Các dạng toán về cấp số cộng 1 Lý thuyết a) Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số[.]
Các dạng toán cấp số cộng b) 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 c) Dãy số (an), với an = 4n – Lý thuyết Lời giải a) Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d a) Ta thấy – (– 2) = – = – = 10 – = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = - Số không đổi d gọi công sai cấp số cộng Số hạng cấp số cộng u1 = – 2, công sai d = - Nếu (un) cấp số cộng với công sai d, ta có cơng thức truy hồi b) Ta thấy: – = 10 – = u n 1 u n d, n Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không cấp số cộng * Nên dãy số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 cấp số cộng Nhận xét: c) Ta có: an = 4n – an+1 = 4(n + 1) – - Cấp số cộng (un) dãy số tăng công sai d > Xét an+1 – an = 4(n + 1) – – (4n – 3) = (không đổi) - Cấp số cộng (un) dãy số giảm công sai d < Vậy dãy số (an) với an = 4n – cấp số cộng - Đặc biệt, d = cấp số cộng dãy số khơng đổi (tất số hạng nhau) Số hạng cấp số cộng a1 = 4.1 – = 1, công sai d = b) Số hạng tổng quát cấp số cộng (un) xác định công thức: un = u1 + (n - 1)d với n 1,n c) Tính chất: Ba số hạng u k 1 ,u k ,u k 1 k ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u u k 1 u k k 1 u u u 10 u u 26 Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: a) Xác định công sai hạng cấp số cộng b) Xác định công thức tổng quát cấp số cộng c) Tìm số hạng thứ 15 cấp số cộng d) Số 6061 số hạng thứ cấp số cộng d) Tổng n số hạng Sn xác định công thức: Sn u1 u u n n u1 u n n 2u1 n 1 d 2 Các dạng tập Dạng Xác định cấp số cộng yếu tố cấp số cộng Phương pháp giải: - Dãy số (un) cấp số cộng un + – un = d không phụ thuộc vào n d cơng sai cấp số cộng Lời giải Gọi cấp số cộng có số hạng u1 công sai d Số hạng tổng quát (un) un = u1 + (n – 1)d u d u1 2d u1 4d 10 u u u 10 u u 26 u1 3d u1 5d 26 Ta có: u 3d 10 u d 2u1 8d 26 - Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu công sai Ta thiết lập hệ phương trình hai ẩn u1 d Tìm u1 d Vậy u1 = d = - Tìm số hạng thứ n dựa vào cơng thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d công thức truy hồi un = un - + d c) Số hạng thứ 15 cấp số cộng: u15 = 3.15 – = 43 b) Số hạng tổng quát là: un = + (n – 1).3 hay un = 3n – với n * Ví dụ minh họa: d) Giả sử số hạng thứ k cấp số cộng uk = 6061, ta có: uk = 3k – = 6061, suy k = 2021 Ví dụ 1: Cho dãy số sau, dãy số cấp số cộng Nếu cấp số cộng xác định số hạng công sai: Vậy số 6061 số hạng thứ 2021 cấp số cộng a) – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 Dạng Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng Chứng minh cấp số cộng Phương pháp giải: Vậy ta có điều phải chứng minh Sử dụng tính chất: Ba số hạng uk-1; uk; uk+1 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng đó: x1 + x3 = 2x2 (1) u u k 1 u k k 1 Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) Ví dụ minh họa: = x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3 Ví dụ 1: Suy x1 + x2 + x3 = a (2) a) Tìm x biết: x + 1, x – 2, – 3x lập thành cấp số cộng 2 b) Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y Tính giá trị biểu thức P = x + y Lời giải Từ (1) (2), ta 3x a x a a) Ta có: x + 1, x – 2, – 3x lập thành cấp số cộng Vì phương trình cho có nghiệm x x x 3x 2(x 2) x 5x x a a a a b c 3 3 3 Vậy x = 2, x = giá trị cần tìm 2 x x b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có y 10 6 x y Vậy P = x2 + y2 = 22 + 102 = 104 2a ba c0 27 9ab 2a 27c Vậy ta có điều phải chứng minh Dạng Tính tổng cấp số cộng Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) Nếu ba số a, b, c lập thành cấp số cộng ba số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: x = a2 – bc, y = b2 – ca, z = c2 – ab 3 a , tức là: b) Nếu phương trình x – ax + bx – c = có ba nghiệm lập thành cấp số cộng 9ab = 2a3 + 27c Phương pháp giải: Tổng n số hạng Sn xác định công thức: Sn u1 u u n n u1 u n n 2u1 n 1 d 2 Ví dụ minh họa: Lời giải Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) a) a, b, c cấp số cộng nên a + c = 2b a) (un) có số hạng tổng quát là: un = 7n – Tính S100 Cần chứng minh x, y, z lập thành cấp số cộng tức x + z = 2y b) (un) có u2 + u22 = 40 Tính S23 Ta có 2y = 2b2 – 2ca c) (un) có u4 + u8 + u12 + u16 = 224 Tính S19 2 Và x + z = a + c - b(a + c) Lời giải = (a + c)2 – 2ac – 2b2 a) Từ công thức số hạng tổng quát = 4b2 – 2ac – 2b2 Ta có: = 2b2 – 2ac = 2y Số hạng đầu: u1 = – = 4; xz Khi ta được: y Số hạng thứ hai : u2 = – = 11; Công sai: d = 11 – = Khi ta có: n 2u1 (n 1)d 100[2.4 (100 1).7] 35050 2 b) Ta có: u u 22 40 u1 d u1 21d 40 2u1 22d 40 S100 Vậy S23 23 2u1 22d 23.40 460 2 Ta có dãy số 3; 7; 195; 199 cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng u1 = số hạng thứ n un = 199 Do có 199 n 1.4 n 50 Vậy S n 2u n 1 d 50 2.3 49.4 5050 Bài tập tự luyện c) Ta có: u4 + u8 + u12 + u16 = 224 Câu Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? u1 3d u1 7d u1 15d 224 A Dãy số (an), với a n 2n , n 4u1 36d 224 B Dãy số (bn), với b1 1, bn 1 2bn 1, n * u1 9d 56 C Dãy số (cn), với cn (2n 3)2 4n , n * Vậy S19 19 2u1 18d 19 u1 9d 19.56 1064 D Dãy số (dn), với d1 1, d n 1 Ví dụ 2: Tính tổng sau: C 1; – 2; – 4; – 6; – Lời giải a) Ta có dãy số 1;3;5; ;(2n – 1);(2n + 1) cấp số cộng với công sai d = u1 = 1, số hạng tổng quát uk = u1 + (k – 1)d Ta kiểm tra 2n + số hạng thứ dãy: 2n + = u1 + (k – 1)d 2n (k 1).2 k n Do dãy số có n + số hạng * B 1; – 3; – 6; – 9; – 12 c) S = 1002 – 992 + 982 – 972 + + 22 – 12 2018 , n dn A 1; – 3; – 7; – 11; – 15 b) S = + + + + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4) k 2u1 k 1 d Câu Trong dãy số (un) sau, dãy số cấp số cộng? a) S = + + + + (2n – 1) + (2n + 1) Vậy Sn 1 * n 1 2u1 nd (n 1)(2n 1) 2 D 1; – 3; – 5; – 7; – Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số cấp số cộng? A un = – 2n un C u n B un = 2n n D 3n b) Ta có dãy số 1; 4; 7; (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) cấp số cộng với công sai d = u1 = 1, số hạng tổng quát uk = u1 + (k – 1)d Câu Cho cấp số cộng (un), biết u1 = – 5,d = Khẳng định sau đúng? Ta kiểm tra 2n + số hạng thứ dãy: 3n + = u1 + (k – 1)d Câu Cho cấp số cộng (un), biết u1 = – 5; d = Số 100 số hạng thứ bao nhiêu? 3n k 1.3 k n Do dãy số có n + số hạng A Số thứ 15 Vậy Sn k 2u1 (k 1)d (n 2) (n 1).3 (n 2)(3n 5) 2 c) S = 1002 – 992 + 982 – 972 + + 22 – 12 A u15 = 34 B u15 = 45 B Số thứ 20 C u13 = 31 C Số thứ 35 D u10 = 35 D Số thứ 36 u1 u u 10 Số hạng u1 u 17 Câu Cho cấp số cộng (un) biết: A u1 = 16 = (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + + (2 – 1)(2 + 1) B u1 = C u1 = D u1 = 14 u 3u u 21 Tính số hạng thứ 100 3u 2u 34 = 199 + 195 + + Câu Cho cấp số cộng (un) thỏa: = + + + 195 + 199 cấp số A u100 = – 243 294 B u100 = – 295 C u100 = – 231 D u100 = – Câu Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 u3 – u15 = 84 Tìm số hạng u17 A u17 = 242 B u17 = 235 C u17 = 11 D u17 = Các dạng toán cấp số nhân Câu Xác định x để số – x; x ; + x lập thành cấp số cộng Lý thuyết A x = x = – a) Định nghĩa: B x = x = – C Khơng có giá trị x Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q D x = Số q gọi công bội cấp số nhân Câu 10 Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? Nếu (un) cấp số nhân với công bội q, ta có cơng thức truy hồi: un = un-1 q với n A a2 + c2 = 2ab + 2bc B a2 – c2 = 2ab – 2bc Câu 11 Cho cấp số cộng (un) có u1 = d = – Tính tổng 100 số hạng B – 19300 C – 19750 D – 19550 Câu 12 Cho dãy số (un) xác định u1 = 321 un + = un – với n tổng S 125 số hạng dãy số A S = 16875 16687,5 B S = 63375 C S = 63562,5 * D S = B Sn 3n 5n C Sn - Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;… b) Số hạng tổng quát cấp số nhân (un) xác định công thức: un = u1 qn - với n c) Tính chất Ba số hạng uk - 1, uk, uk + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u 2k u k 1.u k 1 Câu 13 Số hạng tổng quát cấp số cộng un = 3n + với n Gọi Sn tổng n số hạng cấp số cộng cho Mệnh đề sau đúng? 3n 1 - Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; … - Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; … Tính * 3n A Sn 3n 11n Sn với k (Hay u k u k 1.u k 1 ) d) Tổng n số hạng cấp số nhân xác định công thức: D Sn u1 u u n u1 q n 1 q 1 Câu 14 Cho cấp số cộng 3; 8; 13; Tính tổng S = + + 13 + + 2018 Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1; u1; u1; … u1; Sn = n.u1 A S = 408422 409252,5 Các dạng toán B S = 408242 C S = 407231,5 D S = Câu 15 Phương trình x – 3x – 9x + m = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m = 16 B m = 11 Đặc biệt: C a2 + c2 = 2ab – 2bc D a2 – c2 = ab – bc A – 19500 * C m = 13 D m = 12 Dạng Xác định cấp số cộng yếu tố cấp số nhân Phương pháp giải: - Dãy số (un) cấp số nhân Đáp án u n 1 q không phụ thuộc vào n q công un bội cấp số nhân 10 11 12 13 14 15 C A B C C A B C A B B A D B B - Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu công bội Ta thiết lập hệ phương trình hai ẩn u1 q Tìm u1 q - Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 qn-1 công thức truy hồi un = un – q Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho dãy số sau, dãy số cấp số nhân Nếu cấp số nhân xác định số hạng công bội: a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64 d) Giả sử số 12288 số hạng thứ n cấp số nhân, ta Lời giải có: u n 12288 3.2n 1 12288 2n 1 212 n 13 2 8 16 32 64 2 2 8 16 32 Vậy số 12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân Nên dãy số cấp số nhân với số hạng u1 = công bội q = – b) Ta có: un = n 6n+1 un+1 = (n + 1).6n+2 u n 1 Xét n 1 un n.6n 1 n 2 2n c) Ta có: = (– 1) vn+1 = (– 1) Xét Phương pháp giải: u 2k u k 1.u k 1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm x cho số 1; x2; – x2 lập thành cấp số nhân n+1 2(n+1) Lời giải 1 1 1 32 9 không đổi n 2n n 1 Dạng Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân Chứng minh cấp số nhân Sử dụng tính chất: Ba số hạng uk – ; uk ; uk + ba số hạng liên tiếp cấp số nhân n 1 phụ thuộc vào n n Nên dãy số không cấp số nhân n Vậy cấp số nhân có số hạng u1 = công bội q = c) Số hạng thứ 15 cấp số nhân là: u15 = 3.214 = 49152 2n c) Dãy (vn): = (– 1) a) Ta thấy 51 51 3 q 24 b) Số hạng tổng quát cấp số nhân un = u1 qn–1 nên un = 3.2n–1 b) Dãy (un): un = n.6n+1 n Suy u1 2n Ta có: 1; x2; – x2 lập thành cấp số nhân Vậy dãy số cấp số nhân với số hạng u1 = (– 1)1.32.1 = – công bội q = – u1 u 51 u u 102 Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: a) Xác định công bội hạng cấp số nhân b) Xác định công thức tổng quát cấp số nhân x2 x 1. x x x 3(Loai) Vậy x số lập thành cấp số nhân Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; số (y + 1)2 ; xy + ; (x – 1)2 lập thành cấp số nhân Tìm x y Lời giải c) Tìm số hạng thứ 15 cấp số cộng Ta có số 5x – y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng 2x 3y 5x y x 2y d) Số 12288 số hạng thứ cấp số nhân 4x 6y 6x y 2x 5y Các số (y + 1)2 ; xy + ; (x – 1)2 lập thành cấp số nhân Lời giải a) Gọi q công bội cấp số nhân cho Theo đề bài, ta có u1 1 q 51 u1 u 51 u u q 51 1 u u 102 u1q u1q 102 u1q 1 q 102 Lấy hai vế phương trình chia cho hai vế phương trình ta q = xy 1 y 1 x 1 2 xy y 1 x 1 xy y 1 x 1 2xy y x y x 2y 2x 4xy 2x 2y (2) Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y2 + 5y – 2y) = b) Sn 88 888 88 y x 10 x y 3y 10y 3 y 3 3 y x 10 n so Lời giải a) Sn 99 999 999 n so 10 10 10 10n 10 102 103 10n n 10 3 ; ; ; 3 10 Vậy (x;y) 0;0 ; 10 Dạng Tính tổng cấp số nhân Phương pháp giải: Tổng n số hạng Sn xác định công thức: Sn u1 1 q n 1 q , q 1 Nếu q = cấp số nhân u1; u1; u1; … u1; … Sn = n.u1 10n n 10 10 10n 1 n 8 9 b) Sn 99 999 99 Ví dụ minh họa: n so a) (un) có số hạng tổng quát là: un = 2.( –3)k Tính S15 10 102 103 10n 1 b) (un) có số hạng đầu 18, số hạng thứ hai 54, số hạng cuối 39366 Tính tổng tất số hạng cấp số nhân 10 102 103 10n n Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) Lời giải k a) (un) có số hạng tổng quát là: un = (– 3) u1 = q = – Tổng 15 số hạng cấp số nhân S15 u1 1 q n 1 q 15 1 3 315 3 b) Số hạng u1 = 18 10n 10 n 9 10 80 10n 1 81 n Bài tập tự luyện Số hạng thứ hai u 54 u1q 54 q Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số cấp số nhân? Số hạng cuối u n 39366 u1.q n 1 39366 18.3n 1 39366 3n 1 37 n A un = – 3n Vậy S8 u1 1 q n 1 q 18.1 38 1 Ví dụ 2: Tính tổng a) Sn 99 999 999 n so 59040 C u n B un = – 3n 3n D un = 7.3n Câu Cho cấp số nhân (un) có u1 ,u 32 Khi q ? A B C 4 D Tất sai Câu Cho cấp số nhân (un) có u1 1;q 1 Số 103 số hạng thứ bao nhiêu? 10 10 A Số hạng thứ 103 B Số hạng thứ 104 C Số hạng thứ 105 D Đáp án khác 2 D q 4,u1 16 B Số hạng thứ C Số hạng thứ D Đáp án khác u u 36 Chọn khẳng định đúng? Câu Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u u 72 u1 q A u1 q B u1 q u1 q C Câu Cho dãy số (un) cấp số nhân với u n 0, n D * Dãy số sau không A u1; u3; u5; C u u 540 Tính S21 u u 180 A S21 B S21 = 321 – D S21 A S10 = – 511 D u1 + 2; u2 + 2; u3 + 2; 21 1 B S10 = – 1025 C S10 = 1025 D S10 = 1023 Câu 14 Cho cấp số nhân (un) có u2 = – u5 = 54 Tính tổng 1000 số hạng cấp số nhân cho A S1000 31000 B S1000 31000 C S1000 31000 D S1000 31000 Câu 15 Gọi S = + 11 + 111 + + 111 (n số 1) S nhận giá trị sau đây? B 3u1; 3u2; 3u3; 1 ; ; ; u1 u u 21 1 Câu 13 Cho cấp số nhân (un) có u1 = – q = – Tính tổng 10 số hạng cấp số nhân cho A S phải cấp số nhân? D q = – C q = Câu 12 Cho cấp số nhân (un) có C S21 = – 321 Câu Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3; q = – Số 192 số hạng thứ bao nhiêu? A Số hạng thứ B q = – A q = Câu Cho cấp số nhân (un) có u ;u 16 Tìm q số hạng cấp số nhân? 1 A q 4,u1 B q ;u1 2 16 C q ,u1 u 20 8u17 Công bội cấp số nhân u1 u 272 Câu 11 Cho cấp số nhân (un) có 10n 81 10n 81 B S 10 10n n 81 C S 10 D S 10n 10 n 9 Câu Tìm x để ba số + x; + x; 33 + x theo thứ tự lập thành cấp số nhân A x = B x = C x = D x = 3; x = Câu Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm q? A q B q C q D q = - Câu 10 Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính x2 + y2 A x2 + y2 = 40 B x2 + y2 = 25 C x2 + y2 = 100 D x2 + y2 = 10 Đáp án 10 11 12 13 14 15 D A A A C B D B A A A A D D D u1 a (với f(un) biểu thức un) u n 1 f (u n ) Các dạng toán dãy số Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho Lý thuyết a) Định nghĩa dãy số Hãy tìm số hạng uk * - Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên dãy số) * Kí hiệu: u : gọi dãy số vô hạn (gọi tắt u1 a,u b Hãy tìm số hạng uk u n 2 c.u n 1 d.u n e n → Tính u ; u ; ; uk cách u1 vào u2, u2 vào u3, …, uk-1 vào uk Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho u(n) → Tính u ; u 4; ; uk cách u1; u2 vào u3; u2;u3 vào u4; … ; uk -2; Dạng khai triển: u1; u 2; u ; ; u n ; Trong ta gọi: u1 số hạng đầu, un = u(n) số thứ n hay số hạng tổng quát dãy uk-1 vào uk u1 a Trong f({n; un)}) kí u n 1 f n,u n Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho số - Mỗi hàm số u xác định tập M = {1; 2; 3; ;m} với m số hữu hạn * gọi dãy hiệu biểu thức un + tính theo un n Hãy tìm số hạng uk Dạng khai triển u1; u ; u ; ; u m , u1 số hạng đầu um số hạng cuối → Tính u ; u ; ; uk cách {1;u1} vào u2; {2;u2} vào u3; … ; - Ba cách cho dãy số: {k-1;uk-1} vào uk + Cho dãy số cơng thức số hạng tổng qt Ví dụ minh họa: + Cho dãy số phương pháp mô tả Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định u n + Cho dãy số phương pháp truy hồi b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy - Dãy số (un) gọi tăng u n 1 u n với n - Dãy số (un) gọi giảm u n 1 u n với n * Lời giải * Ta có năm số hạng đầu dãy c) Dãy số bị chặn - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho u n M, n * - Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho u n m, n * * Các dạng tập Dạng Tìm số hạng dãy số Phương pháp giải: Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong f(n) biểu thức n) Hãy tìm số hạng uk → Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm u1 12 3.1 11 11 u2 22 3.2 17 1 u3 32 3.3 25 1 u4 42 3.4 7 1 u5 52 3.5 47 1 - Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m u n M, n n 3n Viết năm số hạng đầu n 1 Vậy năm số hạng đầu dãy là: 11 17 25 47 ; ; ;7; u1 Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định sau: Tìm số hạng n u n 1 n u n 1 Chọn D u11 u4 = 2u3 + 3u2 + = 35 A u11 11 C u11 B u11 = Ta có: u3 = 2u2 + 3u1 + = 12 u5 = 2u4 + 3u3 + = 111 D u11 = u6 = 2u5 + 3u4 + = 332 u7 = 2u6 + 3u5 + = 1002 Lời giải u8 = 2u7 + 3u6 + = 3005 Chọn D Ta có: Dạng 2: Xét tính tăng giảm dãy số 1 u (u1 1) 2 u (u 1) Phương pháp giải Cách 1: Xét hiệu un+1 – un - Nếu u n 1 u n n * 3 u (u 1) 4 u (u 1) - Nếu u n 1 u n n * (un) dãy số giảm Cách 2: Khi u n n * , ta xét tỉ số 5 u (u 1) - Nếu u n 1 (un) dãy số tăng un u (u 1) - Nếu u n 1 (un) dãy số giảm un phương pháp quy nạp để chứng minh u n 1 u n n * (hoặc u n 1 u n n * Công thức giải nhanh số dạng toán dãy số u (u 1) - Dãy số (un) có un = an + b tăng a > giảm a < - Dãy số (un) có un = qn 9 u10 (u 1) 10 + Không tăng, không giảm q < + Giảm < q < 10 (u10 1) 11 + Tăng q > u1 1;u Tìm số u n 2 2u n 1 3u n Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định sau: hạng u8 A u8 = 3050 u n 1 un Cách 3: Nếu dãy số (un) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng 7 u (u 1) u11 (un) dãy số tăng B u8 = 5003 C u8 = 3500 Lời giải D u8 = 3005 - Dãy số (un) có u n an b với điều kiện cn d n cn d + Tăng ad – bc > + Giảm ad – bc < - Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm * * ) - Nếu dãy số (un) tăng giảm dãy số (qn un) (với q < 0) không tăng, không giảm c) u n n n Lời giải a) Ta có u n Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm dãy số sau n * : a) un = 3n + b) u n Xét tỉ số n5 n2 c) u n n n a) Ta có u n 3n u n 1 3 n 1 3n Xét hiệu u n 1 u n 3n 3n n * Vậy (un) dãy số tăng b) Ta có u n Xét hiệu u n 1 u n n5 n 1 n u n 1 n2 n 1 n n số tự nhiên) n 1 c) Ta có u n n n u n 1 n n 1 n 1 2 1 n n 1 2 u n 1 5n 1 n 5n n 2 un n 1 n 2n * Vậy (un) dãy số tăng b) u n 2n 0n n! u n 1 * 2n 1 n 1! u n 1 2n 1 2n 2n 1 n! : n un (n 1)! n! (n 1)! 2n n * Vậy (un) dãy số giảm c) u n n n u n 1 * n 1 n 1 * Dạng 3: Xét tính bị chặn hàm số Phương pháp giải: - Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) hàm số đơn giản Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm dãy số sau n 2n b) u n n! n 1 Vậy (un) dãy số tăng 0 Vậy (un) dãy số giảm 5n a) u n n 5n 1 (n 1)2 (n 1) u n 1 n 3n >1 n un n2 n n2 n n 1 1 n n 1 u n 1 Ta có: u n n n n Vậy (un) dãy số giảm u n 1 u n n * 2n n 1 2n 1, n n 2n Ta có: n n n n n n 3 3 (do n 3 n 2 n n 3 n n 3 n n2 n 2n 4n 2n n 2n 1 Lời giải n * : Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u n f (n) M, n u n f (n) m, n * * - Cách 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm bị chặn trên, dãy số (un) tăng bị chặn Bài tập tự luyện Câu Cho dãy số (un) biết u n Ba số hạng dãy số n 1 số đây? A 1 ; ; 1 B 1; ; C 1 ; ; 1 D 1; ; 2n Viết năm số hạng đầu dãy số n2 11 A u1 1,u ,u ,u ,u Câu Cho dãy số (un) biết u n C u1 1,u 11 ,u ,u ,u D u1 1,u 7 11 ,u ,u ,u u1 u5 bằng: u n 1 2u n C 77 C B u8 = - 5793 D Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số không tăng, không giảm? A u n n n B un = 5n + 3n D u n 3 n n C u8 = - 18147 A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số khơng tăng, khơng giảm D Có u10 = D 112 D 34 u1 2,u Câu Cho dãy số (un) xác định bởi: Tìm số hạng u8 u n 1 5u n 6u n 1; n A u8 = - 1803 C un = - 3n u n n A u n n số B 93 B un = (- 1)n(5n - 1) Câu 11 Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn? u1 2 (n 2) Số hạng thứ tư dãy Câu Cho dãy số (un) xác định u n 2u n 1 n A n 4 A u n 3 u1 Câu 10 Cho dãy số (un) biết 3u n Mệnh đề sau đúng? u n 1 u n Câu Cho dãy số (un) xác định B 157 10 1 n Câu Trong dãy số (un) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số giảm? C un = - 3n 11 B u1 1,u ,u ,u ,u A 317 D u n 1 C Dãy số không tăng, không giảm D u8 = - 537 n B un = n + C u n n 2n D un = n2 + n + Câu 12 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: u n 1 n n2 A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 13 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: u n 2n n! A Tăng, bị chặn B Tăng, bị chặn Câu Cho dãy số (un) biết u n 5n Mệnh đề sau đúng? C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai A Dãy số tăng B Dãy số giảm C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Câu 14 Xét tính bị chặn dãy số sau: u n Câu Cho dãy số (un) biết u n A Dãy số tăng 10 Mệnh đề sau đúng? 3n B Dãy số giảm A Bị chặn B Không bị chặn 1 1.3 2.4 n.(n 2) C Bị chặn D Bị chặn Câu 15 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết: Phương pháp quy nạp toán học 1 u n n Lý thuyết Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n * với n mà thử trực tiếp ta thực theo bước sau: A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai C Dãy số giảm, bị chặn Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Đáp án Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k, k 1 (gọi giả 10 11 12 13 14 15 thiết quy nạp) A B B D A A B C D B C C C A A Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + Các bước làm toán ta gọi phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt phương pháp quy nạp Tổng quát: Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n Để chứng minh mệnh đề P(n) với n n (n0 số tự nhiên cho trước) ta thực theo bước sau: Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = n0 Bước 2: Giả sử n n n = k, k n Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) n = k + Kết luận: Theo ngun lí quy nạp tốn học, ta kết luận P(n) với n n Các dạng tập Dạng Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Làm theo bước phần lý thuyết nêu Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 12 32 52 2n 1 n 4n 1 (1) Lời giải Bước 1: Với n = 1, ta có: 1 4.1 1 (đúng) Vậy (1) với n = Bước 2: Giả sử (1) với n = k Có nghĩa ta có: 12 32 52 2k 1 k 4k 1 2 Bước 3: Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 12 32 52 2k 1 2k 1 k 1 4 k 1 1 2k 1 k 1 2k 3 Bước 3: Ta chứng minh đẳng thức n = k + 12 32 52 2k 1 2k 1 Bước 1: Chứng minh n = m P(m) > Q(m) Bước 2: Với k số tự nhiên tùy ý, k m Giả sử với n = k, ta P(k) > Q(k) Thật vậy, ta có: Để chứng minh mệnh đề P(n) > Q(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n với n m (m số tự nhiên cho trước), ta thực theo hai bước sau: k 4k 1 k 2k 1 2k 1 2k 1 3 Theo ngun lí quy nạp tốn học, ta kết luận P(n) với số tự nhiên 2k 1 n m Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 3n > n2 + 4n + (1) 2k 1 k 2k 1 3 2k 1 2k 1 2k 5k 3 Lời giải Bước 1: Với n = ta có 4.3 27 26 (đúng) Vậy (1) với n = 3 2k 1 k 1 2k 3 (điều phải chứng minh) Bước 2: Giả sử với n k,k (1) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + (2) Vậy (1) n = k + Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15 Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: + + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1) Lời giải Ta phải chứng minh (2) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 3k + > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 3k + > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + + (2k2 + 6k + 5) Vì (2k 6k 5) k Vậy 3k + > (k + 1)2 + 4(k + 1) + (đúng) Vậy (1) với số nguyên dương n Bước 1: Với n = 1, ta có: = 1.(1 + 1)2 (đúng) Vậy (1) với n = Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: Bước 2: Giả sử (1) với n = k Có nghĩa ta có: + + + k(3k + 1) = k(k + 1)2 (2) 1 13 (1) n 1 n n n 24 Bước 3: Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: + + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)2 Thật + + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = k(k + 1)2 + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)[k(k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 2)2 (điều phải chứng minh) Vậy (1) n = k + Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải: Lời giải Đặt u n 1 1 n 1 n n (n 1) n n 1 13 (đúng) 12 24 1 13 Bước 2: Giả sử với n = k (1) đúng, có nghĩa ta có: k 1 k k k 24 Bước 1: Với n = ta có u Bước 3: Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 1 1 13 k 2 k 3 k k (k 1) (k 1) 24 Đặt P(n) = n3 + 2n Thật ta có: u k 1 u k 1 1 1 k2 k3 k k (k 1) (k 1) k k kk Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) 13 2.1 3 Suy P(n) với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k 1, tức là: P(k) k 2k 1 2k (k 1) (k 1) k Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + 1 2k 2(k 1) k Thật vậy: Tức chứng minh: P(k 1) (k 1)3 2(k 1) P(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 2k + 1 (đúng) 2k 2k 13 Vậy u k 1 uk (đúng) Vậy (1) với n = k + 24 Vậy (1) với số nguyên dương n = k3 + 3k2 + 5k + = (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) = P(k) + 3(k2 + k + 1) Mà P(k) 3(k k 1) nên P(k 1) mệnh đề n = k + Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n Ví dụ 2: Chứng minh với n Dạng 3: Chứng minh chia hết * n * n + – chia hết cho Lời giải Phương pháp giải: n n Làm theo bước phần lý thuyết nêu Đặt P(n) = + – Chú ý số dấu hiệu chia hết Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) 4.61 51 25 Suy mệnh đề với n = - Dấu hiệu chia hết cho 2: số có chữ số tận 0, 2, 4, 6, Bước 2: Giả sử mệnh đề n k 1, tức là: P(k) 4.6k 5k - Dấu hiệu chia hết cho 5: số có chữ số tận - Dấu hiệu chia hết cho 3: số có tổng chữ số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Tức chứng minh: P(k 1) 4.6k 1 5k 1 - Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 6: số vừa chia hết cho vừa chia hết cho Thật vậy: - Dấu hiệu chia hết cho 8: ba chữ số tận tạo thành số chia hết cho = 4.6k.6 + 5k.5 – - Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận = 24.6k + 5.5k – - Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho = 6(4.6k + 5k – 4) – 5k + 20 - Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, = 6P(k) – 5k + 20 - Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, 3, 4, 6P(k) Mà 5k nên P(k 1) mệnh đề n = k + 20 - Tính chất chia hết: + Nếu hai số a b chia hết cho m, tổng (a + b) hiệu (a – b) chia hết cho m + Nếu số a i mi , i 1,2, ,n tích a1a a n m1m2 mn Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với n * n3 + 2n chia hết cho Lời giải P(k + 1) = 6k+1 + 5k+1 – Vậy theo nguyên lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n Dạng 4: Quy nạp hình học * Phương pháp giải: Làm theo bước phần lý thuyết nêu Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh tổng góc đa giác lồi n cạnh n 3 là: (n – 2)1800 Lời giải Đặt S(n) n n 3 Bước 1: Khi n = 4, ta có S(4) = Suy mệnh đề với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k , tức là: S(k) k k 3 Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Đặt S(n) = (n – 2)1800 Tức chứng minh: S(k 1) Bước 1: Với n = 3, ta có S(3) = 1800 Suy mệnh đề với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k , tức là: S(k) = (k – 2)1800 Tức chứng minh: S(k + 1) = (k – 1)1800 Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh tam giác A1AkAk+1 cách nối đoạn A1Ak Khi tổng góc đa giác lồi (k + 1) cạnh tổng góc đa giác lồi k cạnh cộng với tổng ba góc tam giác A1AkAk+1 Tức là: S(k + 1) = S(k) + 1800 = (k – 2)1800 + 1800 = (k – 1)1800 Khi trừ đỉnh đỉnh Ak + đỉnh kề với A1Ak ta lại (k + 1) – = k – đỉnh, tương ứng với (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak+1 cộng với đường chéo A1Ak ta có số đường chéo đa giác (k + 1) cạnh là: S(k 1) k k 3 k k 3 k k k 1 k (k 2) k 1 2 2 Do mệnh đề n = k + Do mệnh đề n = k + * ;n Ví dụ 2: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n là: n n 3 2 Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh tam giác A1AkAk+1 cách nối đoạn A1Ak Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Vậy theo nguyên lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n k 1 k Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n * ,n Bài tập tự luyện Bài tập trắc nghiệm Câu Một học sinh chứng minh mệnh đề “8n + chia hết cho 7, với số tự nhiên n khác 0” (*) sau: Lời giải - Giả sử (1) với n = k, tức 8k + chia hết cho - Ta có: 8k + + = 8(8k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8k + chia hết suy 8k + + chia hết cho Vậy đẳng thức (1) với n Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp * Câu Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp 1 1 Câu Cho Sn với n 1.2 2.3 3.4 n. n 1 * 1.2 2.3 3.4 n(n 1) Mệnh đề sau n(n 1)(n 2) Câu Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2(n+1) đúng? n 1 n n2 Sn n3 A Sn B Sn n n 1 C Sn n 1 n2 1 Câu Cho Sn với n 1.3 3.5 2n 1. 2n 1 * Câu Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: D 22 42 62 2n Mệnh đề sau đúng? 2n n 1 2n 1 Câu Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 n 1 1 1 1 1 16 n 2n Câu 10 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n 1 A Sn 2n n2 Sn 2n n B Sn 2n n C Sn 3n 13 23 33 n Câu 11 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 2n > n2 Câu Với n A n * Câu 12 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 2n > 2n +1 , hệ thức sau sai? Câu 13 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 3n-1 > n(n +2) n n 1 Câu 14 Chứng minh với số nguyên dương n n3 + 11n chia hết cho Câu 15 Chứng minh với số nguyên dương n 4n + 15n – chia hết cho B 2n 1 n C 12 22 n D 22 42 62 n n 1 2n 1 2n Câu Cho Pn 1 2n n 1 2n 1 1 1 1 với n n Mệnh đề sau 22 32 n đúng? n 1 n2 A P B P Đáp án D B B D D Bài tập tự luận n n 1 D n 1 2n C P n 1 n D P n 1 2n a) Gọi d cơng sai cấp số cộng, ta có: Các công thức cấp số cộng Lý thuyết a) Định nghĩa: (un) cấp số cộng u n 1 u n d, n * (d gọi công sai) Nhận xét: - Cấp số cộng (un) dãy số tăng công sai d > - Cấp số cộng (un) dãy số giảm công sai d < - Đặc biệt, d = cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) b) Số hạng tổng quát cấp số cộng (un) xác định công thức: un = u1 + (n – 1)d với n * ,n c) Tính chất: Ba số hạng u k 1 ,u k ,u k 1 k ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk u k 1 u k 1 u 3d 10 u u 4d 13 d Vậy công sai d = số hạng u1 = b) Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d = + (n – 1).3 = 3n – c) Số hạng thứ 100 là: u100 = 3.100 – = 298 d) Tổng 15 số hạng đầu tiên: n 2u1 n 1 d 15. 2.1 14.3 S15 330 2 Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: un = 2n – a) Xác định công sai cấp số cộng d) Tổng n số hạng Sn xác định công thức: b) Số 393 số hạng thứ cấp số cộng n u1 u n n 2u1 n 1 d Sn u1 u u n 2 c) Tính S = u1 + u3 + u5 + … + u2021 Lời giải a) Ta có: un + = 2(n + 1) – = 2n – Cơng thức - Cơng thức tính tính cơng sai: d = un+1 – un với n * Công sai cấp số cộng: d = un+1 – un = (2n – 1) – (2n – 3) = - Cơng thức tìm số hạng tổng qt: un = u1 + (n – 1)d với n * ,n - Tính chất số hạng u k 1 ,u k ,u k 1 k liên tiếp cấp số cộng: uk (u d) (u1 2d) (u1 4d) 10 u u u 10 u u 26 (u1 3d) (u1 5d) 26 u k 1 u k 1 b) Gọi số hạng thứ k cấp số cộng 393, ta có uk = 393 Khi đó: 2k – = 393 Suy k = 198 Vậy số 393 số hạng thứ 198 cấp số cộng c) Ta có: u1 = – = – n u1 u n n 2u1 n 1 d - Tổng n số hạng cấp số cộng: Sn 2 Dãy số (vn): u1; u3; u5; … u2021 cấp số cộng với số hạng u1 = – công sai d’ = u3 – u1 = 2d = Dãy (vn) có: (2021 – 1) : + = 1011 số hạng Ví dụ minh họa u u u 10 Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u u 26 a) Xác định công sai số hạng cấp số cộng b) Xác định công thức số hạng tổng quát cấp số cộng c) Tính số hạng thứ 100 cấp số cộng d) Tính tổng 15 số hạng cấp số cộng Lời giải Vậy tổng S u1 u u u 2021 1011. 2. 1 1010.4 2041209 Các công thức cấp số nhân a) Số hạng thứ 25 cấp số cộng: u25 = u1 q25-1 = 3.(– 2)24 = 3.224 Lý thuyết b) Gọi số hạng thứ k số 49152, ta có a) Định nghĩa: uk = u1.qk-1 = 49152 Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q 3. 2 k 1 49152 Số q gọi công bội cấp số nhân 2 Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un = un-1 q với k 15 n Vậy số 49152 số hạng thứ 15 cấp số nhân Đặc biệt: c) Tổng 100 số hạng đầu tiên: * - Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; … - Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;… S100 k 1 16384 2 u1 1 q n 1 q 14 1 (2)100 2 - Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; … 2100 b) Số hạng tổng quát cấp số nhân (un) xác định công thức: un = u1 qn - với n ,n u 20 8u17 u1 u 272 Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: c) Tính chất Ba số hạng uk - 1, uk, uk + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u 2k u k 1.u k 1 với k d) Tổng n số hạng cấp số nhân xác định công thức: Sn u1 u u n u1 1 q n 1 q b) Tính tổng 100 số hạng cấp số nhân c) Tính tổng S = u1 + u3 + u5 +u7 +…+ u201 Lời giải a) Gọi d công sai cấp số cộng, ta có: Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1; u1; u1; … u1; Sn = n.u1 Cơng thức - Công thức truy hồi: un = un-1 q với n * - Công thức số hạng tổng quát: un = u1 qn - với n ,n - Ba số hạng uk - 1, uk, uk + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng u 2k u k 1.u k 1 với k - Tổng n số hạng đầu tiên: Sn a) Tìm số hạng cơng bội cấp số nhân u1 1 q n 1 q u q19 8u1q16 u 20 8u17 u1 u 272 u1 u1q 272 u1.q16 q3 q 4 u1 1 q 272 u1 1 q 272 q 272 u1 24 16 Vậy u1 = 16 q = b) Tổng 100 số hạng đầu tiên: Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q = – a) Tính số hạng thứ 25 cấp số nhân b) Số 49152 số hạng thứ cấp số nhân c) Tính tổng 100 số hạng cấp số nhân Lời giải S100 u1 1 q n 1 q 16 1 2100 1 16. 2100 1 2104 16 c) Dãy số (vn): u1; u3; u5; u7; … u201 cấp số nhân với số hạng u1 Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân u công bội q ' q u1 Lý thuyết 201 Dãy (vn) có 101 số hạng - Dãy số (un) cấp số nhân 16.1 101 S u1 u u u u 201 1 16 101 u n 1 q không phụ thuộc vào n q công bội un - Công thức số hạng tổng quát: un = u1 qn - với n ,n 1 Công thức - Công thức số hạng tổng quát: un = u1.qn - với n ,n Do để tìm số hạng tổng quát, ta cần tìm số hạng cơng bội cấp số nhân Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = u2 = – a) Xác định công thức số hạng tổng quát cấp số nhân b) Tính số hạng thứ 300 cấp số nhân c) Số 118098 số hạng thứ cấp số nhân Lời giải u 6 3 a) Ta có: q u1 Số hạng tổng quát cấp số nhân: un = u1.qn – = 2.(–3)n-1 b) Số hạng thứ 300 cấp số nhân: u300 = 2.( –3)300-1 = – 2.3299 c) Gọi số hạng thứ k số 118098, ta có uk = u1.qk-1 = 118098 2. 3 k 1 118098 3 k 1 59049 3 k 11 10 Vậy số 118098 số hạng thứ 11 cấp số nhân Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) với u ;u 16 a) Tìm u1 cơng bội d b) Xác định công thức tổng quát cấp số nhân c) Tính số hạng thứ 250 cấp số nhân Lời giải a) Ta có: 1 q3 64 43 q u u1q 1 u1 u1q u 16 u q 16 16 ... xét: - Cấp số cộng (un) dãy số tăng công sai d > - Cấp số cộng (un) dãy số giảm công sai d < - Đặc biệt, d = cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) b) Số hạng tổng quát cấp số cộng (un)... 26 a) Xác định công sai số hạng cấp số cộng b) Xác định công thức số hạng tổng quát cấp số cộng c) Tính số hạng thứ 100 cấp số cộng d) Tính tổng 15 số hạng cấp số cộng Lời giải Vậy tổng S ... un = un – q Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho dãy số sau, dãy số cấp số nhân Nếu cấp số nhân xác định số hạng công bội: a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64 d) Giả sử số 12288 số hạng thứ n cấp số nhân,