Các dạng bài tập VDC ứng dụng của tích phân - TOANMATH.com

Dạng 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị 1.. Phương pháp: Vận dụng các kiến thức về tích phân và bài toán ứng dụng[r]

BÀI ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1.Định lý 1: Cho hàm số y f x( )liên tục, không âm trên a b; Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), trục hoành đường thẳng x a x b ,  là: ( )

b

a

S f x dx

2 Bài tốn liên quan

Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn  a b; , trục hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: ( )

b

a

S f x dx

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), y g x ( ) liên tục đoạn  a b; hai đường thẳng x a , x b xác định: ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

Chú ý: Nếu đoạn [ ; ]a b , hàm số ( )f x khơng đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g y ( ), x h y ( ) hai đường thẳng y c , y d xác định: ( ) ( )

d

c

S g y h y dy

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( ) : ( )C1 f x1 ,( ) : ( )C2 f x2 là:

2

1

( ) ( )

 

x

x

S f x g x dx Trong đó:x x1, 2tương ứng nghiệm phương trình f x( )g x( ),x1x2

II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY

 

 

 

    

1

2

( ) : ( ) ( ) : ( ) ( )

C y f x C y f x H

x a x b

1 ( )C

2 ( )C

 b  a

S f x1( ) f x dx2( )

a c1 y

1 Thể tích vật thể

Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; ( )

S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x, (a x b  ) Giả sử ( )S x hàm số liên tục đoạn [ ; ]a b

2 Thể tích khối trịn xoay

Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ( )

y f x , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

Bài toán 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ( )

x g y , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ( )

y f x ,y g x ( ) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: 2( ) 2( )

b

a

V f x g x dx B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích giới hạn đồ thị 1 Phương pháp:

a/ Phương pháp 1:

| ( ) |

b a

* Xét dấu biểu thức ( )f x ; x[ ; ]a b , phá dấu trị tuyệt đối tính tích phân b/ Phương pháp 2:

* Giải phương trình ( ) 0f x  ; chọn nghiệm [ ; ]a b Giả sử nghiệm ;  với   * Áp dụng tính chất liên tục hàm số ( )f x [ ; ]a b ; ta có:

| ( )d | | ( )d | |b ( )d |

a

S f x x   f x x   f x x 2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị y x 2, trục hoành đường thẳng

x 2

A S

 B. S 16

3

 C. S 16. D. S

3  Hướng dẫn giải

CHỌN D

Nhận thấy rằng, để tính diện tích ta cần phải tìm cận Để tìm thêm cận cịn lại ta giải phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  P : y x với trục hồnh

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  P : y x với trục hồnh: x2  0 x Áp dụng cơng thức ta có

2

8 S x dx

3

 

Nhận xét: Nếu ta vẽđồ thị hàm số y x đường thẳng x 2 ta dễ dàng xác định hình phẳng giới hạn đường Từđó ta dễ dàng tính diện tích S

Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x e x, trục hoành đường

thẳng x 1

A e 2. B. e. C. e. D.1

Hướng dẫn giải CHỌN A

Phương trình hoành độ giao điểm x e2 x   0 x 0

Ta có:

   

 

1 1

1

2 x x x x

0

0 0

1 1

1

x x x x

0

0 0

S x e dx x d e x e e d x

e xe dx e xd e e 2xe e dx

   

      

  

1 x

0

e 2e 2e e 2e e         

Lời bình: Bài tốn có cận, ta cần tìm thêm cận cách giải phương trình hồnh độ giao điểm Sau áp dụng công thức Nếu vẽđồ thị để tìm hình phẳng giới hạn đường khơng nên đồ thị hàm số phức tạp Việc tìm cơng thức

1 x

Sx e dx tính tích phân ta dùng MTCT để tính chọn Chọn

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y 1 x 2 trục hoành:

A  2 B.

4 

C 1. D.

2  Hướng dẫn giải

CHỌN D

Phương trình hồnh độ giao điểm của, Ox 1 x    0 x 1

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm

1

2

S x dx 

  

Đặt x sin t dx cos tdt

x t

x t

2      

 

      

Suy

1 2

2 2

1

2

S x dx sin t.cos tdt cos tdt

 

 

  



        

Lời bình: Bài tốn chưa có cận, ta phải giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận Sau áp dụng cơng thức Việc tìm cơng thức

1

2

S x dx



  tính tích phân tương đối phức tạp, ta dùng MTCT để tính chọn Chọn

Nếu vẽđược đồ thị ta xác định hình phẳng diện tích dễ dàng, diện tích đường trịn bán kính Do đó: S R2

2



  

Bài tập 4: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y lnx, x e, x e

   trục hoành

A S 2 e

  B. S 1

e

  C. S 2

e

  D. S 1

Hướng dẫn giải CHỌN A

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y lnx trụ hoành ln x 0  x

   

e e

1 e

1 1

e

1 1

e e

2 S ln x dx ln xdx ln x.dx x x ln x x ln x x

e

         

Bài tập 5: Diện tích tam giác cắt trục tọa độ tiếp tuyến đồ thị y ln x giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là:

A. S

 B. S

4

 C. S

5

 D. S

2  Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm: ln x 0  x Ta có: y ' ln x ' y ' 1 

x '

  

Phương trình tiếp tuyến đồ thị y ln x giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là:

 

y x 1  0 hay y x 1 

Đường thẳng y x 1  cắt Ox điểm A 1;0  cắt Oy điểm B 0; 1   Tam giác vng OAB có OA 1,OB S OAB 1OA.OB

2



    

Bài tập 6: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y ax a 0   , trục hoành đường thẳng x a ka2 Tính giá trị của tham số k

A k

 B k

3

 C k 12

5

 D k

5  Hướng dẫn giải

         

b b b

D

a a a

Chọn B Có

a

a

2

2

0

2 4

S ax dx a .x a ka k

3 3

     

Bài tập 7: Cho hình cong giới hạn đường y e , y 0, x 0 x   x ln 4 Đường thẳng x k

với k ln 4  chia thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S12S2

A. k 2ln  B. k ln 2 C. k ln8  D. k ln 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Do

ln ln ln

x x x

1

0

0

2 2

S 2S S S e dx e dx e

3 3

        

Do đó:

k

x k k

1

S e dx e   1 e   3 k ln

Dạng 2: Tính diện tích giới hạn hai đồ thị 1 Phương pháp:

Công thức tính b| ( ) ( ) |

a

S f x g x dx Tính dạng 2 Một số tập mẫu

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

2

1

; ; ;

cos sin

y y x x

x x

 

   

Lời giải

Ta có: /3 2 2

/6

1

cos sin

S dx

x x

 

 

Trong trường hợp chọn cách xét dấu biểu thức 1 ; ;

2 6 3

cos sin

y x

x x

 

 

    

 

hoặc vẽđồ thị hàm số 1 ; ;

2 6 3

cos sin

y x

x x

 

 

    

 là khó khăn Vì ta chọn cách sau:

+ Xét phương trình: 12 12

cos xsin x 0; x 3;  

 

cos 2x

  ; ;

6 x  

  x

  

Từđó suy ra: /4 2 2 /3 2 2

6 4/4

1 1

|

cos sin cos sin

S dx dx

x x x x

     

       

   

 

4

/ 4

| (tan cot ) | | | (tan cot ) | 2

/

S x x  x x 

 

 

        

 

Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 21 ;

1 x y y x    Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị trên:

2

1

x x  

4 2 0 1

1

x

x x x

x             

Vì hình phẳng cho có diện tích là: 2

1 1 x S dx x      Do ( 1;1) phương trình 21

1 x

x   vơ nghiệm nên ta có:

1 1

2 2

1

2 2

1

1 1

1 1

d d d

1 2

x x x

S dx x x x

x x x

                      

Tính I1

1 1 1dx x   

+/ Đặt xtant; ; 2 t    

 

1 cos

dx dt

t

 

+/ Đổi cận:

1 4 x t x t                /4 /4

1 /4 /4

1

cos d

1 tan

t

I dt t

t              

I 

1 x dx   

Thay vào ta được: S

 

2   

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thịy x24x3 y3

2 4 3

x  x 3 22 3

4

4 3

x

x x

x

x x



    

  

     

Khi đó: S 4 

0

0 x 4x 3 | |dx| x 4x 3 | dx|

‖

  3  4 

1 2

0 3 1 3 3 3

S x x dx x x dx x x dx

            

  3  4 

1 2

0 4 |

S x x dx x x dx x x dx

        

3

1

3 3

2 2

0 1

2

3 3

x x x

S S  x   x x  x 

             

     

Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: ysin | |x ; y| |x - Hướng dẫn giải

Xét phương trình hồnh độ: sin | | | |x  x  Đặt | |x t

Khi trở thành: sint t  sint t   Xét hàm số ( )f t  sint t  ; t[0,)

( ) cost [0, )

f t t

      

BBT hàm số ( )f t sau:

 phương trình có nghiệm t 

 phương trình có nghiệm phân biệt: x  x  S  |sin | | | |x x |dx  (sin | | | |x x )dx

   

 

      

3 Bài tập

Bài tập 1: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P : y  x2 3x 3 đường thẳng

 d : y 2x 1  là: A.

3 B.

13

3 C.

19

6 D.11

Xét phương trình x2 3x 2x 1 x2 x 0 x

x               

 

Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P : y  x2 3x 3 đường thẳng

 d : y 2x 1 

     

2

2 2

2

1 1

x x 13

S x 3x 2x dx x x dx 2x

2 3

 

 

             

 

 

Vậy S 13 

Bài tập 2: Parabol chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính thành phần Tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào:

A B C D 0,7;0,8

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình đường tròn: x2y2  8 x2  8 y2

Thế vào phương trình parabol, ta y y2 y2 2y 0

2 

    

  y

x x

y l  

        

Diện tích phần tạo phần đường trịn phía với Parabol là:

2 2 2

2

1

2 2

x x

S x dx x dx dx I I

2

  

 

         

 

   ;

2

2

2

x x

I dx

2

2



  

 

Tính

2

2

1

2

I x dx x dx



     

Đặt x 2 sin t dx 2 cos tdt; x 0   t 0; x t    

4 4

2

0 0

cos 2t

I 2 cos t2 cos tdt 16 cos tdt 16 dt 2

  



        

2

2 x

y 2

1

8

S I I 2

3          Diện tích hình trịn:

2

4

S R S S S

3                     

S 3 0, 435 0, 4;0,5 S 6        

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

x

y

4

  đồ thị hàm số

2

x y

4 

A. 2 4 B.

3

  C.

3

  D.

3 Hướng dẫn giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm:  

2

2

2

x 16 l

x x

4 x 2

4 x

  

     



 Khi

2 2

2

x x

S

4



      

Bài tập 4: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my x 2, mxy2 (với m0)

Tìm giá trị m để S3

A. m1 B. m2 C. m3 D. m4

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì m0 nên từ my x 2 ta suy

0 x y

m   ; Từ mxy2 nên x0 y mx

Xét phương trình

2

4 x

x mx x m x

x m m          Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

0

m m

x x

S mx dx mx dx

m m             2

2 1

3 3

m

m x

x x m m

m

 

     

Yêu cầu toán 3 3 9 3

3

S   m  m  m (vì m0)

Bài tập 5: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm y x 2

1 x y

x 

 ln

S a b  với a, b số hữu tỷ Giá trị a b A

3

 B.2 C

3

 D.1

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm  C1 :

y x  C2 :

2 x y

x 



 

2

0

2 1 2 0 1

1

2 x x

x x x x x x

x

x   

        



  

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

0

2

1

1

2 2 2 2 ln 1 2 ln 2

1 3

x x

S x dx x dx x x

x x 

 

 

   

               

 

     

 

Suy

a b 2

Vậy

Bài tập 6: Cho  H hình phẳng giới hạn parabol y 3x2,

cung trịn có phương trình y 4x2 (với 0 x 2) trục hồnh

(phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H

A.

12  

B.

6  

C. 3

  

D 3

 

Hướng dẫn giải

Phương trình hồnh độ giao điểm parabol y 3x2 cung tròn y 4x2 (với 0 x 2

) lả 4x2  3x2 4 x23x4  x 1

Diện tích  H

1

2

0

0

3

3

3

S  x dx x dx x  I I với

2

2

4

I  x dx Đặt x2sint, ; 2cos

2

t   dx t dt

 

Đổi cận

6

x  t  ,

2 x  t 

   

2 2

2

6

6 6

4 4sin 2cos 4cos cos sin

I t t dt t dt t dt x t



  



  

      

2

3



 

Vậy 3

3 3

Bài tập 7: Hình phẳng  H giới hạn đồ thị  C hàm đa thức bậc ba parabol  P

có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A. 37

12 B.

7

12 C

11

12 D.

5 12 Hướng dẫn giải

Chọn A

Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ

y y0 nên ta xét hai hàm số y ax 3bx2 cx 2, y mx 2nx (với a, m0)

Suy  C : y f x ax3bx2 cx 2  P : y g x  mx2nx

Phương trình hồnh độ giao điểm  C  P là:

   

3 2 2 0

ax bx cx mx nx ax bx cx  mx nx  Đặt P x ax3bx2cx2  mx2nx.

Theo giả thiết,  C  P cắt điểm có hồnh độ x 1, x1, x2 nên P x a x 1x1x2

Ta có P 0 2a

Mặt khác, ta có P 0  f   0 g   2 a Vậy diện tích phần tơ đậm    

2

1

37

1

12

S x x x dx



    

Dạng 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay dựa vào định nghĩa 1 Phương pháp:

Giả sử ( )S x hàm số liên tục đoạn  a b,

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x0 x2 Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc trục Ox điểm có hồnh độ x0 x 2, ta diện tích tam giác có độ dài cạnh x 2x Tính thể tích V phần vật thể B

Lời giải Một tam giác cạnh a có diện tích

4 a

S  

Do tam giác cạnh x 2x có diện tích  

2 2 3

( )

4

x x

S x   

Suy thể tích    

2

2 2

2

0 0

2 3

( )

4 4 3

Ca sio

x x

SS x dx  dx x x dx   

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x0 x, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ

 

,

x  x  tam giác cạnh sinx.Tính thể tích vật thểđó Lời giải

Một tam giác cạnh a có diện tích a S 

Do tam giác cạnh sinx có diện tích   4sin 3 sin

x

S x   x

Suy thể tích  

2

0

d sin d V S x x x x 

Lời giải * Thể tích khối trụ 2  3

1  5

V R h   m

* Tính thể tích phần khối trụ bị

+ Cách 1: 2 2

viên ph R

d ân

S R x dx

1 2

2 0,61

  x dx

1 2

1

3, 07

 viên phân     

V S h x dx

Suy thể tích khối trụ lại  

1

2

1

1

5 12,637

       

V V V  x dx m

+ Cách 2: Tính góc tâm cos  2

OH R 

2

 

3   

 

2

1 2

sin sin 0, 614

2 3

 

     

 

viên phân

S R    

2

1 2

sin

2 3

 

    

 

viên phân

V S h  

2

2

x y

d

y= R2-x2

d

O R

2

2

x y

B A

H

 3

1 2

5 sin 12,637

2 3

 

       

 

V V V    m

Bài tập 4: Bạn A có cốc thủy tinh hình trụ, đường kính lịng đáy cốc chiều cao lòng cốc đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc ởđáy mực nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc

Lời giải

Phân tích: Thể tích nước có hình dạng “cái nêm”; có phương pháp tính thể tích

+ Cách – Chứng minh cơng thức PP tích phân: Xét thiết diện cắt cốc thuỷ tinh vị trí bất kỳ; ta có diện tích thiết diện

; thể tích

Cách 2:

Gọi S diện tích thiết diện mặt phẳng có phương vng góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng cắt trục Ox điểm có hồnh độ Ta có:

, thiết diện nửa hình trịn bán kính

Thể tích lượng nước chứa bình Bài giải

+ Cách 1: Áp dụng cơng thức tính thể tích nêm biết góc mặt cắt mặt đáy

với ta

6cm, 10cm

x

  R x R

  1. 2. 2.tan  1 2tan

2

    

S x R x R x  R x 

 d 1tan  2d 3tan

2

 

 R  R  

R R

V S x x  R x x R 

0  

h x

( )

 

  

r h x h x R

r

R h h r

2 2

2

1 ( )

( )

2

 S x  r  h x R

h  



2

2

.tan

3

 

V R h R  tan  h

R

 3. 2.3 10 602  3

3

 h  

V R cm

+ Cách 2: Tính trực tiếp tốn PP tích phân ; thể tích

Bài tập 5: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từđiểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 14 Tính thể tích

Lời giải

Tính sốđo: ; suy bán kính khối trụ

 Cách 1: Thể tích khối thể tích “khối trụ trung bình”:

 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính thể tích “cái nêm”: Lấy mặt phẳng vng góc với đường sinh hình trụ qua điểm , chia khối thành hai khối:

+ Khối 1: khối trụ chiều cao , bán kính r4 nên thể tích

+ Khối 2: phân nửa khối trụ có chiều cao bán kính nên thể tích

+ Vậy

2 2

2

1 ( )

( )

2

 S x  r  h x R

h  

10

2

0

9

( ) (10 ) 60 ( )

200

h    

V S x dx  x dx  cm

0

( ) h V S x dx

8 10 14 

   

    

AB AE DE

2 8

AD AE DE 

4  AD  R

  .4 11 1762  

2 

 

   

H

AB CE

V R   đvtt

 P

A  H

8 

h

1 128

V r h 



DE r 4

2

2

1. . 1 .4 48

2

  

V r AD  

 H  1 2128 48 176  

3 Bài tập

Câu 1: Cho  T vật thể nằm hai mặt phẳng x0, x1 Tính thể tích V  T biết cắt  T mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x,

0 x 1, ta thiết diện tam giác có cạnh 1x

A

2

V   B 3

8

V   C 3

8

V  D

2

V   Lời giải

Chọn C

Ta có diện tích tam giác cạnh 1x    

2

1

4 x

S x   1 

4

x



 

Thể tích vật thể  T  

1

0

d

V S x x  

0 d x x 

  21

0

3

8 x

  3

8  

Câu 2: Cho vật thể  T giới hạn hai mặt phẳng x0;x2 Cắt vật thể  T mặt phẳng vng góc với trục Ox x0 x 2 ta thu thiết diện hình vng có cạnh x1ex Thể tích vật thể  T bằng

A  

4

13

e

 

. B

4

13

e 

C. 2e2. D. 2e2.

Lời giải Chọn B

Diện tích thiết diện S x   x12e2x

Thể tích vật thể  T    

2

2

0

1 x

V S x dx x e dx  2 2 2  2 2

0 0

1 1

1

2 2

x x e x x x

V  x e  x e dx    e  e dx

 

 

2

4 4

2 4

0

9 1 1 13

3

2 4 4

x

e e e

e e e

  

      

Dạng 4: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị 1 Phương pháp:

Vật thể tròn xoay sinh miền hình phẳng giới hạn: Đồ thị ; trục ; ; quay xung quanh

- Nếu thiếu cận giải phương trình để bổ sung cận - Tính thể tích theo cơng thức:

( )

y f x Ox y( 0) ,

x a x b  Ox

( )

f x =

2( )

b

Ox a

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Kí hiệu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành Tính thể

tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm

Bài tập 2: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: quay xung quanh Tính thể

tích vật thể tạo thành

Lời giải

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số: trục Vậy vật thể trịn xoay tích là:

Bài tập 3: Cho miền hình phẳng giới hạn bởi: ; quay xung quanh tính thể

tích vật thể tạo thành

Lời giải

Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số: đường thẳng nghiệm phương trình:

Vật thể tạo thành tích là:

Bài tập 4: Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quanh hình phẳng giới hạn đường trục Ox Đường thẳng cắt đồ thị hàm số M

 H y2x x

V Ox 2 x x x x           2 16 d 15 V  x x x  , Ox

x

y xe x Ox

x

y xe Ox xex 0  x 0

   

1 2 2

0

x x

V  xe dx x e dx

1 2

1

2 2

0

0

1

2

x x e x

V  x e  xe dx   xe dx

      

   

 

2 1 1 1

2 2

0 0

1

1

2 2 4

x x x e

e

V   x e e dx  e  

      

  

2 4 , 0

y x  x y Ox

2 4

y x  x y0

2 4 0

x  x

4 x x          

4 2 4 3 2

0 16

V  x  x dx x  x  x dx

4 16 512

5 15

x x x            V

; 0;

Gọi thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác quanh trục Biết V2V1

Tính

Lời giải

Ta có

Tam giác MOH quanh trục tạo nên hai khối nón chung đáy Gọi hình chiếu vng góc

trục Suy

Suy

Bài tập 5: Cho hình phẳng giới hạn độ thị hàm số ; trục đường thẳng Tính thể tích khối trịn xoay thu quay quanh hình xung quanh trục

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm Theo tốn thể tích vật thể trịn xoay cần tìm

1

V MOH Ox

a

 

4 2

1

0

d d

2 V V  x xx x  V   

Ox N

M Ox r MN  yM  y a  a

 2

1

1 . 1.4

3 3

a

V OH r  a 

   

4

4

3 a

a 

   

 H 2

4

x y

x



 Ox

1

x  H Ox

2 0

4

x

x x   



1

2

0

4

ln ln ln

4 2

x a

V dx x

x b

  



     

Do 3 Bài tập

Câu 1: Cho hình phẳng  H giới hạn đường y x 23, 0, 0, 2y x x Gọi V thể

tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng?

A.  

2

2

3 d

V  x  x B.  

2

3 d V  x  x

C.  

2

2

3 d

V  x  x D.  

2

3 d V  x  x Lời giải

Thể tích vật thểđược tạo nên  

2

2

3 d V  x  x

Câu 2: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hoành elip có

phương trình 2 25 16

x  y  V có giá trị gần nhất với giá trị sau đây?

A. 550 B. 400 C. 670 D. 335

Lời giải Chọn D

Quay elip cho xung quanh trục hồnh quay hình phẳng:

2

4 , 0, 5,

25 x

H y  y x  x 

 

 

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh H quay xung quanh trục hoành là:

2

5

5

16 16 320

16 16 335,1

5

25 75

x x

V  dx  x 



   

         

   

 

4,

Câu 3: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y m2x2 (m tham số khác 0

) trục hoành Khi ( )H quay xung quanh trục hồnh khối trịn xoay tích V Có giá trị ngun m đểV1000

A.18 B.20 C.19 D.21

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong trục hoành là:

2 0

m x    x m

Thể tích vật thể trịn xoay cần tính là:

2

2 2

( ) ( ) |

3

m m

m m

m m

V  m x dx  m x x 

 

     

Ta có: V1000 1000

m m 



 

750 m

   3750 m 3750

Ta có 3750 9, 08 m0 Vậy có 18 giá trị nguyên của m

Câu : Cho hình phẳng D giới hạn đường cong  

 x y

x , trục hồnh trục tung Khối trịn xoay tạo thành quay Dquanh trục hồnh tích V (a b ln 2) với ,a b số nguyên Tính T  a b

A.T 3 B.T 6 C T10 D T  1

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

2

3 3

2

0 0

3

3 16

1

1 1 ( 1)

16

8 ln( 1) (15 16 ln 2) 15; b 16

  

 

 



   

           

   

     

 

           



 

 x  

V dx dx dx

x x x x

x x a

x

Vậy T    a b

Câu 4: Cho hình  H hình vẽ quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay

A

2

2 

B.

2

 . C. 2 . D. 22.

Lời giải

Thể tích khối trịn xoay nhận quay hình  H quanh trục Ox

 2

0

1 c

s d d sin

0

2

os in

2

V x x x x x x

    

    

       

 

 

Câu 5: Vật thể parabolide trịn xoay hình vẽ bên có đáy có diện tích B3 chiều cao

4

h Thể tích vật thể

A

3

V   B. V 6 C

4

V   D. V8 Lời giải

Đường cong parabol có dạng: y ax 2 đi qua điểm có tọa độ R h;  nên ta có:

2

h

y x

R 

R y x

h   

R h

y

x O

Thể tích khối trịn xoay là: 2 0

1

d

2

h

h

R R

V y y y

h h

 

  

2R h



Áp dụng cơng thức ta có:

2

V  R h 1.3.4 2Bh

  6

Câu 6: Cho hàm số y f x ax3bx2 cx d a b c d, , , , ,a0 có đồ thị  C Biết rằng đồ

thị  C tiếp xúc với đường thẳng y4 điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số  

'

y f x cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị  C trục hoành quay xung quanh trục Ox

A. 725

35 . B.

1

35. C. 6. D.Chọn khác

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số y f x'  f x' 3x21.

Khi f x  f x dx x'   33x C



Điều kiện đồ thị hàm số f x  tiếp xúc với đường thẳng y4 là:  

   

3

3

4

2

3

'

x x C

f x x

C x

f x

    

   

  

   

 

 

 

 

suy f x x33x22 C

+ C Ox hoành độ giao điểm x 2;x1

+Khi  

1

2

3

2

729

3

35

V  x x dx 



    

Nếu hình phẳng giới hạn đường thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox tính công thức: 2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A

3

1

3

b V

a

  

   

  B.

C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Tọa độ giao điểm hai đường điểm Vậy thể

tích khối trịn xoay cần tính là:

Bài tập 2: Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

D y f x y g x x a x b ,   ,  , 

D b 2  2 

a

V  f x g x dx

 

2

, , ,

y a x y bx a b  

Ox

5

  b

V

a

5

  b

V

a

5

1

3

b V

a

  

   

 

2

y a x y b x O(0; 0)

2

;

b b A

a a

 

 

 

5

2 2

3

0

1

b b

a a b

V b x dx a x dx a

 

        

 

 

2

4 ,

3

  

A B

C D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Tọa độ giao điểm hai đường điểm Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

Bài tập 3: Cho hình phẳng giới hạn đường quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A B C . D .

Hướng dẫn giải Chọn D

Với

Tọa độ giao điểm đường với điểm Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

Bài tập 4: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường elip quay quanh Ox bằng:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

24 V

5 

 V 28

5   28

V 

 V 24

5  

2

4

y x

3

y x A 3;1 B 3;1

 

3

2

3

1 28

4

9

V x dx x dx

 

        

2

2 ,

 

y x y x

88

V  

70

V  

3

V  

5 V  

    0;2

x y2 4x  y 4x

2

2 

y x y2  4x O(0; 0) A(1;2)

1

4

0

6

.4

5

V   xdx  x dx 

2 9 9

x  y 

Ta có:

Bài tập 5: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D giới hạn đường quanh trục Ox bằng:

A B.

C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Xét phương trình

Và 3 Bài tập

Câu 1: Quay hình phẳng hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn

xoay tích là:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hệ phương trình:

2 4 3

3

1

x y x

x

y y

    

    

 

 

 



Do đối xứng qua Oy nên:

3

2

2 2

3

9

9

9

x x

x y y V  y dx  dx 

 

 

         

, y x yx

 

1

0

x x dx

  1 

0

x x dx  

 

1

x x dx

  1 

0

x x dx  

2

0

0;

x

x x x x

x x

 

      

  1 2 1 2

0

0;1 ( )

x   x x  V  x x dx x x dx

4

Câu 2: Quay hình phẳng hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn

xoay tích:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét hệ phương trình: Do đối xứng qua Oy nên

Câu 3: Quay hình phẳng hình tơ đậm hình vẽ bên quanh trục Ox ta khối trịn

xoay tích là:

A B C

2

2 V  

D

   

3 3

2 2

0

3

2 3

3

x

V    x  dx  x dx  x   

 

 

46

V  46

15

V  23

9

V  V13

2 4

1

x y

x

y x

  

   

  

     

3 2

2

0

2 4

V    x  x dx  x  x dx

 

 

5 3 3 46

2

3 15

x x

x 

 

     

 

2

3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Ta có:

Đặt ;

Câu 4: Cho hình giới hạn đường cong tiếp tuyến điểm

trục Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục bằng:

A. B. C. D

Lời giải Chọn D

Ta có

Phương trình tiếp tuyến

Diện tích bằng:

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn đường Thể tích

của khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục bằng:

A B C D.

Lời giải Chọn D

 2  2

2

2

1

1 1

1

y x

x y y x

y x

    

       

    

   

1 2 2

2 2

0

2 1 1

V     x   x dx  x dx

 

 

sin

x t ;

2

t  

      

 

 

2

2

0

sin

8 cos cos 2

2 0

t

V tsdt t dt t

  

    

        

 

 

 H  C y e:  x,  C

 1;

M e Oy  H Ox

-1

1

x y

O

2

e 1

3

e  1

2

e  3

6 e 

x

y e

 C M 1;e y e x     1 e y ex

 H  

1 2

2 2

0

1

d

2

x x e e

V  e e x x e  x   

 



 H y x 24,y2x4,x0,x2

 H Ox

32 

 6  6 32

Suy thể tích cần tìm

Dạng 6: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn nhiều đồ thị 1 Phương pháp:

2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường , quanh trục Đường thẳng cắt đồ thị hàm

Gọi thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác quanh trục Biết Khi

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có Khi

Ta có

Khi quay tam giác quanh trục tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón có đỉnh , chiều cao , bán kính đáy ;

Hình nón thứ có đỉnh , chiều cao , bán kính đáy

Khi

Theo đề

Bài tập 2: Cho hình thang cong giới hạn đường Đường thẳng x = k chia thành hai hình phẳng S1 S2 hình vẽ bên Quay quanh trục Ox

được khối trịn xoay tích Với giá trị k

A B. C

1 11 ln

k

D

   

2

2

2

0

32

4 d d

5 V  x  x x x 

V

y x y0 x4 Ox x a 0 a 4 y x

M

1

V OMH Ox V 2V1

2

a a2

2

a a3

0

  

x x

4

0

d

V x x 

 ; 

M a a

OMH Ox

 N1 O h1 OK a RMK  a

 N2 H h2 HK  4 a RMK  a

2

1

1

3 3 3

  

V R h R h a

1

4

2

3

 

    

V V a a

, 0, 0, ln

x

y e y  x x

0 k ln 4 S S1, 2

1,

V V V12V2

1 32 ln

k 1ln11

2

k ln32

3

k

x y

O

a M

H

4

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

Theo giả thiết:

2

2

1

1

2 11 ln11

2 2

k k

k

e e

V  V      e   k

 

Bài tập 3: Cho hình phẳng D giới hạn đường y24x đường thẳng x4 Thể tích của

khối tròn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là:

A. 32. B. 64.

C.16. D. 4

Hướng dẫn giải : Chọn A

Giao điểm hai đường y24x x4 D4; 4 và E 4; 4 Phần phía Ox của đường 24

y x có phương trình y2 x Từ hình vẽ suy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

 

4 2

0

2 32

V   x dx 

Bài tập 4: Cho hình phẳng giới hạn đường y3 ,x y x x , 0, x1 quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

 2 2 ln 4 2 2

1

0

ln

;

0

2 2 2

k x k x k

x x

k

k

e e e e

V e dx V e dx

k

  

      

           

   

A. V



 B. V

3 

 C. V

3 

 D. V 

Hướng dẫn giải Chọn A

Tọa độ giao điểm đường x1 với yx y3x điểm C 1;1 B 3;1 Tọa độ giao điểm đường y3x với yx O 0;0 Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là:

1

2

0

8

.9

3 V   x dx  x dx 

Bài tập 5: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng giới hạn đường  P y x:  2; P' : y ; x2  d :y4 Thể tích của khối trịn xoay quay quanh trục Ox bằng: A.

5 

B.

5 

C.

5 

D. 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt V thể tích cần tìm

Xét phương trình hồnh độ giao điểm và: 4

2

x x

x

       Xét phương trình hồnh độ giao điểm và: 4 4

1

x x

x

      

 OAC

V thể tích khối trịn xoay sinh quay:

2

4 y x

y Oy      

quanh Ox

OAB

V thể tích khối trịn xoay sinh quay:

2

4 y x

y Oy      

quanh Ox

Lúc đó:        

2 2

2

2 2

0 0

4 4 4 16

OAC OAB

V V V    x dx   x dx x dx  x dx

   

   

5 2 1 32 16 4

4 16

0

5 5 5

x x

x x 

     

             

 

3 Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Cho  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số P : y x y, 0,y 2 x Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox là:

A. 



B.

6 C.

8 



D.

6 Lời giải

Chọn D

2

0 2

2

(2 )

x x

x x x

x x x x

   

 

     

    

 

 

1 2

2

0

5 (2 )

6 V  x dx x dx 

Câu 2: Cho hình  H giới hạn đường y x 1; y

x

 ; x1 Quay hình  H quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:

A 13 

B 125

6 

C 35

3 

D.18

Lời giải Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm:  

 

2

6

1 0

3 x

x x x x

x l

x

          

  

x y

Vì x

x   với x 1;2 nên thể tích cần tính

 

2

2 2

1

6 d 1 d 35

3

V x x x

x



   

     

 

 

Câu 3: Gọi  H hình phẳng giới hạn đường: y3 ;x y x x ; 1 Quay  H xung quanh trục Oxta khối trịn xoay tích là:

A 8



B 8

3

 . C. 82. D. 8.

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm: 3x x  x 3x x 0 với x 0;1 Thể tích cần tính 1 2

0

8

3 d d

3 V  x x x x 

Câu 4: Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx y2, 2x Thể tích của khối trịn xoay

được tạo thành quay  H xung quanh trục Ox bằng: A 16

15 

B 21

15 

C 32

15 

D 64

15 

Lời giải

Chọn D

Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số yx2 y2x nghiệm của phương trình

2 2

2

x

x x

x

    

  Thể tích khối tròn xoay tạo thành

   

2

2

2 2

0

π d π d

V   x x  x x

2

2 5

3

0 0

4 64π

π π

3 15

x

x  

 

      

   

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn đường 2,

3

y x y x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng:

A 28

5

V   B 28

5

V   C 24

5

V   D 24

5 V   Lời giải

Chọn B

Giải phương trình 2 3

x x x

Thể tích cần tìm  

2

3

2

3

28

4 d d

3

x

V  x x  x 

 

 

     

 

 

Dạng 7: Một số tốn thực tế ứng dụng tích phân

1 Phương pháp giải

*Một vật chuyển động có phương trình vận tốc khoảng thời gian từ đến

di chuyển quãng đường là:

Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần với

vận tốc Quãngđường

mà vật chuyển động từ thời điểm đến thời điểm mà vật dừng lại

A.1028m B.1280m C.1308m D.1380m Hướng dẫn giải

Khi vật dừng lại

Do

Chọn B

*Một vật chuyển động có phương trình gia tốc vận tốc vật sau khoảng thời gian là:

Ví dụ 2: Một tơ chuyển động với vận tốc , có gia tốc

Vận tốc ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị)

A.4,6 m/s B.7,2 m/s C.1,5 m/s D.2,2 m/s Hướng dẫn giải

Vận tốc ô tô sau 10 giây

 

v t t a

 

t b a b 

 

b

a

S v t dt

  160 10  / 

v t   t m s

 

t s

  160 10 16

v t   t  t

   

16 16

0

160 10 S v t dt  t dt  216  

0

160t 5t 1280 m

  

 

a t

 t t1;

 

1

t

t

va t dt

 

v t m s/ 

     / 2.

2

a t v t m s

t 

 



 

10 10

0

3 3

ln ln 21 4, /

2 2

v dt t m s

t

    

Chọn A

*Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến là:

2 Bài tập

Bài tập 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

A. B 4300 m. C.430 m D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm vận tốc

Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc

Ta

Sau 10 giây, quãng đường vật

Bài tập 2: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có biểu thức cường độ Biết với q điện tích tức thời tụđiện Tính từ lúc , điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến

A. B 0. C. D

Hướng dẫn giải

1

t t2

 

1

t

t

QI t dt

  3 a t  t t

4300 . m

430 . m

    3 2 3 .

2

t t v t a t dt t t dt   C

 0 10 10

v C

   

  3 10

2

t t v t   

 

10 3 10

0

3 4300

10 10

2 12

t t t t

S    dt   t  m

   



    v t a t dt   0cos 2

i t I t 

  i q t0

 

0

2I . 



2I .

 02

Chọn C

Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến

Bài tập 3: Gọi mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết

lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0,01cm)

A.2,67 cm B.2,66 cm C.2,65 cm D.2,68 cm

Hướng dẫn giải Chọn B

Mức nước bồn sau bơm nước giây

Bài tập 3: Một viên đá bắn thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu 40 m/s từ điểm cao m cách mặt đất Vận tốc viên đá sau t giây cho công thức v t 40 10 t m/s Tính độ cao lớn viên đá lên tới so với mặt đất

A.85 m B. 80m C. 90 m D. 75 m

Lời giải Chọn A

Gọi h quãng đường lên cao viên đá

  '     dt 40 10 dt 40 5

v t h t h t  v t   t  t t c Tại thời điểm t0 h5 Suy c5

Vậy h t 40t5t25

 

h t lớn v t  0 40 10 t  0 t Khi h 4 85m

Bài tập 4: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái đạp phanh cịn gọi “thắng” Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t  40t20 t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng bao nhiêu?

 

  0

0

0

0

2

cos sin

2

I I

Q I t dt I t dt t

 



 



 

 

 

   

         

   

 

    Q t I t dt

  

h t cm

  13 8

5 h t  t

     

6 6

3

0

0

1

8 8 2,66

5 20

h t dt  t dt t t   cm

 

A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m Lời giải

Chọn D

Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh t0

Gọi T thời điểm tơ dừng lại Khi vận tốc lúc dừng v T 0

Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng   40 20 v T    T    T Gọi s t  quãng đường ô tô khoảng thời gian T

Ta có v t s t  suy s t  nguyên hàm v t 

Vậy 1 s

2 ô tô quãng đường là:      

1

1

2

0

d 40 20 d 20 20

T

t

v t t   t t  t  t 

 

Bài tập 5: Một ô tô xuất phát từ A chuyển dộng với vận tốc nhanh dần đều, 10 giây sau, ô tô đạt vận tốc từ thời điểm tơ chuyển động Ơ tơ thứ hai xuất phát từ A sau ô tô thứ 10 giây, chuyển động nhanh dần đuổi kịp ô tô thứ sau 25 giây Vận tốc ô tô thứ hai thời điểm

A.12 B. C.10 D.

Lời giải Chọn A

Ta có gia tốc 10s đầu tơ thứ  2

5 0,5 m/s 10

v v a

t t



  



Trong 10s đầu, ô tô thứ chuyển động nhanh dần với vận tốc v t 0,5t

 Quãng đường ô tô thứ 10s  

10

0

0,5 dtt 25 m



Trong 25s tiếp theo, ô tô thứ 5.25 125

Vậy quãng đường ô tô thứ đến bịđuổi kịp 25 125 150 m    Mặt khác

0

1 S S  at

 Gia tốc ô tô thứ hai  0  2

2

2 2.150

0, 48 m/s 25

S S a

t 

  

Vậy đuổi kịp ô tô thứ nhất, vận tốc ô tô thứ hai vt v0at 12

 2 70 m/s

a  Tính quãng đường S m ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn

A. S 95, 70 m  B. S87,50 m  C S 94,00 m  D.  

96, 25 m

S

Lời giải Chọn D

Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh

   

5

1

0 0

dt dt 87,5 m

t S v t  t  

Vận tốc v t2  m/s ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thỏa mãn

   

2 70 dt 70

v t     t C , v2 5 v1 5 35 C 385 Vậy v t2  70t385 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thỏa mãn v t2   0 t 5,5 s 

Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn

     

5,5 5,5

2

5

dt 70 385 dt 8,75 m

S  v t    t 

Quãng đường cần tính S S1S2 96, 25 m 

Bài tập 7: Một vật di chuyển với gia tốc a t  20 2  t2m s/ 2 Khi t0 vận tốc của vật

là 30m s/  Tính quãng đường vật di chuyển sau giây

A. S46m B. S47m C. S48m D. S49m

Lời giải : Chọn C

Vận tốc vật :v t a t dt    20 2  t2dt10 2  t1C Khi t0    

0 10 30 20

v    C C Nên v t 10 2  t120m s/ 

Suy :      

2

1

10 20 48

S   t   dt m

Bài tập 8: Vật chuyển động với vận tốc ban đầu /m s có gia tốc xác định công thức  2

2 /

a m s

t 

 Vận tốc vật sau 10s

Chọn A

Ta có   2ln 1

v t dt t c

t

   

 

Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức : v 0  5 2ln 1      c c Nên v t 2lnt 1

Vận tốc vật sau 10s : v 10 2ln 11  5 9,8 Chọn Chọn A

Bài tập 9: Trong giờ thực hành mơn Vật Lí Một nhóm sinh viên nghiên cứu chuyển động hạt Trong q trình thực hành nhóm sinh viên phát hạt prôton di chuyển điện trường với biểu thức gia tốc là:a 20 2  t2.Với t ta tính giây Nhóm sinh viên tìm hàm vận tốcv theo t, biết t0thìv30 /m s2 Hỏi biểu thức đúng là?

A 10 25 /

1

v cm s

t

 

   

  B

2

10

20 /

v cm s

t

 

   

 

C 10 10 /

1

v cm s

t

 

   

  D

2

10

20 /

v cm s

t

 

   

 

Hướng dẫn giải : Chọn D

Trước hết để giải toán ta ý Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là:va dt

Áp dụng cơng thức trên, ta có :

 2

20

v adt dt

t



 



 

Đến ta đặt :

1 2

2 du u  t du dtdt

2

10 10 10

10

1

v du u du K K

u u t

 

      



 

Với t0,v30K 20

Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian : 10 20 / 2

1

v cm s

t

 

   

 

Bài tập 10: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm cách sau Họ tiến hành quan sát tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s Hỏi biểu thức vận tốc tia lửa điện là?

Chọn A

Tia lửa chịu tác động trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc  2

9,8 / a  m s Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a :

9,8 9,8

vadt  dt  t C Ởđây, với : t0,v15 /m s C 15

Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng : v 9,8t15

Bài tập 11: Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm cách sau Họ tiến hành quan sát tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m / s Hỏi sau 2, giây tia lửa điện có chiều cao bao nhiêu?

A. 6.235 m B. 5.635 m C. 4.235 m D. 6.875 m

Hướng dẫn giải Chọn D

Tia lửa chịu tác động trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a 9,8m s/ 2

Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a : 9,8 9,8

vadt  dt  t C Ởđây, với t0,v15 /m s C 15 Vậy ta biểu thức vận tốc có dạng:

9,8 15 v  t

Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta có bểu thức quãng đường:  9,8 15 4,9 t 152

svdt  t dt   t K Theo đề bài, ta t    0 s K 0

Vậy biểu thức tọa độ quảng đường : s 4,9t215 t

Khi t2,5 s , ta sẽđược s6,875 m

Dạng 8: Bài toán thực tế

1 Phương pháp: Vận dụng kiến thức tích phân tốn ứng dụng. 2 Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Tính thể tích hình xuyến tạo thành quay hình trịn  C :x2y22 1 quanh trục Ox

Hình trịn  C có tâm I 0; , bán kính R1 x2y221

Ta có    

2

2

2

2

1 1

2

    

      

    

y x

y x x

y x

Thể tích cần tính:

   

1 2 2

2 2

1

2

 



 

        

 



V x x dx

Bài tập 2: Thành phốđịnh xây cầu bắc ngang sông dài 500m, biết người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40m,biết bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày nhịp cầu không đổi 20cm Biết nhịp cầu hình vẽ Hỏi lượng bê tơng để xây nhịp cầu

A. 20m3. B. 50m3.

C. 40m3. D.100m3.

Hướng dẫn giải: Chọn C

Gọi Parabol có phương trình:   2   

1 : 1

P y ax bx c ax  bx O P

2

2

20

100

y ax bx ax ax bx

       phương trình parabol

Ta có     2

1 1

2 4

, :

625 25 625 25

I A P  P y   x  xy   x  x

Khi diện tích nhịp cầu S S 1 với S1 phần giới hạn y y1; 2 khoảng 0;25

0,2 15

2

0 0,2

2

2 0,9

625 25

S    x  x dx  dx m

 

   

Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày VS.0, 1,98 m3số

lượng bê tông cần cho nhịp cầu 2m3

Vậy mười nhịp cầu hai bên cần 40m3 bê tông

Chọn Chọn C

Bài tập 3: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ởđó có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từđường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16y2x225x2 như hình vẽ bên.

Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét

A 125  2

6

S m B 125  2

4

S m C 250  2

3

S m D 125  2

3

S m

Hướng dẫn giải

Chọn D

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy

Từ giả thuyết tốn, ta có 5

4

y  x x Góc phần tư thứ 25 2;  0;5

4

y x x x

Nên

5

2

( )

1 25 d 125 125( )

4 12

I

S  x x x  S m

Bài tập 4: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x1và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm, thể tích lọ là:

A.8 . dm2 B. 15 3.

2  dm C. 14 2.

3  dm D.

2

15 . dm

Lời giải Chọn B

 r1y1  1 x1

 r2y2  2 x23

Suy ra:  

3

2

0

0

15

d d

2

x

V  y x x x x  

 

 

Bài tập 5: Để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng ( A) sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm

A. A1,56 ( )J B. A1 ( )J C. A2,5 ( )J D. A2 ( )J

Lời giải Chọn A

x y

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từđộ dài tự nhiên f x kx, với  / 

k N m độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từđộ dài 10cm đến 15cm, lượng kéo giãn 0.05 cm m Điều có nghĩa f0.0540, đó:

  40

0,05 40 800 /

0,05

k  k  N m

Vậy f x 800x cơng cần để kéo dãn lị xo từ đến 18cm là:

     

0,08

0,08 2

2 0,05 0,05

800 d 400 400 0, 08 0, 05 1,56

A  x x     J

Góc phần tư thứ 25 2;  0;5

4

y x x x

Nên

5

2

( )

1 125 125

25 d ( )

4 12

I

S  x x x  S m 3 Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình

vẽ Tính thể tích khối bê tơng đểđổđủ cầu

A.19m3. B. 21m3. C.18m3. D. 40m3.

Hướng dẫn giải Chọn D

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ

15cm

0 , 5m 9m , 5m

5m

2m

0 , 5m

x

O M

x x

Ta có

Gọi   :

P y ax c Parabol qua hai điểm 19;0 ,  0; 2

A  B

 

Nên ta có hệ phương trình sau:  

2

2

8 19

0

:

361

361

2

a a

P y x

b b

   

 

 

       

   

   

 Gọi  

2 :

P y ax c Parabol qua hai điểm 10;0 , 0;5 C D 

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

Ta tích bê tơng là:

19

10 2 2 3

2

0

1

5.2 40

40 361

V    x  dx  x  dx m

   

  

Câu 2: Cho hai mặt cầu  S1 ,  S2 có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1 thuộc  S2 ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo ( )S1 ( )S2

A. V R3. B

2

R

V  C

3

5 12

R

V   D.

3

2

R V   Hướng dẫn giải

Chọn C

 

 

2

2

1

0 10

1

40

2 :

5 40

2

a a

P y x

b b



    



     

 

   

 

 

O R

2

R

2 2

( ) :C x y R y

x y

Gắn hệ trục Oxy hình vẽ

Khối cầu S O R ,  chứa đường tròn lớn  C x: 2y2 R2

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính

Câu 3: Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu

là bao nhiêu?

A. 425, lit B. 425162 lit C. 212581 lit D. 212,6lit Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi  P :y ax 2bx c parabol đi qua điểm A0, 5; 0,3 có đỉnh S0; 0, 4 Khi

đó, thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn  P , trục hoành hai đường thẳng x 0,5 quay quanh trụcOx

Dễ dàng tìm  : 2 0, 4

5 P y  x  Thể tích thùng rượu là:

2

0,5 0,5

2

0,5

2 203

0, 0, 425,5 (l)

5 1500

V x dx x dx



   

         

   

  

 

Câu 4: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

  3

2 2

2

5

2 d

3 12

R R

R R

x R

V   R x x R x   

 



x y

0,4m

0,3m 0,5m

O S

A.33750000 đồng B.12750000 đồng C 6750000 đồng D. 3750000 đồng

Hướng dẫn giải Chọn C

Gắn parabol  P hệ trục tọa độ cho  P qua (0;0)O Gọi phương trình parbol là: P : y ax 2bx c

Theo đề ra,  P qua ba điểm (0;0)O , (3;0)A , (1,5; 2, 25)B Từđó, suy  P : 3y  x2 x

Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

2

0

9

2

S   x x dx Vậy số tiền bác Năm phải trả là:9.1500000 675

2  000

Câu 5: Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng Biết kinh phí để trồng hoa 100.000đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để

trồng hoa dải đất đó?

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D. 7.826.000

đồng

Hướng dẫn giải Chọn B

Giả sử elip có phương trình

2

2

x y

a b 

Từ giả thiết ta có 2a  16 a 8 2b  10 b 5

x y

A B

O

Vậy phương trình elip

2

2

2

5

64 ( )

8

5 64 25

64 ( )

8

y y E

x y

y y E

    

   

  



Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( ); ( );E1 E2 x 4; x4 diện tích dải vườn

4

2

4

5

2 64 d 64 d

8

S x x x x



     

Tính tích phân phép đổi biến x8sint, ta 80

S  

 

Khi số tiền 80 100000 7652891,82 7.653.000

T    

  

Câu 6: Người ta dựng lều vải có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy hình lục giác cạnh m Chiều cao SO6m Các cạnh bên sợi dây c c c c c c1, , , , ,2 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả

sử giao tuyến với mặt phẳng vng góc với SO lục giác qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều

A. 135 ( 3)

5 m B.

3

96 ( )

5 m C.

3

135 ( )

4 m D.

3

135 ( )

8 m

Hướng dẫn giải Chọn D

c1

c4

c5

c2 c6

c3

3m 1m

Đặt hệ tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ (0;6), (1;3), (3;0)

A B C nên có phương trình 6

2

y x  x Theo hình vẽ ta có cạnh thiết diện BM

Nếu ta đặt t OM

2

BM   t Khi diện tích thiết diện lục giác:

2

2 3 3 7 1

( ) ,

4 2

BM

S t     t 

  với t 0;6 Vậy thể tích túp lều theo đề là:

2

6

0

3 135

( )

2

V  S t dt   t  dt

 

 

Câu 7: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường trịn , cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là:

A 32 3

V  B 256

3

V 

2 16

x y 

y

C 256

V  D 32

3 V 

Hướng dẫn giải Chọn B

Giải phương trình x2y216 y2 16x2  y 16x2

Diện tích thiết diện ( ) 2 16 2.sin 16 2 3

2

S x  x  x

Thể tích cần tìm  

4

2

4

256 ( ) 16

3

V S x dx x dx

 

     

Dạng 9: Các toán bản chất đặt sắc của tích phân

Bài tập 1: Cho hàm số y f x  có đồ thị 2;6 hình vẽ bên Biết miền A, B, x2 có diện tích 32; 2; Tích phân  

2

2

2

f x dx



 

 

 



A. 45

2 B.41 C.37 D.

41 Hướng dẫn giải

Ta có    

2

2

2 2

f x dx f x dx

 

    

 

 

 

Xét  

2

2

2

I f x dx



  

Đặt 2

2 dt t x dt dxdx

Đổi cận: x    2 t 2; x  2 t

Suy  

6

2

1

I f t dt 

 

Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y f x  với trực hồnh

  2 x1 x26 Ta có

       

 

1

1

6

2

1

2

1 33

32

2

x x

A B C

x x

I f t df f t df f t df S S S



 

      

 

   

  

Vậy  

2

1

33 41

2 4

2

f x dx I



      

 

 



Bài tập 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x  hình bên Đặt      2

2

A. g 3 g  3 g 1 B. g  3 g 3 g 1 C. g 1 g  3 g 3 D. g 1 g 3 g 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có g x 2f x  2 x1    

g x   f x  x Đây phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f x  đường thẳng d: y x 1

Dựa vào đồ thị ta thấy:     1 x

g x f x x

x          

   Bảng biến thiên:

x  –3 

 

g x – + – +

 

g x



 3

g 

 1

g

 3

g



Suy g  3 g 1 g 3 g 1

Gọi S1, S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x , đường thẳng

d: y x 1 đoạn 3;1  1;3 ta có:

+) Trên đoạn 3;1 ta có f x  x nên      

1

1

3

1

1

S g x dx f x x dx

 

 

+) Trên đoạn  1;3 ta có f x  x nên      

3

2

1

1

1

S  g x dx   x f x dx  Dựa vào đồ thị ta thấy S1S2 nên ta có:

 1              

3

1 3 3

g x g x g g g g g g



          

Vậy g 1 g 3 g 3 Lưu ý:

- Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f x  đường thẳng d: y x 1 nghiệm của phương trình g x 0

- Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn g 3 Ta cần so sánh g 3 g 3 . - So sánh diện tích dựa vào đồ thị.

Ví dụ 4: Hình phẳng  H giới hạn đồ thị  C hàm đa thức bậc ba parabol  P có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A. 37

12 B.

7

12 C

11

12 D.

5 12 Hướng dẫn giải

Chọn A

Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ

y y0 nên ta xét hai hàm số y ax 3bx2 cx 2, y mx 2nx (với a, m0)

Suy  C : y f x ax3bx2 cx 2  P : y g x  mx2nx

Phương trình hồnh độ giao điểm  C  P là:

   

3 2 2 0

Đặt P x ax3bx2cx2  mx2nx.

Theo giả thiết,  C  P cắt điểm có hồnh độ x 1, x1, x2 nên P x a x 1x1x2

Ta có P 0 2a

Mặt khác, ta có P 0  f   0 g   2 a Vậy diện tích phần tơ đậm    

2

1

37

1

12

S x x x dx

