Đạo hàm của hàm số lượng giác 1 Lý thuyết a) Giới hạn x 0 sin x lim 1 x b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác 2 Các dạng bài tập Dạng 1 Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác Phương p[.]
Đạo hàm hàm số lượng giác a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2) Lý thuyết sin x 1 x b) Công thức đạo hàm hàm số lượng giác a) Giới hạn: lim x 0 c) Ta có: Đạo hàm hàm số lượng giác Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (sin x)’ = cos x (sin u)’ = u'.cos u (cos x)’ = – sin x (cos u)’ = – u'.sin u tan x tan u tan x cos x u u.1 tan u cos u u k,k u cot u sin u x k,k cot x 1 cot x sin x x k,k d) Ta có cách thực sau: Cách 1: Ta có ngay: 3 12 3 cos 3x sin 3x sin 3x.cos 3x sin 6x sin 6x Cách 2: Ta biến đổi: y y u.1 cot u y' u k,k Các dạng tập Dạng Tính đạo hàm hàm chứa hàm số lượng giác 2 cos x tan x tan x cos x tan x 1 tan x y sin 3x cos3x sin 3x cos 3x 2cos6x 2cot 6x cos3x sin 3x sin 6x cos3x.sin 3x 12 sin 6x e) y (tan 2x) (cot 4x) - Áp dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác - Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số hợp Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: sin x cos x cos 2x 3sin 4x sin x Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y sin 3x Phương pháp giải: b) y cos2 x sin x cos x c) y tan x x 1 d) y (sin x cos x) 3cos x sin x a) y = 5sin x – 3cos x b) y = sin(x – 3x + 2) Lời giải c) y 2tan x d) y = tan 3x – cot 3x a) y' 2sin3x. sin3x ' e) y tan 2x cot 4x sin x Lời giải cos x ' 2sin 3x.3cos3x 2cos x. cos x ' cos x 2cos x.sin x 2sin x 6sin 3x cos3x 3sin 6x cos x cos3 x cos x (1 sin x)(1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) (1 cos x) cos x(1 cos x) sin x(1 sin x) cos x sin x (1 cos x)2 (1 cos x) b) y c) y tan x x x cos x x 1 2x x x cos x x x cos x x 2x 1 d) y (sin x cos x) 3cos x sin x (sin x cos x) 3cos x sin x 3 1 (cos x sin x) 3cos x sin x (sin x cos x) 3sin x cos x 3 3cos x 1 tan x (đpcm) cos x cos x cos x b) Trước tiên, ta có: y sin 2x Khi đó, ta có: x 1 ' y y2 10 10 sin x cos x sin x 3sin x sin x cos x cos x 3 3 8 20 cos x sin x sin x cos x 3 10 cos 2x sin 2x 3 y 2y2 2 2cot 2x (đpcm) sin 2x sin 2x sin 2x Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = trường hợp sau: a) y = sin 2x – 2cos x b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x Lời giải a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x 2sin x cos 2x sin x cos x 2 x 2k 2x x 2k ,k x 2k 2x x 2k b) Trước tiên, ta có: y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10 Dạng Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y – = b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + = Lời giải a) Trước tiên, ta có: y Khi đó, ta có: cos x Khi đó, phương trình có dạng: 6cos2x 8sin 2x 10 4sin 2x 3cos2x sin 2x cos 2x 5 cosa sin a , ta được: 5 sin 2xcosa cos2x.sina sin(2x a ) Đặt a 2x a 2k x k, k 2 Bài tập tự luyện B – 8cos8x + 2cos2x Câu Hàm số y = cotx có đạo hàm là: 1 A y’ = - tan x B y' C y' 2 cos x sin x cot2x C 8cos8x – 2cos2x Câu Hàm số y sin 7x có đạo hàm là: 21 21 21 cos7x A cos x B cos7x C 2 D y’ = + B 3cos 3x C cos 3x D 21 cos x D Câu Đạo hàm hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là: A y’ = 3cos 2x – sin 3x B y’ = 3cos 2x + sin 3x C y’ = 6cos 2x – 3sin 3x D y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x Câu Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là: A tan 2x B 2x cos x 2x cos 2x B D D x sin x Câu Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là: A y sin 2x B y cos 2x Câu 10 Đạo hàm hàm số y C y sin 2x D y cos 2x sin x cos x có biểu thức dạng sin x cos x a (sin x cos x)2 Vậy giá trị a là: B a = – A a = 2x C tan 2x cos 2x D tan 2x sin x có đạo hàm là: x x sin x cos x A y' x2 x cos x sin x y' x2 x cos x sin x C y' x2 x sin x cos x y' x2 Câu Hàm số y cot x có đạo hàm là: x x x A B C sin x 2sin x sin x Câu Hàm số y Câu Hàm số y sin 3x có đạo hàm là: 6 A 3cos 3x 3sin 3x 6 D – 30cos3x + 30sin5x x cos 2x Câu Đạo hàm hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức sau đây? A 30cos3x.sin5x C a = Câu 11 Cho hàm số y sin x Đạo hàm y' hàm số A 2x B x2 cos x x x2 cos x D a = x C D x2 (x 1) 2x Các quy tắc tính đạo hàm cos x Lý thuyết a) Đạo hàm hàm số lượng giác cos x Đạo hàm hàm số sơ cấp (c)’ = (c số) (x)’ = Câu 12 Đạo hàm hàm số y sin 2x.cos x x A y 2sin 2x.cos x sin x.sin 2x x x ' .x B y 2sin 2x.cos x sin x.sin 2x x C y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x D y 2sin 4x.cos x sin x.sin 2x x x x x B A 2; x0 x x x ; x0 x Câu 13 Cho hàm số y f x sin 5x.cos x Giá trị f 2 B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 15 Cho hàm số y = sin 2x + x Số sau nghiệm phương trình y’ = khoảng (; ) A 6 B 3 C 7 12 D 1 u u u u u u Cho hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (u.v)’ = u’.v + v’.u u uv vu v v x 0 v2 v Chú ý: a) (k.v)’ = k.v’ (k: số) v b) v v(x) v v Mở rộng: D C u ' .u.u b) Các quy tắc tính đạo hàm Câu 14 Cho hàm số y = cos2x + sin x Phương trình y' = có nghiệm thuộc khoảng (0; ) A nghiệm 1 Đạo hàm hàm hợp u = u(x) u BẢNG ĐÁP ÁN 1 10 11 12 13 14 15 C B B C C B B D C B C D A C B u u n u1 u 2 u n u.v.w u.v.w u.v.w u.v.w c) Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x) Khi đó: y x yu.u x Phương pháp giải - Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm phần lý thuyết - Nhận biết tính đạo hàm hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm số điểm x0 sau: a) y = + x – x2, với x0 = b) y = 3x2 – 4x + 9, với x0 = Lời giải a) y = + x – x Ta có: y' = – 2x Vậy y'(1) = – = –1 b) y = 3x2 – 4x + Ta có: y' = 6x – Vậy y'(1) = 6.1 – = Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số sau: 5x x x 2x x x x 2 x 2x d) y 3x 2x 2x 1 1 3x 1 3x 2x 1 y' 3x 1 3x 2x x 1 3x 2x 1 1 3x e) y 3x 2x 4x x 3 y' 2x 4x 1 x 3 x 3 2x 4x 1 x 3 4x x 3 2x x 3 2 4x 1 2x 12x 11 x 3 a) y = –x3 + 3x + b) y = (2x – 3)(x5 – 2x) Ví dụ 3: Tính đạo hàm hàm số sau: c) y x x a) y = (x7 + x)2 b) y = (1 – 2x2)3 d) y 2x 1 3x e) y 2x 4x x 3 2x c) y x 1 d) y = (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3) Lời giải a) y’ = (–x + 3x + 1)’ = –3x + e) y 2x x b) y = (2x – 3)(x5 – 2x) y’ = [(2x – 3)(x5 – 2x)]’ = (2x – 3)’.(x5 – 2x) + (x5 – 2x)’.(2x – 3) = 2(x5 – 2x) + (5x4 – 2)(2x – 3) f) y = 12x5 – 15x4 – 8x + c) y x y' x 2 x x x 1 x 1 x Lời giải a) y = (x7 + x)2 Sử dụng công thức u .u 1.u ' (với u = x7 + x) y' = 2(x7 + x).(x7 + x)’ = 2(x7 + x)(7x6 + 1) x x x b) y = (1 – 2x2)3 Sử dụng công thức u với u = – 2x2 y' = 3(1 – 2x2)2.(1 – 2x2)’ = 3(1 – 2x2)2(– 4x) = – 12x(1 – 2x2)2 2x c) y x 1 A C – B 2x Bước sử dụng u , với u x 1 2 2x 1 3 2x 2x 2x y' 3. x 1 x 1 x x 1 x 1 A – 4x – d) y = (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3) y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x2)(3 – 4x3) + (1 + 2x)(2 + 3x2)’(3 – 4x3) + (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3)’ y’ = 2(2 + 3x2)(3 – 4x3) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x3) + (1 + 2x)(2 + 3x2)(– 12x2) y’ = 12 – 16x3 + 18x2 – 24x5 + 18x – 24x4 + 36x2 – 48x5 – 72x5 – 36x4 – 48x3 – 12x2 y’ = – 144x5 – 60x4 – 64x3 + 42x2 + 18x + 12 Câu Đạo hàm hàm số y = (x2 – x + 1)5 là: e) y 2x x Sử dụng công thức 1 2x x 2x y' 2x x 1 x u f) y Sử dụng được: 1 x v y' 2x x 1 x x 1 x D Câu Cho hàm số f(x) = – 2x2 + 3x xác định R Khi f'(x) bằng: 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x u với u = + 2x – x 1 x 2x x 2 x.1 x D 4x – C 4x + Câu Đạo hàm hàm số y = (1 – x ) là: A y' = 5(1 – x3)4 B y' = –15x2(1 – x3)4 C y' = –3(1 – x ) D y' = –5x2(1 – x3)4 1 x 1 x 1 x 1 x B –4x + A 4(x2 – x + 1)4(2x – 1) B 5(x2 – x + 1)4 C 5(x – x + 1) (2x – 1) D (x2 – x + 1)4(2x – 1) Câu Đạo hàm hàm số y 2x x biểu thức đây? A 10x x Câu Hàm số y A y’ = Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số f(x) xác định R f(x) = 2x2 + Giá trị f’(– 1) bằng: C 10x x 2x có đạo hàm là: x 1 B y C y 2 x 1 x 1 D 10x D y ax b x2 x A a – b = Khi a – b bằng: B a – b = –1 A y D a – b = –2 x x đạo hàm hàm số x = là: x2 B y'(1) = –5 C y'(1) = –3 D y'(1) = –2 Câu Cho hàm số y A y'(1) = –4 C a – b = x x2 B y Câu 10 Hàm số y x 2 1 x Tính y'(0) bằng: C y'(0) = có đạo hàm là: x x 1 Câu Đạo hàm hàm số y x x biểu thức có dạng Câu Cho hàm số y 3 x x 1 x x B 10x D y'(0) = A y x 2x x 2x B y 1 x 1 x C y’ = -2(x – 2) D y x 2x 1 x Câu 11 Cho hàm số f(x) xác định D 0; cho f x x x có đạo hàm là: x x f x x B f x A f x x C f x x x D Câu 12 Hàm số f x x xác định D 0; Đạo hàm x f(x)là: A f ' x x 2 x B x D x2 f ' x x C f ' x x f ' x x2 Câu 13 Đạo hàm hàm số y ax b x x 1 x2 x biểu thức có dạng x2 x 1 Khi a + b bằng: A a + b = –10 C a + b = –10 B a + b = D a + b = –12 Câu 14 Đạo hàm hàm số y = (x + 1)(5 – 3x ) biểu thức có dạng ax3 + a bx Khi T bằng: b A – B –2 C D – Câu 15 Đạo hàm hàm số y = x (2x + 1)(5x – 3) biểu thức có dạng ax3 + bx2 + cx Khi a + b + c bằng: A 31 B 24 C 51 D 34 Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 C B B C C C C B A A B D D D A Đạo hàm tốn giải phương trình, bất phương trình u 1 Lý thuyết a) Các công thức đạo hàm u u n u1 u 2 u n u.v.w u.v.w u.v.w u.v.w c) Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm hàm số (c)’ = (c số) (x)’ = x ' .x 1 Đạo hàm hàm hợp u = u(x) u ' .u.u 1 2; x0 x x x ; x0 x (sin x)’ = cos x u u u u u u (sin u)’ = u’.cos u (cos x)’ = -sin x (cos u)’ = -u’.sin u tan x tan u tan x cos x cot x 1 cot x sin x u u.1 tan u cos u cot u b) Các quy tắc tính đạo hàm Cho hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (u.v)’ = u’.v + v’.u u uv vu v v x 0 v2 v Chú ý: a) (k.v)’ = k.v’ (k: số) v b) v v(x) v v Mở rộng: u u.1 cot u sin u Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x) Khi đó: y x yu.u x Phương pháp giải: - Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm phần lý thuyết - Nhận biết tính đạo hàm hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: a) Cho f x 2x x 2,g x 3x x Giải bất phương trình f’(x) > g’(x) 60 64 Giải phương trình f’(x) = x x3 c) Cho y = cos2x + sin x Giải phương trình y’ = Lời giải a) Ta có f ' x 2x x 6x b) Cho f x 3x g' x 3x x 6x Ta có: f ' x g' x 6x 6x 6x 6x 6x x 1 x ;0 1; Vậy phương trình có tập nghiệm S ;0 1; 60 192 60 64 5 b) Ta có f ' x 3x x x x x 60 192 f ' x 1 x x Đặt t , t x t 192t 60t t 16 1 Với t x x 2 x 1 Với t x 16 x 4 16 x 16 Vậy f’(x) = có nghiệm x 2 , x 4 c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x Khi đó, phương trình có dạng: sin 2x cos x sin 2x cos x sin x 2 2k x 2x x 2k ;k x 2k 2x x 2k 2 2k ;x 2k,k Vậy nghiệm phương trình x Ví dụ 2: a) Cho y = tan x Chứng minh y’ – y2 – = b) Cho y = xsinx Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = Lời giải tan x cos x Ta có: y’ – y2 – = + tan2x – tan2x – = (đpcm) b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y) = x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x) = x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = (đpcm) Bài tập tự luyện a) y' tan x ’ Câu Cho hàm số y x Nghiệm phương trình y’.y = 2x + là: A x = B x = C Vô nghiệm D x = – 1 Câu Cho hàm số f x x 2x 8x , có đạo hàm f’(x) Tập hợp giá trị x để f’(x) = là: A 2 B 2; C 4 D 2 Câu Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm y’ Để y' x nhận giá trị thuộc tập sau đây? A ;0 B ;0 9 C ; 0; 2 2 D ; 0; Câu Cho hàm số y x 2m 1 x mx , có đạo hàm y’ Tìm tất giá trị m để y với x 1 A m 1; 4 1 B m 1; 4 C m ; 1 ; 1 D m 1; 4 Câu Cho hàm số y mx m 1 x mx , có đạo hàm y’ Tìm tất giá trị m để phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 x 22 C M = R A m 1 ; m 1 A S = (– 1; 1) B m 1 B S (; 1) (1; ) C m ; m C S (1; ) D m 1 D S (; 1) Câu Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm y’ Để y x nhận giá Câu 12 Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – Tìm x dể f’(x) > 0? trị sau đây? A –1 < x < B ;0 A Khơng có giá trị x C 0; 3x x Câu Cho hàm số f x Giải bất phương trình f’(x) > x 1 C x 1; D x x3 Câu Cho hàm số f x Phương trình f’(x) = có tập nghiệm S là: x 1 2 A S 0; 3 B S ;0 3 C S 0; 2 D S ;0 f ' x f x có giá trị nguyên? B C D Câu 10 Cho hàm số y = x + mx + 3x – với m tham số Tìm tập hợp M tất giá trị m để y’ = có hai nghiệm phân biệt: A M = (– 3; 3) B M (; 3] [3; ) A [3; ) C x > B [-2; 0] D x < – C [4 2; ) D [1; ) Câu 14 Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + Tìm a để phương trình f’(x) = có nghiệm A | a | B | a | Câu 15 Cho hàm số f (x) trình f’(x) = Câu Cho hàm số f x x 2x Tập nghiệm S bất phương trình A B x < Câu 13 Cho hàm số y = (m – 1)x – 3(m + 2)x – 6(m + 2)x + Tập giá trị m để y' 0, x R D R B x Câu 11 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017 Bất phương trình y’ < có tập nghiệm là: A x \ 1 D M (; 3) (3; ) x 12 k A (k ) x 3 k x 12 k B (k ) x 3 k C |a|>5 D |a|