Sáng Kiến Giải Toán Tích Phân Và Đạo Hàm Bằng Máy Tính Casio

TÊN ĐỀ TÀI DÙNG MÁY TÍNH C M TAY GI I CÁC BÀI TOÁNẦ Ả TR C NGHI M V O HÀM VÀ TÍCH PHÂNẮ Ệ Ề ĐẠ Người viết : Trịnh Minh Tuấn Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trường THPT Thái Phiên Đăng ký đề tài : Ngày 01/10/2007 Tổ chuyên môn góp ý : Ngày 12/01/2008 Hoàn chỉnh bài viết : Ngày 24/01/2008 Nhận xét đánh giá xếp loại : TỔ CHUYÊN MÔN HĐKHGD TRƯƠNG Nhận xét Xếp loại: Ngày : Nội dung đề tài Chất lượng thực hiện : Ý kiến đề xuất : Xếp loại: Ngày : Đà Nẵng, ngày tháng . năm 2008. Dùng máy tính cầm tay giải các bài toán trắc nghiệm về đạo hàm và tích phân * trang 1 Phần A: ĐẠO HÀM 1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm. 2. Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho trước. 3. Xác định giá trị của các tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại một điểm có hoành độ cho trước. 4. Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một điểm x 0 cho trước. 5. Xác định công thức đạo hàm của một hàm số. Phần B: TÍCH PHÂN 1. Tính tích phân của hàm số trên một đoạn. 2. Tính diện tích hình phẳng và thể tich của vật thể tròn xoay. 3. Xác định nguyên hàm của một hàm số Trang 4 6 8 9 11 14 17 19 Dùng máy tính cầm tay giải các bài toán trắc nghiệm về đạo hàm và tích phân * trang 2 Đặt vấn đề Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan là điều không thể phủ nhận. Sắp đến, trong các kì thi quốc gia-hình thức kiểm tra này-dù từng phần hoặc toàn phần, đối với môn Toán là chắc chắn sẽ thực hiện. Tuy nhiên, làm thế nào để hướng dẫn các em học sinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan?. Tôi đã băn khoăn suy nghĩ nhiều vì vậy, tìm tòi này là kết quả của sự trăn trở đó. Vấn đề đặt ra: Trong một khoảng thời gian ngắn nhất với lượng kiến thức được trang bị theo chương trình, học sinh phải chọn được một phương án thoả mãn yêu cầu đề bài. Ngoài việc nắm vững kiến thức, biết suy luận lôgíc, biết các kỹ thuật làm bài trắc nghiệm khách quan . đôi khi học sinh phải thực hiện nhiều phép toán dài phức tạp. Một công cụ hữu hiệu góp phần hỗ trợ học sinh giải quyết vấn đề này là: Máy tính cầm tay (MTCT). Mặt khác, khi biết sử dụng thành thạo MTCT để giải toán, học sinh còn tự rèn luyện khả năng tư duy thuật toán, qua đó giúp các em củng cố khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy lôgíc, giúp các em học tốt hơn. Những kĩ thuật tôi trình bày sau đây được dùng với máy tính CASIO f x - 570ES (được phép sử dụng trong các kì thi ) nhằm giúp học sinh có thể giải được một số bài toán trắc nghiệm thường gặp về đạo hàm và tích phân mà đôi khi các em lúng túng do khả năng vận dụng kiến thức hoặc kĩ năng tính toán còn hạn chế . Với mỗi nội dung đều có trình bày bài toán, cú pháp dãy phím bấm, ví dụ minh hoạ và bài tập đề nghị. Do khuôn khổ bài viết sáng kiến kinh nghiệm, xin không trình bày các chức năng cơ bản của máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO f x - 570ES ”. Dù đã rất cố gắng nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi, mong quý thầy cô giáo góp ý, xin chân thành cảm ơn. Phần A: ĐẠO HÀM Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Phần này sẽ hướng dẫn cách sử dụng MTCT để giải quyết một số dạng toán trắc nghiệm thường gặp về đạo hàm và các ứng dụng của nó. 1 / Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm Bài toán: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) tại x = x 0 . Cú pháp: ( ) 0 x x d f(x) dx = (1) - Nếu ta nhập sai hàm số f(x) không liên tục tại x 0 thì máy báo lỗi “ Math ERROR” - Đối với phần lớn hàm số khi ta nhập sai hàm số f(x) liên tục tại x 0 mà không có đạo hàm tại x 0 thì máy thông báo “ Time Out ” . - Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị radian) - Nếu giá trị ở các phương án có số vô tỉ thì cài đặt hiển thị ở chế độ fix- 9 Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) x 1 y x 1 + = − . Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành là: A/ 1 B/ 1 2 C/ − 2 D/ 1 2 − Giải: Cú pháp: ( ) x 1 d x 1 dx x 1 = − + − Sau đó ấn phím dấu bằng ta có kết quả bằng 1 2 − , do vậy chọn D Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số y = x.sinx tại x = π 3 là: A/ 1 2 B/ 3 2 6 π − C/ 3 2 6 π + D/ 3 2 6 π − + Giải: Cú pháp: ( ) π x 3 d x.sin(x) dx = − A -Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn phím dấu bằng nếu được kết quả là không thì chọn phương án đó. kết quả chọn C Nhận xét: - Cú pháp: ( ) 0 x x d f(x) dx = − A -Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án ta có thể chọn đúng giá trị đạo hàm của một hàm số tại một điểm trong trường hợp kết quả là một số vô tỉ. Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) 2 x x 2 y x 1 − + = + . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục tung là: A/ y 3x 2= − − B/ y 3x 2= − + C/ y 3x 2= − D/ y 3x 2= + Giải: Cú pháp: 2 x 0 d x x 2 dx x 1 =   − +  ÷ +   . -Tính được ' f (0) 3= − nên loại hai phương án C và D -Dễ thấy f (0) 2= . Vậy chọn phương án B. Ví dụ 4: Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số 4 2 y f (x) x 2x 8= = − − là: A/ { } 2;2 − B/ { } 1; 0; 1 − C/ { } 0; 1; 2 D/ { } 2; 1;0;1;2 − − -Để ý: f là một hàm số chẵn nên chỉ cần kiểm tra C rồi chọn phương án thích hợp Giải: Cú pháp ( ) 4 2 x A d x 2x 8 dx = − − . Với A nhập từ bàn phím. -Ấn phím CALC máy hỏi X? ấn tiếp phím bằng cho qua. -Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi A? lần lượt nhập cho A các giá trị 0, 1, 2. -Kết quả tính được ' f (0) 0= , ' f (1) 0= và khi tính ' f (2) ?= thì máy thông báo “ Time Out ”ta xác định được hàm số f chỉ liên tục mà không có đạo hàm tại x = 2. -Vậy chọn phương án D. Nhận xét: - Cú pháp ( ) x A d f(x) dx = - Với phép gán A, cú pháp trên cho ta tính đạo hàm của một hàm số tại nhiều điểm rất thuận lợi. - Khi máy cho kết quả bằng không hoặc thông báo “ Time Out ” thì ta xác định được điểm tới hạn của hàm số. Bài tập đề nghị: 1/ Cho đồ thị (C) x 1 y x 1 − = + . Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành là: A/ 1 B/ 1 2 C/ 2 D/ 1 2 − 2/ Đạo hàm của hàm số x x y 1 ln 2 = + tại x = 2 là: A/ e B/ 1 e C/ 2 D/ 4 3.a/ Đạo hàm của hàm số y = x x sinx cosx + tại x = π 4 là: A/ 2 B/2 C/ 2 2 D/ π 2 2 3.b/ Đạo hàm của hàm số y = x.cosx tại x = 6 π là: A/ 1 2 B/ 3 2 12 π + C/ 3 2 12 π − D/ 3 2 12 π − + 4/ Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số 2 2 1 2 y (x 4)(x )= − − là: A/ 1 1 2;2; ; 2 2   − −     B/ { } 3 3 ; 0; ; 2 2 − C/ 1 3 0; ; ;2 2 2       D/ 3 1 1 3 2; ; ;0; ; ;2 2 2 2 2   − − −     5/ Cho đồ thị (C) 2 x x 1 y x 1 + + = − . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục tung là: A/ y 2x 1= − − B/ y 2x 1= − + C/ y 2x 1= − D/ y 2x 1= + 6/ Cho bốn hàm số: 2 1 x x 1 f (x) x 1 + + = − ; 2 2 x x 1 f (x) x 1 + + = + ; 2 3 x x 1 f (x) x 1 − + = + ; 2 4 x x 1 f (x) x 1 − + = − . Hàm số nào có đạo hàm bằng − 2 tại x = 0? A/ Chỉ f 1 B/ Chỉ f 1 và f 2 C/ Chỉ f 1 và f 3 D/ Cả f 1 , f 2 , f 3 và f 4 . 2/ Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho trước . Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có chứa một hay nhiều tham số xác định tại điểm x 0 . Hãy xác định giá trị của các tham số để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 . -Đây là một dạng toán phức tạp, nếu học sinh giải bằng phương pháp truyền thống thì phải sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm từng bên khi đó thường gặp khó khăn về thời gian và MTCT sẽ giúp các em giải quyết tốt vấn đề này. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 2 2 x ,khi x 1 f(x) x (B 5)x B 1, khi x 1  − ≤  =  + − + + >   Hàm số có đạo hàm tại x 0 = 1 khi và chỉ khi số B có giá trị là: A/ − 2 B/ ± 1 C/ − 1 D/ 1 Giải: Cú pháp ( ) 2 2 2 2 x 1 d 2x (B 5)x B 1 : 2x (B 5)x B 1 dx = + − + + + − + + -Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1 -Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi B? -Lần lượt nhập tất cả các giá trị của các phương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án đó được chọn. Kết quả chọn phương án D. Ví dụ 6: Cho hàm số 2 2 x ,khi x 1 f(x) x Bx C, khi x 1  ≤  =  − + + >   Nếu hàm số có đạo hàm tại x 0 = 1 thì cặp số (B, C) là: A/ ( − 2 , 4) B/ (4 , 2) C/ ( − 4 , − 2) D/ (4 , − 2) Giải: Cú pháp ( ) 2 2 x 1 d 2x Bx C : 2x Bx C dx = − + + − + + -Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1 -Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗi phương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án đó được chọn. Kết quả chọn D Nhận xét: - Nếu biểu thức thứ nhất bằng không thì hàm số f đã cho liên tục tại x = 1 và cả hai biểu thức cùng bằng không thì hàm số f có đạo hàm tại x = 1. - Tổng quát Cho hàm số 0 0 0 0 f(x;a,b,c .) khi x x (hay x x ) y g(x;a,b,c .) khi x x (hay x x ) ≥ >  =  < ≤  trong đó a, b, c là các tham số. Muốn chọn được các giá trị a, b, c, để cho hàm số có đạo hàm tại x 0 ta dùng cú pháp ( ) 0 x x d f(x;a,b,c ) g(x;a,b,c ) : f(x;a,b,c ) g(x;a,b,c ) dx = − − Nếu các giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án tương ứng được chọn. Bài tập đề nghị: 1/ Cho hàm số 2 x ,khi x 1 f(x) Bx C, khi x 1  ≤ =  + >  Nếu hàm số có đạo hàm tại x 0 = 1 thì cặp số (B, C) là: A/ (2 , 1) B/ (1 , − 2) C/ (2 , − 1) D/ ( − 1, 2) 2/ Cho hàm số 2 Ax Bx 1, khi x 0 f(x) Asinx Bcosx, khi x 0  − + ≥ =  + <  Nếu hàm số có đạo hàm tại x 0 = 0 thì cặp số (A, B) là: A/ (1 , − 1) B/ ( − 1 , 1) C/ ( − 1 , − 1) D/ (1, 1) 3/ Cho hàm số 2 Bx Ax Bx 1, khi x 0 f(x) (x A) , khi x 0 e −  + + ≥  =  + <   Nếu hàm số có đạo hàm tại x 0 = 0 thì cặp số (A, B) là: A/ (1 , − 1) B/ ( − 1 , 1 2 ) C/ ( 1 2 , 1) D/ (1, 1 2 ) 3/ Xác định giá trị của các tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại một điểm có hoành độ cho trước. Bài toán: Cho hai đồ thị (C 1 ): y f(x;a,b,c .)= , (C 2 ): y g(x;a,b,c .)= , với a, b, c là các tham số và các hàm số f, g đều có đạo hàm tại x 0 . Hãy xác định giá trị các tham số a,b,c để (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 . -Sử dụng cú pháp dãy phím bấm như trên ta giải quyết được bài toán này. [...]... ,1) D/ (1, − 1) 2 5/ Hàm số y = x + 3x + 3 đạt cực đại tại x0 = −3 khi cặp số (A ,B) bằng: Ax + B A/ (2 , 1) C/ ( − 1, − 2) B/ (1, 2) D/ ( − 2, − 4) 1 6/ Hàm số y = 2x 3 + (4A − 3)x 2 + (2A 2 − 4A + 1)x đạt cực tiểu tại x0 = 2 khi số A bằng : A/1 1 B/ − 1 C/ 2 D/ − 1 2 5/ Xác định đạo hàm của một hàm số Bài toán: Cho hàm số f và các hàm số fi Hãy xác định hàm số fi là đạo hàm của hàm số f Cú pháp f... mạnh để giải quyết tốt các bài toán dạng này đặc biệt đối với một số bài toán tương đối dài và khó 1 /Tính tích phân: Bài toán: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Hãy xác định tích phân của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] -Ta dùng cú pháp giống như công thức ở sách giáo khoa 12 b ∫ f(x)dx Cú pháp: (2) a Trong đó các cận a,b và hàm f(x) được nhập trực tiếp từ bàn phím - Nếu ta nhập sai hàm số... nguyên hàm của một hàm số : Bài toán 1: Cho hàm số f(x) và các hàm số Fi(x), hãy xác định một trong các hàm số Fi(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Cú pháp: f(A) − d ( Fi (x) ) dx x=A -Trong đó f là hàm số cần xác định nguyên hàm, Fi là các phương án đã cho -Biến A được nhập giá trị từ bàn phím để kiểm tra, nếu máy cho ít nhất một giá trị khác không thì loại phương án đó, nếu máy luôn cho giá trị bằng. ..   TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Bài tập giải tích − Sách đại học sư phạm − Triệu Khuê − Nguyễn Ngải − Cấn Tuất 2/ Chuyên đề luyện thi vào đại học − Trần Văn Hạo (chủ biên) 3/ Đại số và giải tích nâng cao 11 − Nhà xuất bản giáo dục 4/ Giải tích 12 − Sách chỉnh lí hợp nhất − Nhà xuất bản giáo dục 5/ Giải toán tích phân − Nguyễn Cam 6/ Ôn tập theo câu hỏi trắc nghiệm giải tích 12 − Trương Công Thành – Vũ Dương... như trên nhập cho biến A một vài giá trị 0; 0,1; 0,2; 0,3 máy luôn cho kết quả bằng không, vậy chọn C Bài toán 2: Cho hàm số f(x) và các hàm số Fi(x), hãy xác định một trong các hàm số Fi(x) là một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) sao cho F(x 0) = C cho trước A Fi (A) −C − ∫ f(x)dx Cú pháp: xo - Trong đó f là hàm số cần xác định nguyên hàm, Fi là các phương án đã cho, xo và C là các hằng số cho trước... quả bằng không, vậy chọn B Ví dụ 11: Đạo hàm của hàm số y = x x với 0 < x ≠ 1 là: A/ y = x.x x −1 y = x x (1 + lnx) Giải: x B/ y = x lnx x C/ y = x (1 − lnx) D/ Để ý hai phương án đầu là sai vì nhầm lẫn với hàm số lũy thừa và hàm số mũ nên ta chỉ cầ kiểm hai phương án còn lại Cú pháp A A (1 − lnA) − d ( x x ) dx x=A - Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 2 và ấn phím = máy hỏi X? ta tiếp tục ấn phím = máy. .. (x) ) dx x=A x2 và fi (x) là các phương án (xcosx − sinx) 2 TÍCH PHÂN Toán trắc nghiệm về tích phân hiện được viết rất nhiều ở các tài liệu tham khảo với lời giải thông thường là dùng công thức Newton-Leibniz hay khó hơn thì phải dùng phương pháp đổi biến hoặc tích phân từng phần Đây là điều khó khăn cho học sinh vì trong một khoảng thời gian ngắn phải thực hiện nhiều thao tác Máy tính CASIO fx- 570ES... phẳng và thể tich của vật thể tròn xoay: Bài toán: Cho đồ thị (C1): y = f(x) , (C2): y = g(x) , với f, g đều liên tục trên đoạn [a;b] Hãy xác định giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 1), (C2) và các đường thẳng x = a, x = b -Một điểm mạnh của máy tính CASIO f x- 570ES là hàm số dưới dấu tích phân có thể đặt trong dấu giá trị tuyệt đối nên việc tính diện tích hình phẳng rất thuận lợi -Ta dùng cú... một vài giá trị 0,1; 0,2; 0,3 máy luôn cho kết quả bằng không, vậy chọn C Bài tập đề nghị: 1/ Đạo hàm của hàm số y = 1 + x − x 2 là: 1− x + x 2 A/ y = y= 1 − 2x −1 + 2x B/ y = 2 − 4x 1 − x + x2 C/ y = 2 + 4x (1 − x + x 2 )2 D/ 2 − 4x (1 − x + x 2 ) 2 x 2/ Đạo hàm của hàm số y = x là: 4 A/ y = 1 4 ln4 x 1 + xln4 B/ y = 4x 1 − xln4 C/ y = 4x y = xln4 − 1 4x 3/ Đạo hàm của hàm số y = x + 1 3 x với −1 . giải quyết một số dạng toán trắc nghiệm thường gặp về đạo hàm và các ứng dụng của nó. 1 / Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm Bài toán: Tính đạo hàm hàm. số A bằng : A/1 B/ − 1 C/ 1 2 D/ − 1 2 5/ Xác định đạo hàm của một hàm số. Bài toán: Cho hàm số f và các hàm số f i . Hãy xác định hàm số f i là đạo hàm