ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRĂNG ĐỂ CHỨNG MINH BĐT HÀM

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm I. Định lý Larange: Cho hàm số )(xfy = liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên ( ) ba; khi đó ( ) bac ; ∈∃ sao cho: ab afbf cf − − = )()( )(' II. Bài toán: Cho hàm số )(xfy = xác định và có đạo hàm cấp hai trên ( ) ba; CMR: a. Nếu 0)(" ≥ xf ( ) bax ; ∈∀ ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên ( ) ba; ) thì: ) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf + ≥ + b. Nếu 0)(" ≤ xf ( ) bax ; ∈∀ ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên ( ) ba; ) thì: ) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf + ≤ + • Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử 21 xx < Xét hàm số )(xf liên tục trên ( ) ba; chứa ( ) 21 ; xx . Theo định lý Larange ta có: ( ) 21 ; xxt ∈∃ sao cho: 2 )(' )() 2 ( )(' 2 )() 2 ( 12 1 21 1 21 1 21 tf xx xf xx f tf x xx xf xx f = − − + ⇔= − + − + (1) ( ) 21 ; xxk ∈∃ sao cho: 2 )(' ) 2 ()( )(' 2 ) 2 ()( 12 21 2 21 2 21 2 kf xx xx fxf kf xx x xx fxf = − + − ⇔= + − + − (2) Trừ (1) cho (2) suy ra: 2 )(')(')()( 12 21 tfkf xx xfxf − = − + (3) +) Nếu 0)(" ≥ xf ( ) bax ; ∈∀ ⇒ )(' xf đồng biến trên ( ) ba; )(')(' tfkf >⇒ kết hợp với (3) suy ra: ) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf + ≥ + +) Nếu 0)(" ≤ xf ( ) bax ; ∈∀ ⇒ )(' xf nghịch biến trên ( ) ba; )(')(' tfkf <⇒ kết hợp với (3) suy ra: ) 2 ( 2 )()( 2121 xx f xfxf + ≤ + III. Mở rộng +) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số: a. )( )( 11 n x f n xf n i i n i i ∑∑ == ≥ b. )( )( 11 n x f n xf n i i n i i ∑∑ == ≤ IV. Ứng dụng: 1. xxf sin)( = trên       2 ;0 π Ta có: 0sin)(" <−= xxf       ∈∀ 2 ;0 π x Vậy: ) 2 sin( 2 sinsin 2121 xxxx + ≤ + 2. xxf cos)( = trên       2 ;0 π Ta có: 0cos)(" <−= xxf       ∈∀ 2 ;0 π x Vậy: ) 2 cos( 2 coscos 2121 xxxx + ≤ + 3. xxf tan)( = trên       2 ;0 π Ta có: 0 sin2 )(" 2 >= xcox x xf       ∈∀ 2 ;0 π x Vậy: ) 2 tan( 2 tantan 2121 xxxx + ≥ + 4. xxf cot)( = trên       2 ;0 π Ta có: 0 sin cos2 )(" 2 >= x x xf       ∈∀ 2 ;0 π x Vậy: ) 2 cot( 2 cotcot 2121 xxxx + ≥ + 5. xxf ln)( = 0 >∀ x Ta có: 0 1 )(" 1 )(' 2 <−=⇒= x xf x xf 0 >∀ x Vậy: ) 2 ln( 2 lnln 2121 xxxx + ≤ + Tổng quát: )ln( lnlnln 2121 n xxx n xxx nn +++ ≤ +++  )ln(ln 21 21 n xxx xxx n n n +++ ≤⇔   Do hàm xxf ln)( = đồng biến nên suy ra: n xxx xxx n n n +++ ≤   21 21 (BĐT Cauchy) 6. α xxf = )( 0 >∀ x Ta có: 2 )1()(" − −= α αα xxf +) Nếu 0< α hoặc 1 > α 0)(" >⇒ xf 0 >∀ x Vậy α αα ) 2 ( 2 2121 xxxx + ≥ + Tổng quát: α ααα )( 2121 n xxx n xxx nn +++ ≥ +++  +) Nếu 10 ≤≤ α 0)(" ≤⇒ xf 0 >∀ x Vậy α αα ) 2 ( 2 2121 xxxx + ≤ + Tổng quát: α ααα )( 2121 n xxx n xxx nn +++ ≤ +++  . Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm I. Định lý Larange: Cho hàm số )(xfy = liên tục trên [ ] ba; và có đạo hàm trên ( ) ba;. f xfxf + ≤ + • Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử 21 xx < Xét hàm số )(xf liên tục trên ( ) ba; chứa ( ) 21 ; xx . Theo định lý Larange ta