cac dang bai tap vdc ung dung dao ham de khao sat va ve do thi ham so

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K * Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K ; x1  x2  f  x1   f  x2  Nhận xét: - Hàm số f  x  đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải * Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K ; x1  x2  f  x1   f  x2  Nhận xét: Hàm số f  x  nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Định lý Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến khoảng K Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến khoảng K Nếu f   x   0, x  K hàm số khơng đổi khoảng K Định lí đảo Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f   x   0, x  K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f   x   0, x  K B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y  f  x  Phương pháp giải Thực bước sau: Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y  f   x  Bước Tìm giá trị x mà f   x   giá trị làm cho f   x  không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  x  (chọn đáp án) Bài tập Bài tập Cho hàm số f  x   1  x  2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số đồng biến  ;  C Hàm số nghịch biến  ;  D Hàm số nghịch biến  Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D   Đạo hàm f   x   2019 1  x  Vì 2019 1  x  2018 2018 2018 1  x   2019 1  x   2 x   , x   nên dấu đạo hàm dấu với   x  x  Ta có f   x      x  1 Ta có bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến  ;0  Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến  ;0  Bài tập Cho hàm số f  x   x3  x  x  cos x Với hai số thực a, b cho a  b Khẳng định sau đúng? A f  a   f  b  B f  a   f  b  C f  a   f  b  D f  a   f  b  Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D   Ta có f   x   x  x   sin x   x  x  1    sin x   0, x   Suy f  x  đồng biến  Do a  b  f  a   f  b  Bài tập Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng đây? A  ; 1 B  1;3 C 1;   D  3;   Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D   Ta có y  x  x    x  x  3  y   x    x  x  3 x  x  3 y   x    x  ; y không xác định x  1; x  Ta có bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng  1;1  3;   Chú ý: - Vì f  x   - Đạo hàm y  f  x  nên xét tính đơn điệu hàm số y  f  x f  x f  x f  x  để suy kết Dạng Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho hàm số y  f   x  Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f   x   giá trị làm cho f   x  không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  x  (chọn đáp án) Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f   x   x  x  1 Hàm số cho đồng biến khoảng A 1;   B  ;0  ; 1;   C  0;1 D  ;1 Hướng dẫn giải Chọn A x  Ta có f   x    x  x  1    x 1 Ta có bảng xét dấu  x f  x     Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;   Bài tập Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  1   x  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A  1;1 B 1;  C  ; 1 D  2;   Hướng dẫn giải Chọn B x  Ta có f   x      x  1 Bảng xét dấu x  1  f  x     Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;  Bài tập Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  0;3 có tính chất f   x   0, x   0;3 f   x   , x  1;  Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;  B Hàm số f  x  không đổi khoảng 1;  C Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;3 D Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;3 Hướng dẫn giải Chọn B Vì f   x   , x  1;  nên f  x  hàm khoảng 1;  Trên khoảng  0;  , 1;3 ,  0;3 hàm số y  f  x  thỏa f  x   f   x   , x  1;  nên f  x  không đồng biến khoảng Bài tập: Dạng 3: Tìm tham số để hàm số đơn điệu tập xác định Phương pháp giải * Đối với hàm số y = ax + bx + cx + d ta thực theo bước sau Bước Tính y  3ax  2bx  c (1) Bước Xét hai trường hợp Trường hợp 1: a  , thay trực tiếp vào (1) để xét Trường hợp 2: a  , tính   b  3ac a  Hàm số nghịch biến      b  3ac  a  Hàm số đồng biến      b  3ac  Bước Kết luận (chọn đáp án) * Đối với hàm số y  ax  b ta thực theo bước sau cx  d  d Bước Tập xác định D   \    c Bước Tính y  ad  bc  cx  d  Hàm số đồng biến khoảng xác định  ad  bc  Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc  Bước Kết luận Bài tập: Bài tập Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20; 2 để hàm số y  x3  x  3mx  đồng biến  ? A 20 B C D 23 Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D   Ta có y  3x  x  3m Hàm số đồng biến   3x  x  3m  với x         9m   m  30 Do m số nguyên thuộc đoạn  20; 2 nên có m  1; m  Bài tập Có giá trị nguyên m để hàm số y   m  1 x3   m  1 x  x  nghịch biến khoảng  ;   A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D   Ta có y   m  1 x   m  1 x  Hàm số cho nghịch biến khoảng  ;    y  với x   Với m  ta có y  1  với x   nên hàm số nghịch biến khoảng  ;   Vậy m  giá trị cần tìm Với m  1 ta có y  4 x    x    m  1 không thỏa mãn 1  m  1 m2    • Với m  1 ta có y  với x        m     m  2    m  m    Từ trường hợp ta   m  Do m    m  0;1 Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn Bài tập Các giá trị tham số m để hàm số y  mx  đồng biến khoảng xác định x 1 A m  1 B m  1 C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D   \ 1 mx  m 1  y  x 1  x  1 Ta có y  Xét m  , hàm số trở thành y  (hàm hằng) Xét m  , hàm số đồng biến khoảng xác định y  0, x  1  m    m  Lưu ý: Với m  y  0, x   \ 1 Bài tập Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  nghịch biến khoảng xm xác định A  ; 1 B  1;1 C 1;   D  ;1 Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D   \  m Ta có y  m2   x  m Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y  m2   x  m   m    1  m  Dạng 4: Xét tính đơn điệu hàm số bậc cao, thức, lượng giác có chứa tham số Phương pháp giải Sử dụng kiến thức Điều kiện cần để y   x  a  m 1 g  x   m    không đổi dấu x qua a g  a   Cho hàm số y  f  x  liên tục K f  x   A K Khi bất phương trình f  x   m nghiệm với x  K m  A Cho hàm số y  f  x  liên tục K max f  x   B K Khi bất phương trình f  x   m nghiệm với x  K m  B Bài tập Bài tập Có giá trị tham số m để hàm số y  x9   3m  m  x   m3  3m  2m  x  2019 đồng biến  A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D   Ta có y  x8   3m  m  x   m3  3m  2m  x3  y  x3 9 x5   3m  m  x   m3  3m  2m    x3 g  x  với g  x   x5   3m  m  x   m3  3m  2m  m  Nếu g      m  m   y đổi dấu qua điểm x   hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến Do để hàm số đồng biến  điều kiện cần g    m   m  m  3m      m  m   Thử lại: + Với m  có y  x8  , x   nên hàm số đồng biến  + Với m  có y  x  x  10   , x   nên hàm số đồng biến  + Với m  có y  x  x  50   , x   nên hàm số đồng biến  m  Vậy với  m  hàm số cho đồng biến  m   Lưu ý: Nếu g    y ln đổi dấu x qua 0, g  x   vơ nghiệm thi ln có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Bài tập Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số f  x   m x5  mx3   m  m  20  x  2019 nghịch biến  Tổng giá trị tất phần tử thuộc S A 4 C 1 B D Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định D   Ta có f   x   5m x  3mx   m  m  20  x  x  5m x  3mx   m  m  20    x.g  x  Để hàm số nghịch biến  f   x   , x   (*) Nếu x  khơng phải nghiệm g  x  f   x  đổi dấu x qua x  , lúc điều kiện (*) khơng thỏa mãn Do điều kiện cần để hàm số đồng biến  x  nghiệm  m  4 g  x    m  m  20    m  Thử lại: + Với m  4 f   x   80 x  12 x  x 12  80 x  , m  4 khơng thỏa mãn + Với m  f   x   125 x  15 x   x 125 x  15   , x   m  thỏa mãn Vậy S  5 nên tổng phần tử S Lưu ý: f   x  đổi dấu qua nghiệm phương trình 12  80 x  Bài tập Có giá trị nguyên tham số m   2018; 2018 để hàm số y  x   mx  đồng biến  ;   A 2018 B 2019 C 2020 Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D   Ta có y  x x 1 m Theo yêu cầu toán y  x x 1  m  , x   D 2017 m x x 1 , x   Xét hàm số g  x   x x 1 ; g  x  x x   x  1 0 Bảng biến thiên Vậy m  1 mà m   2018; 2018 nên có 2018 giá trị nguyên Bài tập Tìm tất giá trị m   để hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến  A   m  B   m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D   Ta có y  cos x  sin x  m Hàm đồng biến   y  0, x    cos x  sin x  m  0, x    sin x  cos x  m, x   Xét hàm f  x   sin x  cos x    Ta có sin x  cos x  sin  x      f  x   2, x    max f  x    4  Do f  x   m, x    max f  x   m  m   Dạng Xét tính đơn điệu hàm số trên khoảng cho trước Phương pháp giải * Đối với hàm số y  ax  bx  cx  d Giả sử phương trình y  ax  bx  c  a   có hai nghiệm x1 , x2 Ta nhắc lại mối liên hệ nghiệm tam thức bậc hai Khi x1    x2  af   