ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM LỚP 12

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Bài tốn: Xét biến thiên hàm số y = f(x) P2: Ta cần thực bước sau: B1: Tìm miền xác định hàm số B2: Tính đạo hàm f ’(x), giải phương trình f ‘(x) = B3: Lập bảng biến thiên hàm số B4: Kết luận Bài tập ơn luyện: Khảo sát chiều biến thiên hàm số Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = + 4x –x 13 y = 3x2 – 8x3 x 24 y = y = 2x2 -3x -1 14 y = x3 – 6x2 + 9x x + 100 16 y = x2(4 – x2) 15 y = 16x + 2x2 – x3 – x4 25 y = x + x − x + y = x4 – 2x3 + 2x +1 16 y = x + 8x + 3 y = x − 3x + x − 26 y = x − x + x − x + 11 x−2 17 y = x−2 x + x + y = 27 y = x − x + x+2 18 y = x ( x − 1), ( x > 0) x2 − x + 2− x x y = x +1 y = x − 4x + x − 3x + 10 y = 2x + x −1 − 2x x+7 2x 20 y = x −9 x2 − 2x + 21 y = x +1 x − 5x + 22 y = x−2 y = 19 y = 11 y = −2 x + x + 23 y = 25 − x 28 y = x − x + x + 12 1 x−2 x +1 30 y = x 3x 31 y = x +1 29 y = − 32 y = x + x + 12 y = − x + x + CHỦ ĐỀ 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN Bài tốn: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) khoảng I P2: Ta cần thực bước sau: B1: Tìm miền xác định hàm số B2: Tính đạo hàm f ‘(x) B3: Lập luận cho trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) sau:  Hàm số xác đònh với x  f '( x ) ≥ ∀x, dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm • Hàm số đồng biến R ⇔   Hàm số xác đònh với x ∈ [a,+∞)  f '( x ) ≥ ∀x ≥ a, dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm • Hàm số đồng biến [a, + ∞ ) ⇔   Hàm số xác đònh với x ∈ (−∞, b]  f '( x) ≥ ∀x ≤ b, dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm • Hàm số đồng biến (- ∞ , b] ⇔   Hàm số xác đònh với x ∈ (a, b)  f '( x) ≥ ∀ x ∈ (a, b), dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm (a, b) Hàm số đồng biến đoạn có độ dài k ⇔ f ‘(x) ∀x ∈ [a − k , a], đẳng thức xảy hữu hạn điểm [a – k, a] ∀x ∉ [a – k, a] khơng thoả mãn • Hàm số đồng biến (a, b) ⇔  • NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 Để giải biểu thức điều kiện y ‘ phương pháp sử dụng phườngổ biến phương pháp tam thức bậc 2, nhiên trường hợp riêng biệt sử dụng phương pháp hàm số để giải, cụ thể như: f '(x) ≥ • f ‘(x) ≥ với ∀x ∈ D ⇔ x∈D f '(x) ≤ • f ‘(x) ≤ với ∀x ∈ D ⇔ max x∈D Chú ý: Ta cần nhớ với y’= g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì: Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến a > a < g ( x) ≤ ∀x ⇔  ∆ ≤ ∆ ≤ g ( x) ≥ ∀x > α (hay x ∈ (α ; + ∞)) g ( x) ≤ ∀x > α (hay x ∈ (α ; + ∞)) g ( x) ≥ ∀x ⇔  hai trường hợp xảy ra: • TH1: Nếu ∆ ≤ 0, điều kiện a > hai trường hợp xảy ra: • TH1: Nếu ∆ ≤ 0, điều kiện a < a > a < Tóm lại:  ∆ ≤ ∆ ≤ • TH2: Nếu ∆ > , điều kiện a > phương • TH2: Nếu ∆ > , điều kiện a < phương Tóm lại:  trình g(x) = có hai nghiệm thoả mãn trình g(x) = có hai nghiệm thoả mãn   a > a <   x1 < x2 ≤ α ⇔ ag (α ) ≥ x1 < x2 ≤ α ⇔ ag (α ) ≥ S S  a < Tóm lại:  ∆ ≤ ∆ ≤ • TH2: Nếu ∆ > , điều kiện a > phương • TH2: Nếu ∆ > , điều kiện a < phương Tóm lại:  trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả   a > a <   mãn α ≤ x1 < x2 ⇔ a.g (α ) ≥ mãn α ≤ x1 < x2 ⇔ a.g (α ) ≥ S S  >α  >α 2 2 g ( x) ≥ ∀x ∈ (α ; β ) hai trường g ( x) ≤ ∀x ∈ (α ; β ) hai trường hợp sau xảy ra: hợp sau xảy ra: • TH1: Nếu ∆ ≤ 0, điều kiện a > • TH1: Nếu ∆ ≤ 0, điều kiện a < a > ∆ ≤ • TH2: Nếu ∆ > , xét hai khả sau: Tóm lại:  o Nếu a > điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả: NĂM HỌC 2011 - 2012 a < ∆ ≤ • TH2: Nếu ∆ > , xét hai khả sau: Tóm lại:  o Nếu a < điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả: TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS  a.g (α ) ≥   S < α α < β ≤ x < x    2 x < x ≤ α < β ⇔    a.g ( β ) ≥  S  > β  GIẢI TÍCH 12  a.g (α ) ≥   S < α α < β ≤ x < x    2 x < x ≤ α < β ⇔    a.g ( β ) ≥  S  > β  o Nếu a < điều kiện phương trình oNếu a > điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả: g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:  a.g (α ) ≤  a.g (α ) ≤ x1 ≤ α < β ≤ x2 ⇔  x1 ≤ α < β ≤ x2 ⇔  a.g ( β ) ≤ a.g ( β ) ≤ Bài tập ơn luyện – nâng cao Bài 1: Tìm m sau cho hàm số: y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2)x – ln đồng biến y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến (-1; 1) Đs: m ≤ −10 y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – đơn điệu R y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3m(m-2)x + hàm số đồng biến R y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 ln đồng biến x – 2x2 + 3x, hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) m −1 y = x + mx2 + (3m – 2)x ln đồng biến 3 y = - x + (m – 1)x2 + (m + 3)x đồng biến (0; 3) y = y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến khoảng (2; + ∞ ) 10 y = x3 – (m+1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến x ≥ 11 y = x2(m – x) – m Tìm m để hàm số: a Đồng biến với x b Đồng biến (1; 2) 12 y = 1 mx3 – (m – 1)x2 + 3(m - 2)x + 3 13 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m - 1)x + m + a Tìm m để hàm số đồng biến với x b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1] (2; + ∞ ) 14 Cho hàm y = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) − a Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 3) b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (3; + ∞ ) 15 Cho hàm số y = (m + 3) x − x + mx a Tìm m để hàm số ln đồng biến b Tìm m để hàm số ln nghịch biến 16 Cho hàm số y = x2(m – x) – mx + Tìm m để hàm số ln nghịch biến 3 17 Cho hs y = − mx + mx − x ln nghịch biến 18 Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + m – Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (- ∞ ; 0) 19 Cho hs y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2) – Tìm m để hàm số ln đồng biến 20 Cho hs y = (2m + 3)sin2x + (2 – m)x Tìm m để hàm số ln đồng biến 21 Cho hs y = x − x − x + m Ln nghịch biến ∀x ∈ R NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 22 Cho hs y = − x − mx + (2m − 1) x − m + Tìm m để hs nghịch biến khoảng (-2; 0) 23 Cho hs y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài (đs: m = 9/4) 24 Cho hs y = - x3 + 2x2 + (2m + 1)x -3m + 2, nghịch biến R Đs: 25 Cho hs y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m, nghịch biến (-1; 1) 3 26: Cho hs y = x + (m − 1) x + (2m − 3) − a Đồng biến khoảng (1; + ∞ ) b Đồng biến R 27 Cho hs y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1, đồng biến R (m − 1) x + mx + (3m − 2) x , ln đồng biến R 28 Cho hs y = 29 Cho hs y = (m – x)x2 + m, đồng biến (1; 2) Đs: m ≥ 30 Cho hs y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − a Ln ln giảm Đs: Khơng có giá trị m b Ln tăng (0; 3) Đs: m ≥ 12  + 52 m < −  31 Cho hs y = x − 2(m + 1) x − (m + m + ) x + , ln nghịch biến (-1; 1).Đs:  3  m > + 76  3 32 Cho hs y = x – mx + 3x – 1, ln đồng biến Đs: −3 ≤ m ≤ 33 y = 2x + mcosx, tăng R Đs: −2 ≤ m ≤ 2 34 y = 2x + 3x + 6(m + 1)x + m , nghịch biến (-2; 0) Đs: m ≤ −3 3 35 y = x − (sin m + cos m) x + x.sin 2m , đồng biến (−∞; +∞) 36 y = x3 + (m - 1)x2 – (2m2 + 3m + 2)x, đồng biến (2; +∞) Đs: − ≤ m ≤ 2 37 y = x + msinx, đồng biến R Đs: −1 ≤ m ≤ 38 y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến R Đs: −4 ≤ m ≤ 39 y = x3 + 2mx2 + m – 2, nghịch biến (1; 3) Đs: m ≤ − 40 y = x3 − (m − 1) x + 2(m − 1) x − , ln tăng R Đs: ≤ m ≤ 3 Bài 2: Tìm m cho hàm số: y = y = y = y = y = mx − ln nghịch biến x+m−3 x − 2mx + m + đồng biến với x > x−m mx + x + m đồng biến khoảng (0; + ∞ ) mx + x + 2(m + 1) + đồng biến (0; + ∞ ) x +1 x + mx + − m đồng biến (1; + ∞ ) x + m −1 NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 x +m x+m−2 ln đồng biến miền xác định x +1 (m + 1) x − 2mx − (m3 − m + 2) y = ln nghịch biến miền xác định x−m mx − ( m + 2) x + m − 2m + y = ln nghịch biến miền xác định x −1 x − 2m + 3m y = nghịch biến (1; + ∞ ) 2m − x x + (1 − m) x + + m 10 y = đồng biến (1; + ∞ ) Đs: m < − 2 x−m x + (1 − m) x + + m 11 y = nghịch biến (2;+ ∞ ) −x + m −2 x − x + m 12 Cho hàm số y = Tìm m để hàm số nghịch biến (− ; +∞) 2x +1 2 x − 2m + 3m 13 Cho hs y = Tìm m để hs đồng biến (1;+ ∞ ) x − 2m x + mx − 14 Cho hs y = đồng biến (- ∞ ; -1) (1; + ∞ ) x −1 14 mx + x − 15 Cho hs y = nghịch biến [1; + ∞ ) Đs: m ≤ − x+2 2 x − (m + 1) x + 4m − 4m − 2− 16 Cho hs y = nghịch biến (0; + ∞ ) Đs: ≤ m ≤1 x − (m − 1) x − (1 − m) x + m + 17 Cho hs y = nghịch biến (2; + ∞ ) Đs: m ≤ − −x + m x − 3x + m 18 Cho hs y = , đồng biến (3; + ∞ ) x −1 x 19 Cho hs y = , x−m y = 2 a Ln đồng biến khoảng xác định b Ln đồng biến (-1; + ∞ ) 20 Cho hs y = mx + , x+m a Đồng biến (3; + ∞ ) b nghịch biến (−∞;1) Đs: m < Đs: m < -1 Đs: m > Đs: −2 < m ≤ −1 CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC • Bài tốn: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để chứng minh bất đảng thức P2: Dùng đạo hàm xét tính đồng biến nghịch biến hàm số miền đó, ứng dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức Cụ thể: Xét hàm số f(x) đoạn [a; b], - Nếu f ‘(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ hàm số f(x) đồng biến [a; b] ⇒ f ( x) ≥ f (a ) f ( x) ≤ f (b) - Nếu f ‘(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ hàm số f(x) đồng biến [a; b] ⇒ f ( x) ≤ f (a ) f ( x) ≥ f (b) • Bài Tập Áp Dụng: π Bài Cho < x < Chứng minh rằng: a sinx < x b tanx > x Bài Giải NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS a Xét hàm số f(x) = sinx – x với < x < GIẢI TÍCH 12 π π π ⇔ hàm số f(x) nghịch biến (0; ) 2 π π π ⇔ sinx – x < với < x < ⇔ sinx < x với < x < (đpcm) Do đó: f(x) < f(0) với < x < 2 π b Xét hàm số f(x) = tanx – x với < x < π π Đạo hàm: f ‘(x) = – = tan2x > với < x < ⇔ hàm số f(x) đồng biến (0; ) cos x 2 π π π ⇔ tanx – x > với < x < ⇔ tanx > x với < x < (đpcm) Do đó: f(x) > f(0) với < x < 2 x Bài 2: Chứng minh rằng: x − < sin x với x > Bài Giải: x Xét hàm số f(x) = x − − sin x với x > x2 Đạo hàm: f ‘(x) = − − cos x ; f ‘’(x) = -x + sinx; f ‘’’(x) = -1 + cosx < với x > ⇔ f ‘’(x) nghịch biến với x > ⇒ f ‘’(x) < f ‘’(0) với x > ⇔ f ‘’(x) < với x > ⇔ f ‘(x) nghịch biến với x > ⇒ f ‘(x) < f ‘(0) với x > ⇔ f ‘(x) < với x > ⇔ f(x) nghịch biến với x > x3 x3 ⇒ f(x) < f(0) với x > ⇔ x − − sin x < với x > ⇔ x − < sin x với x > 6 Lưu ý: Đơi khơng thể khẳng định f ‘(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] f ‘(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] Trong trường hợp vậy, thủ thuật thơng thường áp dụng liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x Bài 3: Chứng minh rằng: sin200 > Bài Giải Áp dụng cơng thức: sin3x = 3sinx – 4sin x Ta có: sin600 = 3sin200 -4sin3200 Do sin200 nghiệm phương trình = 3x − x3 Xét hàm số f(x) = 3x – 4x3 Đạo hàm: f ‘(x) = – 12x2 Bảng biến thiên: 1 − x -∞ +∞ 2 y’ + ∞ y + Đạo hàm: f ‘(x) = cosx – < với < x < -∞ 1 ∈ (− ; ) khoảng đồng biến hàm số f(x) 2 1 23 Nên: sin200 > ⇔ f (s in200 ) > f ( ) ⇔ > ⇔ 27 > 46 ⇔ 2187 > 2116 3 27 Ta có: sin200 - Lưu ý: Một số tốn bất đẳng thức đưa xét hàm số cần quan tâm tới cực trị NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y = x − 29 y = x3 + x − cos x − 16 y = x − x + x − y = −8 x + 3 30 y = x − x + x − 3 y = x − x − 17 y = x + x + 3 4 y = −3 x + x − 18 y = x − x + x + 31 y = − x + x − x − 3 y = −2 x + 19 y = x − x − x − 8x + y = x − x + x − 20 y = x − x + 32 y = x−5 y = x + x + x − 21 y = x + x − 1 y = − x + 33 2 x +1 22 y = x − x y = x − x − x + 3x 34 y = − x 23 y = y = − x + x + x − 2x + 2x + 35 y = x − x + 10 y = − x3 − x + x − 24 y = x + 36 f ( x ) = − x nghịch x 11 y = x − x − x − 25 y = x − x − biến [ 0;1] 12 y = x − x + x − x−2 37: y = − x 26 y = 13 y = x − x + x − x+2 38: y = x − x 2 − x2 − x + 14 y = x − x + x − 27 y = 39: x +1 3 10 15 y = x − x + x − y = x5 + x + x − 28 y = x3 − x + 17 x + 3 x + nghịch biến ¡ Câu 40:Tìm m hàm số: y = x + mx + x + đồng biến ¡ ĐS: − ≤ m ≤ Câu 41:Tìm m hàm số: y = x + 3mx + đồng biến ¡ ĐS: m ≥ Câu 39: Chứng minh hàm số y = − x + Câu 42:Tìm a hàm số: y = x − ax + x − nghịch biến khoảng ( 1; ) ĐS: a ≥ 13 x + (m + 2) x − m + Câu 43:Tìm m hàm số: y = đồng biến khoảng xác định x +1 mx + Câu 44:Tìm m hàm số: y = nghịch biến khoảng xác định x+m+2 x − 3x + m Câu 45:Tìm m hàm số: y = đồng biến khoảng xác định x −1 m Câu 46:Tìm m hàm số: y = x + + đồng biến khoảng xác định x −1 Câu 47:Tìm m hàm số: y = −(m + 5m) x + 6mx + x − đơn điệu R Câu 48:Tìm a hàm số: y = − x + x + (2a + 1) x − 3a + ln nghịch biến ¡ ĐS: a ≤ − Câu 49:Tìm m hàm số: y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + đồng biến ( 2; +∞ ) ĐS: m ≤ 12 2 câu 50: Cho hàm số y = x − (m + 1) x − (m − 3m + 2) x + 2m(2m − 1) Tìm m để hàm số đồng biến x≥2 ĐS: −2 ≤ m ≤ NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 Cau 51: Cho hàm số y = x + x + (m + 1) x + 4m Tìm m để hs nghịch biến (−1;1) ĐS: m ≤ −10 mx − Câu 52: Cho y = Tìm m để hs ln nghịch biến miền xác định ĐS: < m < x + m−3 mx − ( m + 2) x + m − 2m + Câu 53: Cho y = Tìm m để hs ln đồng biến TXĐ nó.đs: < m ≤ x −1 Câu 54: Tìm m để hàm số ln đồng biến (0; +∞) : x + 2( m + 1) x + mx + x + m 1) y = ĐS m ≥ 2) y = ĐS: ≤ m ≤ x +1 mx + Câu 55: Tìm m hàm số sau đồng biến (1; +∞) : x − 2mx + m + − 17 + 17 1) y = ĐS: m ≤ m ≥ x−m 4 2 x + mx + − m 2) y = ĐS: m ≥ 2 − x + m −1 x2 Câu 56 Chứng minh với x > ta có: e > + x + x x2 HD:xét hàm số : f ( x) = e − − x − (đồng biến x > 0) π Câu 57 Chứng minh với: < x < chứng minh tgx > x HD:xét hàm số : f ( x) = tgx − x ; f '( x ) = tg x π Câu 58.:Chứng minh với: < x < chứng minh 2sin x + 2tgx ≥ x+1 HD:Dùng bđt cơsi: xét hàm số : f ( x) = tgx + sin x Câu 59 Chứng minh với x > ta có: x x x < ln( x + 1) < x 1) e > 2) x − 2x + x +1 x 1)HD:xét hàm số: f ( x ) = e x − x ; f ( x) = ln( x + 1) − x ; f ( x ) = ln( x + 1) − 1+ x Câu 60 (Gk)Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x < x với ∀x > , sin x > x với ∀x < x x2 với x ≠ x3 d sin x < x − với x < b) cos x > − c) sin x > x − x3 với x > ,  π ÷  2 Câu 61 (Gk)Chứng minh rằng: sin x + tan x > x với x ∈  0; NĂM HỌC 2011 - 2012 TRANG ... 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC • Bài toán: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để chứng minh bất đảng thức P2: Dùng đạo hàm xét tính đồng biến nghịch biến hàm. .. thức đưa xét hàm số cần quan tâm tới cực trị NĂM HỌC 2011 - 2 012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12 BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y = x... ≤ 12 2 câu 50: Cho hàm số y = x − (m + 1) x − (m − 3m + 2) x + 2m(2m − 1) Tìm m để hàm số đồng biến x≥2 ĐS: −2 ≤ m ≤ NĂM HỌC 2011 - 2 012 TRANG CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KSHS GIẢI TÍCH 12