VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

CHỦ ĐỀ 16 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO Dạng toán VI PHÂN Vi phân hàm số điểm Vi phân hàm số y  f ( x) điểm xo ứng với số gia ∆x kí hiệu df ( x0 ) là: df ( x0 )  f '( x0 )x Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x Vi phân hàm số Nếu hàm số f có đạo hàm f’ tích f '( x)x gọi vi phân hàm số y  f ( x) , kí hiệu là: df ( x)  f '( x)x Đặc biệt với hàm số y  x ta có dx  ( x) ' x  x Do ta viết: df ( x)  f '( x) d x hay dy  y ' dx Chú ý: 1) Để tính vi phân, trước hết phải vận dụng quy tắc cơng thức để tính đạo hàm 2) y  f ( x) hàm số theo biến thực x, tính giá trị lượng giác theo đơn vị a o phải chuyển qua a   180    a số thực α nhờ cơng thức 180  3) Nếu x bé giá trị gần xác x0 x k x2 sin ax  ax, tan bx  bx,  x   ,1  cos kx  2 Khi Từ ta biết trước kết số giới hạn: sin x 3x  cos x 8x2 lim  lim  3; lim  lim  x 0 x 0 x x 0 x 0 x x x2 Bài tốn Tính vi phân hàm số f ( x)  x  x  x0  ứng với số gia x  0,1; x  0, 05 Giải f '( x )  x  f '(1)   Ta có nên df ( x )  f '( x0 ) x Vi phân hàm số điểm x0: Với x  0,1 df (1)  2(0,1)  0, Với x  0, 05 df (1)  2(0, 05)  0,1 f ( x)  sin x x  0, 01; x  0, 002  x ứng với Bài tốn Tính vi phân hàm số điểm Giải f '( x)  cos x  f '( )  1 Ta có nên Vi phân hàm số điểm x0: df ( x0 )  f '( x0 )x x  0, 01  df ( )  1.(0, 01)  0, 01 Với x  0, 002  df ( )  1.(0, 002)  0, 002 Với x  0,1; x  0, 001 2x x f ( x)  x  điểm Bài tốn Tính vi phân hàm số ứng với Giải 2( x  1)  x.2 x 2( x  1) f '( 2)  6 f '( x)   2 2 ( x  1) ( x  1) nên Ta có Vi phân hàm số điểm x0: df ( x0 )  f '( x0 )x Với x  0,1 df ( 2)  6.(0,1)  0, Với x  0, 001 df ( 2)  6.(0, 001)  0, 006 Bài tốn Tính vi phân hàm số sau: b) y  x  x x  x a) y  ab Giải x  a) Tập xác định D   0;   Với 1 x y'  dy  dx ab 2(a  b) x 2(a  b) x nên y '  8x7  x  x  8x7  x 2 x b) dy  y ' dx  (8 x  x )dx Do Bài tốn Tính vi phân hàm số sau: x2  x  b) y  x x a) y  x 1 Giải a) Tập xác định D  ℝ \ 1 y (2 x  1)( x  1)  ( x  x  1) x  x x2  2x   dy  dx ( x  1) ( x  1) ( x  1) x  x (x x ) ' x  x  y'  y' x x x x dy  y ' dx  dx, x  x Do Bài tốn Tính vi phân hàm số: a ) y  x  sin x b) x x a) Tập xác định D  ℝ y '  x  2sin x cos x  x  sin x Do dy  y ' dx  (2 x  sin x)dx b) Điều kiện cos x  3sin x 3sin x y '  tan x    dy  dx cos x cos x cos x Bài tốn Tính vi phân hàm số: a ) y  cos(cos x) a) Tập xác định D  ℝ y '   sin(cos x).(cos x) '  sin x.sin(cos x) Do dy  sin x.sin(cos x)dx b) Điều kiện sin x  1 x   y '  cot x  x  dy   cot x   dx sin x sin x   Bài tốn Tính vi phân hàm số: x7 a ) y  tan x b) y  tan x Giải b) y  x cot x Giải b) y  cot x  Giải 1  x7 dy  dx    x7 2 x7  x7  cos cos cos 2 nên a) 1 3 x y' 3x   (1  cot x  1) 2 sin x  3x  b) 3 x dy  (1  cot x  1)dx 3x  Nên Bài toán Chứng minh: a) Nếu y  x  x ( x  y )dx  xdy  y'   2 b) Nếu y  x  x   x dy  ydx  Giải a) Ta có dy  (2 x  1)dx nên ( x  y )dx  xdy  ( x  x  x)dx  x(2 x  1)dx  dy  y ' dx dy y' dx b) Ta có nên 2x x y y '  1  1  x2  x2  x2  Mà dy y   x  1.dy  ydx  x 1 Do đó: dx Bài tốn 10 Dùng vi phân, tính gần đúng: b) 0,999 a) 0,9995 Giải 1 f ( x)  f '( x)  x ta có x a) Xét hàm số Chọn x0  1, x  0, 005 áp dụng công thức gần đúng: 1 f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x   x thì: x0  x x0 x0   0, 0005  1, 0005 Hay 0,9995 f ( x)  x f '( x)  x b) Xét hàm số ta có Chọn x0  1, x  0, 001 áp dụng công thức gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x 0,999   (0, 0001)  0,999 Bài tốn 11 Dùng vi phân, tính gần đúng: a ) 26, b) 20,3 Giải f ( x)  x f '( x)  3 x a) Xét hàm số ta có Chọn x0  27, x  0,3 áp dụng công thức gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x 27,3  27  (0,3)  2,999 27 thì: 1 f '( x)  x ta có 2x x b) Xét hàm số Chọn x0  20, 25; x  0, 05 áp dụng công thức gần đúng: 1 1 f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x    (0, 05)  0, 222 20,3 4,5 40,5 20, 25 Bài toán 12 Dùng vi phân, tính gần đúng: a ) cos450 30' b) tan290 30' Giải   45030 '   360 a) Ta có Xét hàm số f ( x)  cos x ta có f '( x)   sin x   x0  , x  360 áp dụng công thức gần đúng: Chọn        f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x  cos     cos  sin    360    360 f ( x)  2    0, 7009 2 360 Hay   29030 '   360 b) Ta có f ( x )  tanx ta có f '( x)   tan x Xét hàm số cos 45030 '    ; x   360 áp dụng công thức gần đúng: Chọn     2    f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x  tan     tan  1  tan    360  360  4   tan 29030 '      0,566 3  360  Hay Dạng toán ĐẠO HÀM CẤP CAO Đạo hàm cấp Cho hàm số f có đạo hàm f’ Nếu f’ có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai hàm f kí hiệu f’’, tức là: f ''  ( f ') ' Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Gia tốc (tức thời) a(t0) thời điểm t0 chất điểm chuyển động cho phương trình s  s (t ) đạo hàm cấp hai hàm số s  s (t ) thời điểm t0, tức là: a (t0 )  s ''(t0 ) Đạo hàm cấp cao ( n 1) Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với n  ℕ, n  ) f ( n 1) Nếu f hàm số có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n hàm số f kí hiệu n f f n   f ( n 1)  ', (n  ℕ, n  2) x0  Chú ý: 1) Một chất điểm chuyển động: s  f (t ) vận tốc tức thời v(t0 )  s '(t0 ) ; gia tốc tức thời đó: a(t0 )  s ''(t0 ) 2) Tính đạo hàm cấp hàm số y  f ( x) , ta tính y’, y’’, … đến cấp cần xác định Nếu u cầu tính đạo hàm giá trị x0 ta giá trị vào sau tính đạo hàm 3) Hệ thức đạo hàm Tính đầy đủ đạo hàm cấp vào biểu thức cần chứng minh đánh giá Bài toán Tính giá trị đạo hàm điểm: a ) y  x  x  15 x  1; y ''(5) a) Tập xác định D  ℝ Ta có y '  x  x  15, y ''  x  Do y ''(5)  30   28 b) Tập xác định D  ℝ y '  cos x, y ''  4sin x, y '''  8cos x  y '''( )  8cos   Do Bài tốn Tính giá trị đạo hàm điểm: a ) y  (5 x  1)8 , y '''(10) a) Tập xác định D  ℝ y '  8(5 x  1)7  40(5 x  1)7 y ''  40.7(5 x  1)6  1400(5 x  1)6  b) y  sin x  8, y '''( ) Giải b) y  3x  , y ''(1) x2 Giải y '''  1400.6(5 x  1)5  42000(5 x  1)5 Vậy y '''(10)  42000.51 b) Tập xác định D  ℝ \ 2 3( x  2)  (3 x  1)  ( x  2) ( x  2) 14( x  2) 14 14 y ''    y ''(1)  ( x  2) ( x  2) 27 Bài tốn Tính đạo hàm đến cấp: a ) y  x  x  x  x  1, y (5) y' a) Tập xác định D  ℝ 2 Ta có y '  x  x  x  7, y ''  12 x  18 x  y '''  24 x  18, y (4)  24, y (5)  b) Tập xác định D  ℝ \ 3 y' b) y  x  (3) ,y x3 Giải 2( x  3)  (2 x  1)  ( x  3) ( x  3) 7.2( x  3) 14 14.3( x  3) 42  , y '''   ( x  3) ( x  3) ( x  3) ( x  3) Bài tốn Tính đạo hàm đến cấp: a ) y  (2 x  1)5 , y (6) b) y  , y (4) x Giải a) Tập xác định D  ℝ y '  5(2 x  1)  10(2 x  1) , y ''  10.4(2 x  1)3  80(2 x  1)3 y ''  y '''  80.3(2 x  1) 2  480(2 x  1) y (4)  480.2(2 x  1).2  1920(2 x  1), y (5)  1920.2  2840, y (6)  b) Tập xác định D  ℝ \ 0 1(2 x) 1.2 y '  , y ''   x x4 x 1.2.(3 x ) 1.2.3 (4) 1.2.3(4 x ) 1.2.3.4 24 y '''   ,y    x6 x x8 x5 x Bài toán Tính y’, y’’,y’’’ hàm số: b) y  tan x a ) y  cos x Giải c) Tập xác định D  ℝ y '  cos x( sin x)   sin x, y ''  2 cos x, y '''  4sin x d) Điều kiện cosx  y '   tan x; y ''  tan x(1  tan x) y '''  2(1  tan x)  tan x(1  tan x)  tan x  tan x  Bài tốn Tính đạo hàm đến cấp: a ) y  sin x sin x, y (4) b) y  sin x, y ''' Giải a) Tập xác định D  ℝ 1 y   (cos8 x  cos x)   cos8 x  cos x 2 Ta có: y '  4sin x  sin x, y ''  32 cos8 x  cos x y '''  256sin x  4sin x, y (4)  2048cos8 x  8cos x b) Tập xác định D  ℝ   cos2x  y  sin x     (1  cos x  cos x)   Ta có 1  cos x  1  1  cos x     cos x  cos x 4  y '  sin x  sin x, y ''  cos x  cos x Nên y '''  4sin x  8sin x Bài toán Chứng minh: x 3 2( y ')  (1  y ) y ''  y x  a) Nếu b) Nếu y  x  x y y ''  Giải a) Tập xác định D  ℝ \ 4 1( x  4)  ( x  3)1 1 y'  ( x  4) ( x  4) Ta có: 2( x  4) y ''   ( x  4) ( x  4)3 2  x 3 2( y ')  (1  y ) y ''   1   ( x  4)  x   ( x  4)3 Do đó: 2   0 ( x  4) ( x  4) b) Điều kiện x  x  y'  2x 2x  x2  1 x 2x  x2  x  x  (1  x) y ''   2x  x2 1  1 x 2 x  x  (2 x  x )  (1  x) (2 x  x ) x  x 1  y y ''  1  dpcm y (2 x  x ) Bài toán Chứng minh: a) Nếu y  x.sinx x y '' 2( y ' sin x)  xy  b) Nếu y  A sin(at  b)  B cos(at  b) y '' a y  Giải a) Tập xác định D  ℝ y '  sin x  x cos x, y ''  cos x  cos x  x sin x  cos x  sin x Do xy '' 2( y  sin x)  xy  x(2 cos x  x sin x)  2(sin x  x cos x  sin x)  x sin x  x cos x  x sin x  x cos x  x sin x  b) Tập xác định D  ℝ y '  aA cos(at  b)  aB sin(at  b) y ''  a A sin(at  b)  a B cos(at  b)  a ( A sin(at  b)  B cos(at  b))  a y Do đó: y '' a y  Bài toán Một chất điểm chuyển động có phương trình S (t )  t  3t  9t  , với t  , t tính giây (s) S tính mét (m) a) Tính vận tốc thời điểm t  b) Tính gia tốc thời điểm t  Giải a) Vận tốc v(t )  S '(t )  3t  6t  nên v(2)  9m / s b) Gia tốc a (t )  v '(t )  6t  nên a (3)  12m / s Bài toán 10 Vận tốc chất điểm chuyển động biểu thị công thức v(t )  8t  3t , t  , t tính giây (s) v(t) tính mét/giây (m/s) Tìm gia tốc chất điểm b) Tại thời điểm t  b) Tại thời điểm mà vận tốc chuyển động 11 Giải a ( t )  v '( t )   t a) Gia tốc Vậy a (4)  32m / s 2 b) v(t )  11  8t  3t  11  3t  8t  11  Chọn t   , a (1)  14m / s Dạng toán ĐẠO HÀM CẤP N ( n 1) Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với n  ℕ, n  ) f ( n 1) Nếu f hàm số có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n hàm số f kí hiệu n f f n   f ( n 1)  ', (n  ℕ, n  2) (n) Đạo hàm cấp n hàm số y  f ( x) kí hiệu y Chú ý: 1) Chứng minh công thức đạo hàm cấp n: Sử dụng phương pháp quy nạp 2) Lập công thức đạo hàm cấp n: (n) - Tính đạo hàm y’, y’’, y’’’,… tìm quy luật y Dùng phương pháp quy nạp để hồn thiện cơng thức tổng qt - Sử dụng công thức gốc sau chứng minh quy nạp cho hàm số đề (1) n n ! (1) n a n n ! (n) (n) y y  ;y y  x x n 1 ax  b (ax  b) n 1  y  sin x  y n  sin( x  n )  y  sin(ax  b)  y n  a n sin(ax  b  n )  y  cos x  y n  cos( x  n )  y  cos(ax  b)  y n  a n cos(ax  b  n ) 3) Tìm quan hệ đặc biệt cấp đọa hàm hàm số với hàm số 4) Đối với hàm số lượng giác biến đổi hạ bậc, biến đổi tích thành tổng… để đưa bậc sin(ax  b) cos(ax  b) 5) Đối với hàm phân thức, bậc tử lớn bậc mẫu chia tách đa thức, đưa phân thức có bậc tử bé bậc mẫu Tiếp tục phân tích mẫu thừa số bậc đưa tổng phân số dạng A ax  b 4x  A B 1 1        Chẳng hạn dùng sai phân: x   x  x   , phân thức x( x  5) x x  số A, B tìm cách quy đồng đồng hệ số vế,… Bài toán 1: Chứng minh quy nạp: (1) n n! f ( x)  f n ( x)  , n 1 x x n 1 Nếu (1) Giải n 1 n 1 (1)1.1! f '( x)    x x Khi , ta có: Do (1) n  k (k  1) (1) k k ! f ( k ) ( x)  x k 1 Giả sử (1) , tức là: n  k 1 (1) k 1.(k  1)! ( k 1) f ( x)  xk 2 Ta phải chứng minh (1) , tức là: (1) k k !(k  1) x k (1) k 1.(k  1)! f ( k 1) ( x)   f ( k ) ( x)    : dpcm x 2( k 1) xk 2 Thật vậy, ta có: n (1) n n !.a n   , a  (1)    (ax  b) n 1 Bài toán 2: Chứng minh  ax  b  Giải Ta chứng minh quy nạp n 1 a (1) '.1!.a      (ax  b) Khi  ax  b  (ax  b) n 1 n  k (k  1) Do (1) Lấy đạo hàm vế: Giả sử (1)     , tức là:  ax  b  (k )  (1) k k !.a k (ax  b) k 1 ’ ( k 1) k (1) k 1.(k  1)!.a k 1   k k ( k  1)( ax  b) a  (  1) k ! a    (ax  b) k  (ax  b) k   ax  b  Do (1) n  k  Vậy công thức với n  ℕ* Bài tốn 3: Chứng minh cơng thức:   a ) (sin x)( n )  sin( x  n ) b) (cos x)( n )  cos( x  n ) 2 Tổng quát? Giải Ta chứng minh quy nạp: n2  (sin x) '  cos x  sin( x  ) : a) Khi :  (sin x)( k )  sin( x  k ) Lấy đạo hàm vế, ta có: Giả sử: n  k 1   (sin x)( k 1)  cos( x  k )  sin( x  (k  1) 2 nên công thức Vậy công thức với n nguyên dương n 1  (cos x) '   sin x  cos( x  ) : b) Khi :  (cos x)( k )  cos( x  k ) Lấy đạo hàm vế, ta có: Giả sử: n  k 1   (cos x)( k 1)   sin( x  k )  cos( x  (k  1) 2 nên công thức Vậy công thức với n nguyên dương Chứng minh tương tự ta được:  (sin(ax  b))( n )  a n sin(ax  b  n )  (cos(ax  b))( n )  a n cos(ax  b  n ) Bài toán 4: Chứng minh: (4 n ) a) Nếu f ( x)  cosx f ( x)  cosx (1) (4 n ) 4n f ( x )  sin ax f ( x )  a sin ax b) Nếu (2) Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp: (4) a) Ta có: f '( x)   si nx, f ''( x)  cosx, f'''(x)=sinx, f ( x)  cosx (4 n ) (4) Khi n  1, f ( x)  f ( x)  cosx Do (1) n  (4 k ) Giả sử (1) n  k (k  1) , tức là: f ( x)  cosx Ta phải chứng minh (1) n  k  f (4( k 1)) (x)  f (4k  4) (x)  cosx (4 k 1) ( x)   sin x; f (4 k  2) ( x)   cos x Thật vậy: f f (4 k 3) ( x)  sin x; f (4 k  4) ( x)  cos x; dpcm b) Ta có f '( x)  a cos ax, f ''( x)  a sin ax f '''( x)  a cos ax; f (a )  a sin ax (4 n ) (4) Khi n  1: f ( x)  f ( x)  a sin ax Do (2) n  (4 k ) 4k Giả sử (2) n  k (k  1) tức là: f ( x)  a sin ax (4 k  4) ( x)  a k  sin ax Ta phải chứng minh (2) n  k  1: f (4 k 1) ( x)  a k 1.c osax; f (4 k  2) ( x)  a k  sin ax Thật vậy: f f (4 k 3) ( x)  a k 3 c osax; f (4 k  4) ( x)  a k  sinax; dpcm Bài tốn 5: Lập cơng thức đạo hàm hàm số: 5x  a) y  b) y  4x 1 x3 Giải (1) n 4n.n ! y ( n )  (1) (4 x  1) n 1 a) Dựa vào kết trên, ta chứng minh quy nạp: n 1 4 (1)1.4.1! y   (4 x  1) (4 x  1) Khi Do (1) n  Giả sử (1) n  k (k  1) , tức là: (1) k 4k k ! (k ) y 3 (4 x  1) k 1 Lấy đạo hàm vế: (k  1)(4 x  1) k (1) k 1 (k  1).4k 1 y ( k 1)  3.(1) k k !.4k  (4 x  1) k  (4 x  1) k  Do (1) n  k  Vậy cong thức với n  ℕ* x  15  17 17 y  5 x3 x3 b) Ta có ( n ) n 1  17  y(n)     x3 Với 17.(1) n n ! y(n)   ( x  3) n 1 Dựa vào kết trên, ta chứng minh quy nạp: Bài toán 6: Lập công thức đạo hàm cấp n hàm số: 1 13 x  a) y  b) y  x x 6x  x 1 Giải 1 1 A B    a) Ta có x  x x( x  1) x x  Do đó: 1  A( x  1)  Bx  ( A  B) x  A A  B  A 1    B  1 Đồng hệ số hai vế, ta có:  A  1 1 y  x x 1 Do (1) n n ! (1) n n ! y(n)   x n 1 ( x  1) n 1 Ta chứng minh quy nạp: 13 x  13 x  A B    b) Ta có x  x  (3 x  1)(2 x  1) x  x  Do đó: 13 x   A(2 x  1)  B(3 x  1)  (2 A  3B) x  A  B 2 A  3B  13  A    B  Đồng hệ số:  A  B  y  3x  x  Do 10 2.(1) n 3n.n ! 3(1) n 2n.n !  (3 x  1) n 1 (2 x  1) n 1 Ta chứng minh quy nạp: Bài toán 7: Lập công thức đạo hàm cấp n hàm số: a ) y  (3 x  2) y(n)  x  x  11x  b) y  x2 Giải a) y '  12(3 x  2) , y ''  108(3 x  2) y '''  648(3 x  2), y (4)  1944, y ( n )  với n  8 y  x  3x   y '  2x   x  nên ( x  2) b) Ta có 16 48 y ''   , y '''  ( x  2) ( x  2) n4 8(1) n n ! y(n)  ( x  2) n 1 Với , ta chứng minh quy nạp: Bài tốn 8: Lập cơng thức đạo hàm cấp n hàm số: a ) y  cos(3 x  2) b) y  sin x Giải  y ( n )  3n cos(3 x   n ) a) Dựa vào kết trên, ta chứng minh quy nạp:  n  1: y '  3sin(3 x  2)  3cos(3 x   ) : Khi  y ( k )  3( k ).cos(3 x   k ) Giả sử Lấy đạo hàm vế, ta có:   y ( k 1)  3k 3.sin(3 x   k )  3k 1.c os(3 x   (k  1) ) 2 Nên công thức n  k  Vậy công thức với n nguyên dương b) Ta có y '  2.sin x.cos x  sin x  y ( n )  (sin x)( n 1)  2n 1.sin(2 x  (n  1) ) Ta chứng minh quy nạp: Bài toán 9: Lập công thức đạo hàm cấp n hàm số: b) y  cos x  cos x a ) y  sin x  cos x Giải y  (sin x  cos x) - 2sin x cos x   sin 2 x a) Ta có   (1  cos x)   cos4x 4 y '  ( sin x).4   sin x Dựa vào kết trên, ta chứng minh quy nạp  y ( n )  (sin x)( n 1)  4n 1.sin(4 x  (n  1) )  n  : y ''  4.cos x  4sin(4 x  ) : Khi  y ( k )  4k 1.sin(4 x  (k  1) ) Giả sử 11   y ( k 1)  4k 1.4.cos(4 x  (k  1) )  4k sin(4 x  k ) 2 nên công thức Lấy đạo hàm vế, ta có: n  k 1 Vậy công thức với n nguyên dương y  cos x.cos x  (cos x  cos x) b) Ta có  (cos ax)( n )  a n cos(ax  n ) Ta chứng minh quy nạp:     y ( n )   4n.cos(4 x  n )  2n.cos(2 x  n )  2 2  Suy ra: Dạng tốn TỐN TỔNG HỢP y  f ( x ) Vi phân hàm số điểm xo ứng với số gia x : df ( x0 )  f '( x0 )x Vi phân hàm số y  f ( x) : df ( x)  f '( x)dx hay dy  y ' dx Cơng thức tính gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x (n) ( n 1)  ', (n  ℕ, n  2) Đạo hàm cấp n hàm số f : f   f Bài toán 1: Tính vi phân hàm số: a) y  x   x b) y  cos 2 x  Giải a) y '  1 y' 2x 2 x  x  2 x (cos 2 x  1) ' 2  cos 2 x  sin x dy  y ' dx   dx cos 2x+1 Do Bài tốn 2: Tính vi phân hàm số: 2 x  x  a) y  ( x  x  1) b) cos 2 x   dy  2 x cos x( sin x).2 2 x  x  dx  x2  sin x cos 2 x  b) y  (1  tan x) Giải (4 x  2)( x  x  1)  (2 x  x  1)2( x  x  1)(2 x  1) y' ( x  x  1) a) 2(2 x  1)( x  x  1)  2(2 x  x  1)(2 x  1)  ( x  x  1)3 2 2 2(2 x  1)( x  x  2) 2(2 x  1)( x  x  2)  dy  dx ( x  x  1)3 ( x  x  1)3 2(1  tan x) 2 cos x dx  dy  dx (1  tan x) cos x(1  tan x)3 b) Bài toán 3: Cho hàm số u  u ( x), v  v( x) có đạo hàm K Chứng minh: a ) d (u  v)  du  dv, d (u  v)  du  dv  u  vdu  udv b)d (uv)  udu  udv, d    , v0 v2 v Giải Áp dụng định nghĩa vi phân hàm số a ) d (u  v)  (u  v) ' dx  (u ' v ')dx  u '.dx  v '.dx  du  dv  12 Và d (u  v)  (u  v) ' dx  (u ' v ')dx  u '.dx  v '.dx  du  dv b) d (uv)  (uv) ' dx  (u ' v  uv ')dx  v.u'dx  u v'dx  vdu  udv u ' v  uv ' v.u ' dx  u.v ' dx vdu  udv u u d      dx  dx   v v2 v2 Và  v   v  Bài toán 4: Lập đạo hàm cấp n hàm số: 10 x  a) y  b) y  x x  4x Giải 1 g ( x)  g '( x)   x x a) Xét hàm số Do y (n)  1     x ( n 1) (n) (1) n 1 (n  1)!  x n2 y Dựa vào kết trên, ta chứng minh quy nạp: n 1 2 x (1) 2! y'   x x3 Khi n 1 n  k, k  Do (1) y(k )   (1) k 1 (k  1)! xk 2 Giả sử (1) tức là: k 1 k 1 (1) (k  1)!(k  2) x (1) k  (k  2)! y ( k 1)     x2k 4 x k 3 Lấy đạo hàm vế: Do (1) n  k  Vậy công thức với n  ℕ* 10 x  10 x  A B C     b) Ta có x  x x( x  4) x x  x  10 x   A( x  4)  Bx( x  2)  Cx( x  2)  ( A  B  C ) x  2( B  C ) x  A A  B  C  A 1   2( B  C )  10   B   C  3  Đồng hệ số vế, ta có: 4 A  4 Do đó, y   x x2 x2 (n) (1) n n !      ( x  b) n 1 Ta chứng minh quy nạp  x  b    y ( n )  (1) n n !  n 1   n 1 n 1  ( x  2) ( x  2)  x Suy ra: Bài toán 5: Lập đạo hàm cấp n hàm số: a ) y   cos x a) Ta có y '  4sin x.cos x  2sin x b) y  sin x Giải  y ( n )  2(sin x)( n 1)  2n.sin(2 x  (n  1) ) Ta chứng minh quy nạp: n  1: y '   2sin x Khi : Giả sử công thức n  k  y ( k )  2k sin(2 x  (k  1) ) 13   y ( k 1)  2k 2.c os(2 x  (k  1) )  2k 1 sin(2 x  k ) 2 Lấy đạo hàm vế, ta có: Nên cơng thức n  k  Vậy công thức với n nguyên dương sin x  3sin x  4sin x y  si nx  sin x 4 b) Ta có nên   y ( n )  sin( x  n )  3n.sin(3 x  n ) 4 Ta chứng minh quy nạp: Bài toán 6: Lập đạo hàm cấp n hàm số: a ) y  cos3x.sinx b) y  2sin x sin x.c osx Giải y  cos3x.sinx  (sin x  sin x) a) Ta có  (sin ax) n  a n sin(ax  n ) Ta chứng minh quy nạp: 1    y ( n )   4n.sin(4 x  n )  2n.sin(2 x  n )  2 2  Suy ra: y  2sin x sin x.cos x  sin x.sin x   (cos x  cos x) b) Ta có  (cos bx)( n )  b n cos(bx  n ) Ta chứng minh quy nạp: 1    y ( n )   7 n.cos(7 x  n )  3n.cos(3 x  n )  2 2  Suy ra: Bài toán 7: Cho hàm số với tham số a: f ( x)  x  cos 2a.x  sin 2a.sin 6a.x  2a   a x  a 1 f ''    2 Chứng minh Giải 2 Điều kiện 2a   a   (a  1)   a  f '( x)  x  cos 2.x  3sin 2.sin 6.x f ( x)  x  cos 2.x  sin 2.sin 6.x  Khi nên Và f ''( x)  12 x  12 cos 2.x  3sin1.sin 1  f ''     cos  3sin 2.sin  6 cos  3(1  sin 2.sin 6) 2 cos2