TÀI LIỆU ÔN TẬP GIẢI TÍCH- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nội dung gồm phần : Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Hệ phương trình vi phân  PHIÊN BẢN K-2018  Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến  Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K18 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU)  Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến  Mọi ý kiến phản hồi, đóng góp xin gửi fanpage Chúng Ta Cùng Tiến liên hệ trực tiếp Văn phòng: Phòng 102 – Nhà thi đấu Đại học Bách Khoa Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Muốn làm dạng trước tiên ta phải nắm vững thục thao tác tích phân bất định Phương trình vi phân cấp chia thành dạng sau : DẠNG 1: TÁCH BIẾN 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 Nghiệm là: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 Dạng ta thấy cách làm từ tên nó, tức đưa vế phương trình có biến Gợi ý làm bài: dạng đề thi thường khơng có, ví chúng đơn giản, đề thi xuất phương trình vi phân cấp dạng khó chút ta đưa dạng tách biến để giải, cần nắm rõ cách làm dạng này, chúng xuất tốn có hai hình thức: Phương trình có 𝑑𝑥, 𝑑𝑦(dễ nhìn hơn) 𝑑𝑦 Phương trình có y’ ta viết lại 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 Thêm lưu ý nhỏ để dễ nhận biết dạng tức ta chuyển dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) 𝑦′ = 𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥) Hoặc Về chất dạng giống thông qua vài biến đổi đơn giản sau Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑔(𝑦) 𝐹(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑦′ = = = 𝑓(𝑥) 𝐺(𝑌) 𝑔(𝑦) Thường ta giải phương trình vi phân cấp (hay cấp hệ phương trình vi phân) nghiệm “dính” (hay vài) số 𝐶, đề khơng nói thêm ta kết luận nghiệm, có thêm vài kiện ví dụ 𝑦(0) = ta phải giải cụ thể số 𝐶 Ví dụ 1.1 : Giải ptvp (2 + 3𝑦 )𝑑𝑦 − 2𝑥𝑑𝑥 = 0, 𝑦(0) = Giải : ⇔ (2 + 3𝑦 )𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇔ ∫(2 + 3𝑦 )𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 ⇔ 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 Ta có: 𝑦(0) = ⇒ 𝐶 = Nghiệm phương trình là: 2𝑦 + 𝑦 − 𝑥 = Ví dụ 1.2 : Giải ptvp 3𝑦 𝑦 ′ = 2𝑥, 𝑦(0) = Giải : 𝑑𝑦 Câu đề cho 𝑦 ′ mà không cho 𝑑𝑦, 𝑑𝑥 Dễ thấy ta viết lại 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 chuyển 𝑥 bên, chuyển 𝑦 bên phương trình quay trở lại dạng “tách biến” ⇔ 3𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 ⇔ 3𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇔ ∫ 3𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 ⇔ 𝑦3 = 𝑥2 + 𝐶 Ta có: 𝑦(0) = ⇒ 𝐶 = Nghiệm phương trình 𝑦 = √𝑥 + Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.3 : Giải ptvp 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦√1 − 𝑥 𝑦 ′ = Giải : Gợi ý : Ta viết lại dạng nói phần lưu ý 𝑥 −𝑥(𝑦 + 1) 𝑥2 𝑦′ = = − √1 − 𝑦 𝑦√1 − 𝑥 𝑦+1 𝑑𝑦 Sau viết lại 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 giải bình thường Nghiệm phương trình là: 𝑦 − ln|𝑦 + 1| − √1 − 𝑥 + 𝐶 = Ví dụ 1.4: Giải ptvp (4𝑦 − 2𝑥)𝑦 ′ = 2(𝑥 − 2𝑦 + 1)2 , 𝑦(−1) = Giải : Hướng dẫn giải: Đặt 𝑢 = 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑢2 Ta viết lại 𝑢′ = 𝑢−1 + 𝑑𝑢 Tới ta viết lại 𝑢′ = 𝑑𝑥 ⇒ 𝑢−1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 +𝑢−1 2𝑢2 Đến thu phương trình vi phân tách biến, phần lời giải cịn lại xin nhường cho bạn đọc Bình luận: Thật tốn ta đặt 𝑢 = 𝑥 − 2𝑦 giải (𝑥 − 2𝑦 − 1) nằm bình phương nên ta ưu tiện đặt u cách cho đơn giản Kinh nghiệm giải: Ở dạng tách biến đơn giản lưu ý Ví dụ 1.4 trên, nghĩa hai vế thấy xuất hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) (thường bậc theo 𝑥, 𝑦) bên cịn lại hàm biểu diễn theo 𝑓(𝑥, 𝑦) ta đặt 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ví dụ ta chọn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 + Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ DẠNG 2: ĐẲNG CẤP 𝑦 𝑦′ = 𝑓 ( ) 𝑥 Cách giải, đặt 𝑢= 𝑦 𝑥 Khi phương trình trở thành dạng tách biến: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑢) − 𝑢 𝑥 Dạng tách biến thường xuất hình thức (Dễ nhận ra) Khi bạn dùng tay che 𝑦′ phương trình, phương trình cịn lại hàm đa thức hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦), tổng bậc x,y số, ví dụ 𝑥𝑦𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Sau che tay ta thu 𝑥𝑦(𝑐ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Chúng ta thấy đa thức biến 𝑥, 𝑦 tổng bậc 𝑥, 𝑦 số hạng Nghĩa ta nhận dạng dạng đẳng cấp Sau ta đưa dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Trong 𝑓 𝑔 hai hàm đẳng cấp bậc, đó, ta chia tử mẫu cho 𝑦 lượng 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 , 𝑎 + 𝑏 bậc hàm đẳng cấp nói để đưa 𝐹 (𝑥 ), 𝑎, 𝑏 số phù hợp với toán Trong ví dụ ta đưa 𝑦′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥𝑦 Ta chia tử mẫu cho 𝑥𝑦, ứng với 𝑎 = 1, 𝑏 = ta đưa dạng Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑦′ = 𝑥 𝑦 −1+ 𝑦 𝑥 (Ẩn thân chút) Phương trình dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Trong f g hai hàm bậc theo 𝑥 𝑦, có thêm “hằng số dư” nữa, khơng có “hằng số dư” dạng bên 2𝑥−𝑦 Ví dụ: 𝑦 ′ = 3𝑥−4𝑦+5 Như nói khơng có “hằng số dư” pt trở dạng 1, nên dạng ta cố gắng làm “hằng số dư” (sẽ phân tích ví dụ) Đầu tiên ta phân tích dạng đẳng cấp 2.1, dạng đơn giản để nhận tác giả Ở nêu thêm vài ví dụ để bạn làm thử Ví dụ 1.5 : Giải ptvp 𝑥𝑦𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Giải : 𝑦 Như phân tích bên trên, đặt 𝑢 = 𝑥 , ta có: 𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 𝑦′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥𝑦 ⇒ 𝑦′ = 𝑥 𝑦 −1+ 𝑦 𝑥 ⇒ 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = −1+𝑢 𝑢 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥 1−𝑢 Đến phương trình trở dạng tách biến, phần lời giải lại xin nhường cho bạn đọc 𝑦 Nghiệm phương trình − 𝑥 − 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑦| = 𝐶 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.6 : Giải ptvp (𝑦 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = Giải : Viết lại phương trình dạng 𝑥𝑦𝑦 ′ = −𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑦 Đặt 𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 ⇒ 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = −𝑢 − ⇒ 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 −2𝑢 − 𝑥 Đến bạn làm tiếp giúp :v 𝑦 Nghiệm phương trình |𝑥 + 1| = 𝑥 𝑒 −2𝐶 Ví dụ 1.7: Giải ptvp 𝑥𝑦 𝑦 ′ = 𝑥 + 𝑦 Giải : 𝑦 Đặt 𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 𝑥 𝑦 𝑦′ = ( ) + 𝑦 𝑥 ⇒ 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = ⇒ +𝑢 𝑢2 𝑑𝑢 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑢 ⇒ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 Đến bạn đọc giải tiếp giúp :v Nghiệm phương trình 𝑦 = 𝑥 √3(𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.8 : (cách giải cho dạng đẳng cấp 2.2) Giải ptvp 𝑦′ = 2𝑥 − 𝑦 3𝑥 − 4𝑦 + Ở tác giả trình bày cách giải, tới ngày thi :)), khơng cịn quan trọng chất nữa, cần biết cách làm ok :v Giải : Phần làm nháp 2𝑎 − 𝑏 = 𝑎=1 Đầu tiên ta giải hệ phương trình sau:{ →{ 𝑏=2 3𝑎 − 4𝑏 + = Trình bày thi Đặt X=x-1, Y=y-2 suy 𝑌 ′ = 𝑦′, nên phương trình viết lại thành 2𝑋 −1 2𝑋 − 𝑌 𝑋 𝑌′ = = 𝑌 = 𝑓( ) 3𝑋 − 4𝑌 3𝑋 − 𝑌 𝑌 Đã trở lại dạng đẳng cấp 2.1, bạn đọc tự giải tiếp  Tóm tắt cách giải sau 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) Ta giải hệ phương trình bậc nhất(do quy ước dạng bậc nhất) { 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥=𝑎 Hệ có nghiệm {𝑦 = 𝑏 Ta đặt 𝑋 = 𝑥 − 𝑎, 𝑌 = 𝑦 − 𝑏 suy 𝑌 ′ = 𝑦 đưa dạng đẳng cấp 2.1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ DẠNG 3: TOÀN PHẦN Đầu tiên phải kiểm tra điều kiện sau ∶ { 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝑃𝑦′ = 𝑄𝑥′ Ta phát biểu thành lời sau: Hai hàm 𝑃 dính với 𝑑𝑥, 𝑄 dính với 𝑑𝑦, hàm dính với 𝑑𝑥 đạo hàm theo 𝑦, dính với 𝑑𝑦 đạo hàm theo 𝑥, hai đạo hàm làm theo dạng tồn phần Nghiệm 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶, 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑃(𝑥, 0) + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦) 0 Ta vào ví dụ để bạn đọc rõ Ví dụ 1.9 : Giải ptvp : (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦 = Giải : 𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 Đạo hàm P theo biến y ta có 𝑃𝑦′ = Tương tự 𝑄𝑥′ = Vậy ta xét với ptvp toàn phần 𝑥 𝑦 3𝑥 9𝑦 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 + ∫ (2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦 = + 2𝑥𝑦 − 2 0 Vậy nghiệm tổng quát : 3𝑥 9𝑦 + 2𝑥𝑦 − =𝐶 2 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.10 : Giải ptvp : (3𝑥 𝑦 + 7)𝑑𝑥 + (2𝑥 𝑦)𝑑𝑦 = Giải : 𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 𝑦 + Đạo hàm P theo biến 𝑦 ta có 𝑃𝑦′ = 6𝑥 𝑦 Tương tự 𝑄𝑥′ = 6𝑥 𝑦 Vậy ta xét với ptvp tồn phần 𝑥 𝑦 𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 7𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑦𝑑𝑦 = 7𝑥 + 𝑥 𝑦 0 Vậy nghiệm 7𝑥 + 𝑥 𝑦 = 𝐶 Sau vài ví dụ để bạn đọc tiếp tục nghiên cứu tốn Ví dụ 1.11 : 𝑎) 𝑦 ′ = − 2𝑥 + 𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑏) 𝑦 ′ = − 𝑥2 − 𝑦 𝑦2𝑥2 + 𝑥 Gợi ý câu b Viết dạng (1 − 𝑦 ) 𝑑𝑥 + (𝑦 + ) 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑥 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang 10 https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Lưu ý : Các vị dụ sau, tác giả khơng trình bày phần tìm nghiệm nữa, thi bạn phải trình bày đầy đủ để 10 điểm giải tích Ví dụ 2.3 : (khơng nhất-dạng 1) 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 4𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑒 −2𝑥 Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −2𝑥 Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + nên Q(x) đa thức bậc có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝛼 = −2, nghiệm kép (nghĩa trùng với nghiệm) phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = Vậy ta có nghiệm riêng phương trình là: 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑄(𝑥)𝑒 𝛼𝑥 = 𝑥 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′ = (−2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑥 + 3𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′′ = (4𝑎𝑥 + 4𝑏𝑥 − 12𝑎𝑥 − 8𝑏𝑥 + 6𝑎𝑥 + 2𝑏)𝑒 −2𝑥 Thay vào phương trình cho ta có 𝑦𝑟 ′′ + 4𝑦𝑟 ′ + 4𝑦𝑟 = (2𝑥 + 1)𝑒 −2𝑥 Từ ta có: (−8𝑏𝑥 + 6𝑎𝑥 + 2𝑏) + 4.2𝑏𝑥 + = 2𝑥 + Đồng hệ số vế ta −8𝑏 + 6𝑎 + 8𝑏 = →{ 2𝑏 = 1 →{ 𝑏= 𝑎= Vậy nghiệm 1 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −2𝑥 + 𝑥 ( 𝑥 + )𝑒 −2𝑥 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang 21 https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 2.4 : (khơng nhất-dạng 1) 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ − 4𝑦 = 2𝑥𝑒 −𝑥 Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 4𝑥 Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥 nên Q(x) đa thức bậc có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝛼 = −1, nghiệm đơn (nghĩa trùng với nghiệm) phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = Vậy ta có nghiệm riêng phương trình là: 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑄(𝑥)𝑒 𝛼𝑥 = 𝑥1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 −𝑥 𝑦𝑟 ′ = (−𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑏)𝑒 −𝑥 𝑦𝑟 ′′ = (𝑎𝑥 − 4𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 2𝑎 − 2𝑏)𝑒 −𝑥 Thay vào phương trình cho ta có 𝑦𝑟 ′′ − 3𝑦𝑟 ′ − 4𝑦𝑟 = 2𝑥𝑒 −𝑥 Đồng hệ số vế ta 𝑎 = −5 −10𝑎 = →{ →{ 2𝑎 − 5𝑏 = 𝑏=− 25 Vậy nghiệm 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 4𝑥 + 𝑥(− 𝑥 − )𝑒 −𝑥 25 Ví dụ 2.5 : (khơng nhất-dạng 1) 𝑦 ′′ + 4𝑦 = (2𝑥 + 3)𝑒 −2𝑥 Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang 22 https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + nên Q(x) đa thức bậc có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝛼 = −2, không nghiệm (nghĩa trùng với nghiệm) phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = Vậy ta có nghiệm riêng phương trình là: 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑄(𝑥)𝑒 𝛼𝑥 = 𝑥 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′ = (−2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑥 + 𝑏 − 2𝑐)𝑒 −2𝑥 𝑦𝑟 ′′ = (4𝑎𝑥 − 8𝑎𝑥 + 4𝑏𝑥 + 2𝑎 − 4𝑏 + 4𝑐)𝑒 −2𝑥 Thay vào phương trình cho ta có 𝑦𝑟 ′′ + 4𝑦𝑟 = (2𝑥 + 3)𝑒 −2𝑥 Đồng hệ số vế ta 𝑎=4 8𝑎 = → { −8𝑎 + 8𝑏 = → 2𝑎 − 4𝑏 + 8𝑐 = 𝑏=4 { 𝑐 = 16 Vậy nghiệm 1 𝑦 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥) + ( 𝑥 + 𝑥 + )𝑒 −2𝑥 4 16 Lưu ý: Nguyên lý chồng chất nghiệm: Nếu 𝑦𝑟1 𝑦𝑟2 nghiệm riêng phương trình 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓1 (𝑥) 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓2 (𝑥) Khi nghiệm riêng phương trình 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) Chính 𝑦𝑟 = 𝑦𝑟1 + 𝑦𝑟2 Bạn đọc tự áp dụng vào ví dụ sau Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang 23 https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 2.6 : (không dạng 1-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 8𝑦 = 𝑥(𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥 ) Mẹo hay làm dạng này: Nếu vế trái phương trình vi phân cấp có lũy thừa số e khác ta áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm nói trên, hai hàm số lũy thừa độc lập tuyến tính với nhau(muốn biết độc lập tuyến tính gì, mời bạn đọc xem sách giáo khoa giải tích để biết thêm) Chúng ta cịn thêm số trường hợp dùng nguyên lý ví dụ sau o Phương trình vi phân cấp không – Dạng : 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) (2) 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Trong s số nghiệm trùng 𝛼 + 𝛽𝑖 với phương trình đặc trưng (*) Trong dạng này, ta giải hệ số A,B thỏa phương trình sau: 𝑦𝑟 ′′ + 𝑝𝑦𝑟 ′ + 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Ví dụ 2.7 : (khơng nhất-dạng 2) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 2𝑥 sin(𝑥) Giải : Nghiệm phương trình là: 𝑦0 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 Ta có 𝛼 + 𝛽𝑖 = + 𝑖 Khơng nghiệm phương trình đặc trưng(nghĩa trùng với khơng nghiệm) nên 𝑠 = Nên 𝑦𝑟 = 𝑒 2𝑥 (𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑦𝑟 ′ = 𝑒 2𝑥 (3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang 24 https://fb.com/tailieudientucntt [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑦𝑟 ′′ = 𝑒 2𝑥 (3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥) Thay vào phương trình 𝑦𝑟 ′′ + 𝑝𝑦𝑟 ′ + 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒 2𝑥 sin(𝑥) Ta tìm { 𝐴 = −2 𝐵=0 Vậy nghiệm 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 (− ) 𝑐𝑜𝑠𝑥 Ví dụ 2.8 : (không nhất-dạng 2) 𝑦 ′′ + 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 Đáp số: 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) Ví dụ 2.9 : (không nhất-dạng 2-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑒 3𝑥 (𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) Lưu ý: Ta nhận thấy có hàm đa thức hàm lượng giác sinx(chúng độc lập tuyến tính, nên ta phải tách chúng áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) o Phương trình vi phân cấp khơng – Dạng : 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑃(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) (3) 𝑦𝑟 = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 (𝐻(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐾(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Trong s số nghiệm trùng 𝛼 + 𝛽𝑖 với phương trình đặc trưng (*) H(x),K(x) đa thức có bậc bậc lớn P(x) Q(x) Trong dạng này, ta giải hệ số H(x),K(x) thỏa phương trình sau: 𝑦𝑟 ′′ + 𝑝𝑦𝑟 ′ + 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑃(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Ta thấy thực chất dạng kết hợp dạng dạng 2, hay nói cách khác tổng quát hóa hai dạng nói trên: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.group/ CuuDuongThanCong.com Trang 25 https://fb.com/tailieudientucntt