BÀI 3 VI PHÂN đạo hàm cấp CAO

BÀI VI PHÂN - ĐẠO HÀM CẤP CAO MỤC TIÊU Kiến thức -Trình bày định nghĩa vị phân -Trình bày phương pháp tính gần nhờ vi phân -.Trình bày phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3, , cập n Kỹ -Tính vi phân hàm số f  x  x0 cho trước -Tìm vi phân hàm số f  x  -Biết cách tính gần số dựa vào vi phân -Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3, , cấp n -Biết chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm cấp 2, I.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Vi phân Cho hàm số y  f  x  xác định (a;b) có đạo hàm x  (a; b) Gọi x số gia x Ta gọi tích f '  x  x vi phân hàm số y  f  x  xứng với số gia x Kí hiệu df  x  dy, tức dy  df  x   f '  x  x Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Cơng thức tính gần nhờ vi phân f  x0  x   f  x0   f   x0  x Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu f ", tức f "   f ' ' + Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với n  , n  2) f ( n1) Nếu f ( n1) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f  n  ), tức f ( n )   f ( n1)  ' + Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai s "  t  gia tốc tức thời chuyển động s  s  t  thời điểm t Nếu chọn hàm số y = x ta có dy  dx  1.x  x Do ta thường kí hiệu x  dx dy  f '  x  dx II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính vi phân Bài tốn Tìm vi phân hàm số Phương pháp giải a) Tính vi phân hàm số f  x  x0 cho trước: - Tính đạo hàm hàm số x0 - Vi phân hàm số x0 ứng với số gia x df  x0   f   x0  x b) Tìm vi phân hàm số f  x  - Tính đạo hàm hàm số Trang - Vi phân hàm số dy  df ( x)  f  ( x).x Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2  2x  a) Tính vi phân hàm số điểm x0  , ứng với số gia x  0, 02 b) Tìm vi phân hàm số Hướng dẫn giải a) Ta có y '  f  ( x)  3x2  6x  Do vi phân hàm số điểm x0  ,ứng với số gia x  0, 02 df (1)  f  (1).x   3.12  6.1   0,02  0,14 b) dy  f  ( x).x   3x  x   dx Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  x3  4x2  Tính vi phân hàm số điểm x0  ứng với số gia x  0, 02 Hướng dẫn giải Ta có y '  f '( x)  3x2  4x Do vi phân hàm số điểm x0  1, ứng với số gia x  0, 02 df (1)  f '(1).x   3.12  4.1 0, 02  0, 02 Ví dụ Tìm vi phân hàn y  x x 1 Hướng dẫn giải  2  x2   x2   x  x 1 2x   dy  y ' dx  dx Ta có y '     2  x 1   x2  1  x2  1  x2  1 Bài toán Tính gần giá trị hàm số Phương pháp giải Để tính gần giá trị hàm số f  x  điểm x   x0  x  cho trước, ta áp dụng công thức f  x0  x   f  x0   f   x0  x Ví dụ Tính gần giá trị 49,25 (lấy chữ số thập phân kết quả) Hướng dẫn giải Ta có 49, 25  49  0, 25 Xét hàm số f ( x)  x  f  ( x)  x Chọn x0  49 x  0,25, ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  x  49  0, 25  49  0, 25   0, 01786 49  7, 01786 49  0, 25  7,01786 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính gần 0,9995 Hướng dẫn giải Vậy Trang 1  0,9995  0,0005 1 Xét hàm số f ( x)   f  ( x)   x x Chọn x0  x  0,0005, ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  x a) Ta có    1.(0,0005)  1,0005  0,0005 Ví dụ Tính gần sin 460 Hướng dẫn giải    Ta có sin 460  sin  450  10   sin     180  Xét hàm số f ( x)  sin x  f  ( x)  cos x Chọn x0   x   180 , ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  x    2     sin       sin  cos  4 180 360  180  Bài tập tự luyện dạng Câu Vi phân hàm số f ( x)  3x2  x điểm x  , ứng với x  0,1 A 0, 07 B 10 C 1,1 D 0, Câu Vi phân hàm số y  x  x biểu thức sau đây? A dy  dx B dy  2x  dx x  5x x  5x Câu Vi phân hàm số y  x sin x  cos x A dy  (2sin x  x cos x)dx 2 C dy  x cos x C dy   2x  x  5x dx D dy  2x  x2  5x dx B dy  x cos xdx D dy  (sin x  cos x)dx   3  Câu Dùng cơng thức vi phân làm trịn đến số thập phân thứ tư tan    kết  80  A 1, 2608 B 1, 2611 C 1,3391 D 1,3392 Câu Khẳng định sau đúng? d (sin x) A   cot x d (cos x) C d (sin x)  cot x d (cos x) d (sin x)   tan x d (cos x) d (sin x) D  tan x d (cos x) B Câu Cho hàm số y  f ( x)  ( x 1)2 Biểu thức sau vi phân hàm số f  x  ? A dy  2( x  1)dx B dy  ( x 1)2 dx C dy   x  1 D dy   x 1 dx Câu Vi phân hàm số y  x3  9x2 12x  A dy   3x2  18x  12  dx B dy   3x  18x  12  dx C dy    3x  18x  12  dx D dy   3x  18x  12  dx Câu Vi phân hàm số y   x2 Trang A dy   x2 B dy  dx x  x2 dx C dy  2x  x2 dx D dy  dx 3x  D dy   x2  x2 dx Câu Vi phân hàm số y  3x  dx 3x  2x  Câu 10 Vi phân hàm số y  2x 1 A dy   dx (2 x  1)2 C dy   dx (2 x  1)2 Câu 11 Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân A dy  ( x cos x  sin x)dx C dy  (cos x  sin x)dx dx 3x  A dy  B dy  C dy  dx 3x  dx (2 x  1)2 D dy   dx (2 x  1)2 B dy  B dy  ( x cos x)dx D dy  ( x sin x)dx Câu 12 Xét hàm số y  f ( x)   cos2 x Khẳng định sau đúng? A df ( x)   sin x B df ( x)  dx  cos x cos x C df ( x)  dx  cos2 x Câu 13 Vi phân hàm số y  A dy  D f ( x)   sin x  cos2 x  sin x  cos2 x dx dx tan x x x dx x x cos x B dy  sin(2 x ) dx x x cos x x  sin(2 x ) x  sin(2 x ) dx dy   dx D x x cos x x x cos x Câu 14 Cho hàm số y  Vi phân hàm số 3x 1 A dy  dx B dy  dx C dy   dx D dy  x4dx x x Dạng Đạo hàm cấp cao Bài tốn Tính đạo hàm đến cấp n hàm số x0 C dy  Phương pháp giải + Áp dụng trực tiếp cơng thức để tính đạo hàm cấp hai y "   y  ' Tính y " x0  Cấp 3, 4, ta tính tương tự Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  cos2 x Hướng dẫn giải Ta có y  cos x  (1  cos x)  y '   sin x  y "  2cos x  y "'  4sin x Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  3x  x2 Hướng dẫn giải 7 ( x  2)  ' 14  y"   Ta có y '  ( x  2) ( x  2) ( x  2)3  y "'  14 ( x  2)3  ( x  2)6   42 ( x  2)4  42 168 (4)  y   ( x  2) ( x  2) ( x  2)5 Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  sin 2x Hướng dẫn giải Ta có y  sin 2 x  (1  cos x)  y '  2sin x  y "  8cos x  y "'  32sin x  y (4)  128cos x  y (5)  512sin x Bài tốn Tính đạo hàm cấp cao hàm số Phương pháp giải Bước 1: Tinh y ', y ", y "' Dựa vào đạo hàm vừa tính, dự đốn Cơng thức tính y ( n ) Bước 2: Chứng minh cơng thức vừa dự đốn Chứng minh (1) quy nạp: phương pháp quy nạp Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số y  sin x  n  *  Hướng dẫn giải Ta có:   y '  cos x  sin  x   ; 2    y "   sin x  sin  x   2    Dự đoán: y ( n)  sin  x  n  , n  *.(1) 2  Chứng minh(1)bằng quy nạp : *n  1: 1 hiển nhiên   * Giả sử (1) với n  k  nghĩa y k  sin  x  k  2  Ta phải chứng minh (1) với n  k  nghĩa ta phải chứng minh   y ( k 1)  sin  x  (k  1)    2  Thật vậy, xét (2) ta có VT  y k 1          y   sin  x  k    cos  x  k   2    k     sin  x  (k  1)   VP 2  Suy (2) đúng, nghĩa (1) với n  k  Theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức   y n  sin  x  n  , n  2  * Trang Chú ý: Cần phân tính kĩ kết đạo hàm y ', y ", y "', tìm quy luật để dự đốn cơng thức yo) xác Ví dụ mẫu 3x  Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số y  x2 Hướng dẫn giải 7 7.2 7.2.3 Ta có y '  , y"  , y "'  ( x  2) ( x  2) ( x  2)4 Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )  (1)n 7n !  2 ( x  2)n1 • Với n  ta thấy (2) • Giả sử (2) với n  k , tức y ( k )  (1)k 7.k ! ( x  2)k 1   (1)k 7.k !  (1)k 7.k !.(k  1) (1)k 1.7.(k  1)! Ta có: y     k 1  ( x  2)k 2 ( x  2)k 2  ( x  2)  Do (2) với số tự nhiên n Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức đạo hàm cấp cao hàm số ( k 1) 3x  (1)n 7.n! y ( n )  x2 ( x  2)n1 Bài toán Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình Phương pháp giải Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình Ví dụ Cho hàm số y  x sin x y Chứng minh x y "  y ' sin x   xy  Hướng dẫn giải Ta có y '  ( x sin x) '  y '  x '.sin x  x.(sin x) '  y '  sin x  x cos x y "  (sin x  x cos x) '  (sin x) ' ( x cos x) '  cos x  x ' cos x  x.(cos x) '  2cos x  x sin x Ta có x y "  y ' sin x   xy   x(2cos x  x sin x)  2(sin x  x cos x  sin x)  x sin x   x cos x  x sin x  x cos x  x sin x    (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  sin3 x  cos3 x Chứng minh y " y   sin x  cos x Hướng dẫn giải Ta có: y '  ( x  x )  y '  2x  x  x  x2  '  1 x 2x  x2 Trang y"    (1  x) x  x  ( x  x ) (1  x) ( x  x )2 1 x  x  x2  x  x (1  x) ( x  x )2   x  x   (1  x) 2 x  x ( x  x ) 2  1 ( x  x )3 Ta có y y "   ( x  x )3 Ví dụ Cho hàm số y  1 ( x  x )3    1   (điều phải chứng minh) sin3 x  cos3 x Chứng minh y " y   sin x.cos x Hướng dẫn giải Ta có: y  (sin x  cos x)  sin x  cos x  sin x cos x   sin x cos x (sin x  cos x)(1  sin x cos x)   sin x  cos x  sin x cos x Ta có y " y    sin x  cos x  sin x  cos x    (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho hàm số y  2x  Giải phương trình y "  x  4x  Hướng dẫn giải 2x  2( x  2) Ta có y   x  x  ( x  2)2  '  2( x  2)  2( x  2)   2( x  2)  2( x  2) 2( x  2)   y'      2 ( x  2)  1 ( x  2)  1  ( x  2)      2( x  2)2     y"   ( x  2)2  1     4( x  2) ( x  2)  1   2( x  2)   ( x  2)  1 2( x  2)  ( x  2)  1   4( x  2) ( x  2)  1  ( x  2)   2( x  2)   ( x  2)  1 4( x  2) ( x  2)  1 ( x  2)  3 Ta có y "   ( x  2)  1 4( x  2) ( x  2)  1 ( x  2)  3 ( x  2)  1  Điều kiện: ( x  2)2 1  Khi y "   x    x  2 Bài tập tự luyện dạng Trang Câu Đạo hàm cấp hai hàm số f ( x)  x3  x2  điểm x  A B 10 C 3x  Câu Đạo hàm cấp hai hàm y  x2 10 5 A y "  B y "   C y "   ( x  2) ( x  2) ( x  2)3 D.16 D y     Câu Cho f ( x)  sin 3x Giá trị f     băng  2 A 9 B C 10 ( x  2)3 D.16 Câu Đạo hàm cấp hai hàm số y  cos x 3  C y "'  sin  x   Câu Đạo hàm cấp hai hàm số y  f ( x)  x sin x  A y "  2 cos x B y "  2sin x    D y "  2sin x B f  ( x)  2cos x  x sin x A f  ( x)  x sin x C f  ( x)  sin x  x cos x D f  ( x)   cos x Câu Cho hàm số y  f ( x)  sin x Khẳng định sau sai?  3   A y '  sin  x   B y "  sin( x   ) C y "'  sin  x  2   Câu Đạo hàm cấp hai hàm số y  sin x cos x A y '  49sin x  9sin 3x    D y(4)  sin(2  x) B y '  49sin x  9sin 3x 49 49 sin x  sin x D y '   sin x  sin x 2 2 Câu Cho hàm số y  sin2 x Khẳng định sau đúng? C y '  A y  y "  B y  y "  C y  y ' tan2 x 2 x  3x Đạo hàm cấp hai 1 x 2 A y "   B y "  C y "  (1  x) (1  x) (1  x)3 D y   y '  Câu Cho hàm số y  (1  x)4 D y "  Câu 10 Cho hàm số y  x3  3x2  x 1 Phương trình y "  có nghiệm A x  B x  Câu 11 Cho f ( x)  x  cos 2x Tìm f A f (4) C x  (4) D x  ( x) ( x)  24x 16cos2x B f (4) ( x)  16cos2x C f (4) ( x)  24x  8sin 2x D f (4) ( x)  24 16cos2x Câu 12 Cho hàm số y  x2  khẳng định đúng?  I  y y '  2x; A Chi (I)  II  y y "  y ' B Chi (II) C Cả hai D Cả hai sai Câu 13 Cho hàm số y   3x  x Khẳng định đúng? A  y '  y y "  B  y '  y y "  1 C y y "  y '  D  y '  y y "  Câu 14 Cho hàm số f ( x)  2x 1 Giá trị f "' 1 Trang B 3 A C D.0 Câu 15 Cho hàm số f ( x)  cos x Tính P  f ''   B P  A P  C P  4 D P  1     Câu 16 Xét hàm số y  cos  x   Nghiệm x  0;  phương trình f (4) ( x)  8 3   2 A x   B x  0, x   C x  0, x   D x  0, x   Câu 17 Cho hàm số y  Khẳng định đúng? x A y " y3   C y " y   y '  B y " y3  2 D y " y   y ' Câu 18 Cho hàm số y  sin2 2x Giá trị biểu thức y(3)  y "16 y '16 y  A  B.0 Câu 19 Đạo hàm cấp n hàm số y  cos x D 16 sin4 x C   A y ( n )  (1)n cos  x  n  2    B y ( n )  2n cos  x   2    C y ( n )  2n1 cos  x  n  2    D y ( n )  2n cos  x  n  2  Câu 20 Đạo hàm cấp n hàm số y  x  A y ( n )  C y ( n )  (1) n 1.3.5(3n  1) (2 x  1) n 1 (1) n 1.3.5(2n  1) (2 x  1) n 1 (1) n 1.3.5(2n  1) B y ( n )  D y ( n )  Câu 21 Đạo hàm cấp n hàm số y  (2 x  1) n 1 (1) n 1.3.5(2n  3) (2 x  1) n 1 2x 1 x  3x  2 A y ( n )  5.(1)n n ! 3.(1)n n!  ( x  2)n1 ( x  1)n1 B y ( n )  5.(1)n n ! 3.(1)n n!  ( x  2)n1 ( x  1)n1 C y ( n )  5.(1)n n! 3.(1) n n! : ( x  2)n1 ( x  1)n1 D y ( n )  5.(1)n n ! 3.(1)n n!  ( x  2)n1 ( x  1)n1 Câu 22 Đạo hàm cấp n hàm số y  x x  5x  A y ( n )  (1)n 3.n ! (1) n 2.n!  ( x  3)n1 ( x  2)n1 B y ( n )  (1)n 3.n ! (1) n 2.n!  ( x  3)n ( x  2)n C y ( n )  (1)n 3.n ! (1) n 2.n!  ( x  3)n1 ( x  2)n1 D y ( n )  (1)n 3.n ! (1) n 2.n!  ( x  3)n1 ( x  2)n1 Câu 23 Đạo hàm cấp 2021 hàm số f  x   cos  x  a    A f (2021) ( x)   cos  x  a   2    B f (2021) ( x)   sin  x  a   2    B f (2021) ( x)  cos  x  a   2    D f (2021) ( x)  sin  x  a   2  Trang Câu 24 Đạo hàm cấp n hàm số y  sin x   A y ( n )  2n1 sin  x  n  2    B y ( n )  2n1 sin  x  n  2    C y ( n )  2n sin  x   2    D y ( n )  2n sin  x  n  2    Câu 25 Cho hàm số y  sin3x.cosx  sin2 x Giá trị y (10)   gần với số đây? 3 A 454492 B 2454493 C 454491 D 454490 x Câu 26 Cho hàm số y  sin Đạo hàm y ( n )    x x x x  A n sin   n  B sin   n  C 2n sin   n  D n sin   n  2 2 2 2 2 2 2  Câu 27 Cho hàm số f ( x)   3x  x  1 Tính đạo hàm cấp hàm số điểm x  A f (6) (0)  60480 B f (6) (0)  34560 C f (6) (0)  34560 D f (6) (0)  34560 BÀI ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN Dạng Tính vi phân 1- C - D 11 - B 3-B 4-A 5-A 6-A 7-A 8-B 9-D 10 - A 12 - B 13 - C 14 - C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có: f  ( x)  6x 1  f  (2)  11  df (2)  f  (2)x  11.0,1  1,1 Câu 2x  Ta có dy  y dx  dx x2  5x Câu dy  ( x sin x  cos x) dx  (1 sin x  x  cos x  sin x)dx  x cos xdx Câu Xét hàm số f ( x)  tan x  f  ( x)   tan x 3 ta có f  x0  x   f  x0   f   x0   x 80      3    3   tan     tan  1  tan       1, 2608    80   80  Câu Chọn x0   x   d (sin x) (sin x) dx cos x     cot x  d (cos x) (cos x) dx sin x Câu Ta có  Ta có dy  ( x  1)  dx  2( x  1)dx Câu Trang 10 Ta có dy   x3  x  12 x   dx   3x  18 x  12  dx  Câu 1  x  ) dx   Ta có dy  (  x  1 x  x  x2 dx Câu Ta có dy  ( 3x  2) dx  dx 3x  Câu 10  8  2x   Ta có dy   dx  dx  (2 x  1)  2x 1  Câu 11 Ta có dy  ( x sin x  cos x) dx  (sin x  x cos x  sin x)dx  ( x cos x)dx Câu 12 Ta có y 1  cos  2x    cos2 x  2.2  cos x  sin x  cos 2 x   sin x  cos 2 x  df ( x)   sin x  cos 2 x dx Câu 13   tan x  Ta có dy    x   1  x  tan x  2 x dx dx  x cos x x  1 sin x        dx  cos x cos x x  x x  sin x cos x  dx x x  cos x   x  sin(2 x ) dx x  cos x Câu 14  3x     dx Ta có dy    dx    x3  x  3x  Dạng Đạo hàm cấp cao 1-C 2-D 3-A 4-A 5-B 6-D 7-D 8-B 9-B 10-C 11-D 12-D 13-A 14-A 15-C 16-A 17-A 18-B 19-D 20-D 21-D 22-D 23-C 24-D 25-D 26-A 27-A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có f  ( x)  3x2  2x Suy ra: f  ( x)  6x  Suy f  (1)  Câu Trang 11 Ta có y   5 10  y   y   x2 ( x  2) ( x  2)3 Câu Ta có f  ( x)  3sin3x , suy f  ( x)  9sin3x    3 Do f      9sin    2  Câu    9  y  2cos x  ( sin x)   sin 2x  y  2cos2x Câu Ta có y  f  ( x)  ( x sin x  3)  sin x  x cos x Vậy y  f  ( x)  (sin x  x cos x)  2cos x  x sin x Câu     3      Ta có y  cos x  sin  x    y  sin  x     sin( x   )  y  sin  x      sin  x   2 2 2      3    Ta có  y (4)  sin  x     sin( x  2 )  sin x 2  Ta có sin(2  x)   sin x  y(4) Câu Ta có: y  sin x cos x  (sin x  sin 3x) 1 Do y   (7 cos x  3cos 3x)  y   (49sin x  9sin x) 2 Câu Ta có: y  2cos2x  y  4sin 2x Xét đáp án A, y  y  4sin 2x  4sin 2x Xét đáp án B, y  y  4sin 2x  4sin 2x  Xét đáp án C, y  tan x  cos x  sin x  2sin x  y cos x Xét đáp án D, y   y    sin 2 x  cos 2 x  Câu Câu y  f ( x)  2 x  3x 1  2x 1   y   f  ( x)    y  f   1 x 1 x (1  x) (1  x)3 Câu 10 Tập xác định: D  Ta có y  3x2  6x 1  y  6x   y   x  Câu 11 Ta có: f  ( x)  4x3  2sin 2x suy f  ( x)  12x2  4cos2x  f  ( x)  24x  8sin 2x Do đó: f (4) ( x)   f  ( x)   24  16 cos x  Câu 12 Trang 12 Ta có: y   x x2   y   Xét y  y  x   Xét y  y    x  1  x x x 1 x  1 x   x khẳng định (I) sai  1 x   x 1  y  khẳng định (II) sai Câu 13 Ta có y   3x  x  y   3x  x  y  y    x    y    y  y   2   y    y  y   1 2 Câu 14 Ta có: f ( x)  x   f  ( x )   f  ( x)  (2 x  1) ( x  1) 1 1   f  ( x)    2x 1 2x 1 2x 1 (2 x  1) x  (2 x  1)3 ( (2 x  1)3 ) 3(2 x  1)2   (2 x  1) (2 x  1)3 (2 x  1)3 (2 x  1)5 Vậy f  (1)  Câu 15 Ta có: f  ( x)  2sin 2x  f  ( x)  4cos2x Do đó: f  ( )  4 Câu 16 Ta có:         f  ( x)  2sin  x    f  ( x)  4cos  x    f  ( x)  8sin  x    f (4) ( x)  16cos  x   3 3 3 3      2    2x    k 2 x   k     3 Xét phương trình f (4) ( x)  8  cos  x          3  2 x     x     k  k 2   3    Mà x  0;  nên có giá trị x  thỏa mãn  2 Câu 17 Ta có y     y   x x Xét đáp án A, y y    Xét đáp án B, y y   y    2 1        (vơ lí)  x x x 2             (vơ lí ) x x x  x  1 Xét đáp án C, y y         (vơ lí ) x  x x  Xét đáp án D, y y   y   2 2          (đúng) x x x x  x  Câu 18 Trang 13 Ta có y  sin 2 x  y   cos x  y   2sin x  y   8cos x  y (3)  32sin x Khi y(3)  y 16 y 16 y   32sin 4x  8cos4x  32sin 4x  8(1  cos4x)   Câu 19       Ta có: y  2cos  x   ; y  22 cos  x   ; y  23 cos  x   2 2 2      Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )  2n cos  x  n  2  Câu 20 1 Ta có y   , y    , y  2x 1 (2 x  1)3 (2 x  1)5 Bằng quy nạp ta chứng minh y (n)  (1) n 1  3.5 (2n  3) (2 x  1) n 1 Câu 21 Ta có y   x  x 1 Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )   (1)n  n!  (1)n  n!  ( x  2)n1 ( x  1)n1 Câu 22 Ta có: x  3( x  2)  2( x  3); x2  5x   ( x  2)( x  3) Suy y   x3 x2   Mà    x2 Câu 23 (n) (1)n 1n.n ! (1) n n !     ,  ( x  2) n1 ( x  2) n1  x   (n)  (1)n   n! (1) n   n! (1) n  n! (n) y   nên ta có y ( x  3) n1 ( x  3)n1 ( x  2)n1   Ta có f  ( x)   sin( x  a)  cos  x  a   2   2    f  ( x)   sin  x  a    cos  x  a   2    2021     f (2021) ( x)  cos  x  a    cos  x  a    2   Câu 24       Ta có: y  2sin  x   , y  22 sin  x   , y  23 sin  x   ; 2 2 2      Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh y ( n )  2n sin  x  n  2  Câu 25 1 Ta có y  sin 3x  cos x  sin x  (sin x  sin x)  sin x  (sin x  sin x) 2  n  Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh (sin ax)( n )  (1)n1 a n sin   ax    Trang 14 Do y (10) ( x)  1 (1)9 410  sin(5  x)  (1)9  210  sin(5  x)    410  sin x  210 sin x   2    y (10)    454490,13 3 Câu 26  x n  sin    (1) n 2  x x  Với n  ta có y  cos  sin    2 2 2 Chứng minh quy nạp y ( n )   x k  sin    k 2   x (k  1)  Chứng minh (1) với n  k  tức cần chứng minh y ( k 1)  k 1 sin    2  2 Thật vậy, ta có Giả sử (1) với n  k, k  * tức ta có y ( k )   1  x k    x k  y    k sin      k 1 cos    2  2 2 Câu 27 Giả sử f ( x)  a0  a1x  a2 x2  a18 x18 (k )    x (k  1)    k 1 sin      2 Khi f (6) ( x)  6! a6  b7 x  b8 x2  b18 x12  f (6) (0)  720a6 Ta có  3x  x  1   1  x  3x    C9k  x  3x  9 k k 0   C9k  Cki (2 x)k i  3x    C9k Cki 2k 1 (3)i x k 1 k k 0 i 0 i k k 0 i 0 0  i  k   (k ; i) {(6;0), (5;1), (4; 2), (3;3)} Số hạng chứa x ứng với k , i thỏa mãn  k  i   a6   C96C60 26 (3)0  C95C51 24 (3)  C94C42 22 (3)  C93C33 20 (3)3   84  f (6) (0)  720.(64)  60480 Trang 15 Trang 16 ... hàm số f ( x)   3x  x  1 Tính đạo hàm cấp hàm số điểm x  A f (6) (0)  60480 B f (6) (0)  ? ?34 560 C f (6) (0)  ? ?34 560 D f (6) (0)  34 560 BÀI ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN Dạng Tính vi phân. .. x x cos x x x cos x Câu 14 Cho hàm số y  Vi phân hàm số 3x 1 A dy  dx B dy  dx C dy   dx D dy  x4dx x x Dạng Đạo hàm cấp cao Bài tốn Tính đạo hàm đến cấp n hàm số x0 C dy  Phương pháp giải...- Vi phân hàm số dy  df ( x)  f  ( x).x Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2  2x  a) Tính vi phân hàm số điểm x0  , ứng với số gia x  0, 02 b) Tìm vi phân hàm số Hướng dẫn giải