CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG CẤP SỐ CỘNG Mục tiêu Kiến thức + Hiểu khái niệm cấp số cộng + Nắm công thức tổng quát, tổng n số hạng cấp số cộng + Biết số hạng đầu công sai cấp số cộng Kĩ + Tìm yếu tố cịn lại biết yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số số hạng, tổng n số hạng đầu cấp số cộng + Liên hệ kiến thức cấp số cộng để giải toán thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d khơng đổi, nghĩa un cấp số cộng n 2, un un 1 d Số d gọi cơng sai cấp số cộng Định lí Nếu un cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức uk uk 1 uk 1 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a + c = 2b Định lí Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức sau: un u1 n 1 d Định lí Giả sử un cấp số cộng có cơng sai d n Gọi S n uk u1 u2 un k 1 ( S n tổng n số hạng cấp số cộng) Ta có Sn n u1 un n 2u1 n 1 d SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Nhận diện cấp số cộng số Số hạng tổng quát CẤP SỐ CỘNG un un 1 d Số hạng thứ k Hệ Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng n 2 Tổng n số hạng TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng dãy số cấp số cộng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa un cấp số cộng un 1 un d , với d số Để chứng minh dãy số un cấp số cộng, ta xét d un 1 un Nếu d số un cấp số cộng với công sai d Nếu d phụ thuộc vào n un khơng cấp số cộng Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số un với un 2020n 2021 b) Dãy số un với un 2n Hướng dẫn giải a) Dãy số un với un 2020n 2021 Ta có un 1 un 2020 n 1 2021 2020n 2021 2020 Vậy un cấp số cộng với công sai d 2020 b) Dãy số un với un 2n Ta có un 1 un 2 n 1 2n 2 Vậy un cấp số cộng với cơng sai d 2 Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số un với un n n b) Dãy số un với un 1 3n n Hướng dẫn giải a) Dãy số un với un n n Ta có un 1 un n 1 n 1 n n 1 2n phụ thuộc vào n Vậy un không cấp số cộng b) Dãy số un với un 1 3n n Ta có un 1 un 1 TOANMATH.com n 1 n n n n n 1 1 3n 1 1 1 phụ thuộc vào n Trang Vậy un không cấp số cộng Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Dãy số sau cấp số cộng? A 1; 3; 6; 9; 12 B 1; 4; 7; 10; 14 C 1; 2; 4; 8; 16 D 0; 4; 8; 12; 16 Câu 2: Trong dãy sau đây, dãy cấp số cộng? A un 3n B un 3 n 1 C un 3n D un 5n n 1 Câu 3: Một cấp số cộng un với u1 , d có dạng khai triển sau đây? 2 1 A ; 0; 1; ; 1; 2 C 1 B ; 0; ; 0; ; 2 ; 1; ; 2; ; 2 1 D ; 0; ; 1; ; 2 Câu 4: Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng A 1; -2; -4; -6; -8 B 1; -3; -6; -9; -12 C 1; -3; -7; -11; -15 D 1; -3; -5; -7; -9 Câu 5: Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng? A un n 1, n B un 2n 3, n C un n 1, n D un 2 n 1 D un 3 n 1 , n Câu 6: Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số cộng? A un 3n 2020 B un 3n 2020 C un 3n Câu 7: Trong dãy số un sau đây, dãy số cấp số cộng? A un 3n B un 2n C un n 1 n u1 D un 1 un 1, n Câu 8: Các dãy số sau có số dạng tổng quát un , dãy số cấp số cộng? A 1; 3; 5; 7; B 13; 17; 21; 25; 29 C un 3n D un n 3 n Câu 9: Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng? u1 1 A un 1 2un u1 1 B un 1 un C un n D un n 1 Câu 10: Dãy số cấp số cộng? A un n n , n * B un 3n 1, n * C un 3n , n * D un 3n , n * n2 Câu 11: Khẳng định sau sai? A Dãy số 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;… cấp số cộng u1 1 B Dãy số ;0; ;1; ; cấp số cộng với 2 d TOANMATH.com Trang u 1 C Dãy số ; ; ; cấp số cộng có ba số hạng 2 d u 2 D Dãy số -2; -2; -2; -2;… cấp số cộng d Câu 12: Cho dãy số có số hạng đầu 8; 15; 22; 29; 36;… Viết công thức số hạng tổng quát? A un 7n B un 7n C Không viết dạng công thức D un n Câu 13: Cho cấp số cộng hữu hạn 4; 7; 10; 13; 16;… 1; 6; 11; 16; 21;…; cấp số cộng có 100 số hạng Hỏi có tất số có mặt hai cấp số trên? A 21 B 20 C 18 D 19 Câu 14: Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? A Dãy số an , với an 2n 4n , n * B Dãy số bn , với b1 1, bn 1 3bn 4, n * C Dãy số cn , với cn 2019 n , n * D Dãy số d n , với d1 1, d n 1 2020 , n * dn Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai cấp số cộng, tìm số hạng thứ k cấp số cộng, tính tổng k số hạng Phương pháp giải Ta lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d Sau giải hệ phương trình tìm u1 d Muốn tìm số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm u1 d Sau áp dụng cơng thức uk u1 k 1 d Muốn tính tổng k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 d Sau áp dụng cơng thức Sk k u1 uk k 2u1 k 1 d 2 Ví dụ mẫu u1 u2 u3 Ví dụ Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 2 u1 u2 u3 35 Hướng dẫn giải u1 u2 u3 u1 u1 d u1 2d Cách Ta có 2 2 u1 u2 u3 35 u1 u1 d u1 2d 35 u1 d u1 d u d 2 2 d 2 d d d 35 Với d u1 Áp dụng công thức un u1 n 1 d lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d Với d 2 u1 Cách Đặt u1 x d ; x2 x; u3 x d TOANMATH.com Trang u1 u2 u3 x d x x d Ta có 2 2 u1 u2 u3 35 x d x x d 35 x x x 2 2 d 2 d d 35 d Với d u1 Với d 2 u1 Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng - Nếu số số hạng cấp số 20 tổng bình phương chúng 120 cộng lẻ gọi cơng sai Hướng dẫn giải Giả sử bốn số hạng a 3x; a x; a x; a 3x lập thành cấp số cộng với công d x, chẵn gọi cơng sai d x viết số hạng dạng đối xứng sai d x a 3x a x a x a 3x 20 Khi ta có 2 2 a 3x a x a x a 3x 120 4a 20 a 4a 20 x 120 x 1 Vậy bốn số cần tìm 2; 4; 6; - Nếu cấp số cộng an thỏa mãn a1 a2 an p 2 2 a1 a2 an s a1 n n 1 1 d p n d 12 ns p n n 1 Ví dụ Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 tổng 20 số u5 19 hạng cấp số cộng un , biết u9 35 Áp dụng công thức un u1 n 1 d Lập hệ phương trình Hướng dẫn giải Áp dụng công thức un u1 n 1 d , u5 19 u 4d 19 u1 ta có u9 35 u1 8d 35 d Vậy số hạng u1 3, công sai d gồm hai ẩn u1 d Để tính tổng k số hạng đầu tiên, ta áp dụng công thức Sk k 2u1 k 1 d Số hạng thứ 50 u50 u1 49d 49.4 199 Tổng 20 số hạng S50 50 2u1 49d 25 2.3 49.4 5050 Ví dụ Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng TOANMATH.com Trang S4 20 b) 1 1 25 u u u u 24 S12 34 a) S18 45 Hướng dẫn giải 12 2u1 11d 31 u1 34 u d 33 17 S12 34 a) Ta có 2u1 17d S18 45 18 2u1 17d d 45 2u1 3d 20 S4 20 b) 1 1 25 1 1 25 u u u u 24 u1 u2 u3 u4 24 u1 d 1 25 3 3 24 d d d d 2d d 3d 2 2 * 1 d 1d 5 d 5 d 5 5 2 2 Đặt Áp dụng công thức k 2u1 k 1 d Sk Biểu diễn S4 theo hai ẩn u1 d Áp dụng công thức * un u1 n 1 d Lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d 25 10 10 25 2 9d d 24 24 25 25 4 d2 t ; t 0, ta 25 t 25 9t 10 10 25 25 9t 25 t 24 24 25 9t 25 t 100 20t 24 20 4t 25 9t 25 t 25 9t 25 t 24 145 t 9t 154t 145 t Nếu t 145 145 145 d2 d 9 Với d Với d 145 145 u1 145 145 u1 Nếu t d d 1 Với d u1 TOANMATH.com 2 Trang Với d 1 u1 13 2 Ví dụ Biết u4 u8 u12 u16 224 Tính S19 Hướng dẫn giải Ta có u4 u8 u12 u16 224 u1 3d u1 7d u1 11d u1 15d 224 4u1 36d 224 u1 9d 56 Ta có S19 19 2u1 18d 19 u1 9d 19.56 1064 Ví dụ Cho cấp số cộng un biết un 5n Tìm S100 Hướng dẫn giải Ta có un 1 un 9 n 1 5n 5, n * Suy d 5, u1 Vậy S100 n 2u1 n 1 d 100 2.4 99 5 24350 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng un có u2 7; u3 A u1 1; d B u1 10; d 3 C u1 4; d 3 D u1 4; d 3 Câu 2: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu u1 15 công sai d 2 Số hạng thứ cấp số cộng A u8 B u8 1 C u8 103 D u8 64 Câu 3: Cho cấp số cộng un có u1 1; d 2; Sn 483 Giá trị n A n 20 B n 21 C n 22 D n 23 u1 2 Số 70 số hạng thứ cấp số Câu 4: Cho cấp số cộng un xác định un 1 un cộng? A 15 B 23 C 25 D 205 Câu 5: Cho cấp số cộng un có u1 tổng 50 số hạng đầu 5150 Công thức số hạng tổng quát un A un 4n B un 5n C un 2n D un 3n Câu 6: Cho cấp số cộng un có un 2n Biết Sn 320, giá trị n A n 16 n 20 B n 15 C n 20 D n 16 Câu 7: Cho dãy số un biết un 2n Chọn khẳng định A un cấp số cộng với công sai d B un cấp số cộng với công sai d 2 C un cấp số cộng với công sai d D un cấp số cộng với công sai d 5 TOANMATH.com Trang Câu 8: Cho cấp số cộng un biết u1 d Lựa chọn kết kết sau A u15 u3 46 B u29 u22 28 C u17 u13 18 D u1000 u100 350 Câu 9: Cho dãy số un cấp số cộng có cơng sai d Chọn khẳng định khẳng định sau A Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 10 B Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 20 C Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 30 D Dãy số u10 ; u20 ; u30 ; ; u10 n , n theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 15 Câu 10: Cho cấp số cộng un có cơng sai d Gọi Sn tổng n số hạng Hãy hệ thức sai hệ thức sau A u3 u8 u5 u6 B u5 u9 2u7 C u4 u9 u62 D S3 S5 2S4 d u1 2u5 Câu 11: Cho cấp số cộng un , biết Số hạng đầu u1 công sai d S4 14 A u1 8; d 3 B u1 8; d C u1 8; d 3 D u1 8; d u1 u5 u3 10 Câu 12: Số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng un có u1 u6 A u1 33; d 12 B u1 36; d 13 C u1 35; d 13 D u1 34; d 13 Câu 13: Cấp số cộng un có S6 18, S10 110 tổng 20 số hạng A 620 B 280 C 360 D 153 Câu 14: Cho cấp số cộng un 5n Biết Sn 16040, số số hạng cấp số cộng A 79 B 3024 C 80 D 100 Câu 15: Chọn khẳng định khẳng định sau Nếu số a, b, c khác lập thành cấp số cộng A nghịch đảo chúng lập thành cấp số cộng B bình phương chúng lập thành cấp số cộng C c, b, a theo thứ tự lập thành cấp số cộng D Tất khẳng định sai Câu 16: Cho cấp số cộng có S10 85, S15 240, S 20 A -325 B -170 C -395 D -470 Câu 17: Tổng tất số tự nhiên chẵn nhỏ 555 A 77145 B 77284 C 76450 D 77006 1 Câu 18: Cho cấp số cộng có u1 , d Chọn khẳng định khẳng định sau đây? 4 A S5 TOANMATH.com B S5 5 C S5 4 D S5 Trang Câu 19: Cho cấp số cộng un , với u1 2, d 3 Kết sau đúng? A u3 1 B u3 7 C u4 7 D u6 Câu 20: Cho cấp số cộng có u2 u22 60 Tổng 23 số hạng đầu A 690 B 680 C 600 D 500 Câu 21: Công sai d cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu u1 10 số hạng cuối u21 50 A d B d C d D d 2 Câu 22: Tổng 10 số hạng đầu cấp số cộng có u1 8, u10 62 A S10 175 B S10 350 C S10 700 D S10 1400 Câu 23: Cho cấp số cộng có u1 1, d 2, Sn 483 Số số hạng cấp số cộng A n 20 B n 21 C n 22 D n 23 Câu 24: Cho cấp số cộng có tổng số hạng 22, tổng bình phương chúng 166 Bốn số hạng cấp số cộng A 1; 4; 7; 10 B 1; 4; 5; 10 C 2; 3; 5; 10 D 2; 3; 4; u2 u5 42 Tổng 346 số hạng đầu Câu 25: Cho cấp số cộng un thỏa mãn u3 u10 66 A 242546 B 242000 C 241000 D 240000 Câu 26: Cho cấp số cộng un có u5 18 4Sn S2 n Số hạng u1 công sai d cấp số cộng A u1 2; d B u1 2; d C u1 2; d D u1 3; d Câu 27: Cho cấp số cộng gồm số hạng 1, a,7, b Giá trị a, b A a 3, b 11 B a 2, b C a 4, b 12 D a 7, b 1 Câu 28: Cho dãy số an có tổng n số hạng S n 2n 3n Khi A an cấp số cộng với công sai B an cấp số cộng với công sai C an cấp số cộng với công sai D an cấp số cộng với công sai Câu 29: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu u1 6 công sai d Tổng 14 số hạng cấp số cộng A 280 B 308 C 644 D 46 Câu 30: Cho cấp số cộng un gồm số hạng 2, a, 6, b Tích a.b A 12 B 32 C 40 D 22 Câu 31: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n 3n 4n, n * Giá trị số hạng thứ 10 cấp số cộng A u10 55 TOANMATH.com B u10 67 C u10 61 D u10 59 Trang 10 ... an cấp số cộng với công sai C an cấp số cộng với công sai D an cấp số cộng với công sai Câu 29: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu u1 6 công sai d Tổng 14 số hạng cấp số cộng. .. Cho cấp số cộng có u1 1, d 2, Sn 483 Số số hạng cấp số cộng A n 20 B n 21 C n 22 D n 23 Câu 24: Cho cấp số cộng có tổng số hạng 22, tổng bình phương chúng 166 Bốn số hạng cấp số cộng. .. sai cấp số cộng Định lí Nếu un cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức uk uk 1 uk 1 Hệ quả: Ba số