Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng bài tập về đường thẳng song song với mặt phẳng I Lý thuyết ngắn gọn 1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng[.]
Các dạng tập đường thẳng song song với mặt phẳng I Lý thuyết ngắn gọn Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) Căn vào số điểm chung đường thẳng mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: Nhận xét: Cho đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng a song song với b Lấy điểm I tùy ý a Khi đó: - Nếu I thuộc (P) a nằm (P) - Nếu I không thuộc (P) a song song với (P) a Đường thẳng a mặt phẳng (P) khơng có điểm chung, tức là: a (P) a / /(P) Định lí 1: Nếu đường thẳng a khơng nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng (P) a song song với (P) b Đường thẳng a mặt phẳng (P) có điểm chung, tức là: a (P) A a cắt (P) A c Đường thẳng a mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là: a (P) A,B a (P) (Đường thẳng a nằm mặt p54hẳng (P)) Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng Tính chất Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với a Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Hệ 3: Nếu a b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b Lời giải: Gọi I trung điểm AD II Các dạng tập Trong tam giác CBI có: BM BG (theo giả thuyết tính chất trọng tâm) BC BI Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Nên MG // CI (Định lý Ta – lét) Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng () , ta chứng minh d không nằm () song song với đường thẳng a Mà CI nằm mặt phẳng (ACD) chứa () d ( ) Tức: a () d / /() d / /a Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABD Trên BC lấy M cho MB = 2MC Chứng minh MG // (ACD) Vậy MG // (ACD) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, AC a Chứng minh MN // (BCD) b Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (DMN) (DBC) Xét vị trí tương đối d mặt phẳng (ABC) Thiết diện cắt mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng cho trước xác định cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến biết Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O giao điểm AC BD, M trung điểm SA Tìm thiết diện mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD () qua M song song với SC AD Lời giải: a Ta có: MN đường trung bình tam giác ABC Suy ra: MN // BC Mà BC nằm mặt phẳng (BCD) Vậy: MN // (BCD) b Vì MN // (BCD) Nên (DMN) qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d qua D song song với MN Mà MN nằm (ABC) Lời giải: Vì () // AD nên () cắt hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD Tương tự () // SC nên () cắt hai mặt phẳng (SAC) (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC Có: OM // SC (đường trung bình tam giác SAC) Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB CD Q P Do đó: d // (ABC) Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD N Dạng 2: Dựng thiết diện song song với đường thẳng Theo nhận xét ta có: MN // PQ // SC Phương pháp giải: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng () Nếu mặt phẳng () chứa d cắt () theo giao tuyến d’ d’ song song với d d / /() Nghĩa là: () d d / /d ' () () d ' Vậy thiết diện hình thang MNPQ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB, song song với BD SA B C D Vô số Bài 2: Cho hai đường thẳng a b song song với mặt phẳng (P) Khẳng định không sai? A a // b B a b chéo C a b cắt D Chưa đủ điều kiện để kết luận vị trí tương đối a b Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I trung điểm SC Khẳng định sai? Lời giải: Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD N cắt AC I Qua M, I, N vẽ đường thẳng song song với SA cắt SB, SC, SD R, Q, P Thiết diện ngũ giác MNPQR III Bài tập áp dụng Tự luận Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua O, song song với AB SC Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho tứ diện ABCD Lấy M AB Một mặt phẳng qua M, song song với AC BD Thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng hình ? Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD BCD Chứng minh MN // (ACD) MN // (ABC) A IO // mp (SAB) B IO // mp (SAD) C mp (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác D (IBD) (SAC) IO Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trọng tâm tam giác BCD ACD Khẳng định sai? A EF // (ABD) B EF // (ABC) C BE, AF CD đồng quy D EF AB Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng (α) qua BD song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC K Khẳng định sau khẳng định đúng? Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm AB M AD cho AD = 3AM Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) A SK = 2KC Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh EF song song với mặt phẳng (ABC) (ABD) D 2SK = KC Trắc nghiệm Bài 1: Cho hai đường thẳng a, b chéo Hỏi có mặt phẳng chứa a song song với b? A B SK = KC C SK = 3KC Các dạng tập hai đường thẳng song song khơng gian I Lý thuyết ngắn gọn Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian - Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng - Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với - Hai đường thẳng gọi cắt chúng đồng phẳng có điểm chung - Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung b Định lý (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song Giả sử (P), (Q), (R) ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, đó: a (P) (R),b (Q) (R),c (P) (Q) Khi đó: - Như vậy, khơng gian, có vị trí tương đối hai đường thẳng, là: song song, trùng nhau, cắt chéo TH1: a, b, c đồng quy - Khi nhắc đến hai đường thẳng phân biệt, ta hiểu có vị trí tương đối hai đường thẳng (bỏ trường hợp trùng nhau) Hai đường thẳng song song a Tính chất hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng TH2: a // b // c c Hệ (Định lý giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến (nếu có) hai mặt phẳng nói song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Lời giải: Ta có: I (SAD) I (SAD) (IBC) AD (SAD) Lại có BC (IBC) AD / /BC Do giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (IBC) đường thẳng qua I song song với AD, BC II Các dạng tập hai đường thẳng song song khơng gian Khi (SAD), qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA P cắt SD Q (SAD) (IBC) PQ Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song PQ / /AD / /BC (1) Phương pháp giải: Sử dụng cách sau Chứng minh tương tự: J (SBC) J (SBC) (ADJ) - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng - Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Áp dụng định lí giao tuyến song song - Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết AD = a, BC = b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD P, Q Chứng minh MN // PQ AD (ADJ) BC (SBC) AD / /BC (SBC) (ADJ) MN MN / /AD / /BC (2) Do đó, từ (1) (2) suy ra: MN // PQ Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA SB a Chứng minh MN // CD b Gọi P giao điểm SC (ADN), I giao điểm AN DP Chứng minh SI // CD Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy không gian a Chứng minh bốn điểm đồng phẳng Phương pháp giải: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b qua hai bốn điểm chứng minh a, b song song cắt Khi A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a, b) b Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: - Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ qua giao điểm hai đường thẳng lại - Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi cắt chúng đôi nằm ba mặt phẳng phân biệt Lại có ABCD hình thang nên AB // CD d1 ,d (P),d1 d I1 Bước 1: Xác định d ,d (Q),d d I với (P), (Q), (R) phân biệt d ,d (R),d d I 3 Do đó: MN // CD Bước 2: Kết luận d1 ,d ,d3 đồng quy I I1 I2 I3 Lời giải: a Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN // AB b Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E giao điểm AD BC Trong mặt phẳng (SCD), gọi P giao điểm SC DI Ví dụ minh họa EN (ADN) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC, SD Gọi J giao điểm AC BD P (ADN) a Chứng minh ME, NF, SJ đồng quy Vậy P SC (ADN) b Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng Ta có: E AD (ADN) Do I AN DP I AN I (SAB) I DP I (SCD) SI (SAB) (SCD) AB (SAB) CD (SCD) SI / /CD Ta có: AB / /CD (SAB) (SCD) SI Lời giải: a.Trong (SAC) gọi I giao điểm ME SJ Ta có: ME đường trung bình tam giác SAC nên ME // AC MN / /M'N' (Định lý Ta – lét) Tương tự: SE SF SE ' SF' Suy MI // AC, mà M trung điểm SA EF / /E'F' (Định lý Ta – lét) Nên I trung điểm SJ Suy ra: FI đường trung bình tam giác SJD M ' N '/ /AC Lại có: (tính chất đường trung bình) E 'F'/ /AC Suy FI // JD M'N'/ /E'F' Tương tự có: NI // JB nên N, I, F thẳng hàng Vậy ME, NF, SJ đồng quy I b Do I giao điểm ME NF nên ME NF xác định mặt phẳng Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng Ví dụ 4: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M, N, E, F trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Chứng minh: a Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b ME, NF, SO đồng quy với O tâm hình chữ nhật ABCD Do đó: MN // EF Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b Gọi I giao điểm ME NF Dễ thấy M’N’E’F’ hình bình hành O giao điểm M’E’ N’F’ Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’), (MNEF) có (M 'SE ') (N 'SF') SO (M 'SE ') (MNEF) ME (N 'SF') (MNEF) NF ME NF I Do theo định lý giao tuyến ba mặt phẳng ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy I III Bài tập áp dụng Tự luận Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD Chứng minh P, Q, R, S đồng phẳng Bài 2: Cho hình chóp S.ABC Gọi E, F trọng tâm tam giác SBC SAB Chứng minh EF // AC Trắc nghiệm a Gọi M’, N’, E’, F’ trung điểm AB, BC, CD, DA Bài 1: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD, N trung điểm AD, M trung điểm cạnh BC cho MB = 2MC Khẳng định sau đúng? Ta có: A MG // CN SM SN ; (tính chất trọng tâm tam giác) SM' SN' B MG CN cắt Lời giải: SM SN SM' SN' C MG // AB D MG CN chéo Bài 2: Giả sử có ba đường thẳng a, b, c b // a c // a Những phát biểu sau sai? B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo (1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) b c chéo C Hai đường thẳng song song chúng mặt phẳng (2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) ba đường thẳng a, b, c song song với đôi D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng hai đường thẳng chéo (3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) (a, c) có trùng hay khơng, ta có b // c Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J theo thứ tự trung điểm AD AC, G trọng tâm tam giác BCD Giao tuyến hai mặt phẳng (GIJ) (BCD) đường thẳng: A Chỉ có (1) sai B Chỉ có (2) sai C Chỉ có (3) sai D (1), (2) (3) sai Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, AD, CD, BC Mệnh đề sau sai? A Qua I song song với AB B Qua J song song với BD C Qua G song song với CD D Qua G song song với BC A MN // BD 2MN = BD Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (IJG): B MN // PQ MN = PQ A Là đường thẳng song song với AB C MNPQ hình bình hành B Là đường thẳng song song với CD D MP NQ chéo C Là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD Đường thẳng không song song với A’B’? A AB D Cả A, B, C Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD): A Là đường thẳng qua S song song với AB, CD B CD B Là đường thẳng qua S C SC C Là điểm S D C’D’ D Là mặt phẳng (SAD) Bài 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng chéo chúng khơng có điểm chung Các dạng tập hai mặt phẳng song song I Lý thuyết ngắn gọn Định nghĩa hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung (P) / /(Q) (P) (Q) b Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Trong thực tế, thường gặp hình ảnh mặt phẳng song song: bậc cầu thang, hai mặt đối diện hộp diêm,… Điều kiện để hai mặt phẳng song song - Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) a (P),b (P) (P) / /(Q) Tức là: a b M a / /(Q),b / /(Q) c Cho điểm A không nằm mặt phẳng Khi đường thẳng qua A song song với nằm mặt phẳng qua A song song với Tính chất 1: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng - Hệ quả: a Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) có mặt phẳng (P) chứa a song song với mặt phẳng (Q) Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song ... phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Công thức Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Nếu mặt phẳng (Q)... mặt phẳng (a, c) b c chéo C Hai đường thẳng song song chúng mặt phẳng (2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) ba đường thẳng a, b, c song song với đôi D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng. .. phẳng - Hệ quả: a Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) có mặt phẳng (P) chứa a song song với mặt phẳng (Q) Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải