Vi phân, đạo hàm cấp cao ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề: Vi phân, đạo hàm cấp cao & ý nghĩa đạo hàm (đại số 11) Dạng 1: Tìm vi phân hàm số Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao hàm số Dạng 3: Ý nghĩa đạo hàm 40 tập trắc nghiệm Vi phân, đạo hàm cấp cao ý nghĩa đạo hàm có đáp án chi tiết Cách tìm vi phân hàm số Đạo hàm cấp cao hàm số Ý nghĩa vật lí đạo hàm Vi phân, đạo hàm cấp cao & ý nghĩa đạo hàm Dạng 1: Tìm vi phân hàm số A Phương pháp giải & Ví dụ Cho hàm có y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm x ∈ (a; b) Giả sử Δx số gia x cho x + Δx ∈ (a; b) Tích f '(x)Δx(hay y 'Δx) gọi vi phân hàm số f(x) x, ứng với số gia Δx, kí hiệu df(x) hay dy Chú ý Vì dx = Δx nên: dy = df(x) = f '(x)dx Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Với |Δx| đủ nhỏ, ta có hay Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f '(x0)Δx Do f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f '(x0)Δx ≈ f(x0) + df(x0) Ví dụ minh họa Bài 1: Cho hàm số y = sinx – 3cosx Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có dy = (sinx – 3cosx)’dx = (cosx + 3sinx)dx Bài 2: Cho hàm số Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có Bài 3: Xét hàm số y = Hướng dẫn: Ta có : Tính vi phân hàm số Bài 4: Cho hàm số y = x3 - 5x + Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có dy =(x3-5x+6)'dx = (3x2-5)dx Bài 5: Cho hàm số y = 1/(3x3) Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có Bài 6: Cho hàm số Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có Bài 7: Cho hàm số Hướng dẫn: Ta có Tính vi phân hàm số B Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm vi phân hàm số y = xsinx + cosx A dy = xcosxdx B dy = xcosx C dy = (2sinx + xcosx)dx D dy = (sinx+cosx)dx Hiển thị đáp án Đáp án: A Đáp án A y’ = sinx + xcosx – sinx = xcosx dy = xcosxdx Bài 2: Tìm vi phân hàm số Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn đáp án C Bài 3: Cho hàm số f(x) = x2 - x + Tính Δf(1) df(1)nếu Δx = 0,1 A Δf(1) = 0,11; df(1) = 0,2 B Δf(1) = 0,11; df(1) = 0,1 C Δf(1) = 0,2; df(1) = 0,11 D Δf(1) = 0,2; df(1) = 0,1 Hiển thị đáp án Đáp án: B Ta có: Δf(1) = f(1+ 0.1) - f(1) = 0.11 df(1) = f '(1).Δx = 0.1 Đáp án B Bài 4: Tìm vi phân hàm số y = (2x+1)5 A dy = 10(2x+1)4 B dy = 5(2x+1)4 dx C dy = (2x+1)4 dx D dy = 10(2x+1)4 dx Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: dy = f '(x)dx = 5(2x+1)4.2dx = 10(2x+1)4dx Đáp án A Bài 5: Tìm vi phân hàm số y = cos3(1-x) A dy = -sin2(1-x)dx B dy = 3cos2(1-x).sin(1-x)dx C dy = -3cos2(1-x)sin(1-x)dx D dy = 3cos2(1-x)dx Hiển thị đáp án Đáp án: A Ta có: dy = f '(x)dx = 3cos2(1-x)(cos(1-x))' dx = -3cos2(1-x)sin(1-x) (1-x)' dx = 3cos2(1-x)sin(1-x)dx Đáp án A Bài 6: Tìm vi phân hàm số Hiển thị đáp án Đáp án: C Ta có: Bài 7: Tính vi phân hàm số y = sin3(2x+1) A dy = 3sin2(2x+1)cos(2x+1)dx B dy = -6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx C dy = 6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx D dy = 3sin2(2x+1)cos(2x+1)dx Hiển thị đáp án Đáp án: C Đáp án C Ta có: dy = f '(x)dx = 6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx Bài 8: Cho hàm số y = f(x) = (x-1) Biểu thức sau vi phân hàm số f(x)? A dy = 2(x – 1)dx B dy = (x-1)2 dx C dy = 2(x – 1) D dy = (2x – 1)dx Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có dy = f '(x)dx = 2(x-1)dx Bài 9: Tìm vi phân hàm số y = x3 + 2x2 A dy = (3x2-4x)dx B dy = (3x2+x)dx C dy = (3x2+2x)dx D dy = (3x2+4x)dx Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn D dy = (3x2 + 4x)dx Bài 10: Tìm vi phân hàm số Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn D Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 9x2 + 12x - Vi phân hàm số là: A dy = (3x2-18x+12)dx B dy = (-3x2-18x+12)dx C dy = -(3x2-18x+12)dx D dy = (-3x2+18x-12)dx Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có dy = (x3-9x2+12x-5)'dx = (3x2-18x+12)dx Bài 12: Tìm vi phân hàm số y = (3x+1)10 A dy = 10(3x+1)9 dx B dy = 30(3x+1)10 dx C dy = 9(3x+1)10 dx D dy = 30(3x+1)9 dx Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn D dy = 30(3x+1)9dx Bài 13: Tìm vi phân hàm số y = sin2x + sin3x A dy = (cos2x + sin2x cosx)dx B dy = (2cos2x + sin2x cosx)dx C dy = (2cos2x + sin2x cosx)dx D dy = (cos2x + sin2x cosx)dx Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B dy = (2cos2x+ 3sin2xcosx)dx Bài 14: Tìm vi phân hàm số y = tan2x A dy = (1 + tan22x)dx B dy = (1 - tan22x)dx Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba hàm số y=cot( 2- 2x) Hiển thị lời giải Đạo hàm cấp hàm số là: y'=-[1+cot2 ( 2- 2x)]( 2-2x)'= 2[1+ cot2 ( 2-2x)] ) Đạ hàm cấp hai hàm số là: y''=2 [1+cot2 (2- 2x)]’ = 2.2 cot (2- 2x) [cot( 2-2x)]' y''=4 cot( 2-2x).[-1( 1+ cot2 ( 2-2x)].( 2-2x)' ⇔ y''=8 cot( 2-2x) [1+ cot2 ( 2-2x)] = 8cot( 2- 2x)+ 8cot3( 2- 2x) Đạo hàm cấp ba hàm số là: y'''=(8 cot( 2- 2x)+8cot3 ( 2- 2x)) ' Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba hàm số y= 1/(2x-2) Hiển thị lời giải Hàm số có đạo hàm điểm x≠1 Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai hàm số y = cos( x2+x+ 1) A y''= -cos( x2+x+1).( 2x+1) – sin( x2 + x+ 1) B y''= cos( x2+x+1).( 2x+1) + sin( x2 + x+ 1) C y''= -cos( x2+x+1).( 2x+1) - sin( x2 + x+ 1) D Tất sai Hiển thị lời giải Đạo hàm cáp hàm số là: y'= -sin( x2+x+1).( x2+x+1)'= -sin(x2+x+1).( 2x+1) Đạo hàm cấp hai hàm số là; y''=[-sin( x2+x+1) ]'.(2x+1)+[-sin(x2+x+1) ].( 2x+1)' ⇔ y''= -cos( x2+x+1).( 2x+1) – sin( x2 + x+ 1) Chọn A Câu 14: Tính đạo hàm cấp hàm số; y=(x2+x+1)/(x+1) Hiển thị lời giải Hàm số có đạo hàm điểm x thỏa mãn: x≠-1 Câu 15: Cho hàm số: y=sin(3x- π/3) Tính đạo hàm cấp năm hàm số Hiển thị lời giải Đạo hàm cấp là; y'=3.cos( 3x- π/3) Đạo hàm cấp hai hàm số là: y''=-9.sin( 3x- π/3) Đạo hàm cấp ba hàm số là: y'''=-27.cos( 3x- π/3) Đạo hàm cấp bốn hàm số: y(( 4))=81 sin( 3x- π/3) Đạo hàm cấp năm hàm số: y((5))=243.cos( 3x- π/3) Chọn C Ý nghĩa vật lí đạo hàm Ý nghĩa vật lí đạo hàm A Phương pháp giải + Cho vật chuyển động có phương trình : s = s( t) Vận tốc tức thời thời điểm t0 xác đinh bởi: v( t0 )=s' ( t0 ) + Cho vật chuyển động có phương trình vận tốc: v= v(t) Gia tốc tức thời thời điểm t0 xác định bởi: a(t0 )=v' (t0 ) + Cường độ tức thời điện lượng Q= Q( t) thời điểm t0 là: I( t0 )=Q' ( t0 ) B Ví dụ minh họa Ví dụ Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t + 6t+ 10 t đơn vị giây; s quãng đường đơn vị m Tính vận tốc tức thời xe thời điểm t= A 12 m/ s B 36 km/h C.6 m/s D 24 m/s Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc xe v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s) ⇒ vận tốc tức thời xe thời điểm t= là: V( 3)= 3+ 6= 12( m/s) Chọn A Ví dụ 2.Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: v=4 t+ 10 (m/s) Tính gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t= 10s? A B C d.50 Hướng dẫn giải Phưởng trình gia tốc chuyển động : a( t)=v' ( t)=4 (m/s2) ⇒ Gia tốc vật trình chuyển động 4m/s2- khơng thay đổi Chọn B Ví dụ 3.Cho vật chuyển động theo phương trình s( t)= t - 40t +10 – s quãng đường vật ( m) t thời gian chuyển động ( s) Hỏi thời điểm vật dừng lại? A 40 s B 60 s C 80 s D 20 s Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc chuyển động : v( t)=s' ( t)= 2t- 40 ( m/s ) Khi vật dừng lại vận tốc chuyển động Khi đó; ta có phương trình: 2t – 40= ⇔t= 20 (s) Vậy sau 20s kể từ khởi hành vật dừng lại Chọn D Ví dụ Một vật chuyển động theo phương trình s(t)= - 2t + 20 t+ 100 Trong đó; s quãng đường vật ( m) t thời gian vật chuyển động ( s) Hỏi thời điểm vật có vận tốc tức thời 4m/s? A B C D.6 Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc chuyển động là: v( t)=s' ( t)= -4t+20 ( m/s) Để vận tốc tức thời vật 4m/s – 4t+ 20= ⇔ t= ( s) Như sau 4s kể từ lúc xuất phát vận tốc tức thời vật 4m/s Chọn C Ví dụ 5.Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)= t3- 2t2 – 1( m) quãng đường vật Hỏi sau kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời vật 56( m/s2)? A 10 s B 12 s C s D.6s Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc chuyển động là: v(t)=s' ( t)=3t2-4t ( m/s) Phương trình gia tốc chuyển động là: a(t)=v' (t)=6t-4( m/s2) Để gia tốc tức thời chuyển động 56m/s2 thì: 6t- 4=56 ⇔ t= 10 ( s) Vậy sau 10 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời vật 56m/ s2 họn A Ví dụ Cho vật chuyển động theo phương trình: s( t)= t 3- 3t2 + 6t ( m) Tính vận tốc vật thời điêm gia tốc bị triệt tiêu? A 1m/s B 2m/s C m/s D m/s Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc chuyển động: v(t)=s' (t)=3t2-6t+6 ( m/s) Phương trình gia tốc chuyển động là: a( t)=v' ( t)=6t-6 (m/s2) Gia tốc bị triệt tiêu khi: 6t- 6= ⇔ t= (s) Tại thời điểm t=1 (s) vận tốc chuyển động là: v(1)= 3( m/s) Chọn D Ví dụ Cho vật chuyển động theo phương trình s( t) = t 2+ mt+ 10 (m) Xác định m biết thời điểm t= vận tốc tức thời vật 8m/s A m= B m= C.m= -2 D m= Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc chuyển động : v(t)=s' ( t)=2t+m ( m/s) Tại thời điểm t= vận tốc tức thời vật 8m/s nên ta có: + m= ⇔ m= Vậy m= Chọn A Ví dụ Cho chất điểm chuyển động theo phương trình : s( t)= mt + 4t+10 ( s) Xác định m biết thời điểm t= gia tốc tức thời vật a= 4( m/s2) A m= B m = C.m=- D.m= Hướng dẫn giải Phương trình vận tốc tức thời chuyển động: v(t)=s' (t)=2mt+4( m/s) Phương trình gia tốc tức thời chuyển động là: a( t)=v' (t)=2m ( m/ s2) Tại thời điểm t= gia tốc tức thời vật a= 4( m/s2) nên ta có; 2m= ⇔ m= Chọn B Ví dụ Cho vật chuyển động theo phương trình : s( t)= t 3+ mt2 – t+ ( m) Biết rẳng thời điểm t= 1/3( s) vận tốc chuyển động bị triệt tiêu Tìm gia tốc chuyển động thời điểm t=1 s? A B C D Đáp án khác Hướng dẫn giải Phường trình vận tốc chuyển động : v( t)=s' (t)=3t2+2mt-1 ( m/s ) Vận tốc chuyển động bị triệt tiêu khi: 3t2 + 2mt – 1= Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu t= 1/3 s nên ta có: 3.( 1/3)2+2m 1/3-1=0 ⇔m= ⇒ phương trình vận tốc chuyển đơng là: v(t) = 3t2+2t-1 ( m/s) ⇒ Phương trình gia tốc chuyển động : a( t) = 6t + ( m/s2) Do đó;gia tốc chuyển động thời điểm t= a( 1)= (m/s2) Chọn C C Bài tập vận dụng Câu 1: Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= 2t - 2t - t đơn vị giây; s quãng đường đơn vị m Tính vận tốc tức thời xe thời điểm t= A 12 m/ s B m/h C.6 m/s D 24 m/s Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc xe v( t)=s' ( t)=4t-2 ( m/s) ⇒ vận tốc tức thời xe thời điểm t= là: V( 2)= 4.2- 2= ( m/s) Chọn C Câu 2: Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: v= -10x- (m/s) Tính gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t= 20s? A -6 B -10 C 10 d Hiển thị lời giải Phương trình gia tốc chuyển động : a( t)=v' ( t)= -10 (m/s2) ⇒ Gia tốc vật trình chuyển động -10m/s2- không thay đổi Chọn B Câu 3: Cho vật chuyển động theo phương trình s( t)= 2t - 100t +2– s quãng đường vật ( m) t thời gian chuyển động ( s) Hỏi thời điểm vật dừng lại? A 25 s B 36 s C s D 20 s Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc chuyển động : v( t)=s' ( t)= 4t-100 ( m/s ) Khi vật dừng lại vận tốc chuyển động Khi đó; ta có phương trình: 4t- 100= ⇔t= 25 (s) Vậy sau 25s kể từ khởi hành vật dừng lại Chọn A Câu 4: Một vật chuyển động theo phương trình s(t)= - t2 + 40 t+ 10 Trong đó; s quãng đường vật ( m) t thời gian vật chuyển động ( s) Hỏi thời điểm vật có vận tốc tức thời 16 m/s? A.10 B 15 C 12 D Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc chuyển động là: v( t)=s' ( t)= -2t+40 ( m/s) Để vận tốc tức thời vật 16 m/s – 2t+ 40= 16 ⇔ t= 12 ( s) Như sau 4s kể từ lúc xuất phát vận tốc tức thời vật 12 m/s Chọn C Câu 5: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=2t + t2 + 2t ( m) quãng đường vật Hỏi sau kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời vật 38( m/s2)? A 5s B 4s C s D.6s Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc chuyển động là: v(t)=s' ( t)=6t2+2t+2 ( m/s) Phương trình gia tốc chuyển động là: a(t)=v' (t)=12t+2 ( m/s2) Để gia tốc tức thời chuyển động 38m/s2 thì: 12t + =38 ⇔ t= ( s) Vậy sau s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời vật 38m/ s2 Chọn C Câu 6: Cho vật chuyển động theo phương trình: s( t)= - t3 + 30t2 + t- 10 ( m) Tính vận tốc vật thời điểm gia tốc bị triệt tiêu? A 101m/s B 200m/s C 400 m/s Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc chuyển động: v(t)=s' (t)=-3t2+60t+1 ( m/s) Phương trình gia tốc chuyển động là: D 301 m/s a( t)=v' ( t)=-6t+60 (m/s2) Gia tốc bị triệt tiêu khi: - 6t+ 60 = ⇔ t= 10 (s) Tại thời điểm t=10 (s) vận tốc chuyển động là: v(10)= 301( m/s) Chọn D Câu 7: Cho vật chuyển động theo phương trình s( t) = - 2t 2+ mt+ (m) Xác định m biết thời điểm t= vận tốc tức thời vật 12 m/s A m= 16 B m= 24 C.m= 20 D m= 10 Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc chuyển động : v(t)=s' ( t)=-4t+m ( m/s) Tại thời điểm t= vận tốc tức thời vật 12m/s nên ta có: - 4.2 + m= 12 ⇔ m= 20 Vậy m= 20 Chọn C Câu 8: Cho chất điểm chuyển động theo phương trình : s( t)= mt2 - 8t + ( s) Xác định m biết thời điểm t= 10 gia tốc tức thời vật a= - 6( m/s2) A m= B m = C.m = - D.m= Hiển thị lời giải Phương trình vận tốc tức thời chuyển động: v(t)=s' (t)=2mt-8 ( m/s) Phương trình gia tốc tức thời chuyển động là: a( t)=v' (t)=2m ( m/ s2) Tại thời điểm t= 10 gia tốc tức thời vật a= - 6( m/s2) nên ta có; 2m= -6 ⇔ m= -3 Chọn C Câu 9: Cho vật chuyển động theo phương trình : s( t)= t 3+ mt2 + ( m) Biết rẳng thời điểm t= 10 ( s) vận tốc chuyển động bị triệt tiêu Tìm gia tốc chuyển động thời điểm t=1 s? A - 24 B 12 C D Đáp án khác Hiển thị lời giải Phường trình vận tốc chuyển động : v( t)=s' (t)=3t2+2mt ( m/s ) Vận tốc chuyển động bị triệt tiêu khi: 3t2 + 2mt = Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu t= 10 s nên ta có: 3.102+2m.10=0 ⇔m= - 15 ⇒ phương trình vận tốc chuyển đơng là: v(t) = 3t2-30t ( m/s) ⇒ Phương trình gia tốc chuyển động : a( t) = 6t - 30 ( m/s2) Do đó;gia tốc chuyển động thời điểm t= a( 1)= - 24 (m/s2) Chọn A ... án: D Chọn D Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao hàm số A Phương pháp giải & Ví dụ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x) Nếu f ’(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f(x) kí hiệu là:... ''(x), tức là: f ’’(x) = (f’(x))’ Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – (với n ∈ N, n ≥ 2)) f(n-1) (x) Nếu f(n-1)(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x) kí hiệu f(n)(x), tức là:... tính đạo hàm cấp n: + Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn công thức đạo hàm cấp n + Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức Ví dụ minh họa Bài 1: Hàm số Tính đạo hàm cấp hàm