1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRĂNG ĐỂ CHỨNG MINH BĐT HÀM

2 561 3
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 2
Dung lượng 175,5 KB

Nội dung

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT HàmI.

Trang 1

Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm

I Định lý Larange: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) khi đó ∃c∈(a;b) sao cho:

a b

a f b f c f

= ( ) ( )

) ( '

II Bài toán: Cho hàm số y= f (x) xác định và có đạo hàm cấp hai trên (a; b) CMR:

a Nếu f " ( x ) ≥ 0 ∀x∈(a;b) ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên (a; b) ) thì:

) 2

( 2

) ( )

f x f x

b Nếu f " ( x ) ≤ 0 ∀x∈(a;b) ( chỉ bằng 0 tại các điểm rời rạc trên (a; b) ) thì:

) 2

( 2

) ( ) ( 1 2 x1 x2

f x f x

Chứng minh :

Không mất tính tổng quát giả sử x1 <x2

Xét hàm số f (x) liên tục trên (a; b) chứa ( x1; x2) Theo định lý Larange ta có:

t ∈ ( x1; x2) sao cho:

2

) ( ' ) ( ) 2

( ) ( ' 2

) ( ) 2 (

1 2

1 2

1

1 2 1

1 2

1

t f x

x

x f x x f t f x

x x

x f x x f

=

+

=

− +

− +

(1)

k ∈ ( x1; x2) sao cho:

2

) ( '

) 2 ( ) ( ) ( ' 2

) 2 ( ) (

1 2

2 1 2

2 1 2

2 1

x x

x x f x f k f x

x x

x x f x f

=

+

= +

+

(2)

Trừ (1) cho (2) suy ra:

2

) ( ' ) ( ' ) ( ) (

1 2

2

x x

x f x

+

(3)

+) Nếu f " ( x ) ≥ 0 ∀x∈(a;b) ⇒ f ' x( ) đồng biến trên (a; b)

) ( ' ) (

' k f t

f >

⇒ kết hợp với (3) suy ra:

) 2

( 2

) ( )

( 1 2 x1 x2

f x f x

+) Nếu f " ( x ) ≤ 0 ∀x∈(a;b) ⇒ f ' x( ) nghịch biến trên (a; b)

) ( ' ) (

' k f t

f <

⇒ kết hợp với (3) suy ra:

) 2

( 2

) ( )

( 1 2 x1 x2

f x f x

III Mở rộng

+) Dùng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh BĐT trên với n số:

a

) (

) (

1 1

n

x f n

x

i i n

i

i

=

) (

1 1

n

x f n

x

i i n

i

i

=

IV Ứng dụng:

1 f(x)=sinx trên 0;2

π

Ta có: f " ( x ) = − sin x < 0 

2

;

0 π

x

2

sin(

2 sin sin x1+ x2 ≤ x1 + x2

Trang 2

2 f(x)=cosx trên 

 2

;

0 π

Ta có: f " ( x ) = − cos x < 0 

2

;

0 π

x

2

cos(

2

cos cos x1+ x2 ≤ x1+ x2

3 f(x)=tanx trên 

 2

;

0 π

Ta có:

0 sin

2 )

(

" =2 >

x cox

x x

2

;

0 π

x

2

tan(

2

tan tan x1+ x2 ≥ x1+ x2

4 f(x)=cotx trên 

 2

;

0 π Ta có:

0 sin

cos 2

) (

" =2 >

x

x x

2

;

0 π

x

2

cot(

2

cot cot x1+ x2 ≥ x1+ x2

5 f(x)=lnxx > 0 Ta có:

0

1 )

(

"

1 )

(

' = ⇒ = − 2 <

x x

f x

x

2

ln(

2

ln

ln x1+ x2 ≤ x1 + x2

Tổng quát: ln 1 ln 2 ln ln( 1 2 )

n

x x

x n

x x

2 1

n

x x

x x

x

n

n

+ + +

Do hàm f(x)=lnx đồng biến nên suy ra:

n

x x

x x x

n

n

+ + +

2

6 f(x)=xα ∀x>0 Ta có: f " ( x ) = α ( α − 1 ) x α−2

+) Nếu α < 0 hoặc α > 1 ⇒ f " ( x ) > 0 ∀ x > 0

α α

) 2

( 2

2 1 2

1 x x x

α α

α

) ( 1 2

2 1

n

x x

x n

x x

+) Nếu 0≤α ≤1 ⇒ f " ( x ) ≤ 0 ∀x >0

α α

) 2

( 2

2 1 2

1 x x x

α α

α

) ( 1 2

2 1

n

x x

x n

x x

Ngày đăng: 31/08/2013, 20:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w