Dạng toán sự ĐB và NB hàm số

Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 1 CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ DẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp: Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định B2: Tính y ’ B3: Giải phương trình , 0 y  để tìm nghiệm Tìm các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm B4: Lập bảng xét dấu của , y hoặc lập bảng biến thiên B5: Kết luận: , 0 y   ĐB , 0 y   NB 2. Ví dụ: * Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a. 3 2 1 2 4 5 3 y x x x     b. 4 2 2 3 y x x     c. 2 1 1 x y x    d. 2 8 9 5 x x y x     * Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a.   2 4 y x b.      2 2 3 1 x x y x c. 2 8 y x x     d. 1 2 1 y x x    Chú ý: Nhấn mạnh một số điểm sau đây - Tính , y phải chính xác - Yêu cầu học sinh hiểu rõ quy tắc xét dấu đối với một số hàm số: + Hàm số bậc nhất + Hàm số bậc hai + Hàm số có dạng: TS MS y  , với MS 0  thì dấu của hàm số cùng dấu với dấu của TS + Một số thủ thuật nhỏ khi giải toán Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 2 DẠNG TOÁN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG 1. Phương pháp: Vận dụng các kiến thức:  Hàm số đồng biến trên K  , 0, y x K     Hàm số nghịch biến trên K  , 0, y x K     Kiến thức về dấu của tam thức bậc hai Cho hàm số 2 ( ) , 0 f x ax bx c a     . Khi đó: 0 ( ) 0, 0 a f x x            0 ( ) 0, 0 a f x x             Một số kiến thức khác:  ( ) , min ( ) x D f x x D f x          ( ) , max ( ) x D f x x D f x         Chú ý: - Khi giải toán có thể bỏ qua điều kiện “và chỉ bằng không tại một số hữu hạn điểm” trong phần mở rộng của ĐL1. - Đối với hàm phân thức B1 B1 y  thì hàm số ĐB (hoặc NB) , 0 y   (hoặc , 0 y  ) - Để hàm số 3 2 y ax bx cx d     có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) 1 2 ( ; ) x x bằng h thì ta thực hiện các bước như sau:  Tính ' y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): 0 (1) 0 a        Biến đổi 1 2 x x h   thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 (2) x x x x h    Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành PT theo m  Giải phương trình tìm được m và so sánh với điều kiện (1) để kết luận. 2. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 3 1 y x mx x     đồng biến trên  . Giải Ta có: ' 2 3 2 3 y x mx    Hàm số đồng biến trên ' 2 0, 3 2 3 0,y x x mx x              Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 3   ' 2 9 0 3;3 m m        Kết luận:   3;3 m  Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 1 (2 3) 1 3 y x mx m x       nghịch biến trên tập xác định. Giải TXĐ:  Ta có: ' 2 2 2 3 y x mx m      Hàm số nghịch biến trên TXĐ ' 2 0, 2 2 3 0,y x x mx m x                 ' 2 2 3 0 3;1 m m m         Kết luận:   3;1 m  Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để hàm số x m y x m    nghịch biến trên trên tập xác định. Giải TXĐ:   \ D m   Ta có: ' 2 2 ( ) m y x m    Hàm số nghịch biến trên tập xác định ' 0, 2 0 0 y x D m m          Kết luận: 0 m  Ví dụ 4: Tìm điều kiện của m để hàm số 2 2 3 2 x x m y x     đồng biến trên từng miền xác định của chúng. Giải TXĐ:   \ 2 D   Ta có: 2 ' 2 2 8 6 ( 2) x x m y x      Hàm số đồng biến trên từng miền xác định 2 2 2 2 8 6 0, 2 8 6 0, ( 2) x x m x D x x m x D x                ' 16 2( 6) 4 2 0 2 m m m             Kết luận: 2 m   Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 4 Ví dụ 5: Tìm điều kiện của m để hàm số 3 2 1 ( 1) 4 5 3 y x m x x      nghịch biến trên   1;0  Giải Ta có: ' 2 2( 1) 4 y x m x     Hàm số nghịch biến trên       2 2 1;0 2( 1) 4 0, 1;0 2 2 4, 1;0 x m x x mx x x x                    2 1;0 2 4 , 1;0 min ( ) 2 x x m x m f x x           , trong đó: 2 2 4 ( ) 2 x x f x x    Ta có:   2 ' 2 4 ( ) 0, 1;0 2 x f x x x        Hàm số f(x) nghịch biến trên   1;0 7 [ 1;0) min ( ) ( 1) 2 f x f        Kết luận: 7 2 m   Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để hàm số:     3 2 1 1 3 4 3 y x m x m x        đồng biến trên   0;3 Giải Ta có: ' 2 2( 1) 3 y x m x m       Hàm số đồng biến trên 2 2 (0;3) 2( 1) 3 0, [0;3] (2 1) 2 3, [0;3] x m x m x m x x x x                2 [0;3] 2 3 , [0;3] max ( ) 2 1 x x m x m f x x          , trong đó: 2 2 3 ( ) 2 1 x x f x x     Ta có: 2 ' 2 2( 4) ( ) 0, [0;3] (2 1) x x f x x x         ( ) f x đồng biến trong khoảng [0;3] 12 [0;3] max ( ) (3) 7 f x f    Kết luận: 12 7 m  Ví dụ 7: Tìm m để hàm số 3 2 1 ( 1) 3( 2) 1 3 y mx m x m x       đồng biến trên [2; )  Giải Ta có: ' 2 2( 1) 3( 2) y mx m x m      Hàm số đồng biến trên 2 [2; ) ( 2 3) 2 6, 2 m x x x x          2 [2; ) 2 6 , 2 max ( ) 2 3 x m x m f x x x            , trong đó: 2 2 6 ( ) 2 3 x f x x x      Ta có: 2 ' 2 2 2 12 6 ( ) ( 2 3) x x f x x x      ' 2 3 6 ( ) 0 2 12 6 0 3 6 x f x x x x               (loại) Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 5 Bảng biến thiên: x 2 3 6   ' ( ) f x - 0 + ( ) f x 2 3 0 CT Từ bảng biến thiên, ta có: [2; ) 2 max ( ) 3 f x   Kết luận: 2 3 m  Ví dụ 8: Tìm m để hàm số   2 2 1 1 x m x m y x m       đồng biến trên   1;  Giải TXĐ:   \ m  Ta có:   2 2 2 2 4 2 1 x mx m m y x m        Hàm số đồng biến trên   1,     2 2 2 2 4 2 1 0, (1; ) x mx m m x x m           2 2 ( ) 0 1 ( ) 2 4 2 1 0 1 (1) 1 0 g x x g x x mx m m x m x m                         Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, ) Do đó 2 1 (1) 6 1 0 3 2 2 Min ( ) 0 (1) 3 2 2 3 2 2 1 1 1 x g m m m g x m m m m m                                      Kết luận: 3 2 2 m   Ví dụ 9: 3. Bài tập về nhà Bài 1: Tìm m để hàm số 3 2 3 ( 1) 4 y x x m x m      nghịch biến trên (-1; 1) Bài 2: Tìm m để hàm số 3 2 1 2( 1) ( 1) 3 y mx m x m x m       đồng biến trong ( ;0) [2; )    Bài 3: Tìm m để hàm số 2 2 3 1 x x m y x     đồng biến trên (3; )  Bài 4: Tìm m để hàm số 2 2 3 2 1 x x m y x      nghịch biến trên 1 ; 2         Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 6 Bài 5: Tìm m để hàm số     2 6 5 2 1 3 1 mx m x m y x       nghịch biến trên   1;  Bài 6: Tìm m để hàm số     3 2 1 1 3 2 3 3 m y x m x m x       đồng biến trên   2;  Bài 7: Tìm m để hàm số     2 4 5 cos 2 3 3 1 y m x m x m m        nghịch biến trên  Bài 8: Tìm m để hàm số 1 1 sin sin 2 sin3 4 9 y mx x x x     đồng biến trên  . một số hàm số: + Hàm số bậc nhất + Hàm số bậc hai + Hàm số có dạng: TS MS y  , với MS 0  thì dấu của hàm số cùng dấu với dấu của TS + Một số thủ thuật nhỏ khi giải toán Các dạng toán. Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 1 CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ DẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Phương. dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 2 DẠNG TOÁN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG 1. Phương pháp: Vận dụng các kiến thức:  Hàm số đồng biến trên K