Trường THPT Khâm Đức Giáo án 11 Cơ TÊN BÀI (CHỦ ĐỀ):ĐẠO HÀM CẤP HAI I MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Hiểu rõ định nghĩa và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Cách tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp cao 2. Kĩ năng: Tính thành thạo đạo hàm cấp một, cấp hai Biết cách tính gia tốc của chuyển động trong các bài tốn vật lí 3. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư duy có hệ thống 4. Định hướng phát triển năng lực: Năng lực hợp tác: Tơ ch ̉ ưc nhom hoc sinh h ́ ́ ̣ ợp tac th ́ ực hiên cac hoat đông ̣ ́ ̣ ̣ Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giac tim toi, linh hôi kiên th ́ ̀ ̀ ̃ ̣ ́ ức va ph ̀ ương phap giai ́ ̉ quyêt bai tâp va cac tinh huông ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biêt cach huy đ ́ ́ ộng các kiến thức đã học để giai quyêt cac ̉ ́ ́ câu hoi. Biêt cach giai quyêt cac tinh huông trong gi ̉ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ́ ờ hoc ̣ Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phat huy kha năng bao cao tr ́ ̉ ́ ́ ước tâp thê, kha năng thuyêt trinh ̣ ̉ ̉ ́ ̀ II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: học. 1. Giáo viên Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề 2. Học sinh Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập III. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: 1.Tiếp cận bài học. (7’) * Chuyển giao nhiệm vụ học tập Cho học sinh nhắc lại câu chuyện dân gian Rùa và Thỏ chạy đua. Rút ra ý nghĩa của câu chuyện Bây giờ ta chuyển thành bài tốn vật lí lớp 10 đã học. Giã sử trong cuộc thi chạy đua của Rùa và Thỏ, hai con cùng xuất phát tại vị trí A. Sau 30 giây Thỏ chạy đến điểm B và đạt vận tốc 3(m/s). Sau 40 giây Thỏ chạy đến điểm C và đạt vận tốc 5(m/s). Tính gia tốc của Thỏ chạy là bao nhiêu? * Thực hiện nhiệm vụ học tập Cho học sinh thảo luận và trình bày lời giải của mình * Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm * Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập Giáo viên và học sinh cịn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Cho học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai Trang 1 Trường THPT Khâm Đức Giáo án 11 Cơ Giáo viên chính xác hóa bài giải: Theo vật lí 10 ta đã học ta chọn mốc thời gian là lúc xuất phát Theo đề: t0 = 30( s ); v0 = 3(m / s) t = 40( s ); v = 5(m / s) . Ta có cơng thức gia tốc là: a = v − v0 5−3 = = = 0, 2( m / s ) t − t0 40 − 30 10 Vậy gia tốc trong tốn học sẽ được tính như thế nào. Đó là ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai ta sẽ học trong bài này 2.Nội dung bài học: *Hoạt động 2: (8’) Định nghĩa đạo hàm cấp hai. a)Tiếp cận kiến thức: Tính đạo hàm của các hàm số: 1. a) f ( x ) = x − 3x + x − 2018 b) g ( x) = 3x − x + 2. a) f ( x ) = s inx b) g ( x) = cosx Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2)) Gọi 2 học sinh nhóm I,III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm Giáo viên và học sinh cịn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được Cho 2 học sinh nhóm II,IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai b)Hình thành kiến thức: Từ bài 1. ta có: f '( x ) = x − x + và g '( x) = x − Từ bài 2. ta có: f ( x ) ' = cos x và 4) g '( x) = − s inx Cho học sinh nhận xét mối quan hệ giữa các hàm số g '( x) ; f '( x ) và f ( x ) trong mỗi bài trên * Nhận xét thấy f '( x ) = g ( x ) ; từ đó suy ra [ f '( x) ] ' = g '( x) Vậy ta thấy [ f '( x) ] ' là đạo hàm 2 lần của f ( x ) *Định nghĩa: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f '' , tức là: f '' = ( f ') ' c)Cũng cố: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: x − x + 2018 2) y = cos 2019 x 3) y = x 4) y = x.s inx Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày kết quả. Nhóm khác nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận 1) y = Lời giải: 1) y ' = x − x 3) y ' = x y '' = 3x − y '' = − 4x x 2) y ' = −2019.sin 2019 x 4) y ' = s inx + x.cosx y '' = −4076361.cos 2019 x y '' = cosx + cosx − x.s inx = 2cosx − x.s inx *Hoạt động 3: (5’) Đạo hàm cấp cao. a)Tiếp cận kiến thức: Từ kết quả đạo hàm cấp hai của hàm số: 1) y = x − x + 2018 cho học sinh tính đạo hàm lần 3, lần 4 Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm Trang 2 Trường THPT Khâm Đức Giáo án 11 Cơ Giáo viên và học sinh cịn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Cho học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai b)Hình thành kiến thức: Từ bài trên ta có: *Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp n − 1( n N, n 4) Kí hiệu f ( n −1) ( x ) Nếu f ( n −1) ( x ) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f ( x ) n Kí hiệu: f ( ) ( x ) hoặc y ( n ) Viết: f ( n ) ( x ) = f ( n −1) ( x ) *Chú ý: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f ( x ) là f ( x ) hoặc f ( 3) ( x ) hay y c)Cũng cố: Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số sau: 1) y = x − x + 2018 x + x − 2) y = sin x Cho học sinh thảo luận và trình bày kết quả. Học sinh khác nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận Lời giải: 1) y ' = x − 15 x + 4036 x + 2) y ' = 2co s x y '' = 20 x3 − 30 x + 4036 y '' = −4sin x y ''' = 60 x − 30 y ''' = −8cos x *Hoạt động 4: (10’) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. a)Tiếp cận kiến thức: Cho học sinh nhắc lại định nghĩa của đạo hàm và ghi lại cơng thức tính đạo hàm bằng định nghĩa Học sinh khác nhận xét bài bạn Giáo viên chính xác hóa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 tại giới hạn (hữu hạn) lim x x0 (a; b) Nếu tồn f ( x) − f ( x0 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại x − x0 điểm x0 Kí hiệu: f (x0) = lim x x0 f (x ) − f ( x 0) x − x0 Đặt ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0 và ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) là số gia của hàm số tại x0 . ∆y = f '( x0 ) = y '( x0 ) ∆x Khi đó : lim ∆x b)Hình thành kiến thức: Từ ví dụ ban đầu ta có a = v − v0 là gia tốc. Vậy nếu một chất điểm chuyển động t − t0 với pt: s = s (t ) thì vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là v(t0 ) = s '(t0 ) Nếu t0 nhận một số gia ∆t = t − t0 thì v(t0 ) nhận số gia là ∆v = v(t0 + ∆t ) − v(t0 ) Trang 3 Trường THPT Khâm Đức Giáo án 11 Cơ ∆v = v '(t0 ) = a (t0 ) là gia tốc tức thời của chuyển động ∆t Vậy theo định nghĩa đạo hàm ta có: lim ∆t *Ý nghĩa: Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s = s (t ) với s (t ) là hàm số có đạo hàm cấp hai Khi đó gia tốc tức thời a (t0 ) của chuyển động tại thời điểm t0 bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s (t ) tại thời điểm t0 kí hiệu là: a (t0 ) = s ''(t0 ) Vậy a (t0 ) = v '(t0 ) = s ''(t0 ) *Chú ý: Gia tốc tại thời điểm t0 đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó c)Cũng cố: 1) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: s (t ) = 5t − 3t ( với s tính bằng mét(m); t > tính bằng giây (s)). Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 4( s) 2) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: s (t ) = t + 4t − 2018 ( với s tính bằng mét(m); t > tính bằng giây (s)). a)Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 4( s) b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11(m/s) Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2)) Gọi 2 học sinh nhóm I,III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm Giáo viên và học sinh cịn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được Cho 2 học sinh nhóm II,IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai Lời giải: 1) s '(t ) = − 6t a (t ) = s ''(t ) = −6 2.a) s '(t ) = 3t + 8t a (t ) = s ''(t ) = 6t + 2.b) v (t ) = s '(t ) = 3t + 8t = 11 a (4) = 32(m / s ) 3t + 8t − 11 = t = 1(nh) 11 . Vậy a (1) = 6.1 + = 14(m / s ) t = − (l ) 3.Luyện tập, cũng cố: (10’) Cho học sinh nhắc lại định nghĩa đạo hàm cấp hai, cấp 3,…và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cáp hai Bài tập rèn luyện: Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I bài 12); nhóm II làm bài 34); nhóm III làm bài 56); nhóm IV làm bài 78)) Gọi mỗi nhóm đại diện 1 học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm Giáo viên và học sinh cịn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được Cho học sinh trong nhóm bổ sung nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai Câu 1: Cho f ( x ) = ( x − ) Tính f A. 4230 ( 3) B. 4320 C. 4204 D. 4132 Trang 4 Trường THPT Khâm Đức Giáo án 11 Cơ Câu 2: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = sin x là: 5π π (3) (3) (3) A. y = sin x + B. y = sin x + C. y = sin ( x + π ) 2 D. y (3) = sin x + 3π Câu 3: Cho hàm số y = x − x Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. y y + = B. y y − = C. y y + = D. y y + = Câu 4: Phương trình chuyển động của một chất điểm s = t − 3t − 9t + (s tính bằng mét, t >0 tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0 A. 10 m / s B. 12 m / s C. m / s D. 16 m / s Câu 5: Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là 6x ? A y = x B. y = x C y = x3 D y = x Câu 6: Cho hàm số y = sin x Đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi x ? A. y + ( y ) = B y + y = C y − y = D y = y tan x Câu 7: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t − 2t + 4t + trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc của chuyển động khi t = là: A 12 m / s B m / s C m / s D m / s Câu 8: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = −t + 9t + t + 10 trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là: A t = s B t = s C t = s D t = s Hướng dẫn giải: Câu 1: Đáp án B. Ta có: f ( x ) = 10 ( x − 3) Câu 2: Đáp án D. Ta có: y = cos x = sin x + y = cos ( x + π ) = sin x + Câu 3: Đáp án A. Ta có: y = Thay vào: y y + = Câu 4: Đáp án B. Ta có: ( x ) = 80 ( x − 3) ,f ,f ( x ) = 480 ( x − 3) f ( 3) = 4320 π π π = sin ( x + π ) = sin x + nên : y = cos x + 2 3π 1− x x − x2 , ( 2x − x ) y =− v( t) = s ( t) = ( 2x − x ) ( −1) ( 2x − x2 ) + = −1 + = 3t − 6t − = t = −1 ( l ) t = 3 γ (3) = 12m / s Câu 5: Đáp án C. Ta có: y = x , y = 3x , y = x Câu 6: Đáp án B. Ta có: y = cos x, y = −4sin x y + y = 2 Câu 7: Đáp án B. Ta có: s ( t ) = 3t − 4t + 4, s ( t ) = 6t − .Vậy gia tốc γ ( ) = s ( ) = ( m / s ) Câu 8: Đáp án D. Ta có: v ( t ) = s ( t ) = −3t + 18t + = −3 ( t − 6t + ) + 28 = 28 − ( t − ) 28 Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 3s 4.Vận dụng và mở rộng: (5’) a) Vận dụng vào thực tế: Vận dụng đạo hàm cấp 2 vào tính gia tốc của một chuyển động Trang 5 Trường THPT Khâm Đức Giáo án 11 Cơ b) Mở rộng, đào sâu: Câu 1 Tính tổng S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + ( −1) n −1 n.Cnn A B C 10 D 100 n Câu 2 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + + n.Cn = 11264 A n = B n = 10 C n = 11 D n = 12 Hướng dẫn giải: Câu 1 Đáp án A. Từ nhị thức ( + x ) = Cn0 + Cn1 x1 + Cn2 x + + Cnn x n ( *) lấy đạo hàm hai vế: n n ( 1+ x) n −1 = Cn1 + xCn2 + 3x 2Cn3 + + nx n −1Cnn ( **) Thay x = −1 ta được S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − − ( −1) n −1 Cnn = Câu 2 Đáp án C. Xét khai triển nhị thức ( + x ) Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được n n ( 1+ x) n −1 = Cn1 + xCn2 + 3x 2Cn3 + + nx n −1Cnn Cho x = ta được 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n.2 n −1 = 11264 n = 11 Trang 6 ... ) = 480 ( x − 3) f ( 3) = 4 320 π π π = sin ( x + π ) = sin x + nên : y = cos x + 2 3π 1− x x − x2 , ( 2x − x ) y =− v( t) = s ( t) = ( 2x − x ) ( −1) ( 2x − x2 ) + = −1 + = 3t − 6t − = t... Trường THPT Khâm Đức Giáo án? ?11? ? Cơ b) Mở rộng, đào sâu: Câu 1 Tính tổng S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + ( −1) n −1 n.Cnn A B C 10 D 100 n Câu? ?2 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1.Cn + 2. Cn + 3.Cn + + n.Cn = 1 12 64... x) n −1 = Cn1 + xCn2 + 3x 2Cn3 + + nx n −1Cnn Cho x = ta được 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n .2 n −1 = 1 12 64 n = 11 Trang 6