Tuyển tập bài tập về xác định biến cố và tính xác suất của biến cố (có đáp án 2022) – toán 11

Xác định biến cố và tính xác xuất của biến cố 1 Lý thuyết a) Phép thử ngẫu nhiên + Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà Kết quả của nó không đoán trước được[.]

Xác định biến cố tính xác xuất biến cố P()  Lý thuyết Các dạng toán a) Phép thử ngẫu nhiên Dạng Xác định không gian mẫu biến cố + Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà: - Kết khơng đốn trước được; Phương pháp giải: - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử - Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để đếm só phần tử khơng gian mẫu biến cố + Phép thử thường kí hiệu: T + Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử - Cách 1: Liệt kê phần tử không gian mẫu biến cố đếm Ví dụ minh họa: Kí hiệu:  Số phần tử khơng gian mẫu kí hiệu  n    Ví dụ Gieo đồng xu cân đối đồng chất lần quan sát xuất mặt sấp (S) mặt ngửa (N) b) Biến cố a) Mô tả khơng gian mẫu Tính số phần tử khơng gian mẫu - Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T b) Xác định tính số phần tử biến cố A: “Lần gieo đầu xuất mặt sấp” - Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A - Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu  A A B: “Ba lần xuất mặt nhau” c) Tính chất biến cố Giải sử  không gian mẫu, A B biến cố C: “Đúng lần xuất mặt ngửa” D: “Ít lần xuất mặt sấp” Lời giải +  \ A  A gọi biến cố đối biến cố A a) Không gian mẫu   SSS; SSN; SNS; SNN; NNN; NNS; NSN; NSS + A  B biến cố xảy A B xảy Do đó: Số phần tử không gian mẫu:   + A  B biến cố xảy A B xảy A  B viết AB (Cách khác: Số phần tử tính bằng: 2.2.2 = 8) + Nếu A  B   , ta nói A B xung khắc b) A = {SSS; SSN; SNS; SNN}; |A| = B = {SSS; NNN}; |A| = d) Xác suất biến cố C = {SNN; NNS; NSN}; |C| = * Định nghĩa cổ điển xác suất: D = {SSS; SSN; SNS; SNN; NNS; NSN; NSS}; |D| = Cho T phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  tập hữu hạn Giả sử A biến cố mô tả A   Xác suất biến cố A, kí hiệu Ví dụ Một hộp đựng viên bi vàng, viên bi xanh 10 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính số phần tử của: P(A), cho công thức a) Không gian mẫu P(A)  A  Trong đó:  A số phần tử biến cố A  số phần tử khơng gian mẫu  * Tính chất  P(A)  P()  b) Các biến cố: A: “4 viên bi lấy có màu vàng” B: “4 viên bi lấy có màu xanh” C: “4 viên bi lấy có màu” D: “4 viên bi lấy có đủ màu” Lời giải a) Số cách chọn viên bi từ hộp đó: C  12650 25 Số phần tử không gian mẫu   12650 b) * Số cách chọn viên bi có màu vàng: C C  3808 Xác suất để có lần xuất mặt chấm: P  B   17 B 91   216 c) Gọi C biến cố: “Tổng số chấm lần gieo 6” Do đó: |A| = 3808 * Số cách chọn viên bi khơng có màu xanh: C18 Số cách chọn viên bi có màu xanh là: C425  C18  9590 Do đó: |B| = 9590 * Số cách chọn viên bi có màu là: C84  C74  C10  315 Để có tổng số chấm ta có số nhau: (1; 1; 4), (1; 2; 3), (2; 2; 2) Trường hợp 1: Xuất lần mặt chấm lần mặt có cách Trường hợp 2: Xuất lần mặt chấm, lần mặt chấm, lần mặt chấm có 3! = cách Trường hợp 3: Xuất lần mặt chấm có cách Do đó: |C| = 315 Do đó: |C| = + + = 10 * Số cách chọn viên bi cho có đủ màu Xác suất để có tổng số chấm lần gieo là: P  C   Trường hợp 1: viên bi vàng, viên bi xanh, viên bi đỏ: C82 C17 C10  1960 Trường hợp 2: viên bi vàng, viên bi xanh, viên bi đỏ: C18 C72 C110  1680 Trường hợp 3: viên bi vàng, viên bi xanh, viên bi đỏ: C18 C17 C10  2520 Do đó: |D| = 1960 + 1680 + 2520 = 6160 C 10    216 108 Ví dụ Xếp học sinh nam học sinh nữ vào bàn dài có 12 ghế Tính xác suất để: a) Các học sinh nam ngồi cạnh b) Khơng có hai học sinh nam ngồi cạnh Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Lời giải Phương pháp giải: Số phần tử không gian mẫu là:   12!  Sử dụng cơng thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: P(A)  A  a) Gọi A biến cố: “Các học sinh nam ngồi cạnh nhau” Ví dụ minh họa: Ví dụ Gieo súc sắc lần Tính xác xuất để a) Ba lần xuất mặt chấm Số cách xếp học sinh nam ngồi cạnh là: |A| = 8! 5! Xác suất để học sinh nam ngồi cạnh là: P  A   A 8!.5!    12! 99 b) Gọi B biến cố: “Khơng có hai học sinh nam ngồi cạnh nhau” b) Ít lần xuất mặt chấm Xếp học sinh nữ vào bàn dài ta có: 7! cách xếp c) Tổng số chấm lần gieo Khi tạo chỗ trống (6 chỗ trống bạn nữ chỗ trống bên) Xếp bạn Lời giải Số phần tử không gian mẫu:   6.6.6   216 a) Gọi A biến cố: “Ba lần gieo xuất chấm” Số phần tử A là: |A| =1 A  Xác suất để ba lần gieo xuất mặt chấm là: P  A    216 b) Gọi B biến cố: “Ít lần xuất mặt chấm” Số cách không xuất mặt chấm là: 5.5.5 = 125 nam vào chỗ trống (Mỗi chỗ trống bạn): có A 85 cách xếp Do số cách xếp để khơng có hai học sinh nam ngồi cạnh là: B  7!.A85 Xác xuất để khơng có hai học sinh nam ngồi cạnh là: P  B  B 7!.A85    12! 99 Bài tập tự luyện Câu Gieo ba súc sắc Xác suất để số chấm xuất ba súc sắc là? Do |B| = 216 – 125 = 91 A 12 216 B 216 C 216 D 216 Câu Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để viên bi chọn có đủ màu số bi đỏ số bi vàng? 313 A 408 95 B 408 C 102 25 D 136 Câu Một hộp đựng thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; … ; Rút ngẫu nhiên đồng thời thẻ nhân hai số ghi hai thẻ lại với Tính xác suất để tích nhận số chẵn A B 18 C D 13 18 Câu Một hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất thẻ lấy ghi số lẻ chia hết cho A 0,3 B 0,5 C 0,2 D 0,15 Câu Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 A 560 4199 B 15 C 11 15 D 3639 4199 Câu Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho người chọn nữ A 15 B 15 C 15 D Câu Một đội gồm nam nữ Lập nhóm gồm người hát tốp ca Tính xác suất để bốn người chọn có ba nữ A 70 143 B 73 143 C 56 143 D 87 143 Câu Một hộp chứa 11 cầu gồm cầu màu xanh cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời cầu từ hộp Xác suất để chọn cầu màu A 22 B 11 C 11 D 11 Câu Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Xác suất để có hai viên bi xanh bao nhiêu? A 41 55 B 14 55 C 28 55 D 42 55 Câu 10 Một lơ hàng có 20 sản phẩm, phế phẩm Lấy tùy ý sản phẩm từ lơ hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có khơng phế phẩm A 91 323 B 637 969 C D 91 285 Câu 11 Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố: “Hiệu số chấm xuất xúc sắc 1” A B C 18 D Câu 12 Thầy giáo có 10 câu hỏi trắc nghiệm, có câu đại số câu hình học Thầy gọi bạn Nam lên trả cách chọn lấy ngẫu nhiên câu hỏi 10 câu hỏi để trả lời Hỏi xác suất bạn Nam chọn có câu hình học bao nhiêu? A B 30 C D 29 30 Câu 13 Cho hai đường thẳng song song d1; d2 Trên d1 có điểm phân biệt tơ màu đỏ Trên d2 có điểm phân biết tô màu xanh Xét tất tam giác tạo thành nối điểm với Chọn ngẫu nhiên tam giác, xác suất để thu tam giác có hai đỉnh màu đỏ là: A 32 B C D Câu 14 Danh sách lớp bạn Nam đánh số từ đến 45 Nam có số thứ tự 21 Chọn ngẫu nhiên bạn lớp để trực nhật Tính xác suất để chọn bạn có số thứ tự lớn số thứ tự Nam A B 45 C D 24 45 Câu 15 Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có người tham gia có hai bạn Việt Nam Các vận động viên chia làm hai bảng A B, bảng gồm người Giả sử việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu A B C D Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 C B D D A A A C D B C A B D D Vì abcdef số lẻ nên f 1;3;5;7;9 Công thức chỉnh hợp Tổng hợp lý thuyết - Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, (1  k  n ) Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp n chập k A) - Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử là: A kn  n! (n  k)! - Một số quy ước: 0!  1, A0n  1, Ann  n! - Đặc điểm: Đây xếp có thứ tự số phần tử xếp k:  k  n Cơng thức tính Cơng thức chỉnh hợp: A kn  n! (n  k)! Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một đơi bóng có 11 cầu thủ, chuẩn bị đá penalty Huấn luận viên muốn chọn cầu thủ lên đá penalty Biết 11 cầu thủ có khả đá Hỏi có cách chọn cầu thủ lên đá bóng Lời giải Số cách chọn xếp cầu thủ lên đá penalty A11  55440 cách Ví dụ 2: Từ chữ số từ đến Có cách lập số tự nhiên cho: a) Số có chữ số khác b) Số có chữ số khác chia hết cho 10 c) Số lẻ có chữ số khác Lời giải a) Lập số có chữ số khác Chọn chữ số từ số từ đến 9: có cách chọn Các chữ số cịn lại chỉnh hợp chập số lại (khác chữ số đầu tiên) có A 59 Vậy có 9A59  136080 số b) Số có chữ số khác chia hết cho 10 Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách chọn chữ số Chọn chữ số lại chỉnh hợp chập số lại (khác chữ số 0) có A 59 Vậy có A59  15120 số c) Gọi số abcdef số lẻ có chữ số khác lập từ chữ số đến Chọn f: có cách chọn Chọn a từ chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: có cách chọn Chọn b, c, d, e chỉnh hợp chập chữ số cịn lại (khác f a): có A84 Vậy có 5.8A84  67200 số Cơng thức hốn vị c) Số có chữ số khác có số đứng cạnh Lời giải Tổng hợp lý thuyết - Cho tập A gồm n phần tử ( n  1) Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập hợp A, (gọi tắt hốn vị A) a) Lập số có chữ số từ chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; - Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 Các vị trí cịn lại hốn vị phần tử lại: 5! - Đặc điểm: Đây xếp có thứ tự số phần tử xếp số phần tử nhóm (bằng n) Vậy có 5! = 600 số - Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 Lập số có chữ số khác có chữ số đứng đầu là: 5! Quy ước: 0! = 1; 1! = Vậy số có chữ số khác là: 6! – 5! = 600 số Cơng thức tính b) Gọi số abcdef số chẵn có chữ số số Cơng thức hốn vị: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xếp 10 bạn, có bạn nam bạn nữ, vào ghế dài Có cách xếp cho: Cách 1: Vị trí (chữ số khác 0): có cách chọn Cách 2: Lập số có chữ số khác (kể chữ số đứng đầu) hốn vị 6: 6! Vì abcdef số chẵn nên f 0;2;4 + Trường hợp 1: f = Các số a, b, c, d, e hoán vị chữ số lại: 5! = 120 a) Xếp + Trường hợp 2: f 2;4 b) Các bạn nam ngồi cạnh Chọn f: có cách chọn c) Các bạn nam nữ ngồi xen kẽ với Lời giải Chọn a từ số {1; 2; 3; 4; 5}\{f}: có cách chọn Chọn b, c, d, e hoán vị chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5}\{a; f}: có 4! a) Số cách xếp 10 bạn vào ghế dài hốn vị 10: 10! Do có 4! = 192 số b) Xếp bạn nam ngồi cạnh Ta ghép bạn nam vào “bó”: có 5! cách xếp bên “bó” Vậy có 120 + 192 = 312 số chẵn có chữ số khác Rồi xếp bạn nữ “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp Ta ghép với coi vị trí Vậy có 5! 6! = 86400 cách xếp cho bạn nam ngồi cạnh c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ đến 10 Để xếp xen kẽ bạn nam nữ + Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, bạn nữ ngồi vị trí chẵn Số cách xếp bạn nam: 5! Số cách xếp bạn nữ: 5! Do có 5! 5! cách xếp + Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, bạn nữ ngồi vị trí lẻ Tương tự trường hợp ta có 5! 5! cách xếp Vậy có 5! 5! = 28800 cách xếp Ví dụ 2: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; Lập số tự nhiên cho: a) Số có chữ số khác b) Số chẵn có chữ số khác c) Để lập số có chữ số khác có số đứng cạnh Giả sử số có chữ số cần lập vị trí hình (1) (2) (3) (4) (5) Vị trí có cách chọn (chữ số ghép với 2; 3; 4; 5) Các vị trí cịn lại hoán vị chữ số: 4! Ở vị trí chứa chữ số có 2! cách xếp chúng Vậy có 4! 2! = 192 số có chữ số khác chữ số đứng cạnh Ví dụ 2: Khai triển (x + 2y)5 thành tổng đơn thức Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn Lời giải Tổng hợp lý thuyết Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu – tơn: a) Định nghĩa: (x + 2y)5 n (a  b)n   Ckn a n k b k  C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n 2b2   Cnn 1abn 1  Cnn bn  C50 x  C15 x  2y   C52 x  2y   C53x  2y   C54 x  2y   C55  2y  k 0 = x5 + 10x4y + 40x3y2 + 80x2y3 + 80xy4 + 32y5 b) Nhận xét: n Trong khai triển Niu - tơn (a + b) có tính chất sau - Gồm có n + số hạng - Số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n - Tổng số mũ a b số hạng n - Các hệ số có tính đối xứng: Ckn  Cnn k - Quan hệ hai hệ số liên tiếp: Ckn  Ckn 1  Ckn 11 - Số hạng thứ k + khai triển: Tk 1  Cnk a n k bk Ví dụ: Số hạng thứ T1  T01  C0n a n , số hạng thứ k: Tk  T(k 1)1  Cnk 1a n k 1bk 1 c) Hệ quả: Ta có : (1  x)n  C0n  xC1n  x 2C2n   x nCnn Từ khai triển ta có kết sau C0n  C1n   Cnn  2n C0n  C1n  Cn2   (1)n Cnn  Cơng thức tính Cơng thức khai triển nhị thức Niu – tơn: n (a  b)n   Ckn a n k b k  C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n 2b2   Cnn 1abn 1  Cnn bn k 0 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khai triển (1 – 3x)6 thành tổng đơn thức Lời giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu – tơn: (1 – 3x)6  C06 16  C16 15  3x   C62 14  3x   C36 13  3x   C64 12  3x   C56.11  3x   C66  3x  = – 18x + 135x2 – 540x3 + 1215x4 – 1458x5 + 729x6 Cơng thức tìm hệ số khai triển Cần tìm hệ số x9 nên k = 9 Vậy hệ số x9 khai triển là: C15  2  2562560 Tổng hợp lý thuyết Xét khai triển: (với a,b hệ số; x,y biến) n (ax  by)n   Cnk  ax  n k  by    Ví dụ 2: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển:  2x  k k 0  C0n a n x n  C1na n 1b.x n 1y  C2na n 2b2 x n 2 y2   Cnn1abn 1.xyn 1  Cnn bn yn Lời giải Khai triển: - Hệ số số hạng thứ k + khai triển: Ckn a n k bk Cần tìm hệ số khơng chứa x nên  3k   k     C  ax   bx    C a n q n k 0 p n k k n n q k k 0 k n k n bk x nppk qk m Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m m  np qp Vậy hệ số số hạng chứa xm là: Ckn a n k bk với giá trị k tìm * Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n (p,q số)  Ta có: P  x   a  bx p  cx q k k 0 j0    C a  bx n n k 0   Ckn a n k  Ckj  bx n k k 0 * Với khai triển (axp + bxq)n (p,q số) Từ tìm k  k   C6k 26k  1 x 63k Các công thức  6   k 6 k   k 6k 6k 2 k k  2x     C6  2x       C6 x  1  x  x  k 0   x  k 0 - Số hạng thứ k + khai triển: Tk 1  Cnk a n k bk x n k yk p Ta có: ax  bx   x2  k n k n p  cx q  k   cx  p k j q j Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số xm * Chú ý: - Nếu k khơng ngun k > n khai triển khơng chứa xm, hệ số phải tìm - Nếu hỏi hệ số không chứa x tức tìm hệ số chứa x0 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm hệ số x9 khai triển: (1 – 2x)15 Lời giải Khai triển: 1 – 2x   15 15 15  C  2x    C  2  k 0 k 15 k k 0 k 15 k xk 6 Vậy hệ số không chứa x khai triển là: C6  1  240 Cơng thức tìm số hạng khai triển Tổng hợp lý thuyết 12 1   x5  x   Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x8 khai triển:  Xét khai triển: (với a,b hệ số; x, y biến) n (ax  by)n   Cnk  ax  n k  by  Lời giải k 0  C0n a n x n  C1na n 1b.x n 1y  C2na n 2b2 x n 2 y2   Cnn1abn 1.xyn 1  Cnn bn yn Cần tìm số hạng chứa x8 nên 36  3k  - Số hạng thứ k + khai triển: Tk 1  Cnk a n k bk x n k yk - Hệ số số hạng thứ k + khai triển: Ckn a n k bk * Với khai triển (axp + bxq)n (p, q số)     C  ax   bx    C a n n k 0 p n k k n n q k k 0 k n k n bk x nppk qk Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m m  np qp Từ tìm k  Vậy số hạng chứa xm là: Ckn a n k bk x m với giá trị k tìm * Với khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n (p, q số)  Ta có: P  x   a  bx p  cx q k k 0 j0 n n k 0   Ckn a n k  Ckj  bx n    C a  bx k n k n p  cx q  k   cx  p k j q j Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính số hạng chứa xm Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ khai triển: (2 – 3x)20 Lời giải Khai triển:  – 3x   20 20 C k 0 k 20 220k  3x  k 8 k 8 8 Vậy số hạng chứa x8 khai triển C12 x  495x8 Các công thức p q Ta có: ax  bx k 5 12 12 363k  k  3    k 3 12 k   k 2   x    x  x    C12  x   x    C12 x x  k 0 k 0     12 k 12 k k 20k Số hạng thứ k + khai triển là: Tk 1  C20  3x  k Cần tìm số hạng thứ nên k = 5 205 15 5 Vậy số hạng thứ khai triển là: T6  C20  3x    C20 x Công thức tính tổng hệ số khai triển Tổng hợp lý thuyết Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn: Cơng thức tính xác suất n (a  b)n   Ckn a n k b k  C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n 2b2   Cnn 1abn 1  Cnn bn Tổng hợp lý thuyết k 0 a) Định nghĩa cổ điển xác suất: Các công thức Cho T phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu  tập hữu hạn Phương pháp tìm tổng hệ số khai triển Giả sử A biến cố mô tả A   Xác suất biến cố A, kí hiệu Xét khai triển tổng quát: (với a,b hệ số; x,y biến) n (ax  by)   C  ax  n k n n k  by  P(A), cho công thức k P(A)  k 0 n 1 n  C0n a n x n  C a b.x n 1y  C2na n 2b2 x n 2 y2   Cnn1abn 1.xyn 1  Cnn bn yn Trong đó:  A số phần tử biến cố A Tổng hệ số khai triển là:  số phần tử không gian mẫu  S  C0n a n  C1n a n 1b  C2na n 2b2   Cnn 1abn 1  Cnn bn Ta chọn biến x = 1; y = thay vào khai triển: S   a  b  * Tính chất n  P(A)  (Chú ý: tùy thuộc vào khai triển đề cho, xét khai triển với biến x) P()  P()  Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khai triển (1 – 3x)2021 = a0 + a1x1 + + a2021x2021 Tổng hệ số của: a0 + a1 + + a2021 Lời giải 1  3x   1  3x  2021  C02021  C12021  3x   C2021  3x   C32021  3x    C2021  3x  2021 2021 2021 2021  C02021  3C12021x  32 C2021 x  33 C32021x   32021 C2021 x Tổng hệ số khai triển 2021 S  a  a1  a   a 20  C02021  3C12021  32 C2021  33 C32021   32021 C20 21 Chọn x = 1, ta có S  1  3.1 2021   2  2021  22021 Ví dụ 2: Tính tổng: S  C50  3C150  32 C50   350 C50 50 Lời giải 50 Xét khai triển: 1  x   C  C x  C50 x  C50 x   C50 50 x 50 50 50 50 50 Chọn x = 3, ta có 1  3  C50  C150  C50 32  C350 33   C50 50  S  50 Vậy S = 450 b) Các quy tắc tính xác suất * Quy tắc cộng - Nếu A  B   A B gọi hai biến cố xung khắc - Nếu hai biến cố A, B xung khắc P  A  B  P  A   P  B Xét khai triển: 2021 A  - Nếu biến cố A1 ; A2; A3 ; … An đơi xung khắc với P  A1  A2   Ak   P  A1   P  A2    P  Ak    - Cơng thức tính xác suất biến cố đối: P A   P  A  - Mở rộng : Với hai biến cố liên quan đến phép thử thì: P  A  B  P  A   P  B   P  A  B  * Quy tắc nhân - Hai biến cố gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố - Nếu A B hai biến cố độc lập P  A  B  P  A .P  B - Một cách tổng quát, k biến cố A1,A2,A3, ,Ak độc lập P  A1  A2  A3   Ak   P  A1 .P  A2 .P  A3  P  Ak  Xác suất để lấy viên bi màu xanh viên bi màu vàng là: Các công thức * Công thức xác suất cổ điển: P(A)  PA  A  A C82 C72 28    C15 65 b) Gọi B biến cố: “Có viên bi màu vàng” Trong đó:  A số phần tử biến cố A Khi B biến cố: “Khơng lấy bi màu vàng”  số phần tử khơng gian mẫu  Số cách chọn khơng có màu vàng là: B  C84 * Nếu hai biến cố A, B xung khắc P  A  B  P  A   P  B   * Cơng thức tính xác suất biến cố đối: P A   P  A  * Nếu A B hai biến cố độc lập P  A  B  P  A .P  B * Công thức mở rộng: - Với hai biến cố liên quan đến phép thử thì:   Xác suất để lấy viên bi màu vàng là: P  B    P B   c) Gọi C biến cố: “Có đủ màu” Khi C biến cố: “Khơng có đủ màu” Trường hợp 1: Chọn viên bi màu xanh: C84 cách P  A  B  P  A   P  B   P  A  B  Trương hợp 2: Chọn viên bi màu vàng: C74 cách - Nếu k biến cố A1 ; A2; … Ak đơi xung khắc Số cách chọn không đủ hai màu là: C84  C74 P  A1  A2   Ak   P  A1    P  Ak  - Nếu k biến cố A1,A2,A3, ,Ak độc lập P  A1  A2   Ak   P  A1 .P  A2  P  Ak  C84 37  C15 39   Xác suất để chọn viên bi đủ hai màu là: P  C    P C   C84  C74 12  C15 13 Ví dụ 2: Hai người xạ thủ độc lập với nhau, bắn súng vào hai bia khác Xác suất trúng người thứ 0,4 người thứ hai 0,7 Tính xác suất để: a) Cả người bắn trúng Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hộp có viên bi xanh viên bi vàng Lấy viên bi từ hộp Tính xác suất lấy được: b) Có người bắn trúng c) Không bắn trúng Lời giải a) viên bi màu xanh viên bi màu vàng b) Có viên bi vàng Gọi A biến cố: “Người thứ bắn trúng”; P(A) = 0,4 c) Có đủ màu B biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7 Lời giải A, B hai biến cố độc lập Không gian mẫu:  : “Lấy viên bi từ hộp” Khi đó: Số phần tử khơng gian mẫu   C A biến cố: “Người thứ bắn không trúng”; P A   P  A    0,4  0,6 15 a) Gọi A biến cố: “Lấy viên bi màu xanh viên bi màu vàng” Số cách chọn viên bi màu xanh viên bi màu vàng là: A  C82 C72   B biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; P  B   P  B   0,7  0,3 a) Ta có: A  B biến cố: “Cả hai người bắn trúng” Giải phương trình, bất phương trình liên quan đến tổ hợp Vậy nghiệm phương trình x = 13  42  b) 3.A2n  A2n Lý thuyết - Hoán vị n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 n! - Chỉnh hợp chập k n (  k  n ): A  (n  k)! k n n! Ak - Tổ hợp chập n (  k  n ): C   n (n  k)!k! k! k n - Tính chất tổ hợp: C n! (2n)!   42  (n  2)! (2n  2)!  3n  3n  4n  2n  42  k 1 n  C  C ,(1  k  n) k n Phương trình tương đương với  3n(n  1)  2n(2n  1)  42  Ckn  Cnn k ,(0  k  n) k 1 n 1 n  n  Điều kiện:   n  n  42  Phương pháp giải Sử dụng cơng thức hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa phương trình, bất phương trình học giải    n   n    Ví dụ minh họa n    n  7 (Loai) Ví dụ Giải phương trình: Vậy nghiệm phương trình là: n = a) 2A  C x x 1 x c) Cxx 12  2C3x 1  7(x  1)  23x x   x   x  x   42  b) 3A2n  A2n Điều kiện:  c) Cxx 12  2C3x 1  7(x  1) Lời giải a) 2A2x  Cxx 1  23x x  x  Điều kiện:  Phương trình tương đương với: x! x!   23x (x  2)! (x  1)!.1!  2x  x  1  x  23x  2x  2x  24x   2x  26x   x  13x   x  (Loai)   x  13 Cxx 12  2C3x 1  7(x  1)  (x  1)! (x  1)! 2  7(x  1) (x  2)!.3! (x  4)!.3!  (x  1)x(x  1) (x  1)(x  2)(x  3) 2  7(x  1) 6   x  1(x  1)x  2(x  2)(x  3)  42    x  1  x  x  2x  10x  12  42     x  1  3x  9x  30     x  1.3 x  5 x     x   Loai    x   x  2  Loai   Vậy nghiệm phương trình x = Vậy số cạnh đa giác n Ví dụ 2: Giải bất phương trình Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh C 2n đoạn thẳng a) A3n  15  15n Do số đường chéo đa giác C2n  n b) A  A  12 Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có: n n Lời giải a) Điều kiện: n  3,n  Ta có: A3n  15  15n  n!  15  15n  (n  3)! C2n  n  2n  n!  3n 2!.(n  2)!  n(n  1)  3n  n(n  1)(n  2)  15(n  1)   n  n  6n  (n  1)  n  2n  15   n  7n   (n  1)(n  3)(n  5)  Vì n  nên n – > n + >  n  (Loai)  n  n –50n 5 Vậy đa giác có cạnh Kết hợp với điều kiện, ta có n = n = thỏa mãn Vậy nghiệm bất phương trình: n = 3; n = 4 Bài tập tự luyện b) Điều kiện: n  3,n  N Câu Nghiệm phương trình: C3n  10 A3n  A2n  12 A  B C D Câu Tập hợp tất nghiệm thực phương trình A  A  x n! n!   12  n  3!  n  ! A.{-1} B {3} C.{-1;3} x 2 x  n(n  1)(n  2)  n(n  1)  12 Câu Nghiệm phương trình A  C  n  3n  2n  n  n  12 A Một số khác  n  4n  3n  12  Câu Tìm tập nghiệm phương trình C  C  4x  (n  4)  n  3  A.{0} 3 x B x = B.{-5; 5} D.{1}  14x C x = x x D x = x C.{5} D.{-5; 0; 5} Câu Cho số tự nhiên n thỏa mãn C  A  9n Mệnh đề sau đúng? n n4 A n chia hết cho cho Kết hợp với điều kiện, ta có n = thỏa mãn Vậy nghiệm bất phương trình: n = B n chia hết cho n C n chia hết cho D n chia hết Câu Nghiệm phương trình A10 x  A x  9A x Ví dụ Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Hỏi đa giác có cạnh? Lời giải Gọi số đỉnh đa giác n Điều kiện: n  n  A x = B x = 11 C x = 11; x = Câu Tổng tất số tự nhiên n thỏa mãn D x = 10; x = 1   C1n C2n 1 6C1n 4 A 13 C 10 B 11 D 12 Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Câu Tính tổng tất số nguyên dương n thỏa mãn A  3C  15  5n Lý thuyết A 13 a) Hoán vị n B 10 n C 12 D 11 - Cho tập A gồm n phần tử ( n  ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập hợp A, (gọi tắt hoán vị A) Câu Cho n số nguyên dương thỏa mãn A  C  C  4n  Hệ số số n n   hạng chứa x9 khai triển biểu thức P  x    x  A 18564 n n 3  x - Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 C 192456 B 64152 - Đặc điểm: Đây xếp có thứ tự số phần tử xếp số phần tử nhóm (bằng n) D 194265 Câu 10 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu tơn  n x     2x  A 2n - Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1 Quy ước: 0! = 1; 1! =  x  0 , biết số nguyên dương n thỏa mãn C3n  An2  50 29 51 B 297 512 C 97 12 D Câu 11 Nghiệm bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) A  n  B  n  b) Chỉnh hợp - Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, (1  k  n ) Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp n chập k A) 279 215 C2n 1  n C2n 10 C  n  - Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử là: A kn  D  n  Câu 12 Nghiệm bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) B  n  C  n  Câu 13 Nghiệm phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) C B n  A n  C n  Câu 14 Nghiệm bất phương trình sau: A x = 3; x = D  n  n 1 n 2  C  A n2 D n  n n 2 A 2x  A 2x  C3x  10 x B x = C x = 2; x = 3; x = B C c) Tổ hợp Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, (1  k  n ) Mỗi tập hợp A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A - Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử : Ckn  n! Ak  n (n  k)!k! k! - Tính chất : C0n  Cnn  D x = Câu 15 Trên đường thẳng d1 cho điểm phân biệt, đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1, cho n điểm phân biệt Biết có tất 175 tam giác tạo thành mà đỉnh lấy từ n + điểm Giá trị n A 10 - Một số quy ước: 0!  1, A0n  1, Ann  n! - Đặc điểm: Đây xếp có thứ tự số phần tử xếp k:  k  n A3n 1  Cnn 11  14(n  1) A  n  n! (n  k)! Ckn  Cnn k ,(0  k  n) Ckn 11  Ckn  Ckn 1,(1  k  n) - Đặc điểm: Tổ hợp chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử chọn k:  k  n D Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 B B C C A B B D C B C D A A B Các dạng tập Dạng 1: Bài tốn đếm số tự nhiên Ví dụ Từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có số tự nhiên thỏa mãn b) Số có chữ số khác + Số số có 10 chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần chữ số đứng đầu c) Số có chữ số khác có chữ số hàng chục nghìn Vị trí có cách chọn (là chữ số 0) d) Số có chữ số khác chữ số không hàng đơn vị Chữ số có mặt lần, ta chọn vị trí vị trí cịn lại để đặt số 3: có C39 a) Số có chữ số khác Lời giải cách chọn a) Số số có chữ số khác lập từ chữ số 7! = 5040 Các chữ số khác có mặt lần hốn vị 6: có 6! cách chọn b) Số số có chữ số khác lập từ chữ số A  2520 Do có C39 6! c) Số có chữ số khác có chữ số hàng chục nghìn 7! C93 6!  544320 số có 10 chữ số, chữ số có mặt lần, Vậy có C10 Chữ số hàng chục nghìn có cách chọn (là chữ số 1) chữ số khác có mặt lần Các hàng khác, số cách chọn hoán vị chữ số cịn lại: 6! Vậy có 1.6! = 720 số có chữ số khác có chữ số hàng chục nghìn b) Gọi số abcde số chẵn có chữ số số d) Số có chữ số khác chữ số không hàng đơn vị Vì abcde số chẵn nên e 0;2;4;6 Số số có chữ số khác 7! + Trường hợp 1: e = Ta lập số có chữ số khác có chữ số hàng đơn vị Số cách chọn a, b, c, d số lại A 74 Chữ số hàng đơn vị có cách chọn (là chữ số 2) Do có A 74 Các hàng khác, số cách chọn hoán vị chữ số lại: 6! + Trường hợp 2: e 2;4;6 Số số có chữ số chữ số hàng đơn vị là: 1.6! Vậy có 7! – 6! = 4320 số có chữ số khác chữ số không hàng đơn vị Chọn e: có cách chọn Chọn a từ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{e}: có cách chọn Ví dụ Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có thể lập số tự nhiên thỏa mãn a) Số có 10 chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Chọn b, c, d từ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{a, e}: có A 36 Do có 3.6.A36 số Vậy có A74  3.6.A36  3000 số chẵn có chữ số khác lập từ chữ số b) Số chẵn có chữ số khác c) Số có chữ số khác nhau, chữ số hàng đơn vị c) Giả sử số có chữ số cần lập vị trí hình d) Số có chữ số khác nhau, chữ số đứng cạnh (1) Lời giải (2) (3) (4) (5) (6) Lập số có chữ số khác nhau, chữ số hàng đơn vị a) Giả sử số có 10 chữ số cần lập 10 vị trí hình Vị trí (6) có cách chọn (là chữ số 1) (1) Vị trí (1) có cách chọn (là chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) + Số số có 10 chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần (Kể chữ số đứng đầu) 10 Chữ số có mặt lần, ta chọn vị trí để đặt số 3: có C cách chọn Các chữ số khác có mặt lần hốn vị 7: có 7! cách chọn 7! số (kể số đứng đầu) Do có C10 Bốn vị trí cịn lại chỉnh hợp chập số cịn lại: có A 64 số Vậy có 1.6.A64  2160 số có chữ số, chữ số hàng đơn vị d) Để lập số có số đứng cạnh ta ghép số với nhau, đặt vào vị trí Giả sử số có chữ số cần lập vị trí hình (1) (2) (3) (4) (5) Vị trí (1) có cách chọn (là 1; 3; 4; 5; 6; 7) Các vị trí cịn lại có chỉnh hợp chập số lại: có A Khi tạo khoảng trống (là khoảng trống bạn nữ khoảng trống ngồi cùng) Ở vị chí chứa số 3: có 2! cách xếp chữ số Ta xếp bạn nam vào khoảng trống (mỗi bạn khoảng trống): ta A 83 Vậy có 6.A64 2!  4230 số có chữ số khác nhau, chữ số đứng cạnh Vậy có 7!.A83  1693440 cách xếp Dạng 2: Bài toán xếp chỗ Ví dụ Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài Hỏi có cách xếp cho: Phương pháp giải: a) A F ngồi hai đầu ghế * Sử dụng quy tắc cộng quy tắc nhân b) A F ngồi cạnh * Chú ý: c) A F khơng ngồi cạnh - Bài tốn đếm yêu cầu xếp phần tử A B phải đứng cạnh nhau, ta bó (gộp) phần tử làm 1, coi chúng phần tử xếp Lời giải a) Xếp A F hai đầu ghế: có 2! cách xếp A F - Bài toán đếm yêu cầu xếp phần tử A B không đứng cạnh nhau, ta đếm phần bù (Tức đếm phần tử A B đứng cạnh nhau) Các vị trí giữa: có 4! cách xếp Ví dụ minh họa: b) Xếp A F ngồi cạnh ta ghép A F thành “bó”: có ! cách xếp vị trí bên “bó” Ví dụ Có học sinh nữ học sinh nam Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để: Vậy có 2! 4! = 48 cách xếp cho A F hai đầu ghế Rồi mang xếp người lại “bó” ghế dài: ta 5! cách xếp a) Sắp xếp tùy ý Vậy có 2! 5! = 240 cách xếp cho A F ngồi cạnh b) Các bạn nam ngồi cạnh bạn nữ ngồi cạnh c) Số cách xếp người 6! cách c) học sinh nam ngồi kề Số cách xếp cho A F ngồi cạnh 240 cách (câu c) d) Khơng có bạn nam ngồi cạnh Vậy có 6! – 240 = 480 cách xếp cho A F không ngồi cạnh Lời giải a) Sắp xếp 10 bạn tùy ý hốn vị 10: có 10! cách xếp Dạng 3: Bài toán chọn b) Xếp bạn nữ ngồi cạnh bạn nam ngồi cạnh Ta ghép tất bạn nữ vào “bó”, bạn nam vào “bó” Phương pháp giải: Rồi mang xếp “bó” ta 2! cách xếp Trong bạn nữ: ta có 7! cách xếp Sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ví dụ minh họa: Trong bạn nam: ta có 3! cách xếp Ví dụ Một hộp viên bi trắng viên bi xanh, viên bi đỏ Lấy viên bi từ hộp, có cách lấy được: Vậy có 2! 7! 3! = 60480 cách xếp a) viên màu c) Xếp bạn nam ngồi cạnh Ta ghép bạn nam vào “bó” b) viên bi trắng viên bi xanh Rồi mang xếp bạn nữ “bó” ta 8! cách xếp c) Có viên màu đỏ Trong bạn nam: ta có 3! cách xếp d) Có đủ ba màu Vậy có 8! 3! = 241920 cách xếp d) Để xếp khơng có bạn nam ngồi cạnh nhau, ta xếp bạn nữ vào bàn dài trước: ta 7! cách xếp Lời giải a) Trường hợp 1: Lấy viên bi màu trắng: C64 cách ... Dạng 1: Tính xác suất biến cố xung khắc, biến cố đối Phương pháp giải: + Tính gián tiếp xác suất thơng qua biến cố đối - Xác định phép thử T tính số phần tử khơng gian mẫu  - Xác định biến cố A,... Thì A biến cố: “Không lấy màu vàng” Bước 1: Xác định biến cố xác suất, gọi tên biến cố A; B; C; D để biểu diễn Số cách lấy viên bi khơng có màu vàng là: A  C12   Xác suất để lấy viên màu vàng... Gọi A biến cố: “Tổng hai số thẻ số lẻ” + Tính biến cố xung khắc: Số cách chọn cho tổng hai số thẻ số lẻ, tức chọn số lẻ số chẵn: - Xác định biến cố xung khắc A  C110 C10 - Tính biến cố xung