DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ Mục tiêu Kiến thức + Biết thứ tự bước giải toán phương pháp quy nạp + Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu bị chặn dãy số + Nắm phương pháp giải dạng tập dãy số tìm số hạng tổng qt, xét tính tăng, giảm bị chặn Kĩ + Chứng minh toán phương pháp quy nạp toán học + Biết cách xác định dãy số + Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số + Tính tổng dãy số I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương pháp quy nạp tốn học Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) Để chứng minh mệnh đề A(n) với giá trị nguyên với số nguyên dương n p thì: dương n, ta thực sau: +) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương nguyên dương n k p phải chứng n = k tùy ý k 1 , +) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số chứng minh mệnh đề với minh mệnh đề với n k n k 1 Dãy số a) Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : * n u n Dạng khai triển: u1 ; u2 ; u3 ; ; un ; Trong ta gọi: u1 số hạng đầu, un = u(n) số hạng thứ n hay số hạng tổng quát dãy số b) Mỗi hàm số u xác định tập M 1; 2;3; ; m với m * c) Các cách cho dãy số: Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát Cách 2: Cho dãy số hệ thức truy hồi (hay quy nạp): Ví dụ 1: Cho dãy (un) với un 3n n Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định Trang Cho số hạng thứ u1 (hoặc vài số hạng đầu) Với n , cho cơng thức tính uk biết uk-1 (hoặc vài số hạng đứng trước nó) Cách 3: Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số u1 n un 1 un 2n Ví dụ 3: Cho đường trịn (O) bán kính R Cho dãy (un) với un độ dài cung trịn có số đo 2 đường tròn (O) n Dãy số tăng, dãy số giảm a) Dãy số (un) gọi tăng un 1 un với n * un 1 un 0, n * hay un 1 1, n * un un b) Dãy số (un) gọi giảm un 1 un với n * un 1 un 0, n * hay un 1 1, n * un un Dãy số bị chặn a) Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho un M , n * b) Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho un m, n * c) Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m un M , n * II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Quy nạp toán học Phương pháp giải Để chứng minh mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số Ví dụ: Chứng minh với số tự nhiên n , ta ln có 2n 1 2n (*) tự nhiên n với n no (no só tự nhiên Hướng dẫn giải: cho trước), ta thực theo bước sau Bước 1: Kiểm tra P(n) với n no Với n = ta có 221 2.2 (đúng) Vậy (*) với n = Bước 2: Giả sử P(n) n k k no (xem Giả sử với n k , k (*) đúng, có nghĩa ta có giả thiết để chứng minh bước 3) Bước 3: 2k 1 2k (1) Ta cần chứng minh P(n) Ta phải chứng minh (*) với n = k + 1, có n k 1 nghĩa ta phải chứng minh 2k 2(k 1) Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta TOANMATH.com Trang 2.2k 1 2(2k 3) 2k 4k 2(k 1) Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận P(n) với n no Vậy 2k k 1 (đúng) Do theo ngun lí quy nạp (*) với số nguyên dương n Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có 1.4 2.7 n(3n 1) n n 1 (1) Hướng dẫn giải Với n = 1, ta có VT (1) 1.4 4; VP (1) 1 1 Suy VT(1) = VP(1) với n = Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k Khi ta có 1.4 2.7 k 3k 1 k k 1 Ta phải chứng minh (1) với n = k + hay 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k 1 k Thật 1.4 2.7 k 3k 1 k 1 3k k k 1 k 1 3k k k 1 k 1 k (điều phải chứng minh) Vậy (1) n k Do theo ngun lí quy nạp (1) với số nguyên dương n Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương n , ta có 1.2 2.3 3.4 n 1 n n n 1 3n 12 (1) Hướng dẫn giải Với n = 2, ta có VT (1) 1.22 4; VP (1) 2.3.8 4 12 Suy VT(1) = VP(1) với n = Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k Khi ta có 1.22 2.33 3.44 k 1 k k k 1 3k 12 Ta phải chứng minh (1) với n k Có nghĩa ta phải chứng minh TOANMATH.com Trang 1.22 2.33 3.44 k 1 k k k 1 k 1 k 1 1.22 2.33 3.44 k 1 k k k 1 Thật 1.22 2.33 3.44 k 1 k k k 1 k k 1 3k 12 k k 1 3 k 1 12 k 1 k 2k 3k 5 12 k k 1 3k 11k 10 12 k k 1 k 3k k 1 k 2k 3k (điều phải chứng minh) 12 12 Vậy (1) n k Do theo ngun lí quy nạp (1) với số nguyên dương n Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có n n 3 1 (1) 1.2.3 2.3.4 n n 1 n n 1 n Hướng dẫn giải 1.4 Với n = 1, ta có VT (1) ;VP(1) 4.2.3 Suy VT(1) = VP(1) n = Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k Khi ta có k k 3 1 1.2.3 2.3.4 k k 1 k k 1 k Ta phải chứng minh (1) với n k Có nghĩa ta phải chứng minh k 1 k 1 1 1.2.3 2.3.4 k k 1 k k 1 k k 3 k k 3 Thật 1 1 k k 1 k k 1 k k 3 1.2.3 2.3.4 k k 3 4 k 1 k k k 3 1 k k 3 k 1 k k 1 k k 3 k 1 k k k 1 k k 6k 9k k 1 k k 3 k 1 k k 3 k 1 k k k 3 (điều phải chứng minh) Vậy (1) n k TOANMATH.com Trang Do theo ngun lí quy nạp (1) với số nguyên dương n Ví dụ 4: Chứng minh với số nguyên dương n 2, ta có 1 13 (1) n 1 n n n 24 Hướng dẫn giải Đặt un 1 1 n 1 n n n 1 n n Với n = ta có u2 1 13 (đúng) 12 24 Giả sử với n = k (1) đúng, có nghĩa ta có 1 13 k 1 k k k 24 Ta phải chứng minh (1) với n k , có nghĩa ta phải chứng minh 1 1 13 k 2 k 3 k k k 1 k 1 24 Thật vậy, xét hiệu 1 1 1 k 2 k 3 k k 2k k 1 k 1 k k k k 1 1 1 1 0 2k k 1 k 1 k 2k k 1 k 2k 2k Suy 1 1 1 1 k 2 k 3 k k 2k k 1 k 1 k k k k Do uk 1 uk 13 Vậy (1) với n k 24 Suy (1) với số nguyên dương n Ví dụ 5: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n n n 3 Hướng dẫn giải Đặt S n n n 3 Khi n = 4, ta có S(4) = Suy mệnh đề với n = TOANMATH.com Trang Giả sử mệnh đề n k , tức S k k k 3 Ta cần chứng minh mệnh đề n = k +1, tức chứng minh S k 1 k 1 k Thật vậy, ta tách đa giác k 1 cạnh thành đa giác k cạnh tam giác A1 Ak Ak 1 cách nối đoạn A1 Ak Khi trừ đỉnh Ak 1 đỉnh kề với A1, Ak ta cịn lại k 1 k đỉnh, tương ứng với (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak 1 cộng với đường chéo A1 Ak ta có số đường chéo đa giác k 1 cạnh S k 1 k k 3 k k 3 k k k 1 k k 2 k 1 2 2 mệnh đề n k Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n * , n Ví dụ 6: Chứng minh n – giác lồi n chia thành hữu hạn ngũ giác lồi Hướng dẫn giải Khi n = 5, ta có ngũ giác lồi nên mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề n k , tức ta có k – giác lồi chia thành hữu hạn ngũ giác lồi Ta cần chứng minh mệnh đề n k , tức chứng minh k 1 giác lồi chia thành hữu hạn ngũ giác lồi Thật vậy, cạnh A1 Ak 1 A3 A4 ta lấy điểm E, F khơng trùng với đỉnh Khi đoạn EF chia k 1 giác lồi thành đa giác lồi, ngũ giác lồi A1 A2 A3 FE k – giác lồi EFA4 A5 Ak 1 Theo giả thiết quy nạp k – giác lồi EFA4 A5 Ak 1 chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta có thêm ngũ giác lồi A1 A2 A3 FE nên k 1 giác lồi chia thành hữu hạn ngũ giác lồi mệnh đề n k Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n * n Ví dụ 7: Với số nguyên dương n, kí hiệu un 9n Chứng minh với số ngun dương n un ln chia hết cho Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang Ta có u1 91 chia hết cho (đúng) Giả sử uk 9k chia hết cho Ta cần chứng minh uk 1 9k 1 chia hết cho Thật vậy, ta có uk 1 9k 1 9.9k 9k 1 9uk Vì 9uk chia hết uk 1 chia hết cho Theo quy nạp với số nguyên dương n, un chia hết cho Ví dụ 8: Chứng minh với n * , n n 1 n n 3 n chia hết cho 120 Hướng dẫn giải Trước hết chứng minh bổ đề “Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8” Thật vậy, với n số nguyên 2n 2n hai số chẵn liên tiếp Khi 2n 2n 4n n 1 Mà n n 1 tích hai số nguyên liên tiếp nên n n 1 Suy 4n n 18 Đặt P n n n 1 n n 3 n Khi n , ta có P 1 120120 Suy mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề với n k , tức P k k k 1 k k 3 k 120 Ta cần chứng minh mệnh đề với n k , tức chứng minh P k 1 k 1 k k 3 k k 120 Thật vậy, ta có P k 1 k 1 k k 3 k k k k 1 k k 3 k k 1 k k 3 k P k k 1 k k 3 k Mà k 1, k 2, k 3, K số tự nhiên liên tiếp nên chắn có sỗ chẵn liên tiếp số chia hết cho bốn số Suy k 1 k k 3 k 5.3.8 120 Mặt khác P k 120 nên P k 1120 mệnh đề n k Vậy theo nguyên lí quy nạp mệnh đề với n * Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với số tự nhiên n p (p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề A(n) với n = k Khẳng định sau đúng? TOANMATH.com Trang A k p B k p C k p D k p Câu 2: Với số nguyên dương, kí hiệu un 5.23n 33n 1 Một học sinh chứng minh un chia hết cho 19 sau: Bước 1: Khi n 1, ta có u1 5.21 32 19 u1 19 Bước 2: Giả sử uk 5.23k 33k 1 chia hết cho 19 với k Khi ta có uk 1 5.23k 1 33k 5.23k 33k 1 19.33k 1 Bước 3: Vì 5.23k 33k 1 19.33k 1 chia hết cho 19 nên uk 1 chia hết cho 19, n * Vậy un chia hết cho 19, n * Lập luận hay sai? Nếu sai bước nào? A Sai từ bước B Sai từ bước C Sai từ bước D Lập luận hoàn toàn Câu 3: Giả sử A tập tập hợp số nguyên dương cho I II n A n 1 A, n k k A; Lúc ta có A Mọi số nguyên bé k thuộc A B Mọi số nguyên dương thuộc A C Mọi số nguyên dương lớn k thuộc A D Mọi số nguyên thuộc A Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với giá trị nguyên n p, với p số nguyên dương ta tiến hành bước Bước (bước sở) Chứng minh A(n) n Bước (bước quy nạp) Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) n k (theo giả thiết quy nạp) Ta chứng minh A(n) n k Hãy chọn câu trả lời tương ứng với lí luận A Chỉ có bước B Cả hai bước C Cả hai bước sai D Chỉ có bước Câu 5: Với n , khẳng định sau sai? * A n n n 1 C 12 22 n Câu 6: Cho S n A S n B 2n 1 n n n 1 n D 22 42 62 2n 2n n 1 2n 1 1 1 với n * Mệnh đề sau đúng? n n 1 1.2 2.3 3.4 n 1 n TOANMATH.com B S n n n 1 C S n n 1 n2 D S n n2 n3 Trang u1 Câu 7: Cho dãy số un với n Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1 un 1 đây? A un n C un 1 2n B un n D un n u1 Câu 8: Cho dãy xác định công thức Số hạng tổng quát dãy un * un 1 un , n A un 2n 1 B un 2n C un 1 D un n 1 n u un2 2vn2 với n Câu 9: Cho hai dãy số un , xác định sau u1 3, v1 n 1 vn 1 2un Công thức tổng quát hai dãy un u n n n A 2n vn 1 2 2n 2n 2n 1 un C 2n 2n vn Câu 10: Cho dãy số un 2n 2n 1 un B 2n 2n vn 2 1 un D v n 1 1 1 2n 2n 1 2n 2n u1 cos xác định Số hạng thứ 2020 dãy số cho un , n un 1 A u2020 cos 2020 2 B u2020 cos 2019 2 C u2020 sin 2021 2 D u2020 sin 2020 2 Dạng 2: Tìm số hạng xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số Phương pháp giải Tìm số hạng dãy số Dãy số un : un f n với f n biểu thức n Bài tốn u cầu tìm số hạng uk ta thay trực tiếp n = k vào Ví dụ 1: Cho dãy số an n Đặt un ak với ak k 1 un f n a) Tính u1 ; u2 ; u3 ; u4 u1 a Dãy số un cho với f un biểu un 1 f un b) Tính u2020 k k 1 Hướng dẫn giải thức un Bài tốn u cầu tìm số hạng uk ta tính TOANMATH.com Trang u2 ; u3 ; ; uk cách u1 vào u2, u2 vào u3,… a) Ta có u1 a1 uk 1 vào uk 1 Dãy số un u a; u b cho un c.un 1 d un e Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk Ta tính u3 ; u4 ; ; uk cách u1;u2 vào u3; u2, u3 vào u4;…; uk , uk 1 vào uk u1 a Dãy số un cho với f n; un kí un 1 f n; un hiệu biểu thức un 1 tính theo un n Bài tốn u cầu tìm số hạng uk ta tính u2 ; u3 ; ; uk cách 1;u1 vào u2; 2;u2 vào u3; ; k 1; uk 1 vào uk Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Nếu un có dạng un a1 a2 an (kí hiệu n un ak ) ta biến đổi ak thành hiệu hai số hạng, k 1 dựa vào thu gọn un Nếu dãy số un cho hệ thức truy hồi, ta tính số số hạng đầu dãy số (chẳng hạn tính u1 ; u2 ; u3 ; ), từ dự đón cơng thức un theo n, chứng minh công thức phương pháp quy nạp Có thể tính hiệu un 1 un dựa vào để tìm cơng thức un theo n u2 a1 a2 1 ; 1.2 1 ; 2 1 u3 a1 a2 a3 u2 a3 ; 3 1 u4 a1 a2 a3 a4 u3 a4 b) Ta có ak 4.5 1 k k 1 k k n 1 1 1 un ak 1 2 3 k 1 1 1 1 n 1 n 1 n n n 1 Suy quy nạp u2020 2020 2021 2021 Ví dụ 2:Xác định cơng thức un n ;n 1 n 1 số hạng tổng quát un dãy số u1 un 1 un Hướng dẫn giải Ta có u2 u1 5; u3 u2 7; u4 u3 9; u5 u4 11 Từ số hạng trên, ta dự đốn số hạng tổng qt có dạng un 2n 1, n (*) Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) Với n 1; u1 2.1 (đúng) Vậy (*) với n = Giả sử (*) với n = k Khi ta có uk 2k (1) Ta cần chứng minh (*) với n k TOANMATH.com Trang 10 ... 2 Dạng 2: Tìm số hạng xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số Phương pháp giải Tìm số hạng dãy số Dãy số un : un f n với f n biểu thức n Bài tốn u cầu tìm số hạng uk ta thay... chặn tồn số m cho un m, n * c) Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m un M , n * II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1 :Quy nạp toán học Phương pháp giải... 1 un 2n Ví dụ 3: Cho đường trịn (O) bán kính R Cho dãy (un) với un độ dài cung trịn có số đo 2 đường tròn (O) n Dãy số tăng, dãy số giảm a) Dãy số (un) gọi tăng un 1 un với n * un