BÀI 3 GTLN, GTNN của hàm số

BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MỤC TIÊU Kiến thức Biết hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Biết phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng, đoạn Nhận biết mối liên hệ hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f '  x  Kĩ Biết lập, đọc bảng biến thiên hàm số để từ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.Tính đạo hàm hàm số hợp, nhận biết mối liên hệ hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f '  x  3.Biết chuyển tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến khảo sát hàm biến số 4.Tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x    h  x  biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x   y  f '  x   I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số y  f  x  xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x   M với x  D tồn x0  D cho f  x0   M Kí hiệu: M  max f  x  D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f ( x)  m với x  D tồn x0  D cho f  x0   m Kí hiệu: m  f  x  D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm GTLL - GTNN hàm số y  f  x  khoảng Trang  Phương pháp giải Ta thực bước sau Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) Bước Tính y '  f '  x  ; tìm điểm mà đạo hàm khơng khơng xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Ví dụ: Giá trị nhỏ hàm số y  x3  3x  khoảng  0;  A Hướng dẫn giải B C D 1 Hàm số liên tục khoảng  0;  Ta có y '  3x2   x  1 y '   3x    x  Vì ta xét hàm số khoảng  0;  nên ta loại giá trị x  1 Xét bảng biến thiên hàm số khoảng  0;  Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ hàm số y  1 đạt x  (0,2) Chọn D Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x  miền  a; b  ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất ba - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step (có thể làm trịn để Step đẹp) 19 Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tan x ta chuyển máy tính chế độ Radian Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm f  x    x  x5  x  x  Khẳng định sau đúng? 17 47 A max f ( x)  B max f ( x)  30 30 67 C max f ( x)  D Hàm số không tồn giá trị lớn 30 Hướng dẫn giải Tập xác định D  Trang Ta có f '  x   2 x5  x  x     x  1  x  1 Khi f '  x      x  1  x  1   x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x)  47 x  30 Chọn B Ví dụ Gọi a giá trị lớn hàm số f  x    8x khoảng  ;1 x2   8a a2  B 13 Khi giá trị biểu thức P  22 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng  ;1 A Ta có f '  x   x  12 x  x  1 C  58 65 D  74 101  x    ,1 Khi f '( x)   x  12 x      x     ,1  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x    P    ,1  8a 58  a 1 65 Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  f  x   A f  x   C f  x   x2  x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x2  x  1 B f  x   D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Trang Hướng dẫn giải Tập xác định D  Ta có y  f  x    2x 2( x  x  1)  x(2 x  1) 2x2   y '    2 x2  x   x2  x  1  x2  x  1 Do y '   x2    x  1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f  x   x  Chọn B - Bài tập tự luyện dạng x2  2;6  x2 B y  C y  D y  x  x 1 khoảng 1;   x 1 B y  C y  D y  Câu 1: Giá trị nhỏ hàm số y  A y   2,6   2,6  Câu 2: Giá trị nhỏ hàm y  A y  1,    2,6   2,6  1,   1,   Câu 3: Mệnh đề sau với hàm số y  1,   x 1 tập xác định nó? x2  A Hàm số khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ B Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ 2 Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số y  x    khoảng  0;   x  A không tồn  C 1  B 3 D.0 ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-D 4-B Trang Dạng Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn  Phương pháp giải Bước Tính f '  x  Bước Tìm điểm xi  (a; b) mà f  x   f '  x  không xác định Bước Tính f  a  , f  xi  , f  b  Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số Khi M  max f ( x) m  f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] Chú ý:  max f  x   f  b  +) Hàm số y  f  x  đồng biến đoạn  a; b   f x  f a        max f  x   f  a  +) Hàm số y  f  x  nghịch biến đoạn  a; b    min f  x   f  b  Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  →Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y   x3  3x2  Gọi M,m giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số  0;3 Giá trị A Hướng dẫn giải M  m B 10 C D Hàm số xác định liên tục  0;3  x   [0;3] Ta có y '   3x  x     x   [0;3] Khi y    2, y    6, y  3  Vậy M  6; m  28  M  m  Chọn A Ví dụ Giá trị lớn hàm số y   x4  3x2  đoạn  1;  Trang A 29 B C D 13 Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục  1;    x   [1; 2]  Ta có y '  4 x  x  2 x  x  3  y '    x   [1; 2]    x    [1; 2]    13 13 Vì y (0)  1; y  nên max y   ; y (2)   3; y (  1)     [ 1;2]   Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  A 16 x2 Giá trị x 1 45 B 2  y    max y       [ 2;3]   [ 2;3]  25 C D Hướng dẫn giải 3 Ta có y '   0, x  hàm số nghịch biến khoảng ( x  1)2 (;1);(1; )  Hàm số nghịch biến  23 Do y  y (3)  ; max y  y (2)  [ 2;3]  2;3 2 89 5 Vậy  y    max y      42   [ 2;3]   [ 2;3]    Chọn D Ví dụ Giá trị lớn hàm f ( x)  x2  8x đoạn 13 x 1 15 7 B Hướng dẫn giải x2  8x Hàm số f ( x)  liên tục 13 x 1 (2 x  8)( x  1)  x  x x  x  f  ( x)   ( x  1) ( x  1) A C 3 D 4  x   [1;3] f  ( x)   x  x      x  4  [1;3] 7 15 ; y (3)  ; y (2)  4 Ta thấy y (1)  7 Vậy max f ( x)  [1;3] Chọn B Trang Ví dụ Gọi M,m giá trị lớn nhỏ hàm số y  x   x Giá trị biểu thức P  M  m A 2(  1) C  B 2(  1) D  Hướng dẫn giải Tập xác định D   2; 2 x Ta có y '    x2  x , x  (2; 2)  x2  x  y '    x2  x    x    (2; 2)  x2  y ( 2)  2; y (  2)  0; y (2)  2; y( 2)  2 Vậy M  2, m  2  P  2     1 Chọn A Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y  2x3  3x2  m đoạn  0;5 m A B 10 Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục D   0;5 C.7 D x  0 D Ta có y '   x  x     x  1 D f    m; f 1  m  1;f    175  m Dễ thấy f (5)  f (0)  f (1), m  nên f ( x)  f (1)  m  [ 0;5] Theo đề f ( x)   m    m  [ 0;5] Chọn A Ví dụ Gọi A,B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  13 B m  2 x  m2  m đoạn  23 Tất giá trị x 1 thực tham số m để A  B  A m  1; m  2 C m  2 D m  1; m  Hướng dẫn giải Hàm số cho liên tục đoạn  2;3 Ta có y '    m2  m  1  A  y (3)  ( x  1)  0, m m2  m  ; B  y (2)  m2  m  2 Do A  B  13 m2  m  13   m2  m   2 m   3m  3m      m  2 Trang Chọn A Ví dụ Biết hàm số y  x3  3mx2  3(2m 1) x  (với m tham số) đoạn  2;0 đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m  B m  Hướng dẫn giải C m  D m  1 y '  3x  6mx  3(2m  1)   x  2mx  2m  1 Ta có  x  1 y'    x   2m Vì y  2   1; y    theo max y = nên giá trị lớn không đạt x  2; x  Do giá trị lớn đạt y  1 y 1  2m  Ta có y(1)  3m  3, y(1  2m)  (1  2m)2 (m  2) 1 - Trường hợp 1: Xét 3m    m  1  x  1 [2;0] Thử lại với m = -1, ta có y     nên m = - giá trị cần tìm  x   [2;0] (1  2m) (m  2)  5(1) (1  2m) (m  2)    - Trường hợp 2: Xét   1 2   2m   m 2  m   m    (1  2m) (m  2)  nên (1) vô nghiệm 2 Chọn D Bài tốn Tìm GTLN – GTNN hàm số y = |f (x)| đoạn [a; b] ► Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) đoạn [a;b], giả sử thứ tự M, m Bước +) Tìm max y  max{| M |;| m |}  a ,b  +) Tìm y  a ,b  - Trường hợp 1: M m  y   a ,b  - Trường hợp 2: m   y  m  a ,b  - Trường hợp 3: M   y M   M  a ,b  Bước Kết luận Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x  x  đoạn [-1;1] a, b giá trị a + b A B C.0 Hướng dẫn giải Xét hàm f ( x)  x2  x   f ’  x   x  D f ’  2x    x  Suy max y  f ( - 1) ; y = f( 1) = -3  1,1  1;1 Trang Do giá trị lớn y | 3|  a  x = giá trị nhỏ y =  b = x =1Vậy giá trị a + b = + = Chọn B ► Ví dụ mẫu Giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  24 x  68 đoạn [-1;4] A 48 B 52 C –102 Hướng dẫn giải Bảng biến thiên hàm số y  x3 – 9x2  24x – 68 [-1;4] D.0 Suy bảng biến thiên hàm số y  x3  x  24 x  68 đoạn [-14] Vậy giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  24 x  68 đoạn [-1;4] 48 Chọn A Cách khác: Theo trường hop thi M = - 48 0; F(x; m)  0; F(x; m) < 0; F(x; m)  có nghiệm tập D ►Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Cô lập tham số m đưa dạng g(m)>f(x) g(m)  f(x) g (m)  f ( x) g(m)