Trường THPT Nam Trà My TÊN BÀI : HÀM S LIÊN T CỐ Ụ
I. M c tiêu c a bài:ụ ủ
1. Ki n th c:ế ứ
Bi t đế ược đ nh nghĩa hàm s liên t c t i m t đi m.ị ố ụ ạ ộ ể
Bi t đế ược đ nh nghĩa hàm s liên t c trên m t đo n, kho ng cũng nh các đ nh lí ị ố ụ ộ ạ ả ư ị
c b n.ơ ả
2. K năng: ỹ
V n d ng đ nh nghĩa xét tính liên t c c a hàm s t i m t đi m.ậ ụ ị ụ ủ ố ạ ộ ể
Xét tính liên t c c a hàm s trên m t kho ng, đo n. V n d ng đ nh lí ch ng minh ụ ủ ố ộ ả ạ ậ ụ ị ứ
s t n t i nghi m c a m t ự ồ ạ ệ ủ ộ ph ươ trình ng
3. Thái đ :ộ
Tích c c ho t đ ng, phát huy s sáng t o, tìm tòi.ự ạ ộ ự ạ
Rèn luy n tính c n th n, chính xác trong tính toán, trình bày.ệ ẩ ậ
4. Đinh hướng phát tri n năng l c:ể ự
(Năng l c t h c, năng l c h p tác, năng l c giao ti p, năng l c quan sát, năng l c phát ự ự ọ ự ợ ự ế ự ự
hi n và gi i quy t v n đ , năng l c tính toán, năng l c v n d ng ki n th c vào cu c ệ ả ế ấ ề ự ự ậ ụ ế ứ ộ
s ng ) ố
II. Chu n b c a giáo viên và h c sinhẩ ị ủ ọ
1. Giáo viên:
Giáo án, phi u h c t p,b ng ph ế ọ ậ ả ụ
Máy chi u, b ng ph trình bày nhómế ả ụ
2. H c sinh:ọ
Chu n b trẩ ị ước bài h c, sách giáo khoa, máy tính c m tay.ọ ầ
III. Chu i các ho t đ ng h cỗ ạ ộ ọ
1. GI I THI U (3 phút)Ớ Ệ
Giáo viên trình chi u hai hình nh cho h c sinh quan sát.ế ả ọ
Hình 1
Trang 2Hình 1 cho ta th y cây c u thông su t, các ph ng ti n giao thông qua l i liên t c.ấ ầ ố ươ ệ ạ ụ Hình 2 cho ta th y cây c u b gãy, giao thông b gián đo n hay không liên t c.ấ ầ ị ị ạ ụ
Trong cu c s ng thì c m t “liên t c” độ ố ụ ừ ụ ượ ử ục s d ng r t nhi u, v y trong toán h c khái ấ ề ậ ọ
ni m liên t c đệ ụ ược hi u nh th nào, ta đi vào bài h c: “ Hàm s liên t c”.ể ư ế ọ ố ụ
2. N I DUNG BÀI H C Ộ Ọ
2.1 Hàm s liên t c t i m t đi m( 30 phút)ố ụ ạ ộ ể
Bài toán 1: Cho hàm sốy f (x) x = = 2
+ Tìm TXĐ.
+ Tính f (1); tínhx 1lim f (x)và so sánh chúng
+ Nh n xét v đ th c a hàm s t i đi m x ậ ề ồ ị ủ ố ạ ể
=1
+ TXĐ: D R = + f (1) lim f (x) 1.=x 1 =
+ Đ th hàm s là đồ ị ố ường li n nét t i x ề ạ
=1
Bài toán 2: Cho hàm số
2
x + 2 khi x 1
4 khi x 1
￬￬
￬
￬￬￬
Hình 2
x y
1
Trang 3+ Tính g(1); tính x 1lim g(x)
￬ (n u có) và so sánh ế chúng
+ Nh n xét v đ th c a hàm s t i đi m x ậ ề ồ ị ủ ố ạ ể
=1
+ TXĐ: D R = + g(1)= 3;
x 1lim g(x) 3 x 1lim g(x) 4
￬ không t n t i ồ ạ x 1lim g(x)
+ Đ th hàm s không li n nét t i x = ồ ị ố ề ạ 1
+ D n d t hình thành ki n th c:ẫ ắ ế ứ Qua hai bài toán trên nh n th y hàm s ậ ấ ố y f x = ( ) liên
t c ụ t i x = 1; hàm s ạ ố y g x = ( ) không liên t cụ t i x = 1 hay ạ gián đo n ạ t i x = 1. Hãy ạ phát bi u đ nh nghĩa hàm s liên t c t i m t đi m. ể ị ố ụ ạ ộ ể
b) Hình thành ki n th cế ứ
Đ nh nghĩa 1:ị Cho hàm s ố y f (x) = xác đ nh trên kho ng ị ả Kvà x0￬ K.Hàm s ố y f (x) =
được g i là ọ liên t c ụ t i ạ x0 n u ế 0
x x0 lim f (x) f (x ).
Hàm s ố y f (x) = không liên t c t i ụ ạ x0 được g i là gián đo n t i đi m đó.ọ ạ ạ ể
Câu 1. Nêu các b c xét tính liên t c c a hàm ướ ụ ủ
s t i đi m ố ạ ể x ?0
Tìm t p xác đ nh, xét xem ậ ị x0 có thu cộ TXĐ hay không
Tính f (x )0 và x x0lim f (x).￬
So sánh f (x )0 và x x0lim f (x).￬
2 y
4
x
Trang 4Câu 2: Xét tính liên t c c a hàm sụ ủ ố
x 1
f (x)
x
+
= t i ạ x0= 2.
Câu 3: Xét tính liên t c c a hàm sụ ủ ố
2
x x 6 khi x 3
2x 1 khi x 3.
￬￬ -
￬￬
￬￬￬
t i ạ x0= 3.
+ N u ế f (x )0 = x x0lim f (x)￬ ￬ Hàm s ố liên t c t i ụ ạ x0
+ N u ế f (x ) ￬0 x x0lim f (x)￬ ￬ Hàm
s gián đo n t i ố ạ ạ x0
TXĐ: D R \ 0 ; 2 D = { } ￬
Ta có f (2) 3
2
= = x 2lim f (x)
￬
Do đó hàm s liên t c t i ố ụ ạ x0= 2.
TXĐ: D R =
Ta có f (3) 7 = ￬ x 3lim f (x) 5￬ =
Do đó hàm s gián đo n t i ố ạ ạ x0= 3.
2.2 Hàm s liên trên m t kho ngố ộ ả (15 phút)
1. Cho hàm s ố y f (x) x = = 2
+ Ta đã bi t hàm s ế ố y f (x) x = = 2 liên t c t iụ ạ
x 1 =
+ Xét tính liên t c c a hàm s t i các đi mụ ủ ố ạ ể
x 0, x = = 2.
+ Đ th hàm s ồ ị ố y f (x) = có không li n nét t iề ạ
đi m nào trên ể (- ￬ ; + ￬ ) không?
+ Đoán xem y f (x) = có liên t c t i m i đi mụ ạ ọ ể
thu c kho ng ộ ả (- ￬ ; + ￬ ) ?
2. Cho hàm số
2
x + 2 khi x 1
4 khi x 1
￬￬
￬
￬￬￬
+ Hàm s liên t c t i ố ụ ạ x 0, x = = 2. + Đ th hàm s là m t đồ ị ố ộ ường li n nét.ề + Hàm s liên t c t i m i đi m thu c ố ụ ạ ọ ể ộ kho ng ả (- ￬ ; + ￬ )
Trang 5+ Ta đã bi t hàm s ế ố g(x)không liên t c t iụ ạ
x 1 =
+ Đ th hàm s có không li n nét t i đi m ồ ị ố ề ạ ể
nào thu c kho ng ộ ả (- ￬ ; + ￬ ) không?
+ Ta nói hàm s liên t c t i m i đi m thu c ố ụ ạ ọ ể ộ
kho ng ả (- ￬ ; + ￬ ) đúng hay sai?
Đ th hàm s không li n nét t i ồ ị ố ề ạ x 1 =
Vì hàm s không liên t c t i ố ụ ạ x 1 = nên nói nó liên t c t i m i đi m thu c ụ ạ ọ ể ộ kho ng ả (- ￬ ; + ￬ ) là sai
Hàm số y f (x) = liên t c t i m i đi m thu c ụ ạ ọ ể ộ (- ￬ ; + ￬ ) , đ th là m t đồ ị ộ ường li n nét ề nên y f (x) = là hàm s liên t c trên kho ng ố ụ ả (- ￬ ; + ￬ )
Hàm s ố y g(x) = không liên t c t i ụ ạ x 1 = , đ th không li n nét t i ồ ị ề ạ x 1 = nên y g(x) = không liên t c trên kho ng ụ ả (- ￬ ; + ￬ )
b) Hình thành ki n th c:ế ứ
Đ nh nghĩa 2: Hàm s ị ố y f (x) = được g i là liên t c trên m t kho ng n u nó liên t c ọ ụ ộ ả ế ụ
t i m i đi m c a kho ng đó.ạ ọ ể ủ ả
Hàm s ố y f (x) = được g i là liên t c trên đo n ọ ụ ạ [a; b] n u nó liên t c trên kho ng ế ụ ả (a; b)
và
x alim f (x) f (a),
+
￬
= x blim f (x) f (b).￬ - =
Nh n xét: ậ Đ th hàm s liên t c trên m t kho ng là m t “đồ ị ố ụ ộ ả ộ ường li n” trên kho ng ề ả đó
y
x
O
Hàm s liên t c trên ố ụ kho ng ả
O
Hàm s không liên t c ố ụ trên kho ng ả
Trang 6c) c ng củ ố G i ýợ
Đ th hàm s nào dồ ị ố ưới đây không liên t c trên kho ngụ ả
(a;b) ?
Đáp án C: Đ th hàm s ồ ị ố không li n nét t i m t đi m ề ạ ộ ể thu c kho ng ộ ả (a;b)
Ti t 2:ế
2.3 M t s đ nh lí c b nộ ố ị ơ ả
2.3.1: Đ nh lí 1(10 phút)ị
a)Đ nh lí 1: ị
a) Hàm s đa th c liên t c trên toàn b t p s th c R.ố ứ ụ ộ ậ ố ự
b) Hàm s phân th c h u t ( thố ứ ữ ỉ ương c a hai đa th c) và các hàm s lủ ứ ố ượng giác liên t c ụ trên t ng kho ng c a t p xác đ nh c a chúng.ừ ả ủ ậ ị ủ
b) C ng c :ủ ố
1: Hàm s nào d i đây liên t c trên toàn ố ướ ụ
b t p s th c R ?ộ ậ ố ự
A. f (x) t anx x= + 2−3. B. f (x) x 12 .
+
= +
C. f (x) 2x+1 khi x 2 .
10 khi x=2
cot x 3
=
+ 2.Xét tính liên t c c a hàm s sau trên t p ụ ủ ố ậ
xác đ nh c a nó ị ủ
2
khi x > 2
2x + 1 khi x 2
−
Đáp án B: vì x 2 + ￬ 3 3; x R " ￬
￬
2
x 1
f (x)
+
= + có t p xác đ nh R.ậ ị
Do đó nó liên t c trên toàn R.ụ
TXĐ: D R = + V i ớ x 2 > : f (x) là phân th c h u t ứ ữ ỉ nên liên t c ụ (2; + ￬ ).
+ V i ớ x 2 < : f (x) là đa th c b c nh t ứ ậ ấ nên liên t c ụ (- ￬ ; 2 )
+ V i ớ x = 2:
lim f (x) lim 2x 1 5
Trang 72
x 2
￬ - ￬￬
￬
￬￬
￬ không t n t i ồ ạ x 2lim f (x)￬
Do đó hàm s không liên t c t i x = 2.ố ụ ạ
V y ậ f (x)liên t c trên kho ngụ ả (- ￬ ; 2 và 2; +) ( ￬ ).
2.3.2: Đ nh lí 2(10 phút)ị
Cho hai hàm s ố f (x) x = 2 - x 1 + và
g(x) x 1 = +
a) Xét tính liên t c c a hàm s ụ ủ ố f (x) và g(x)
t i ạ x0= 1
b) Xét tính liên t c các hàm s ụ ố f (x) g(x) + ;
f (x) g(x) - ; f (x).g(x); f (x).g(x); g(x)f (x) t iạ
0
x = 1
a) Hàm s ố f (x) và g(x) là các hàm đa
th c liên t c trên R nên liên t c t i x =1.ứ ụ ụ ạ b) các hàm s ố f (x) g(x) + ;f (x) g(x) - ;
f (x).g(x); f (x).g(x); f (x)
g(x) t i ạ x0= 1
Hãy phát bi u đ nh lý 2.ể ị
b) Hình thành ki n th cế ứ
Đ nh lí 2ị : Gi s ả ử y f (x) = và y g(x) = là hai hàm s liên t c t i đi m ố ụ ạ ể x0. Khi đó
a) Các hàm s ố y f (x) g(x) = + ,y f (x) g(x) = - và y f (x).g(x) = liên t c t i ụ ạ x0;
b) Hàm s ố y f (x)
g(x)
= liên t c t i ụ ạ x0 n u ế g(x ) 00 ￬
Cho hàm s ố y f (x) x = = 2 - x và
y g(x) x 1 = = -
Xét tính liên t c c a các hàm s ụ ủ ố y f (x) = ,
y g(x) = , y f (x) g(x) = + , y f (x) g(x) = - ;
y f (x).g(x) = ; y f (x)
g(x)
= t i ạ x0= 2.
Các hàm s đ u liên t c t i x = 2.ố ề ụ ạ
Trang 82.3.3 Đ nh lí 3(10 phút)ị
a) Ti p c n: ế ậ
Cho hàm s ố y f (x) = có đ th nh hình bên dồ ị ư ưới
a) Hàm s ố y f (x) = có liên t c trên đo nụ ạ
[a; b] không?
b) Nh n xét d u c a ậ ấ ủ f (a) và f(b).
c) Đ th hàm s có c t tr c hoành không?ồ ị ố ắ ụ
a) Hàm s liên t c trên đo n ố ụ ạ [a; b] b) f (a) 0; f(b) > 0 < ￬ f(a).f(b) < 0 c) Đ th c t tr c hoành.ồ ị ắ ụ
Nh n th y khi ậ ấ hàm s ố y f (x) = liên t c trên đo n ụ ạ [a; b],f (a) và f(b) khi đó đ th hàm sồ ị ố luôn c t tr c hoành t i ít nh t m t đi m thu c kho ng ắ ụ ạ ấ ộ ể ộ ả (a; b).
S giao đi m c a đ thố ể ủ ồ ị y f (x) = và tr c hoành là s nghi m c a phụ ố ệ ủ ươngtrìnhf (x) 0 = b) Hình thành đ nh lí 3ị
Đ nh lí 3: ị N u hàm s ế ố y f (x) = liên t c trên đo n ụ ạ [a; b] và f (a).f (b) 0 < , thì phương trình
f (x) 0 = có ít nh t m t nghi m trên kho ng ấ ộ ệ ả (a; b)
c) c ng c :ủ ố
Ch ng minh r ng phứ ằ ương trình
3 2 2 1 0
x − x − = có ít nh t m t nghi m trong ấ ộ ệ
kho ng ả ( )2;3 .
*) T p xác đ nh: Rậ ị
*) Hàm s ố f x( ) =x3 − 2x2 − 1 liên t c trên ụ R nên nó liên t c trên ụ [2;3]
*) f ( )2 = − 1; f ( )3 = 8 f ( ) ( )2 3f < 0 Suy ra phương trình f x( ) = 0 có ít nh t m tấ ộ nghi m n m trong kho ng ệ ằ ả ( )2;3
O
y
x f(b)
f(a)
Trang 93. LUY N T P (Ệ Ậ 15 phút))
Tr c nghi m khách quanắ ệ :
TNKQ:
Câu 1. Cho hàm s ố y f (x) = có đ th nh hình bên dồ ị ư ưới không liên t c t i đi m có ụ ạ ể hoành đ b ng bao nhiêu ?ộ ằ
A. x 1.= B. x 3.= C. x 0.= D. x 2.=
Câu 2. Cho hàm s ố
2 2 3 1
+ −
=
khi x
khi x
. Tìm m đ hàm s liên t c t i đi m ể ố ụ ạ ể x0 = 1
A. m= 3. B. m= 5. C. m= 4. D.m= 6
Câu 3. Tìm giá tr c a tham s m đ hàm s ị ủ ố ể ố
1
1 1
1 4
3 )
(
x khi m
x khi x
x x
x = - 1.
A. m 3.
2
= B. m 1.
2
= C. m = - 1. D. m 3 =
Câu 4: Cho hàm s ố y x 3.
x 1
-= + M nh đ nào dệ ề ưới đây đúng?
A. Hàm s đã cho gián đo n t i ố ạ ạ x 1 =
B. Hàm s đã cho liên t c trên toàn R.ố ụ
C. Hàm s đã cho liên t c trên kho ng ố ụ ả (- ￬ - ; 1 và ( 1;) - +￬ ).
D. Hàm s đã cho gián đo n t i ố ạ ạ x 3 =
3
y
1
x O
Trang 10Câu 5: Tìm giá tr th c c a tham s m đ hàm s ị ự ủ ố ể ố
3
x 1 khi x 1
f (x) x 1
2m 1 khi x 1
￬￬
￬￬
= ￬
￬￬￬
liên t c trên R.ụ
2
Câu 6: Cho
3
2 )
x x
x x
f và g(x) sin x. Xét tính liên t c c a hai hàm s ụ ủ ố y f (x)
và y g (x) trên toàn tr c s ụ ố
A. Hàm s ố y f (x) không liên t c trên toàn tr c s , hàm s ụ ụ ố ố y g (x) liên t c trên toàn ụ
tr c s ụ ố
B. C hai hàm s ả ố y f (x) và y g (x)đ u liên t c trên toàn tr c s ề ụ ụ ố
C. y f (x) liên t c trên toàn tr c s , ụ ụ ố y g (x)ch liên t c trên đo n ỉ ụ ạ 1 ; 1
D. C hai hàm s ả ố y f (x) và y g (x)đ u không liên t c trên toàn tr c s ề ụ ụ ố
Câu 7: Cho ph ng trình ươ 2x 4 − 5x 2 + + = x 1 0.
M nh đ nào dệ ề ưới đây đúng?
A. Ph ng trình có ít nh t hai nghi m trong kho ng ươ ấ ệ ả ( )0;2
B. Ph ng trình không có nghi m trong kho ng ươ ệ ả (− 1;1 )
C. Ph ng trình không có nghi m trong kho ng ươ ệ ả (− 2;0 )
D. Ph ng trình ch có 1 nghi m trong kho ng ươ ỉ ệ ả (− 2;1 )
T lu n:ự ậ
Câu 1: Xét tính liên t c c a hàm sụ ủ ố
3
x 8 khi x 2
5 khi x 2
￬￬
￬￬
= ￬
￬￬￬
C n thay s 5 b i s nào đ hàm s ầ ố ở ố ể ố f (x) liên t c t i ụ ạ x0= 2.
Câu 2: Đ nh a đ hàm s liên t c: ị ể ố ụ
2
5 nêu x > 2 ( )
1 nêu x 2
ax
f x
x
−
=
Câu 3: Ch ng minh r ng ph ng trình ứ ằ ươ 2x 3 - 5x 2 + + = x 1 0 có ít nh t hai nghi m.ấ ệ
Trang 114. V N D NG VÀ M R NG:Ậ Ụ Ở Ộ
Câu 1: Ch ng minh ph ng trình ứ ươ x2sinx x+ cosx+ =1 0 có ít nh t m t nghi mấ ộ ệ
0 0;
x π
Câu 2: Xét tính liên t c c a hàm ụ ủ
2
khi x 3 và x 1
x 1
4 khi x = 1
f (x)
x 1 khi x 3.
−
=
+
trên t p xác đ nh c a nó.ậ ị ủ