KHI NÀO NGHĨ ĐẾN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ? TS. Lê Thống Nhất Đạo hàm là một khái niệm rất quan trọng của Giải tích lớp 12. Trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng thường xuyên xuất hiện các bài toán được giải nhờ ứng dụng đạo hàm. Bài viết này giúp các bạn nắm vững các loại toán sử dụng đạo hàm như là một công cụ hữu hiệu. 1. Xét nghiệm phương trình. Trong các bài toán về nghiệm của phương trình mà tham số độc lập với ẩn hoặc biến đổi phương trình, đặt ẩn phụ để đạt được điều này thì các bạn hãy nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm. Thí dụ 1.1. (Khối A – 2008) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm phân biệt: 4 4 2 2 2 6 2 6 + + − + − = x x x x m Giải: Gọi vế trái là f(x) thì tập xác định của f(x) là x ∈ [0 ; 6]. Ta có: f’(x) = ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 2 6 2 2 2 6 x x ( x) x − + − − − = 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2x 2 2x(6 x) 2 6 x6 x 6 x 2x 2x − + + + + ÷ − −− − Từ đó xét dấu của f’(x) theo 4 4 1 1 6 x 2x − − ta có bảng biến thiên của f(x): Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm 4 2 6 2 6 m 3 2 6⇔ + ≤ < + Thí dụ 1.2. (Khối A – 2007)Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = − Giải: Có thể thấy phương trình có dạng đẳng cấp bậc hai. Với điều kiện x ≥ 1, chia hai vế cho x 1 + > 0 ta được phương trình tương đương: 4 x 1 x 1 3 m 2 x 1 x 1 − − + = + + Đặt 4 4 x 1 2 t 1 x 1 x 1 − = = − + + , ta có 0 ≤ t < 1. Phương trình trên trở thành: 3t 2 + m = 2t ⇔ m = -3t 2 + 2t (*) Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm thỏa mãn 0 ≤ t < 1. Xét f(t) = -3t 2 + 2t thì f’(t) = -6t + 2. Ta có bảng biến thiên của f(t) với t ) 0;1∈ là: Từ đó ta có kết quả - 1 < m 1 3 ≤ Thí dụ 1.3 ( Khối B – 2007). Chứng minh với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2x – 8 = m(x 2)− Giải. Điều kiện căn thức có nghĩa x ≥ 2. Khi đó bình phương hai vế ta có: (x 2 + 2x – 8) 2 = m(x – 2) ⇔ (x – 2) [(x – 2) (x + 4) 2 – m ] = 0 ⇔ 2 x 2 (x 2)(x 4) m (*) = − + = Xét f(x) = (x – 2) (x + 4) 2 với x > 2 ta có: f’(x) = 3x 2 + 12x > 0 , ∀ x > 2. Lập bảng biến thiên: Chứng tỏ với m > 0 thì (*) luôn có đúng 1 nghiệm x > 2 tức là phương trình đã cho luôn có đúng 2 nghiệm 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một miền nào đó mà có thể dùng đạo hàm để xét chiều biến thiên của hàm số đó thì đạo hàm là một công cụ tốt. Thậm chí có những hàm số mà sau phép biến đổi biến số đưa về hàm số đơn giản hơn cũng có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Thí dụ 2.1. (khối D – 2003) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 1 x 1 + + trên đoạn [-1; 2]. Giải. Ta có y’ = ( ) 3 2 2 1 x x 1 − + . Ta xét bảng biến thiên của y với x ∈ [-1; 2] Từ đó, với x ∈ [-1 ; 2] thì y đạt giá trị lớn nhất là 2 (khi x = 1) và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 (khi x = -1) Thí dụ 2.2. (Khối B – 2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 2 4 x− Giải. Tập xác định là x ∈ [-2 ; 2] Ta có: y’ = 1 - 2 x 4 x− = 2 2 4 x x 4 x − − − . Vì y’ =0 2 2 2 x 0 4 x x x 2 4 x x ≥ ⇔ − = ⇔ ⇔ = − = . Mặt khác y’< 0 2 2 2 2 x 0 4 x x 4 x x 2 x 2 4 x 0 > ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < < − > . Do đó ta có bảng biến thiên x −∞ 2− 2 2 +∞ y ’ + 0 - y 2 2 2− 2 Suy ra [ ] x 2;2 max y 2 2 ∈ − = và [ ] x 2;2 miny 2 ∈ − = − . Thí dụ 2.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2 1 x 1 x 1 x− + + + − Giải: Đặt t = 1 x 1 x− + + với x 1;1∈ − thì ( ) 2 2 1 1 1 x 1 x x t' 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x − − + − = − = = + − − − − + + Lập bảng biến thiên của t: x −∞ 1− 0 1 +∞ y ’ + 0 - y 2 2 2 1 Từ đó t 2;2 ∈ (nhiều bạn chỉ đặt điều kiện t ≥ 0 là sai). Khi đó: t 2 = 2 + 2 2 1 x− nên 2 2 t 2 1 x 2 − − = Do đó: y = t + 2 t 2 2 − = 2 t 2 + t -1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2 t 2 + t – 1 với t 2;2 ∈ . Vì y’ = t + 1 > 0, t 2;2 ∀ ∈ nên y đạt giá trị lớn nhất là 3 ( t =2) và giá trị nhỏ nhất là 2 ( t = 2 ) 3. Chứng minh bất đẳng thức. Có khá nhiều dạng bất đẳng thức có thể chứng minh bằng công cụ đạo hàm. Thí dụ 3.1. (khối A – 2003) Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z 1 ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z + + + + + ≥ . Giải. Xét : 1 1 1 a x; ; b y; ; c z; x y z ÷ ÷ ÷ r r r thì: A = | a | | b | | c | | a b c |+ + ≥ + + r uur r r r r tức là: A = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z + + + + + ≥ + + + + + ÷ Đến đây ta có hai cách đi tiếp: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có : x + y + z 3 3 xyz≥ 1 1 1 x y z + + ≥ 3 . 3 1 xyz Do đó: A ≥ 9 9t t + với t = ( ) 2 3 xyz , trong đó : 0 < t ≤ 2 x y z 3 + + ÷ 1 9 ≤ . Khi đó f(t) = 9t + 9 t có f’(t) = 9 - 2 9 t < 0 ⇒ f(t) 1 f 9 ≥ ÷ = 82 A f (t) 82⇒ ≥ ≥ . Cách 2: ( x + y + z) 2 + 2 1 1 1 x y z + + ÷ = 81 ( x + y + z) 2 + 2 1 1 1 x y z + + ÷ - 80 ( x + y + z) 2 ( ) 2 2 2 1 1 1 2 81(x y z) . 80 x y z x y z ≥ + + + + − + + ÷ 2 1 1 1 18(x y z) 80(x y z) x y z ≥ + + + + − + + ÷ ≥ 18 . 9 – 80 = 82. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Thí dụ 3.2. Chứng minh: với x ) 1;1∈ − thì 1 x 1 x 2 − + + ≥ Giải. Xét f(x) = 1 x 1 x+ + − (xem thí dụ 2.3) ta có ngay f(x) 2≥ . Thí dụ 3.3. Chứng minh 2008 2009 > 2009 2008 Giải. Xét hàm số f(x) = ln x x với x > 0 ta có: f’(x) = 2 1 x. ln x x x − = 2 1 ln x x − Ta có với x > e thì lnx > 1 nên f’(x) < 0. Do đó f(x) nghịch biến với x > e. Vì 2009 > 2008 > e nên f(2009) < f(2008) ⇔ ln2009 ln 2008 2009 2008 < ⇔ 2008 ln2009 < 2009 . ln 2008 ⇔ ln(2009 2008 )< ln (2008 2009 ) ⇔ 2008 2009 > 2009 2008 Bài tập tự luyện 1. (Khối B – 2007). Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 1 y 1 z 1 P x y z 2 yz 2 zx 2 xy = + + + + + ÷ ÷ ÷ Gợi ý. 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P 2 2 2 xyz + + = + + + . Vì x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx nên: 2 2 2 x 1 y 1 z 1 P 2 x 2 y 2 z ≥ + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ . Xét f(t) = 2 t 1 2 t + với t > 0. Từ đó đánh giá từng biểu thức ta có điều phải chứng minh. 2. Xét chiều biến thiên của hàm số f(x) = tan x x với x 0; 2 π ∈ ÷ . Từ đó so sánh 10tan 9 0 và 9tan10 0 . 3. Biện luận số nghiệm phương trình: x + 3 = m 2 x 1+ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a. x + 2 1 x− = m b. x 6 x x(6 x) m+ − − − = 5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: a. y = 4 4 2 x 2 x− + + b. y = cos2x + 4cosx c. y = 4 4 x 4 x x 4 x + − + + − . . ĐẾN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ? TS. Lê Thống Nhất Đạo hàm là một khái niệm rất quan trọng của Giải tích lớp 12. Trong các đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng thường xuyên xuất hiện các bài toán được giải. dùng đạo hàm để xét chiều biến thiên của hàm số đó thì đạo hàm là một công cụ tốt. Thậm chí có những hàm số mà sau phép biến đổi biến số đưa về hàm số đơn giản hơn cũng có thể sử dụng đạo hàm. đẳng thường xuyên xuất hiện các bài toán được giải nhờ ứng dụng đạo hàm. Bài viết này giúp các bạn nắm vững các loại toán sử dụng đạo hàm như là một công cụ hữu hiệu. 1. Xét nghiệm phương trình. Trong