ quy: Bảng 3.1 Tổ chức liệu theo phương án Đệ quy Kích cỡ (n) Số bìa ( an ) Phương án ngoại suy 5 11 8=5+3 11 = + Với cách tổ chức liệu Bảng 3.1, giả thuyết ngoại suy: an+1 = an + 3, a1 = với n = 1, (2) Đoán Thử: Bảng 3.2 Tổ chức liệu theo phương án Đốn Thử Kích cỡ (n) Số bìa 11 ( an ) Phương án ngoại suy = 3.1+ = 3.2 + 11 = 3.3 + Với cách tổ chức liệu Bảng 3.2, giả thuyết ngoại suy: số hạng dãy Hình chữ Z thỏa an = 3n + với n = 1, 2,3 (3) Cộng dồn: Bảng 3.3 Tổ chức liệu theo phương án Cộng dồn Kích cỡ (n) Số bìa ( an ) Phương án ngoại suy 5 11 = + = + 1.3 11 = + = + + = + 2.3 Với cách tổ chức liệu Bảng 3.3, giả thuyết ngoại suy: an = + ( n −1) với n = 1, 2,3 Tiếp theo chúng tơi minh họa số phương án ngoại suy Hình học: (4) Ghép hình rời: Chia Hình chữ Z thành ba phần (mỗi phần đánh dấu màu riêng biệt) Số bìa tạo thành Hình chữ Z tính cách lấy số bìa theo màu cộng lại Cỡ Cỡ Cỡ 2+1+2 3+2+3 4+3+4 Giả thuyết ngoại suy: Số bìa Hình chữ Z cỡ n là: ( n =1,2,3) an = ( n +1) + n + ( n +1) (5) Làm trịn hình: Bổ sung vào Hình chữ Z bìa (được tơ màu) để tạo thành hình chữ nhật Số bìa Hình chữ Z số bìa hình chữ nhật tạo thành trừ bìa vừa bổ sung Cỡ Cỡ Cỡ 3( 1+ 2) − 3( + 2) − 3( + 2) − Giả thuyết ngoại suy: Số bìa Hình chữ Z cỡ n ( n =1,2,3) là: an = 3( n + 2) − (6) Ghép hình chồng: Tưởng tượng Hình chữ Z tạo thành cách ghép chồng lên Hình chữ Z cỡ 1, với số bìa Hình chữ Z cỡ Khi đó, cần phải trừ bìa bị tính hai lần chúng bị ghép chồng lên (là bìa có đánh dấu X) Cỡ Cỡ X Cỡ X X + X 1.( 5) − 2.( 5) −1.2 + + X X 3.( 5) − 2.2 Giả thuyết ngoại suy: Số bìa Hình chữ Z cỡ n là: ( n =1,2,3) an = n(5) − ( n −1) - Bước 3: Mở rộng giả thuyết vừa đề xuất suy luận quy nạp thực kiểm chứng cho trường hợp chưa biết vị trí gần nhằm khẳng định hay bác bỏ giả thuyết Giả thuyết ngoại suy đề xuất Bước nhằm giải thích cho trường hợp cho sẵn Để đề xuất quy tắc cho trường hợp tổng quát suy luận quy nạp, quy tắc Bước cần mở rộng cho trường hợp chưa biết ( n = 4,5,6 ) kiểm chứng Càng nhiều trường hợp kiểm chứng tính có lí giả thuyết ngoại suy củng cố Tuy nhiên có trường hợp sai giả thuyết cần loại bỏ HS quay trở lại Bước - Bước 4: Mở rộng quy tắc cho trường hợp tổng quát So với giả thuyết ngoại suy đề xuất Bước 2, giả thuyết ngoại suy-quy nạp Bước mở rộng kiểm chứng tính đắn cho trường hợp chưa biết, sau tổng quát hóa lên thành quy tắc để tính số bìa cho Hình chữ Z với cỡ n Cụ thể quy tắc an+1 = an + 3, a1 = 5, n = 2,3, mở rộng tổng quát hóa từ phương án ngoại suy (1) hay quy tắc an = 3n + 2,∀n = 1, 2, mở rộng tổng quát hóa từ phương án ngoại suy (2), (3), (4), (5), (6) Ở bước này, HS nhận việc thực hành quy tắc an+1 = an + 3, a1 = 5, n = 2,3, cho dãy Hình chữ Z gặp khó khăn giá trị n yêu cầu số lớn, chẳng hạn tìm số bìa cần sử dụng cho Hình chữ Z cỡ 500 Do đó, HS quay trở lại Bước để tìm kiếm quy tắc khác giúp việc giải vấn đề hiệu - Bước 5: Kết luận quy luật dãy số HS đưa kết luận cuối quy luật dãy số sau kiểm chứng tính đắn đánh giá hiệu giả thuyết ngoại suy-quy nạp việc tìm kiếm số hạng dãy số vị trí Với kết thu thập từ làm HS, tiến hành phân loại phương án ngoại suy theo phạm trù tỉ tỉ lệ câu trả lời phạm trù với hai nhiệm vụ Hình chữ Z Hình chữ S Riêng HS khơng đưa giả thuyết đưa giả thuyết quy tắc tổng qt khơng lí giải, lí giải hồn tồn khơng hợp lí xếp vào phạm trù “Khơng xác định được” Bảng 3.4 3.5 cho thấy phân bố phương án ngoại suy HS thể theo phạm trù tỉ lệ câu trả lời phạm trù với hai nhiệm vụ Hình chữ Z Hình chữ S Bảng 3.4 Số lượng phương án ngoại suy theo phạm trù Nhiệm vụ Số học Hình học Đốn thử Khơng xác định Hình chữ Z 39 15 24 Hình chữ S 16 52 Bảng 3.5 Số lượng tỉ lệ câu trả lời phạm trù Nhiệm vụ Hình chữ Z Hình chữ S Số học Hình học Đốn thử Khơng xác định 19 12 1 (48,7%) (80%) (33,3%) (0,04%) 11 0 (0%) (68.8%) (0%) (0%) Một số kết luận rút từ thực nghiệm qua quan sát làm HS số liệu thông kê Bảng 3.4 Bảng 3.5: Thứ nhất, tỉ lệ HS đưa phương án ngoại suy thuộc phạm trù “Khơng xác định được” Hình chữ Z 25/81 Hình chữ S 52/81 Tỉ lệ cho thấy việc đề xuất giả thuyết ngoại suy có lí cho tốn quy luật hàm bậc hai gặp trở ngại nhiều so với quy luật hàm số bậc Với Hình chữ Z, số 39 phương án ngoại suy Số học, có 19 HS (gần 50%) đưa quy tắc tổng quát số Hình chữ S hầu hết HS nhận thấy giá trị sai khác hai số hạng liên tiếp Hình chữ S dãy theo quy luật cấp số cộng Điều cho thấy phương án ngoại suy Số học (chẳng hạn việc sử dụng quy tắc đệ quy) khơng cịn phát huy hiệu khám phá dãy số theo quy luật hàm số bậc hai Hơn nưa, tỉ lệ HS đưa quy tắc từ phương án ngoại suy Hình học ln cao hai toán cho thấy hiệu phương án ngoại suy mang lại Thứ hai, với ngoại suy Số học, có quy tắc HS đưa cho Hình chữ Z + 3( n −1) khơng có kết cho Hình chữ S với ngoại suy Hình học, có ba quy tắc tương đương 3n + 2; ( n +1) + n;3( n + 2) − 2.2 cho Hình chữ Z ba quy tắc ( 1+ n ) + ( 1+ n ) + n2; + ( n + ) n; ( n + ) − ( n + 1) cho Hình chữ S Kết hợp với quan sát làm HS, cho kết có BDTQ cung cấp cho HS nhiều cách nhìn khác phát triển quy luật so với việc sử dụng đơn liệu số Thứ 3, HS sử dụng ngoại suy Số học thường trình bày giải thích cho quy tắc tổng qt đề xuất cách kiểm chứng quy tắc với trường hợp biết ( n = 1, 2,3 ) HS tiến hành ngoại suy Hình học mơ tả số hạng tổng qt thơng qua BDTQ, nghĩa em nhận mối liên kết mang tính quy luật số hạng vị trí dãy số cách độc lập với số hạng khác (Hình 3) Hình Ngoại suy Hình học cho Hình chữ Z Thứ 4, sai lầm phổ biến xuất phương án ngoại suy Số học HS chưa thật hiểu ý nghĩa biến số n dẫn đến quy tắc sai chúng trích xuất dãy số toán Chẳng hạn, quy tắc n2 + 1, ∀n ≥ mà HS đưa cho Hình chữ S (Hình 4) biến n khơng mang ý nghĩa đại diện cho kích cỡ Hình chữ S, hay quy tắc đệ quy diễn đạt dạng n + Hình chữ Z (biến n kích cỡ Hình chữ Z cơng thức đại diện cho số hạng đứng trước đó) Hình Ngoại suy Số học cho Hình chữ S Cuối cùng, qua quan sát làm HS, hầu hết em đưa giả thuyết ngoại suy để lí giải cho trường hợp cho sẵn sau tổng qt hóa lên mà khơng kiểm chứng quy tắc cho trường hợp chưa biết Kết luận Trong báo này, chúng tơi phân tích sở lí thuyết để làm rõ khác hai loại suy luận quy nạp ngoại suy, đặc biệt hoạt động tổng quát hóa quy luật dãy số Chúng tơi đề xuất quy trình lí thuyết thể kết hợp chặt chẽ hỗ trợ lẫn suy luận ngoại suy quy nạp việc khám phá kiểm chứng giả thuyết để cuối đến quy tắc tổng quát Những kết thực nghiệm cho thấy: (1) HS thường bỏ qua giai đoạn kiểm chứng giả thuyết ngoại suy cho trường hợp TQH gần TQH xa mà đề xuất quy tắc tổng quát thấy quy tắc cho trường hợp biết; (2) BDTQ mô tả quy luật dãy số cung cấp sở tốt tính có lí cho giả thuyết ngoại suy qua hạn chế sai lầm (đặc biệt sai lầm ý nghĩa biến số) giúp HS có nhiều hướng tiếp cận khác quy luật dãy số (đặc biệt dãy số theo quy luật hàm số bậc hai, đồng thời hỗ trợ quy nạp việc tổng quát hóa giả thuyết Một bảng phân loại mức độ suy luận ngoại suy HS thể giải nhiệm vụ tổng quát hóa quy luật dãy số mơ tả biểu diễn trực quan thiết kế để cung cấp phân tích sâu sắc mặt thực nghiệm, nội dung chúng tơi trình bày nghiên cứu ! National Council of Teachers of Mathematics (2000), Principles and Standards in Mathematics, NCTM, USA Polya (1954), Patterns of Plausible Inference, pp 158-160 TÀI LIỆU THAM KHẢO Abe, A (2003), “Abduction and analogy in chance discovery”, In Y Ohsawa & P McBurney (Eds), Chance Discovery, pp 231-248, New York: Springer Billings, E M H (2008), “Exploring generalisation through pictorial growth patterns”, In C E Greenes & R Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking in School Mathematics (Seventieth Yearbook), pp 279 – 293, Reston,VA: NCTM Becker, J., & Rivera, F (2007), Abduction in pattern generalization, Proceedings of the 31st conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol (4), pp 97–104, Seoul, Korea: Korea Society of Educational Studies in Mathematics 4 Canadas, M.C & Castro, E (2009), “Using a model to describe students’ inductive reasoning in problem solving”, Electronic Journal of Research in Educational Psychology, (17), pp 261 – 278 Eco, U (1983), “Horns, hooves, insteps: Some hypotheses on three types of abduction”, In U Eco & T Sebeok (Eds.), The sign of three: Dupin, Holmes, Peirce, pp 198–220, Bloomington, IN: Indiana University Press Josephson, J & Josephson, S (1994), Abductive Inference: Philosophy, Technology, New York: Cambridge University Press Magnani, L (2005), “An abductive theory of scientific reasoning” Semiotica, 153(14), pp 261-286 Peirce, C S (1960), Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press Reid, D (2002), “Conjectures and refutations in grade mathematics”, Journal for Research in Mathematics Education, 33(1), pp 5-29 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 07-02-2015; ngày phản biện đánh giá: 10-9-2015; ngày chấp nhận đăng: 24-9-2015) Computation, ...loại suy luận có lí suy luận quy nạp suy luận ngoại suy chúng liên quan trực tiếp đến hoạt động khám phá quy luật dãy số trình bày phần sau Suy luận quy nạp suy luận ngoại suy 2.1 Suy luận quy nạp. .. sát, nhiệm vụ ngoại suy chọn giả thuyết có lí 2.3 Suy luận q trình khám phá quy luật dãy số a) Các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số Các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số thể bối cảnh số học (Nhiệm... loại suy luận quy nạp ngoại suy, đặc biệt hoạt động tổng quát hóa quy luật dãy số Chúng tơi đề xuất quy trình lí thuyết thể kết hợp chặt chẽ hỗ trợ lẫn suy luận ngoại suy quy nạp việc khám phá