ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM PHẦN 2

CHƯƠNG 1: (TIẾP THEO) BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Chủ đề 1: (tiếp theo) Dạng 2: Một số toán ứng dụng chuyển động Bài 54: � � S  t   40sin � t  � , t  s  , � � Một vật chuyển động có phương trình qng đường tính theo đơn vị mét a Tính vận tốc vặt chuyển động thời điểm t=4(s) b Tính gia tốc vật chuyển động thời điểm t=6(s) Giải � � � � � � � v  t   S '  t   40 �  t  �.cos �  t  � 40 cos � t  � 3 3� � � � � � a) Ta có: � � v    S '    40 cos � 4  � 40  20  m / s  3� � vậy: b) Ta có: � � � � � � � a  t   v '  t   40 �  t  �sin �  t  � 40 sin � t  � � 3� � 3� � 3� � � a    v '    40 sin � 6  � 40  20 3  m / s  3� � Vậy: Bài 55: S  t   50t ,  t  s   , Một vật rơi tự có phương trình chuyển động độ cao tính theo đơn vị mét a Tính vận tốc vật rơi tự thời điểm t=6(s) 50 m / s  b Sau thời gian vật rơi tự đạt vận tốc  Giải v t  S '  t   10t a Ta có   t  6 s v  S '    10.6  60  m / s  Vậy vận tốc thời điểm là:   50 m / s  50  10t � t   s  b Vậy để vận tốc vật rơi đạt  thì: Bài 56: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang v t  5t  7t ,  t (s)  , Một vật chuyển động có vận tốc biểu thị công thức   v(t ) tính theo đơn vị (m/s) a Tính gia tốc vật thời điểm t=2(s) b Tính gia tốc vật thời điểm vận tốc chuyển động vật 12 m/s giải: a t  v '  t   10t  t  2 s a) Ta có:   Vậy gia tốc vật thời điểm a    v '    10.2   27  m / s  b) Vật thời điểm vận tốc chuyển động vật 12 m/s: t  (t/ m) � v  t   12 � 5t  7t  12 � � t  2, 4(loai) � t  1 s  : a  1  v '  1  10   17  m / s  Với Bìa 57: (Đề KSCL THPT Việt Trì) S t   3t  t , t ( s ) v m / s Một chất điểm chuyển động theo quy luật   Vận tốc  chuyển động đạt giá trị lớn t A t  B t  C t  D t  Giải: v  t   S '  t   6t  3t Ta có: v '  t    6t v '  t   �  6t  � t  BBT t V ' t  V(t) + � − Vmax Vậy vận tốc chuyển động đạt GTLN t=1 Chọn D Bài 58: Hằng ngày mực nước hồ thủy điện miền Trung lên xuống theo lượng nước mưa, suối nước đổ hồ Từ lúc 8h sáng, độ sâu mực nước hồ tính theo mét lên xuống theo thời t3 h  t   24t  5t  Biết phải thông báo cho hộ gian t (giờ) ngày cho công thức dân phải di dời trước xả nước theo quy đinh trước Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước xả nước Biết mực nước hồ phải lên cao xả nước A 15h B 16h C 17h D 18h Giải: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Ta có: h '  t   24  10t  t t  2(loai) � h '  t   � 24  10t  t  � � t  12 (t/ m) � BBT t 12 + h ' t  hmax h t � − Vậy để mực nước lên cao phải 12 Vậy phải thơng báo cho dân di dời vào 15 chiều ngày Chọn A Bài 59: (đề minh họa Quốc gia 2017) Một tơ chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động v t  5t  10,  t ( s )  , chậm dần với vận tốc   t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Giải: v  10  m / s  Ta có: a  v '  t   5 Gia tốc ô tô chuyển động chậm dần đều: Tại thời điểm tơ dừng lại vận tốc v2t   v02  2aS �  102   5  S � S  10  m  Ta có: Vậy tơ quãng đường 10m Chọn C Lưu ý: Bài áp dụng tích phân để tìm qng đường di chuyển tơ dừng lại Bài 60: Một cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản) Vận tốc dòng nước 6km/h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km/h E v  cv3t , lượng tiêu hao cá thời gian t cho cơng thức   c số; E tính jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao bao nhiêu? A 9km/h B 6km/h C 10km/h D 12km/h Giải: v   km / h  ,  v �6  Vận tốc cá bơi ngược dòng: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang t 300  h v6 Thời gian cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: Năng lượng tiêu thụ cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: 900 300 300cv � v � E  v   cv  cv3  3 � � v6 v6 � v6�  v  6 300cv � v � v E ' v  � 3  � v  � � �  v6 � v6� v6 BBT X − + E ' x  � E(x) Emin Vậy vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao v   km / h  Chọn A Nhận xét: 300 E  v   c  v  6 J v6 Đối với có nhiều em tìm nhầm hàm Và tìm E v  cv3t chọn v  6km / h Chọn sai hồn tồn vận tốc v biểu thức   , v vận tốc thực cá di chuyển, t thời gian cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản ứng với vận tốc cá trừ vận tốc dòng nước Bài 61: (trích từ Luận văn thạc sĩ Nguyễ Văn Bảo) Chi phí nhiên liệu tàu chia làm hai phần Trong phần thứ khơng phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương vận tốc, v  10km / h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đường nhỏ nhất? A 10km/h B 15km/h C 20km/h Giải: D 25km/h Gọi vận tốc tàu Thời gian tàu chạy quãng đường km x (giờ) 480 x Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ là: (ngàn đồng) x  km / h  Khi vận tốc v  10km / h chi phí cho qng đường km phần thứ hai là: 30  10 (ngàn đồng) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Xét vận tốc x  km / h  , gọi y (ngàn đồng) chi phí cho quãng đường km vận tốc x chi phí cho qng đường km vận tốc x, ta có: y  kx 3x3 3 y  k10 � k  10 Suy 1000 Ta có: 480 x3 P  x   x 1000 Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho km đường là: P x Bài tốn trở thành tìm x để   nhỏ 480 x P ' x     x 1000 480 x P ' x   �    � x  20 x 1000 960 18 x P ''( x )   x 1000 960 18.20 P ''(20)   0 20 1000 P x Suy   đạt GTNN x  20 x  20  km / h  Vậy vận tốc tàu CHọn C Bài 62: S  gt 2 Một vật rơi tự với phương trình chuyển động , g  9,8m / s t tính giây (s) Vận tốc vật thời điểm t = 5s bằng: A 49m/s B 25m/s C 10m/s D 18m/s Giải: v  S '  gt nên thời điểm t  5s Vận tốc vật là: v  9,8.5  49  m / s  CHọn A Bài 63: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S  t  3t  4t , t tính giấy (s) S tính mét (m) Gia tốc chất điểm lúc t=2s là: 2 2 A 4m / s B 6m / s C 8m / s D 12 m / s Giải:   a  S ''  t  nên thời điểm t=2s gia tốc chất điểm là: a  6.2  m / s Chọn B HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Bài 64: Cho chuyển động thẳng theo phương trình S  t  3t  9t  27 , t tính giấy (s) S tính mét (m).Gia tốc chuyển động thời điểm vận tốc triệt tiêu là: 2 2 A 0m / s B 6m / s C 24m / s D 12 m / s Giải: v  S '  3t  6t  9; a  S ''  6t  t 1 � 3t  6t   � � t  3  loai  � Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu:   a  6.1   12 m / s t  Với gia tốc chuyển động là: Chọn D Bài 65: S  t  t  2t  100 Một chất điểm chuyển động theo quy luật , t tính giấy (s) Chất điểm đạt giá trị nhỏ thời điểm: A t  B t  16 C t  D t  Giải: � t 2  l  S '  t  3t   � � t 1 � Vậy chất điểm đạt GTNN t= 1s Chọn A Bài 66: a  t   3t  t  m / s  Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc? 6800 4300 5800 m m m A 11100m B C D Giải: a  t   3t  t v '  t   a  t  ; S '  t   v(t ) Theo đề ta có: vận tốc ban đầu � v  t   t  t  10  m / s  1 S  t   t  t  10t  m  12 10  m / s  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Hỏi Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: S  10   4300  m Chọn C Bài 67: v ' t   v t   m / s m / s2   t 1 vận tốc ban đầu Một vật chuyển động với vận tốc , có gia tốc vật 6m / s Vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị): A 14m/s Giải: B 13m/s C 11m/s Vận tốc vật sau 10 giây v    13  m / s  D 12m/s Chọn B CHỦ ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN D y  f  x, m  , m tham số, có taaph xác định D f � 0, x D  HÀm số f đồng biến D ۳� ۣۣ �f � 0, x D  HÀm số f nghịch biến D  Từ suy điều kiện m Sử dụng GTLN, GTNN hàm số tập D để giải tốn tìm giá trị tham số để hàm số đơn điệu Lí thuyết nhắc lại: Cho bất phương trình: f ( x, m) �0, �۳ x D �۳ f  x  g  m  , x D f  x  g  m  Cho hàm số x�D Cho bất phương trình: f ( x, m) �� ��� 0, x  D f  x  g  m , x D f  x  x�D g  m Phương pháp: Để điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) hàm số y  f ( x, m) , ta thực bước sau: - Bước 1: Tìm TXĐ hàm số �0, x �D , (để hàm số nghịch biến y� �0, x �D ) - Bước 2: Tính y� Để hàm số đồng biến y� ta sử dụng lý thuyết nhắc lại phần - Bước 3: Kết luận giá trị tham số Chú ý: f x g  m  + Phương pháp sử dụng ta tách thành   riêng biệt + Nếu ta tách phải sử dụng dấu tam thức bậc 2 Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện tham số: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Lý thuyết nhắc lại:  xảy số hữu hạn điểm 1) y� 2) Nếu y '  ax  bx  c thì: � �a  b  � � c �0 � � �� y� �۷� 0, x � �� � �a  � � � �0 � y� 0, x � � ab0 � � � c �0 � � � a0 � � �  �0 � � g x  ax  bx  c 3) Định lí dấu tam thức bậc hai   g x  Nếu     ln dấu với a g x  Nếu     ln dấu với a, trừ x b 2a g x g x  Nếu     có hai nghiệm x1 , x2 khoảng hai nghiệm   khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g  x  dấu với a g x  ax  bx  c 4) So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai   với số 0 0 � � � � �x1  x2  � �P  �  x1  x2 � �P  � x1   x2 � P  �S  �S  � � x ;x 5) Để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)   d ta thực bước sau:  Tính y�  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến ngịch biến:  1  2  Biến đổi  Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm x1  x2  d x x thành   a �0 � � 0 �  x1 x2  d BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số: y   x  x   m  1 x  3m  nghịch biến � ? HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang m � m � A m �2 B C Giải: TXĐ : D  � y�   x  x   x  1 Ta có:  '  2m  Hàm số nghịch biến � khi: y� �0, ��� x  �  ' m Chọn B D m �3 Bài 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số: y  mx  3x   m   x  3m  nghịch biến � ? A m �2 B m �1 C m �1 D m �1 Giải: TXĐ : D  � y�  3mx  x   m   Ta có: Hàm số nghịch biến R y�  3mx  x   m   �0, x ��  6 x  �0, x �� TH1: m  0, y� 1 y ' �۳ 6x x Không thỏa mãn yêu cầu đề x �� Vậy m=0 không thỏa mãn TH2: m �0 Để hàm số nghịch biến � m0 � y '  x  �0, x ��� �    3m  m   �0 � m0 � � � �� 3m  6m  �0 � m0 � � m �1 �� �� m �3 �� m Chọn D Bài 3: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số: khoảng xác định A m �1 m �1 B m  1 m  C m �2 m �1 D m �2 m �1 Giải: D  �\  m TXĐ : m2  y�  x  m  Ta có: y mx  x  m đồng biến m  1 � y '  0, x �m � m   � � m 1 � Hàm số đồng biến khoảng xác định Chọn B Bài 4: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số: 1 y  mx   m  1 x   m   x  3 đồng biến  2;� m� A C m �1 B m �1 D m �1 Giải: Ta có: y�  mx   m  1 x   m   2;� Hàm số đồng biến  y ' �0 � mx   m  1 x   m   �0,  � 2; � � m  x �۳ 2x� 3�  2x f  x  Đặt Ta có: f ' x  x  2x , x  2x   2;   2x , x � 2; � f x , x � 2; � x  2x  ta tìm GTLN hàm:   2 x  12 x  m  x  3 f ' x  � , x � 2; � x  12 x  x  x  3  f  2 � , f 3 Ta có:  � x  3 0� � x    loai  � � 2 , lim f  x  x �� m m HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 10 t' Ta có: x 1 x2  2x  ,t '  � x  x �� 0;1  � � �thì �t �2 t2  ۣ m t  với t � 1;2 Khi đó: (1) Vậy với t  2t  t2  f ' t   0, x � 1;2   f  t  t  t � 1;2     Ta có: t  với Xét hàm số Vậy hàm số f tăng [1;2] t � 1;2 Do đó, yêu cầu tốn trở thành tìm m để (1) có nghiệm  m max f  t   f    ۣ t� 1;2 2 m� pt có nghiệm Chọn A Vậy Bài 2: (Đề tuyển sinh ĐH, CĐ khối B 2014) Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: m    x2   x2    x4   x2   x2 A m �  Giải: ĐK: B x � 1;1  �m �1 có nghiệm C m �1 D m �1 2 x � 1;1 Đặt t   x   x Với , ta xác định ĐK t sau: 2 x � 1;1 Xét hàm số t   x   x với Ta có: t' Ta có x  x2  x  x2  x   x2   x2   x4 , cho t '  � x  t  1  2, t    0, t  1  Vậy với x � 1;1 t �� 0; � � � 2 Từ t   x   x �  x   t t  t  m  t    t  t  � t2 Khi pt cho tương đương với: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 14 t  t  m t �� 0; � � � t2 Bài tốn trở thành tìm m để phương trình có nghiệm t  t  f  t  t �� 0; � � � t2 Xét hàm số với f ' t   Ta có: Suy ra: t  4t  t  2  0, t �� 0; � � � max f  t   f    1, f  t   f t�� 0; � � � t�� 0; � � � Bây yêu cầu toán xảy khi:  2  1 f  t  �m �max f  t  �  �m �1 t�� 0; � � � t�� 0; � � � Vậy với  �m �1 thảo yêu cầu toán Chọn B Bài 3: (đề tuyển sinh ĐH, CĐ khối A - 2007): Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: x   m x   x   1 có nghiệm A m �  B  �m �1 Giải: ĐK xác định phương trình : x �1 Khi đó: 1  m � C x 1 x2  x 1 x 1  m  24 �3  m  24  1 � x 1 x 1 x 1  x  1 D m �1  2 x 1 x 1 4 , t �0   1 1 x  x  x  Đặt Vì nên t