ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM PHẦN 3

CHƯƠNG 1: (TIẾP THEO) BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HAI HÀM SỐ GIAO NHAU THỎA MÃN CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT Để biện luận theo m số giao điểm cuatr hai hàm số thỏa mãn điều kiện tính chất hình học phẳng Oxy ta làm bước sau: Bước 1: TXĐ: f ( x, m ) = g ( x , m ) ⇔ F ( x , m ) = Bước 2: Phương trình hồnh độ giao điểm đưa dạng: ∆ Sử dụng biệt thức , đưa phương trình tích để biện luận số giao điểm hai hàm số Bước 3: Dựa theo yêu cầu đề mà ta sử dụng cơng thức biến đổi hình học phẳng như: vectơ, tích vơ hướng, khoảng cách, hình chiếu, điểm đối xứng,… Bước 4: Giải kết luận giá trị tham só m Bài tập vận dụng y= m−x ( Hm ) x+2 Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số đường d : 2x + y −1 = thẳng giao hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện S= tích m = A Giải: B m= C m = Hoành độ giao điểm A, B d D ( Hm ) −x + m = − x + ⇔ x + x + ( m − 1) = 0, x ≠ −2, x+2 Phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 m = nghiệm phương trình: ( 1) phân biệt khác -2: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 17  ∆ = 17 − 16m > m < ⇔ ⇔ 16 2 − − + m − ≠ ( ) ( ) m ≠ −2  Ta có: AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = ( x2 − x1 ) 2 17 − 16m h= Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d 2 1 SOAB = h AB = 17 − 16m = ⇔ m = 2 2 Suy Chọn A (thỏa mãn) y= 2x (H) x−2 Bài 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số đường d : y = x+m thẳng giao hai điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách hai điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ m= 30 31 32 33 m=4 m=0 m = −1 A B C D Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x = x + m ⇔ x + ( m − ) x − 2m = 0, ( 1) x−2 Để d cắt (H) điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ∆ = m2 + 16 ⇔ , ∀m −4 ≠ Giả sử ( 2) A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) Thei viet ta có: hai giao điểm  x1 + x2 = − m ( 3)   x1.x2 = −2m x1 , x2 nghiệm phương trình (1) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang y1 = x1 + m, y2 = x2 + m Để A, B thuộc nhánh khác đồ thị A B nằm khác phía đường thẳng x−2=0 ( x1 − ) ( x2 − ) < x−2=0 A B nằm khác phía đường thẳng hay x1.x2 − ( x1 + x2 ) + < 0, ( ) Tahy (3) vào (4) ta AB = ( x1 − x2 ) −4 < (5) Mặt khác ta lại có + ( y1 − y2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Tahy (3) vào (6) ta được: AB = 2m + 32 ≥ 32 ( 6) AB = 32 m=0 nhỏ ( 7) AB = 32 m=0 Từ (1), (5), (7) ta có thỏa mãn Chọn C Nhận xét: Đối với khoảng cách 2, có cách tính khoảng cách AB nhanh khơng? Chúng ta khẳng định có ax + b y= y = mx + n, ( m ≠ ) cx + d Thật vậy, ta có tổng quát: Cho hàm số đường thẳng A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) Gọi A, B hai điểm mà đường thẳng cắt hàm số Giả sử giao điểm, AB = = Với x1 , x2 nghiệm phương trình: ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = ( + m ) ( ( x1 + x2 ) 2 ) − x1 x2 = f ( x ) = mx + n, ( 1) ( x1 − x2 ) m + ( m ( x1 − x2 ) ) = (1+ m ) ( x − x ) 2 (1+ m ) ∆ ∆ tính từ phương trình (1) ∆ +Nếu AB nhỏ nhỏ Ta xét tập sau đây: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang y= Bài 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số x +1 (H) x −1 đường d : y = x + m2 x + m thẳng giao hai điểm phân biệt A, B thuộc nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn m = m = −3 m=0 m = −1 A B C D Giải: Để đường thẳng d cắt (H) hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm x +1 = 2x + m x −1 x1 < < x2 có hai nghiệm phân biệt với m  x + = ( x − 1) ( x + m ) ⇔ x1 < < x2  x ≠ có hai nghiệm phân biệt 2 x + ( m − 3) x − m − = ( *) ⇔  x ≠ có hai nghiệm phân biệt x1 < < x2 ( m + 1) + 16 > 0, ∀m ∆ > ⇔ ⇔  f ( 1) <  f ( 1) = + ( m − 3) − m − = −2 < Vậy với giá trị m đường thẳng d ln cắt (H) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác A ( x1;2 x1 + m ) , B ( x2 ;2 x2 + m ) Gọi giao điểm d (H) x1 , x2 ( nghiệm phương trình (*)) Ta có: AB = ( x2 − x1 ) AB = Theo viet ta có: ( + ( ( x2 − x1 ) ) = ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 2 )  ( m + 1) + 16  ≥   ABmin = ⇔ m = −1 Vậy m = −1 giá trị cần tìm HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Nhận AB = Khi xét: Vậy ( + ) ∆ = 12 ∆ → ta có 5∆ = m = −1 thể tính ( theo cơng thức tính nhanh ) Chọn D Bài 4: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số A trên: ( m + 1) + 16 → y= thẳng x +1 (H) x −1 đường d : y = x + m2 x + m AB = giao hai điểm phân biệt A, B cho  m = 10  m = −2  m = m=0 B C D m = Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x + mx + m + = 0, ( x ≠ −1) , ( 1) (d) cắt (H) điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác -1 m − 8m − 16 > ( ) ⇔  x ≠ −1 A ( x1; y1 ) B ( x2 ; y ) Gọi giao điểm d (H) Ta có trình (1) 1 AB = + 22 ) ∆ = 5∆ = ( m − 8m − 16 ) = ( 2  m = 10 ⇔ m − 8m − 20 = ⇔   m = −2 x1 , x2 nghiệm phương Thỏa mãn (2) Chọn D y= Bài 5: Tìm tất giá trị thực a b cho đồ thị hàm số d : y = ax + b A a = −2  b = −1 x −1 ( C) x +1 giao hai điểm phân biệt, đối xứng qua đường thẳng a = −2 a = −2 a = −2    b = −2 b = −3 b = −4 B C D HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn đường thẳng ∆ : x − 2y + = Trang Giải: Phương trình ∆ y= viết lại dạng x+ 2 ∆ ⊥ d ⇔ a = −1 ⇔ a = −2 ∆ Để giao điểm đối xứng qua d : y = −2 x + b Suy đường thẳng Phương trình hoành độ giao điểm d (C ): x −1 = −2 x + b ⇔ x − ( b − 3) x − ( b + 1) = ( 1) x +1 Để d (C ) cắt hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ b + 2b + 17 > ⇒ ∀b ∈ ¡ x A + xB b −  =  xI =   y = y A + yB = b +  I 2 Goi I trung điểm AB, ta có: ∆ ∆ Vì A, B đối xứng qua nên trung điểm I thuộc vào đường thẳng , ta có: b−3 xI − y I + = ⇔ − ( b + 3) + = ⇔ b = −1 Vậy  a = −2  b = −1 thỏa ycbt Chọn A y= Bài 6: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số d : y = mx + 2x + ( C) x −1 đường thẳng giao hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (O gốc tọa độ) A m = ± B m = − C m = 3+ D m = 2± Giải: Pt hoành độ gia điểm: 2x + = mx + 3, ( x ≠ 1) ⇔ mx − ( m − 1) x − = 0, ( 1) x −1 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang (d) cắt đồ thị hàm số (C ) A, B pt (1) có nghiệm phân biệt khác 1, nên:  2x + = mx + 3, ( x ≠ 1) ⇔ mx − ( m − 1) x − = 0, ( 1)   x −1 m.12 − ( m − 1) − ≠  m ≠ m ≠    ∆ > ⇔   m < −7 − g ≠  ( )    m > −7 + uuu r uuu r uuu r uuu r OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = ⇔ x A xB + ( mx A + 3) ( mxB + 3) = ⇔ ( m + 1) ( x A xB ) + 3m ( x A + xB ) + = 0, ( ) Theo Viet ta có: m −1  x + x = A B  m , ( 3)   x x = −  A B m Thay (3) vào (2) ta được: Vậy với m = ± m − 6m + = ⇔ m = ± thỏa mãn ycbt Chọn A Bài 7: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số đường thẳng 2 A , với m = m =  ∆ : y = −x + điểm phân biệt A ( 0; ) y = x3 + 2mx + ( m − 1) x + ( C ) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích M ( 3;1) B m = m =  C Giải: Pt hoành độ giao điểm đồ thị với x3 + 2mx + ( m − 1) + = − x + m = m =  ∆ D m = m =   x = ⇒ y = ⇔  x + 2mx + 3m − = ( 1) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ∆ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số (C ) ba điểm phân biệt nghiệm phân biệt khác 0, khi: A ( 0;2 ) , B, C pt (1) có hai m >  m − 3m + > ∆ ' >   m < ⇔ ⇔  m − ≠  g ( ) ≠  m ≠  B ( x1; y1 ) Gọi y1 = − x1 + và C ( x2 ; y ) , y2 = − x2 + h = d ( M ;( ∆) ) = +1− Ta có: Mà x1 , x2 ⇒ BC = nghiệm (1); S MBC 2.2 = =4 h 2 2 BC = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2    = ( m2 − 3m + ) m = ( m − 3m + ) = 16 ⇔  m = Suy m = m =  Vậy thỏa ycbt Chọn A Bài 8: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt  m < −1  m < −1 m > m >   A B Giải: Pt hoành độ giao điểm: x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn điều kiện  m < −1 m >  C D y = x − mx − x + m + ( Cm ) 3 x12 + x22 + x32 > 15 m < m >  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang x − mx − x + m + = ⇔ x3 − 3mx − x + 3m + = 3 ⇔ ( x − 1)  x + ( − 3m ) x − 3m −  = ( 1) x = ⇔  x + ( − 3m ) x − 3m − = ( ) ( Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt pt (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác ∆ = ( − 3m ) + ( 3m + ) > 3m + 2m + > 0, ∀m ⇔ ⇔ m ≠ ( 3)   m ≠   g ( 1) = −6m ≠ Giả sử Ta có: x3 = 1, x1 , x2 nghiệm (2) x1 + x2 = 3m − 1; x1x2 = −3m − Khi đó: x + x + x > 15 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + > 15 2 2  m < −1 ⇔ ( 3m − 1) + ( 3m + ) − 14 > ⇔ m − > ⇔  ( 4) m > Từ (3) (4) ta có giá trị cần tìm là:  m < −1 m >  Chọn B y = x − x − x + m ( Cm ) Bài 9: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng m = 11 m = 10 m=9 m=8 A B C D Giải: x − x − x + m =0( *) Pt hoành độ giao điểm: x1 , x2 , x3 ( x1 < x2 < x3 ) ( Cm ) x1 , x2 , x3 Ox Giả sử cắt trục ba điểm phân biệt có hồnh độ nghiệm pt(*) x − 3x − x + m =( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) Khi đó: x3 − ( x1 + x2 + x3 ) x + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3 ⇒ x1 + x2 + x3 = ( 1) HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Ta có: x1 , x2 , x3 x1 + x3 = x2 lập thành cấp số cộng x2 = m = 11 Thế (2) vào (1) ta , thay vào pt (*) ta được: ( 2) m = 11: ( *) ⇔ x3 − 3x − x + 11 = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 11) = Với  x1 = −  ⇔  x2 = ⇒ x1 + x3 = x2   x3 = + Vậy m=11 thỏa ycbt Chọn A CHỦ ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ THẢO MÃN CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT ∆ ( C ) : y = f ( x) M ( x0 ; y0 ) Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm y0 = f ( x0 ) x0 Nếu cho tìm f ( x ) = y0 y0 x0 Nếu cho tìm nghiệm phương trình y ' = f '( x ) y ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) Tính Suy y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) ∆ Phương trình tiếp tuyến là: ( C ) : y = f ( x) k ∆ ∆ Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết có hệ số góc cho trước Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) f ' ( x0 ) Gọi tiếp điểm Tính k ⇒ f ' ( x0 ) = k ( 1) ∆ có hệ số góc y0 = f ( x0 ) x0 ∆ Giải phương trình (1), tìm tính Từ viết phương trình Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc y = kx + m ∆ Phương trình đường thẳng có dạng HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 10 2cm C Giải: D 500 x2 2000 S = x + xh = x + x 2000 f ( x) = x2 + x 2000 ⇒ f '( x) = x − x ∈ 0;10 x f ' ( x ) = ⇒ x = 10 3cm V = x h = 500 ⇒ h = ( ( X 10 10 || f ( x) ⇒ x = 10 )) 589 300 (thỏa mãn) Chọn B Bài 3: Huyền có bìa hình tròn hình vẽ, Huyền muốn biến hình tròn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? A π B π C π D π Giải: V = π r 2h HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 23 R = h + r = const ⇒ r = R − h ⇒ V = π h ( R2 − h2 ) = f ( h ) 1 f ( h ) = π R 2h − π h 3; f ' ( h ) = π R − π h 3 R ⇒ f '( h) = ⇔ h = ⇒ Vmax ⇔ h = R 2.R ⇒r= 3 2π r = Chu vi đường tròn đáy hình nón Ta có: 2π  → 2π R x¬   2R 2 πR ⇒ x = π 3 Chọn A Bài 4: sau phát dịch bệnh vi rút Zika, chuyên gia y tế TP.HCM ước tính số người f '( t ) f ( t ) = 15t − t t nhiễm bệnh kể từ xuất bệnh nhân đến ngày thứ Ta xem t tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày bao nhiêu? A Ngày thứ 10 B Ngày thứ 15 C Ngày thứ 20 D Ngày thứ 25 Giải: f ( t ) = 15t − t f ' ( t ) = 30t − 3t = −3 ( t − ) + 75 ≤ 75 f ' ( t ) max = 75 ⇔ t = Bài 5: Có mảnh đất hình vng ABCD cạnh a Người ta cần làm trại có đáy hình thang ABCM với điểm M thuộc cạnh AD mp ( ABCD ) AM = x ( ≤ x ≤ a ) A Giả sử đỉnh cột S, chiều cao cột thể tích trại dạng chóp S.ABCM là: Dựng cột vng góc với y, ( y > ) Nếu HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn x2 + y = a2 , giá trị lớn Trang 24 A a3 B a3 C a3 24 D a3 32 Giải: AM = x ⇔ DM = a − x S ABCM = a − 1 ( a − x) a = a ( a + x) 2 y = a2 − x2 1 VS ABCM = SA.S ABCM = a ( a + x ) a − x Xét hàm số: f ( x ) = a ( a + x ) a − x , x ∈ [ 0; a ]  x = −a f '( x ) = ⇔  x = a  BBT X a f '( x ) + − max f ( x) ⇒ Vmax a a a3 ⇔ x = ⇒ VS ABCM = Chọn B Bài 6: Cho tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm chiều rộng 8cm Gấp góc bên phải tờ giấy cho sau gấp, đỉnh góc chạm đáy hình vẽ Để độ dài nếp gấp nhỏ giá trị nhỏ bao nhiêu? HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 25 A Giải: B C D EF = x, EC = − x FC = x − ( − x ) = 16 x − 64 ∆ADF : ∆FCE ( g g ) ⇒ AF = EF CF = AF AD EF AD 8x = FC 16 x − 64 64 x 16 x y = AE = AF + EF = +x = 16 x − 64 16 x − 64 16 x f ( x) = , x ∈ ( 0;8 ) 16 x − 64 48 x ( 16 x − 64 ) − 16.16 x f '( x ) = ( 16 x − 64 ) 2 f ' ( x ) = ⇔ 768 x3 − 3072 x − 256 x = ⇔ 512 x3 − 3072 x = ⇔ x = BBT X f '( x ) − + f ( x) y= f ( x ) ⇒ ymin = f 108 = 108 = Chọn D HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 26 Bài 7: Cần đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo độ cao để mép bàn nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu C=k sin α r2 thị công thức phụ thuộc vào nguồn sáng) h= A Giải: 3a h= B R2 − a2 + h2 ( α góc nghiêng tia sáng mép bàn, k số tỷ lệ a 2 h= C a h= D a (Định lý Py-ta-go) h h = R a + h2 sin α h ⇒C =k =k 2 R a + h ( a2 + h2 ) sin α = f ( h) = Xét hàm ( h a +h 2 ) ( h > 0) 2 h + a ( ) − 2h2 32 a + h f '( h) = ( a + h2 ) f '( t ) = ⇔ BBT h (h + a ) = 3.h a + h ⇔ h + a = 3h ⇔ h = f '( h) f ( h) f ( h ) max ⇔ h = +∞ a 2 + a 2 − Max a a ⇒ C = k f ( h ) max ⇔ h = 2 Chọn B Bài 8: Một người nơng dân có 15 000 000 đồng để làm hàng rào hình chữ E dọc theo sơng (như hình vẽ) để làm khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 27 song với bờ sơng chi phí vật liệu 60 000 đồng mét, ba mặt hàng rào song song chi phí nguyên vật liệu 50 000 đồng mét Tìm diện tích lớn đất rào thu 6250 ( m ) 1250 ( m ) 3250 ( m ) A B C Giải: Phân tích ta đặt kích thước hàng rào hình vẽ D 50 ( m ) Từ đề ban đầu ta có mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15000000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu biết giá thành mặt nên ta có mối quan hệ: x.50 000 + y.60 000 = 15 000 000 ⇔ 15 x + 12 y = 1500 1500 − 15 x 500 − x ⇔ y= = 12 Diện tích khu vườn sau rào tính công thức: 500 − x f ( x) = xy = x = ( −5 x + 500 x ) Cách 1: Xét hàm số khoảng, vẽ bảng biến thiên kết luận GTLN: f ( x) = ( −5 x + 500 x ) Xét hàm số (0;100) f ' ( x ) = ( −10 x + 500 ) , f ' ( x ) = ⇔ x = 50 BBT x 50 100 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 28 f '( x ) + f ( x) − 6250 A − g ( x) ≤ A Cách 2: Nhẩm nhanh sau: Ta biết sau: 5 f ( x) = ( − x + 100 x ) = ( − x + 2.50 x − 2500 + 2500 ) 2 =  2500 − ( x − 50 )  ≤ 6250   với x, nên ta nhẩm nhanh Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai ấn nhiều lần máy sau X-Value Maximum= Y-Value Maximum= 50 6250 Vậy chọn A Bài 9: Công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai Với thiết kế khối cầu viên ngọc trai khổng lồ, bên khối trụ bên nửa khối cầu để đựng kem dưỡng, hình vẽ (hình ảnh mang tính chất minh họa) Theo dự kiến nhà sản xuất có dự R = 3cm định để khối cầu có bán kính Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) 54π cm3 A Giải: B 18π cm3 C 108π cm3 D 45π cm3 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 29 Phân tích: Đậy thực tế dựa ứng dụng: khối trụ nội tiếp nửa khối cầu Ta có mặt cắt nửa khối cầu đựng mĩ phẩm với kích thước thể hình vẽ sau: Ý tưởng dựa kiến thức học tìm GTLN-GTNN hàm h r số biến khoảng (đoạn) Owr có hai biến Do ta tìm cách để h r đưa biến, đưa biến theo biến đưa theo 2 r = R −h Ta nhận thấy theo định lý pytago Vtr u = B.h = π r h = π ( R − h ) h = π ( −h + R h ) Khi đó: g Để thể tích khối trụ lớn f ' ( h ) = −3h + R = ⇔ h = f ( h ) = − h3 + R h có GTLN R =3 BBT (Khi giải trắc nghiệm không cần vẽ bảng biến thiên) h R f '( h) + f ( h) R −  R  f ÷  3 ( Mà ( 0; R ) )  R  f ÷ = f ( 3) = −3 x + 3 = 54  3 Vmax = 54π Vậy Chọn A Bài 10: Một mương gọi dạng “Thủy động học” với diện tích thiết diện ngang xác định chiều dài đường biên giới hạn nhỏ Người ta cần mương dẫn nước với thiết 2m diện ngang hình chữ nhật có Hãy xác định kích thước mương dẫn nước để mương có dạng “Thủy động học”? HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 30 A 1m m 2m B m C Giải: Cách 1: Chiều dài đường biên là: 2 x + = f ( x ) ( x ∈ ( 0;2 ) ) x f '( x) = − x f '( x) = ⇔ x = X f '( x ) D − m 2 m và 4m 3m + f ( x) Vậy kích thước mương 1m 2m Cách 2: x y = Diện tích ngang: Chiều dài đường biên: x + x + y = x + y ≥ 2 xy = Dấu “=” xảy khi:  xy = x = ⇔  2 x = y y = Chọn A Bài 11: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà xuất để khoảng trống nho nhỏ đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào thớ mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm (hình vẽ mang tính chất minh họa) Thớ mì tơm có dạng hình trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều có 9cm bán kính đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách để cho thớ mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn đó? HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 31 V = 36π A Giải: Cách 1: B V = 54π IA = x; ( < x < ) Gọi độ dài KI = R Gọi ∆ABO : ∆AKI ⇒ C V = 48π Khi đó: V= D 81 π r = − x; KI AI R x 9x = ⇔ = ⇒R= BO AO BO AO Vtru = π r R = π ( − x ) 9x Suy Hình trụ tích lớn hàm số: 9x y = ( − x ) = x − 18 x + 54 x đạt GTLN y ' = x − 36 x + 54 x = y ' = ⇔ x − 36 x + 54 = ⇔  x = BBT X y' y + − 48 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 32 x = ⇒ V = 48π Vậy Cách 2: Đặt  BK = x ( < x < )  µ  ABH = α ( < α < 90 ) 9x h = BK tan α = r = 6− x ⇒ V = π r h = π ( − x ) 9x 3π  12  = π ( − x ) ( − x ) x ≤  ÷ = 48π 4  3 Dấu “=” xảy klhi x=2 Chọn C Bài 12: Một ống có đường kính khơng đáng kể mang từ 8m 4m hẻm sang hẻm (hình vẽ) Hỏi chiều dài dài ống bao nhiêu? A (1+ ) ( 1+ 12 B C Giải: = y1.sin α ( 1+ D ) ) = y2 cos α + sin α cos α −8cos xα 4sin α y' = + sin α cos α −8cos3 α + 4sin α = sin α cos α y1 + y2 = y = y ' = ⇔ −8cos3 α + 4sin α = ⇔ ( tan α ) = ⇔ α = 0,899 ymax = + = 16,64 sin α cos α Chọn D HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 33 Bài 13: hộp đựng Chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hình hộp rải lớp bơ sữa ngọt, phần lại phía chứa x = x0 đầy chocolate nguyên chất Với kích thước hình vẽ, gọi giá trị làm cho hộp kim loại có V0 V0 thể tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị Tìm 48 A đvdt B 16 đvdt Giải: Thể tích hộp: Vh = ( − x ) ( 12 − x ) x ⇒ V0 = C 64 đvdt D 64 đvdt 3 ( − x ) ( 12 − x ) x = ( − x ) ( − x ) x 4 Áp dụng BĐT Cauchy ta có: Cách 2: 3  12  ( − x ) ( − x ) x ≤  ÷ = 48 4  3 Vh = ( − x ) ( 12 − x ) x = x ( − x ) Thể tích hộp Thể tích phần chocolate nguyên chất: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 34 3 f ( x ) = V0 = V = x ( − x ) x = f ' ( x ) = ( − x ) − x ( − x )  = ⇔ 3x − 24 x + 36 = ⇔   2 x = V0 ( ) = 0;V0 ( ) = 48 Vậy thể tích chocolate lớn Chọn A V0 = 48 x = x0 = 10km ( AN = 10km ) Bài 14: Một nhà địa chất vị trí A sa mạc, cách đường thẳng 50km / h Trên đường xe nhà địa chất chạy với vận tốc sa mạc 30km / h chạy với vận tốc Nhà địa chất muốn đên trạm xăng vị trí P để tiếp nhiên liệu vị trí xi theo đường vị trí trạm xăng P A 44 phút Giải: Gọi đoạn MN 25km ( NP = 25km ) B 45 phút Tìm thời gian ngắn để nhà địa chất đến C 46 phút D 47 phút x ⇒ MP = 25 − x HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 35 ∆AMN vuông N AM = 102 + x Suy : Khi thời gian để nhà địa chất đến trạm xăng là: T= 102 + x 25 − x + 30 50 Thời gian T ngắn hàm số y' = 102 + x 25 − x y= + 30 50 đạt GTNN x − x + 102 150 x + 102 y ' = ⇔ x − x + 10 = ⇔ x = 7,5 BBT X y' − 7,5 25 + y 23 30 Tmin = 23 ( h ) = 46 phut 30 Vậy chọn C Bài 15: Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800m Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? 200m × 200m 300m × 100m 250m ×150m A B C D Chọn khác HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 36 Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x ( m ) , y ( m ) ( x, y > ) S = x y Diện tích miếng đất ( x + y ) = 800 hay y = 400 − x Theo đề S = x ( 400 − x ) = − x + 400 x ( x > ) Do đó: Đạo hàm: S ' ( x ) = −2 x + 400 S ' ( x ) = ⇔ x = 200 Lập bảng biến thiên ta S max = 40000 x=200, y=200 200m × 200m Kết luận: kích thước miếng đất hình chữ nhật (là hình vng ) Lưu ý: giải BĐT Cauchy Chọn A HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 37 ... diện tích nhỏ nhất, với giao điểm tiệm cận  5  3 M  4; ÷ M ( 3; 3) M  0; ÷ M ( 3; 3)  2  2 A B  7 M  5; ÷ M ( 3; 3) M ( 1;1) M ( 3; 3)  3 C D Giải: y' = − ( x − 2) Ta có: −1  2a − ... tiếp tuyến: k B = 3xB2 − 3; kC = 3xC2 − Theo giả thiết: k B kC = −1 ⇔ ( xB2 − 3) ( xC2 − 3) = −1 ⇔ 9m + 18m + =  3 + 2 m = ⇔  3 − 2 m =  Vậy với Chọn A  3 + 2 m =   3 − 2 m =  thỏa... https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang x − mx − x + m + = ⇔ x3 − 3mx − x + 3m + = 3 ⇔ ( x − 1)  x + ( − 3m ) x − 3m −  = ( 1) x = ⇔  x + ( − 3m ) x − 3m − = ( ) ( Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt