Sáng Kiến Giải Toán Tích Phân Và Đạo Hàm Bằng Máy Tính Casio

Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho trước.. Những kĩ thuật tôi trình bày sau đây được dùng với máy tính CASIO fx- 570ES được phép sử dụng trong các kì thi

TÊN ĐỀ TÀI DÙNG MÁY TÍNH C M TAY GI I CÁC BÀI TOÁN Ầ Ả

TR C NGHI M V Ắ Ệ Ề ĐẠ O HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Người viết : Trịnh Minh Tuấn

Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị : Trường THPT Thái Phiên

Đăng ký đề tài : Ngày 01/10/2007

Tổ chuyên môn góp ý : Ngày 12/01/2008

Hoàn chỉnh bài viết : Ngày 24/01/2008

Phần A:

ĐẠO HÀM

1 Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

2 Xác định giá trị của các tham số để đạo hàm số có tại một điểm cho

trước

3 Xác định giá trị của các tham số để hai đồ thị tiếp xúc nhau tại một

điểm có hoành độ cho trước

4. Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một

điểm x0 cho trước

5 Xác định công thức đạo hàm của một hàm số

Phần B:

TÍCH PHÂN

1 Tính tích phân của hàm số trên một đoạn

2 Tính diện tích hình phẳng và thể tich của vật thể tròn xoay

Đặt vấn đề

Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan là điềukhông thể phủ nhận Sắp đến, trong các kì thi quốc gia-hình thức kiểm tranày-dù từng phần hoặc toàn phần, đối với môn Toán là chắc chắn sẽ thựchiện Tuy nhiên, làm thế nào để hướng dẫn các em học sinh có kĩ năng làmtốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan? Tôi đã băn khoăn suy nghĩ nhiều

vì vậy, tìm tòi này là kết quả của sự trăn trở đó

Vấn đề đặt ra: Trong một khoảng thời gian ngắn nhất với lượng kiến thức được trang bị theo chương trình, học sinh phải chọn được một phương án thoả mãn yêu cầu đề bài

Ngoài việc nắm vững kiến thức, biết suy luận lôgíc, biết các kỹ thuậtlàm bài trắc nghiệm khách quan đôi khi học sinh phải thực hiện nhiềuphép toán dài phức tạp Một công cụ hữu hiệu góp phần hỗ trợ học sinh giải

quyết vấn đề này là: Máy tính cầm tay (MTCT)

Mặt khác, khi biết sử dụng thành thạo MTCT để giải toán, học sinh

còn tự rèn luyện khả năng tư duy thuật toán, qua đó giúp các em củng cố

khắc sâu kiến thức hơn, nâng cao khả năng tư duy lôgíc, giúp các em học tốthơn

Những kĩ thuật tôi trình bày sau đây được dùng với máy tính CASIO

fx- 570ES (được phép sử dụng trong các kì thi ) nhằm giúp học sinh có thể

giải được một số bài toán trắc nghiệm thường gặp về đạo hàm và tích phân

mà đôi khi các em lúng túng do khả năng vận dụng kiến thức hoặc kĩ năngtính toán còn hạn chế

Với mỗi nội dung đều có trình bày bài toán, cú pháp dãy phím bấm,

ví dụ minh hoạ và bài tập đề nghị

Do khuôn khổ bài viết sáng kiến kinh nghiệm, xin không trình bày

các chức năng cơ bản của máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn

sử dụng máy tính CASIO f x - 570ES ”.

Dù đã rất cố gắng nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi, mong quýthầy cô giáo góp ý, xin chân thành cảm ơn

Phần A: ĐẠO HÀM

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là mộtcông cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số Phần này sẽhướng dẫn cách sử dụng MTCT để giải quyết một số dạng toán trắcnghiệm thường gặp về đạo hàm và các ứng dụng của nó

1

/ Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Bài toán: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) tại x = x0

-Tính được f (0) ' = − 3 nên loại hai phương án C và D

-Dễ thấy f (0) 2 = Vậy chọn phương án B

Ví dụ 4: Tập hợp các điểm tới hạn của hàm số y f (x) = = x4− 2x2− 8 là:

-Ấn phím CALC máy hỏi X? ấn tiếp phím bằng cho qua

-Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi A? lần lượt nhập cho A các giá trị 0, 1, 2.-Kết quả tính được f (0) 0 ' = , f (1) 0 ' = và khi tính f (2) ? ' = thì máy thông báo

“ Time Out ”ta xác định được hàm số f chỉ liên tục mà không có đạo hàm tại

3.a/ Đạo hàm của hàm số y = x x

sinx +cosx tại x = π4 là:

2 3

-Đây là một dạng toán phức tạp, nếu học sinh giải bằng phương pháp truyềnthống thì

phải sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm từngbên khi đó

thường gặp khó khăn về thời gian và MTCT sẽ giúp các em giải quyết tốtvấn đề này

Ví dụ 5: Cho hàm số

2

x ,khi x 1f(x)

-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1

-Ấn phím CALC lần 2 máy hỏi B?

-Lần lượt nhập tất cả các giá trị của các phương án, nếu máy cho cả hai giátrị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án đó được chọn Kết quảchọn phương án D.

Ví dụ 6: Cho hàm số

2 2

x ,khi x 1f(x)

-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1

-Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗiphương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng không thìphương án đó được chọn Kết quả chọn D

Nhận xét:

- Nếu biểu thức thứ nhất bằng không thì hàm số f đã cho liên tục tại x = 1 và

cả hai biểu thức cùng bằng không thì hàm số f có đạo hàm tại x = 1

Nếu các giá trị của hai biểu thức đều bằng không thì phương án tương ứngđược chọn.

Bài tập đề nghị:

1/ Cho hàm số

2

x ,khi x 1f(x)

Asinx Bcosx, khi x 0

3/ Cho hàm số

2

Bx

Ax Bx 1, khi x 0f(x)

Ví dụ 7: Nếu parabol (P) y x= 2+Bx C+ tiếp xúc với đường thẳng (d)

y x = tại điểm có hoành độ bằng 1 thì cặp số (B, C) là:

A/ (−1 , 1) B/ (1 ,−1) C/ (−1 , −1) D/ (1,1)

-Ấn phím CALC lần 1 máy hỏi X? nhập số 1

-Tiếp tục dùng phím CALC lần lượt nhập các cặp giá trị tương ứng của mỗiphương án, nếu máy cho cả hai giá trị của hai biểu thức đều bằng không thìphương án đó được chọn Kết quả chọn A

2/ Đường thẳng y x 1 = + tiếp xúc đồ thị hàm số y Bcosx Csinx = + tại điểm

4/ Các hàm số 3 2 2

y x = − (A 2)x + + 2Ax A − và 2 2

y 2x = − 2B x 2B − có đồ thịtiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 khi cặp số (A, B) là:

-Nhập giá trị x = 2 và nhập lần lượt từng giá trị của cặp số (A ,B) ở mỗiphương án vào máy Nếu biểu thức thứ nhất bằng không và biểu thức thứ hainhận giá trị dương thì phương án đó được chọn Kết quả chọn C

Ví dụ 9: Hàm số y x = 3 − 2(A 1)x + 2 + (A 2 + 4A 1)x 2A − − 2 + 2 đạt cực đại tại x0

Biến A được nhập giá trị từ bàn phím để kiểm tra, nếu máy cho ít nhất mộtgiá trị khác không thì loại phương án đó, nếu máy luôn cho giá trị bằngkhông với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó.

- Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9

Ví dụ 10: Đạo hàm của hàm số

x 2 2

2y

ln 2

= là:

A/ y 2= x 2× x B/ y 2= x+2x C/

x 2

4 ln4y

Để ý hai phương án đầu là sai vì nhầm lẫn với hàm số lũy thừa và hàm số

mũ nên ta chỉ cầ kiểm hai phương án còn lại

-Nếu không cài đặt chế độ hiển thị fix-9 máy không cho kết quả bằng không

mà cho kết quả có giá trị tuyệt đối vô cùng bé (do hạn chế của vòng lặp củamáy hữu hạn)

- Không nên nhập cho A giá trị lớn, khi đó máy sẽ báo lỗi

- Ta có thể dùng dãy phím bấm tự động hơn, chỉ cần gán giá trị ban đầu cho

A và tiếp theo A sẽ nhận dãy các giá trị Ak mà tại các giá trị đó hàm số f cóđạo hàm bằng cú pháp sau:

A/y= sinx xcosxcosx xsinx+

− B/y= sinx xcosxcosx xsinx+

+ C/y= sinx xcosxcosx xsinx−

+ D/ Một

đáp số khác

Giải: Để ý dạng của mẫu thức ta thấy phương án A là sai nên ta chỉ cần kiểmtra 2 phương án B và C.

- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 0 và ấn phím = máy hỏi X? ta tiếptục ấn phím = máy cho kết quả −2 nên loại phương án B.

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu + thành dấu _

x 1 x

+

=

+

6 x 1 x

+

=

+

4/ Đạo hàm của hàm số y (2 x )cosx 2xsinx= − 2 + là:

A/y x cosx= 2 B/y x sinx= 2 C/y= −x sinx2 D/

A/y = xsinx cosxxcosx sinx+

− B/y= xsinx cosxxcosx sinx−

là điều khó khăn cho học sinh vì trong một khoảng thời gian ngắn phải thựchiện nhiều thao tác Máy tính CASIO fx- 570ES là một công cụ mạnh để giảiquyết tốt các bài toán dạng này đặc biệt đối với một số bài toán tương đốidài và khó

∫ (2)Trong đó các cận a,b và hàm f(x) được nhập trực tiếp từ bàn phím

- Nếu ta nhập sai hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì máy báo lỗi “ MathERROR” hoặc bị treo , điều này phù hợp với định nghĩa tích phân trongSGK 12

- Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị

sinx dx A3sinx 4cosx+ −

∫

-Ấn phím CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án rồi ấn phím dấu bằng nếu được kết quả là không thì chọn phương án đó Kết quả chọn B

-Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án giúp ta có thể chọn đúng giá trị tích phân trong trường hợp kết quả là một số vô tỉ phức tạp

Ví dụ 15: Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng 43

x dx 4

3

x 1−+

x x 1 dx +

∫ C/

1 2 0

∫

-Ấn phím CALC máy hỏi X? ấn phím bằng cho qua

-Ấn phím CALC nhập vào cho cặp (A, B) từng bộ (2,2); (1, 1); (1,2); (1,2) tương ứng với các phương án rồi ấn phím dấu bằng nếu được kết quả là không thì chọn phương án đó Kết quả chọn D

Bài tập đề nghị:

1/

5 3 0

(1 x ) +

2/Tinh diện tích hình phẳng và thể tich của vật thể tròn xoay:

Bài toán: Cho đồ thị (C1): y f(x) = , (C2): y g(x) = , với f, g đều liên tục trênđoạn [a;b] Hãy xác định giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2)

và các đường thẳng x a, x b = =

-Một điểm mạnh của máy tính CASIO fx- 570ES là hàm số dưới dấu tíchphân có thể đặt trong dấu giá trị tuyệt đối nên việc tính diện tích hình phẳngrất thuận lợi

-Ta dùng cú pháp giống như công thức ở sách giáo khoa 12

∫

-Ấn phím dấu bằng được kết quả là 1.83333333 nên chọn C

Ví dụ 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C1):

Nhận xét:

- Cú pháp:

b

af(x) g(x) dx− −

-Trong đó biến A được gán bởi các giá trị của mỗi phương án ta có thể chọn đúng khi diện tích là một số vô tỉ phức tạp

Ví dụ 19:Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay quanh trục

hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): y x2 x 1

x 1+ +

= + ; tiệm cận xiêncủa (C) và hai đường thẳng x =0, x = 1 là:

A/π( 1 2ln2)

2+ B/π( 3 2ln2)

2− D/ Một đáp số khác

3/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) y x2 1

x+

= , trục hoành và haiđường thẳng x = a, x = e.a (a > 0) bằng e khi a bằng 2

5/Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay quanh trục hoành hìnhphẳng

giới hạn bởi các đường (C): y 4 x2 1. 2

π

= + ; và hai đường thẳng x =0, x

= 1 là:

A/ 2 ln 2 1 + ( + ) B/ 2 ln 2 1 − ( + ) C/ 2 ln 2 1 + ( )− D/Một đáp số khác

khác không thì loại phương án đó, nếu máy luôn cho giá trị bằng không vớimột dãy giá trị của A thì chọn phương án đó

- Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9

Ví dụ 20: Một nguyên hàm của hàm số y 2 2

x(1 lnx) −

= + (x > 0) là:

−+

- Ấn phím CALC, máy hỏi A? nhập số 1 và ấn phím = máy hỏi X? ta tiếptục ấn phím = máy cho kết quả −4 nên loại phương án A.

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu + và dấu _ ta

- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 1; 1,1; 1,2; 1,3 máyluôn cho kết quả bằng không, vậy chọn B.

Ví dụ 21: Một nguyên hàm của hàm số

2

5(x x) y

− ) là:

A/y (x = 2 + + x 1) 2x 1 + B/y (x = 2 − + x 1) 2x 1 +

C/y (x = 2 + − x 1) 2x 1 + D/y (x = 2 − − x 1) 2x 1 +Giải:

- Dùng phím mũi tên di con trỏ về biểu thức phía sau sửa dấu ta có biểu thức

Cú pháp:

o

A i

ln 5tan 3 3ln2

2 + − −∫5sinx 3cos x 3+ +

- Tương tự như trên nhập cho biến A một vài giá trị 0; 0,1; 0,2; 0,3 máyluôn cho kết quả bằng không, vậy chọn B.

e 1

=+ là:

A/F(x) x ln(e= + x −1) B/F(x) x ln(e= − x +1)C/ F(x) x ln(e= + x +1) D/F(x) x ln(e= + x −1)3/ Họ nguyên hàm của hàm số

3

2

xf(x)

A/ F( ) Ln cos(x π4) 1 C

π cos(x ) 1

4

+ + D/ Một đáp số khác5/ Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= 2x 12

− thoả mãn F(1) 2= là:

A/F(x) 3 2x 1 1 = − − B/F(x) = 2x 1 1 − +C/F(x) 2 2 x = − D/F(x) 2 2x 1 = −6/ Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) 1

nghiệm về: dãy số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đại số

tổ hợp, hình học giải tích trong mặt phẳng, trong không gian

MTCT chỉ là dụng cụ hỗ trợ học tập, nhưng nếu khai thác tốt, họcsinh sẽ có được một công cụ mạnh để kiểm tra tính đúng sai của một mệnh

đề Từ đó, chọn được một phương án thoả mãn yêu cầu bài toán, góp phầnrèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm cho các em

Những kỹ thuật vừa trình bày trên, chủ yếu sử dụng ưu điểm tínhnhanh và chính xác của máy (sai số tuyệt đối nhỏ hơn 9

10− ) để kiểm tra - rồichọn phương án thích hợp Tuy nhiên, nó không tối ưu đối với một số bàitoán thuộc dạng cơ bản có thể giải đơn giản hơn bằng những phương pháp

giải khác Hạn chế này là một tồn tại hiển nhiên của mọi phương pháp giảitoán

Hiện nay phần lớn học sinh phổ thông đều sử dụng tương đối thànhthạo MTCT, do đó việc hướng dẫn các em biết sử dụng công cụ này để giảitoán - đặc biệt là toán trắc nghiệm cần được quan tâm

Hy vọng rằng bài viết này là tài liệu tham khảo cần thiết đối với các

em học sinh và các thầy cô giáo đồng nghiệp dạy toán phổ thông trung học

Ý kiến đề nghị:

-Nên đưa thêm vào sách giáo khoa thậm chí sách giáo viên nhiều bàiđọc thêm hướng dẫn sử dụng MTCT để giải toán đối với một số loại máymới mạnh hơn mà Bộ đã cho phép học sinh sử dụng

-Ngoài việc đã tập huấn cho giáo viên toán như hiện nay, Sở nênkhuyến khích các thầy giáo cô giáo dạy các môn khoa học tự nhiên nóichung cần quan tâm hơn nữa đến việc rèn luyện kỹ năng sử dụng MTCT chohọc sinh

-Nhà trường nên trang bị MTCT động viên các thầy giáo cô giáonghiên cứu tìm tòi, trang bị cho đội tuyển học sinh giỏi, cho học sinh nghèodưới dạng phần thưởng, phần quà tạo điều kiện để các em học tốt

      

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Bài tập giải tích− Sách đại học sư phạm

−Triệu Khuê− Nguyễn Ngải −Cấn Tuất

2/ Chuyên đề luyện thi vào đại học

−Trần Văn Hạo (chủ biên)

3/ Đại số và giải tích nâng cao 11

6/ Ôn tập theo câu hỏi trắc nghiệm giải tích 12

−Trương Công Thành – Vũ Dương Thụy

7/ Tài liệu luyện thi tuyển sinh đại học

−Lê Quang Ánh− Nguyễn Thành Dũng− Trần Thái Hùng

8/ Toán bồi dưỡng học sinh 12∗Nguyên hàm và tích phân

−Hàn Liên Hải−Phan Huy Khải−Đào Ngọc Nam

−Nguyễn Đạo Phương−Lê Tất Tốn−Đặng Quang Viễn

Lời cam đoan:

Tôi xin cam đoan ngoài các cú pháp (1) và (2) có sẵn trong tài liệu “

Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO f x - 570ES” còn lại tất cả các cú pháp

dãy phím bấm khác đều do tôi tự nghiên cứu tìm tòi Theo bản thân tôi được biết thì hiện nay, những vấn đề trên chưa từng được công bố trên tài liệu nào.