BÀI TẬP GIẢI TÍCH Nguyễn Xuân Viên Chương I VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giới hạn ( {0; ) + ≠ 0} 1.1 lim → → ≠ 0, 1.2 lim → → 1.3 lim → → 1.4 lim → → { } 1.5 lim → → { } {0} {2} Nghiên cứu tính liên tục hàm số ( , )= ( + + >1 + = ≠ ) = 1+ ( , )= 2.4 + 2.2 ( , ) = 2.3 − 1− ( , )= 2.1 ≤1 >0 =0 { ℎô { ℎô ( = ế ê ) + 2.5 ( 1+ ℎô ê ụ (0,0) : lim( ế , )→( , ) = ụ ụ (0,0)} ê đ = } =0 ) + ê ụ ( 441)} ế ( , ) ≠ (0,0) { ê ( , )= { ê ụ ê ℝ , 455} ế ( , ) ≠ (0,0) =0 ( , )= = ≠ (0,0), V455 Chứng minh hàm số = ( , ) 3.1 = ( + + ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng + =2 3.2 = 3.3 = + − + 3.4 + +( + ) = thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng +( − ) =2 { 425.1} thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng = = { ( ê ) 10} thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng + 3.7 thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng { 425.1} + = + 3.6 + =0 + 3.5 thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng + = = ( = )+ − { ( ê ) 22} thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng + − = 0; ( ), ( ) hàm khả vi { 422} Tìm hàm 4.1 4.2 = ( , ) = + ( ); = = + (1, ) = ( ) hàm tùy ý theo | | + − 433 =1 4.3 4.4 ( , 0) = ( , 0) = = +2 ( , )=1 {1 + + + + −2 } = + 4.5 = + + ( 433) Đưa phương trình đạo hàm riêng theo biến x, y phương trình đạo hàm riêng theo biến u, v biết = + + = 5.1 Phương trình 2( + ) = + 5.2 − Phương trình = = −2 = +2 = (V337) , từ tìm hàm ( , ) = 0; = 5.3 −2 + −2 Phương trình +2 ; , = = +2 Phương trình + ( 439) = (V342) − + , từ tìm + = 2( − ) 5.4 − ℎả = = = hàm ( , ) = 0; = ( + ) ( − ) + ( + ) ( 626) Chứng tỏ hàm số xác định ế + ≠0 ( , )= + ế = =0 a) có đạo hàm riêng (0,0) = (0,0) gián đoạn (0,0); (0,0) = (0,0) = từ suy hàm số khơng khả vi (0,0); b) , có liên tục (0,0) không? Cho hàm số ( , )= + ế { ℎô + ế = , 456 } ≠0 =0 a) Chứng minh ( , ) khả vi toàn mặt phẳng; , ê ụ ( , ) ≠ (0,0); ℎả (0,0) ℎ (0,0) = 0; (0,0) = 1; b) có c) Hàm không thỏa mãn điều kiện định lý Schwarz đ , ℎơ Xét tính khả vi hàm số ( , ) = { ℎả ê + ; ℎứ (0,0), 457 ụ (0,0) ℎ ℎ (0,0) = 0, 459} đ Cho hàm số + ế + ( , )= ế = >0 =0 Chứng minh a) ( , ) liên tục (0,0); ợ ý: =| | ≤ 2+ ( , ) không khả vi (0,0) { ℎả 10 Cho hàm số b) ( , )= ( + (0,0) = ⇒ ℎì + ) ế + ế = â ℎ ẫ , 459} >0 =0 Chứng minh a) , ( , ) có đạo hàm riêng b) ( , ) khả vi (0,0) 11 Cho hàm số gián đoạn (0,0); { ℎứ ℎ ℎ (0,0) = 0, 460} đ − ế + >0 + ( , )= ế = =0 a) Bằng định nghĩa chứng minh ( , ) khả vi (0,0) , b) Chứng minh đạo hàm riêng cấp ợ ý: (0,0) = { (0,0) = 0, ℎ =1+ ; = , , liên tục + , →0 ℎ = , + → ( 438)} 12 Ứng dụng vi phân hàm hai biến , tính gần giá trị {0,2726; đú : 0,2729} 59 12.1 32 12.2 (4,05) + (3,13) {5,11800, đú : 5,118535} 13 Tính đạo hàm + = √ (1,1) theo hướng phân giác góc vng thứ điểm ( , ) = 14 Tìm góc gradient hàm số (1,1) = +4 = 15 Tìm độ dốc lớn mặt cong) √ (2,1,8) (trên mặt điểm ⃗ = 8,944 ≈ 83 37′′ = Chú ý: góc tiếp tuyến đường cong giao tuyến mặt cong với mặt ⃗ phẳng đí qua M song song với trục Oz vectơ 16 Tìm = ; , 17 Tìm = ( ), = + = + ( ) 1− = , + 1, = , = + , = , 623 ( ) + , 623 = ( ) xác định từ phương trình 18 Hàm số Tìm = ( ≠ 0) + = , = ( ) , 623 19 Các hàm số = ( , ), = ( , ), = ( , ) xác định từ phương { 624} trình ( , , ) = Chứng minh 20 Hàm số Tính , = −1 = ( ) xác định từ phương trình )=0 1+ − ( + 21 Chứng minh rằng, =− , = , 624 = ( , ) hàm số xác định từ phương trình ( − , − ( , ) hàm khả vi )=0 + =1 { 434} 22 Hệ phương trình + = + Xác định u, v hàm x, y Tìm , =− , , + =1 , =− , = , = ( 435) Chỉ dẫn: Lấy vi phân toàn phần hệ ( , , , )=0 ( , , , )=0 Tìm du, dv theo dx, dy có dạng = + = , ⇒ = 23 Hàm = ( , ) xác định từ phương trình tham số = + = + ( ≠ 0) Tìm , = + = −3 , = ( + ) ( 436) 24 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc pháp tuyến mặt cong − = điểm có ( , ) = (0, ) + + = 0, = = 25 Qua điểm M(3,4,12) mặt cầu + + = 169 vẽ hai mặt phẳng vng góc với trục Ox, Oy tương ứng Hãy viết phương trình mặt phẳng qua hai tiếp tuyến với hai thiết nói với mặt cầu điểm chung } {3 + + 12 − 169 = 0: mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu + 26 Chứng minh mặt nón − = ( + = mặt cầu + ) tiếp xúc với điểm (0, ± , ) + 27 Chứng minh pháp tuyến với mặt (tròn xoay) + ; ≠ 0, điểm cắt trục qoay (0z) = 28 Tìm bán kính cong R đường cong (độ cong k =1/R) 28.1 = −4 − 18 = 28.2 Axtroit: 28.3 Cardioid: = gốc tọa độ (Бер 1529) , = = (1 + ; = (Бер 1544) = 36 = ) = ; ) / ( 28.4 − 2+ 2=1 − + = điểm (1,1,1) = 29 Lập phương trình túc bế đường 29.1 Xicloit: = − , =1− 29.2 Elip: = , = ( > : = = √6 (ОЛ.2, 7.4) > 0) − , =− − 30 Đối với đường xoáy ốc: = , = , = viết phương trình đường thẳng cạnh tam diện Frene điểm đường cong (2093) Hãy xác định cosin phương tiếp tuyến pháp tuyến : = = ; ù : = = ℎí ℎ: = = ; 31 Hàm = ( , ) xác định từ phương trình ( , , ) = Tính vi phân hàm ẩn dz tính gần hàm ẩn vi phân 31.1 Phương trình + √ = − ( ≥ 0) { = 0,1567, 456} a) Tính dz ( , ) = (0,1) với = = 0,1; b) Tính gần vi phân giá trị (0,1; 1,1) { (0,1; 1,1) = 0,6567} 31.2 (Viên) Phương trình + − − = ( ≥ 0) { = 0,005} a) Tính dz ( , ) = (0,1) với = = 0,01; b) Tính gần vi phân giá trị (0,01; 1,01) { (0,01; 1,01) = 1,005 ; −4 + −9=0 31.3 (Viên) Phương trình a) Tính dz ( , ) = (0,1) với = = 0,1; { 168} = 0,05} b) Tính gần vi phân giá trị (0,1; 1,1) { (0,1; 1,1) = 2,05} ( 456) 32 Tìm cực trị hàm 32.1 = +3 − 15 − 12 {(1,2) 32.2 32.3 32.4 ; (−1, −2) (−2, −1) = 28 ; ; −4 +2 ) {(0,0) ( −2 ) + + − 18( + ) + ( = = = (−3, −3) = 82 ; 32.5 =2 +2 −3 32.7 = = + − − ,− + √ −√3, 32.9 = −2 1− √ ;, (0,0) − 32.10 = − − √ − √ − ó − = 0, 133 ), ( √ − = 0; 0, − , 97 = 0, 454 , √ (0,0) ó − (0,0) ó − +2 =− ; = ( , ): ) = √ + , = 0, 625 0, > 0, > 0) ( 20)} − , − , = − , 421 , 1,1 = 4, =2 32.13 32.14 32.15 + =2 =3 + − 423 −6 −2 +2 + − − +2 +5 { (2,2, −1) = −9, { (2,1,7), − − ) +2 + ln (22 − { 423} 424} (6,4,10) = + 3 + 10, 425} 33 Cực trị có điều kiện 33.1 Hàm = 33.2 Hàm = + + điều kiện { 33.3 Hàm + =1 điều kiện = + + = −3=0 + điều kiện − − √ , √ ,− = √ , √ − √ 33.6 Hàm = = √ + , ,− √ − + 33.8 Hàm + = + , + 2, = + + = 1( > { + √ , + , , =− + 98 > 0) √ , √ , 99 > 0) (0, ± ) = − , = = 1( > điều kiện = =− = −√2 √ + điều kiện = =1( > = √2 √ > 0) ớ + (± , 0) = 33.7 Hàm =− √ = + điều kiện 33.5 (Viên) Hàm (1,2) = , 98} = 1( > ,− √ = √ (1,2) = , 133} (−1,2) = −2, { = =5 (−1, −2) = −5, điều kiện 33.4 (Viên) Hàm , ; 450 + = = √ , 2007 điều kiện (± , 0,0) = > > 0) , (0,0, ± ) = , (0, ± , 0) , 447} 33.9 (Viên) Hàm + + = điều kiện =1( > > 0); ( > 0, > > 0, > 0) , √ 33.10 (Viên) Hàm = ( > 0, > 0, > 0) 33.11 Hàm = ( > 0, 33.12 Hàm √ , = √ , ( 484) √ + + = 18 ; điều kiện (2,2,2) = ; ThiGT2 − 08} { + điều kiện > 0, > 0) + , , = ; = ; ThiGT2 − 08 = điều kiện + + =5 + + =8 , , { 33.13 Hàm + + = + = , , (2,2,1) = = , , (2,1,2) = , = (1,2,2) = 4, 417} điều kiện =2 ( > 0, =2 > 0, > 0) { (1,1,1) = 2, 421} Gợi ý: Đưa cực trị có điều kiện hàm hai biến: = − + điều kiện + = thành lập hàm Lagrange cho hệ điều kiện = + + ( + − 2) + ( + − ) 34 Tìm tam giác có chu vi 2p quay xung quanh cạnh tạo thành vật trịn xoay tích lớn = Gợi ý: trục quay cạnh y ~ = ( )( )( = , = ) Có thể giải ngắn PP sử dụng2 lần bđt Cauchy cho số: đầu cho ( − ) ( + 35 Tìm GTLN, GTNN hàm số tập compact 35.1 = + − 12 + 16 bao đóng = { { 35.2 (−3,4) = 125, = + + − giới hạn đường = , 10 =1 = , 463 + − ) ≤ 25} (3, −4) = −75, 99} 89 Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng giới hạn trục tọa độ cung Axtroid , = = ;0 ≤ ≤ , , 494 90 Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng giới hạn cánh Xicloid ) = ( − , ≤ ≤ trục Ox , , 481 ) = (1 − Ứng dụng đạo hàm tích phân suy rộng phụ thuộc tham số tính tích phân (91-98) 91 =∫ 92 =∫ 93 =∫ ( > 0, ( > 0, =∫ 96 =∫ 97 =∫ 98 = ∫ 99 Tìm ( > 0, ( >0 −√ √ (BG56) ( > 0) ) |1 + | > 0) ℎ (| | < 1) √ ( 1− ( > 0) − ∫ =∫ 100 Chứng minh hàm số + − −1 ) + ( ) ( ) = ∫ trình Laplace (BG54) (BG55) >0 ( > 0, / 1+ > 0) ( > 0, 94 = ∫ 95 > 0) ( ) ( ) ∞ − − − thỏa mãn phương = Chương III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 101 Tính ∫ = ( − = (1 − 102 Tính ∫ ; cánh thứ Xicloid ) ,0 ≤ ≤ ) ; vòng đầu đường xoáy ốc 16 , 635 = , = biên hình vng | | + | | = ; 103 Tính ∫ 2+ , = , 495 ( > 0) {0, 634} 104 ∫ + ; + đường tròn + = , = {2 , 634} 105 Chứng minh rằng, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đáy đường cong C: AB, chiều cao = ( , ), ( , ) ∈ có diện tích tính theo cơng thức ( , ) : { 496} 106 Tìm diện tích mặt trụ parabol = 0, = hạn chế mặt phẳng = 6, = 0, = 10√10 − , 496 (AD 105) 107 Áp dụng 105, tìm diện tích mặt trụ tập số 85,86 ( 496) 108 (Viên) Cho = 2+ , = + a) Trong miền mặt phẳng tích phân đường =∫: + không phụ thuộc đường cong L nối A, B? ℝ \{(0,0)} b) Hãy kiểm tra hàm = , =− thỏa mãn = + ( ∈ {1,2}) ) hàm c) Trong miền mặt phẳng (ℎ ặ trường vectơ ⃗ = ( , ), tức tính tích phân I theo công thức = ( ) − ( ) ( = ℎ ặ = 2) (1) Áp dụng tính I với (−1,2), (1,2) L đường cong = + theo hai cách: tích phân khơng phụ thuộc đường cong ( theo đường thẳng AB) công thức (1) 17 { = −2 =2 { ℎ ( ) − ( ) = ⃗ toán này.} ∶ ≠ 0; 2− 2, tức ≠ 0} ∶ ( )− = ( ) hàm (V500) 109 Tính tích phân đường loại hai a) =∮ b) =∮ ( ) ( ) ( ) ( ) ; : ; + = {2 } theo chiều kđh đường cong tùy ý (trơn trơn {−2 } khúc) bao quanh gốc tọa độ O ngược kđh c) = ∫: ( ) ( ) ; (−1,1), (1,1), : = + (hoặc { /2, 501} Gợi ý c): Chứng minh tích phân khơng phụ thuộc đường cong sau tính trực tiếp đường thẳng nối A, B tìm hàm miền L đường cong khơng cắt trục Ox) 110 Tính ∫ : ( đường Elip + − 111 Tính ∫ : ( = đơn liên chứa L:AB ) −2 )+ + + ( ≠ 0) −4 +1 = nối (−1, −1), (1,1) + + − C {−1/3, 505} đường nối (1,0, −3), (6,4,8) ; {−2} Gợi ý: ( , , ) = ∫ ( , ) , +∫ ( , , ) +∫ ( , , ) = ( ) − ( ) 112 Tính cơng lực hút trái đất chất điểm có khối lượng m dịch { − } chuyển từ điểm ( , , ) đến điểm ( , , ) Gợi ý: lực hút ( , , ) = (0,0, ) 113 Chứng minh rằng, ( ) hàm liên tục C đường cong kín trơn khúc ∮ ( )( + + ) = { 507} Chú ý không sử dụng cơng thức Green thiếu điều kiện f khả vi 114 Chứng minh rằng, C đường cong kín, s độ dài cung, ⃗ vectơ pháp tuyến ngồi C 18 ( ⃗, ⃗) =0 { 507} 115 Chứng minh rằng, diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = ∮ kín C tính theo cơng thức: { 508} 116 Áp dụng 115 tính diện tích hình phẳng giới hạn đường ( > 0) cong kín : ( + ) = =∫ 117 Tính ( ) ( , 508 ) a) C đường cong nối AB không cắt đường thẳng (1,1), (3,1) b) C đường cong =− + = + nối (1,1), (3,2) + + + , 509 118 Tính + ∫ − + + + trường hợp sau: a) C biên miền phẳng giới hạn hai đường tròn + + = theo chiều dương; b) C nửa đường tròn ( − 2) + = 1, ≥ theo chiều tăng x 4− ) +( + − 119 (Viên)Tính ∫ : ( 2) C nửa đường trịn ( − 1) + (0,0), (2,0) , = 1, ( +2 ) + ( + )2 tính I (1,1), (2,8) 121 Tìm hàm ℎ( ); = , 505 − ≥ nối 2, 510 để tích phân sau khơng phụ thuộc vào =∫: đường cong lấy tích phân =∫: − − 120 (Viên)Tìm số tích phân = Trong trường hợp 5− , 511 thỏa mãn điều kiện ℎ(1) = cho + ℎ ( )[( − ) 19 +( + ) ] không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân C Từ tính tích phân I trường hợp ℎ( ) = sau: a) (1,1), 1, √3 ; b) (1,1), 2,2√3 1, + 1− 122 Tính ∫ nối + + + 2 , 505 ; AB đoạn thẳng , (6, ) {5, 499}(ℎà 123 (Viên)Tìm hàm ℎ ( ); = : = + ) thỏa mãn điều kiện ℎ (1) = + ) không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân C Từ tính tích phân I trường hợp sau: =∫: cho tích phân (1,1), √3, ; 124 ∫ : ( − +2 ℎ ( )( ℎế ă − (ℎà − ℎế ă ) ( ≠ 0), 512 =− +( + C nửa đường trịn : − + ) + ≥ nối (1,0), (−1,0) = 1, , 511 125 Tính ∬( + − ; ( ) mặt bên hình nón + ) = 0, ≤ ≤ √ 126 Tìm khối lượng mặt của hình lập phương {0 ≤ 0≤ ≤ Nếu mật độ mặt điểm 127 Tính ∬( + ) + 128 Tính ∬( = nửa mặt cầu + ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0) + + + = ( − ) = , 73 , 517 ; ( ) phía ngồi ( ≥ 0) +( − ) 20 ≤ 1}, ≤ 1,0 ≤ 129 Sử dụng cơng thức Stox, tính = , 519 ; ( ) 1/8 mặt cầu + + ) ( , , ) + +( − ) , 518 + = lấy theo chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc + =1 {−4 , 523} tọa độ Hãy so sánh kết cách tính trực tiếp Trong Elip = Gợi ý: phương trình tham số , = , =1− ,0 ≤ ≤ 130 Tính = Trong Elip ( − ) +( − ) + = + + = +( − ) lấy theo chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc {6 tọa độ 131 Tính ∬( + ) + ; ( ) a) phía ngồi mặt nón tồn phần + b) phía ngồi mặt nón 80} , − + − = 0, ≤ ≤ = 0, ≤ ≤ − , 79 132 Tính a) c) ⃗ ( ⃗) { ⃗ ⃗+ } ⃗ b) d) ⃗ ⃗ ⃗( ⃗ ) {0 } ⃗ ⋀⃗ + ⃗⃗ (V524) 133 Chứng minh rằng, (S) mặt cong kín (trơn trơn mảng), ⃗ hướng cố định bất kỳ, ⃗ vectơ pháp ngồi (S) ⃗,⃗ =0 ( ) ( 525) 134 Chứng minh thơng lượng dịng chảy vận tốc ⃗ = ⃗ = ( , , ) qua mặt kín giới hạn vật thể tích ba lần thể tích ( 525) 21 Chương IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình phân ly biến số phương trình đưa phân ly (135-146) { = 135 − = − , 539} { = , , 539} 136 +1+ =0 137 − + √1 − 138 ( − ) + (2 + 1− = =0 + + 1) = {( 139 = 140 = 141 = {3 − + 142 = 143 = {3 + +2 | + {2 − + = + 1)( − 1) ( + 1) = − 1| = | − 145 (1 − (đặ − 1| (đặ {2 − − = ), 540} − (đặ | + |= ) HD: Đổi biến = ), 541} 1+ = { + = ), 541} + , (0) = = = + 1− ( = ; đặ , , 540} = ), , 540} + = |6 − + 5|, − + = (đặt − =1− 144 + , 539 , 142 ) , 542} = , 542 = 146 Tìm đường cong qua điểm (2,0) mà đoạn thẳng tiếp tuyến nằm tiếp điểm trục Oy có độ dài khơng đổi = √4 − +2 √ ; : = √ , 543 Giải phương trình phương trình đưa (147-157) 147 = 148 = 149 = 150 ( { {( + ) ( − ) = + = , { + − ) = (1) = 151 ( − + 5) + (2 − + + 4) 22 =0 = = , 543} = −2 , 544} = , 545} , 545 { ( − − 3) = ( + 1, = + 2, 546} 152 (2 − + 6) { ( − − 1) +( + − 1) = ( − ) 153 ( − ) +( + ) 154 155 ( = (2 − + ) =2 156 − 157 = = − 3) = + 3, = − + 1; đặ = − =0 + 1; đặ ( =0 = 2) + ) = + 2, 547} −2 , 548 + 1, = =± √ { − = = 0, 548 = 0, 549} , = = = , , 550 = , 550 Giải phương trình tuyến tính cấp (158-167) { = ( + )(1 + ), 555} 158 ( + 1) − = ( + 1) { = −2 + − 1, 555} +2 = 159 { = (2 + 1)( + |2 + 1|), 556} 160 (2 + 1) = + { = − | |}, 556 + +1 = 161 ) { = ( + ), 556} 162 = ( − { = − 1) =2 163 ( − , 556} 164 ( + ) = = − − 1, 557 165 = 166 = { = = + −2 +1+ + − , 557 , 557} 167 Tìm đường cong mà tung độ điểm cắt trục tung tiếp tuyến nhỏ đơn vị so với hoành độ tiếp điểm { = − | | − 2; : = − , 558} − Giải phương trình Becnuli (168-178) 168 −4 − 169 − = 170 = 171 −2 172 + ( =0 ( = = ), | −1+ = ( + 1) ) =− = = 23 √ − 1|, 560 + , 560 ( = = 0, 559 ) , 561 , 561 173 + = 174 + = 175 + = , 562 { { +( − ) (2 + ), 563} = − 177 ( + 1) 178 , 562 = = 176 = =0 ( − = ), 563} = ( + 1) = = − 1, 564 + , = 0, , 564 Giải phương trình vi phân tồn phần thừa số tích phân phụ thuộc x y (179-193) 179 −1 180 181 182 183 + 2) = ) =0 − 184 1+ − − 186 (1 + ) = − 188 ( + + 190 ( ( ) ) +( +( + ) 191 (2 + ) +( + + + (2 + − )3/2 = , − = , 567 , 568} − + − = ); + = , = = 0, = , 569} = , 569 =0 + +3 − + ) { ) + = , 567 =0 + 192 ( + ) ( + + = 2( − ) { − + ( 3 =0 − 3), 566} + 2) + = , 566} { − = , 566} =0 = , 565} = , 565 + = − ) − − 1) = ( − {( − − { 189 + =0 185 +2 + + {( + −1+( − − (2 + 187 − = = − { = ) ( =0 + + − 1) = ; = , , 570} =0 24 , 570 + 3 = ; = , 571 193 (1 − ) + ( − ) =0 − − = , = , 571 Giải phương trình vi phân giảm cấp (194-199) 194 = 195 = 196 197 198 − 1) − + = ′ ′ +2 = ( = + 1) + = + + = ( √ ) + (1 + 199 (1 − 200 Giải toán Cauchy ) ′ =0 / / −2 ) {( + =( − (1) = (1) = , 597 + , 597 + , 598} ) / , 598} { = { =( + =0 đổi biến ( + + , 598 = + , 599} ) ) = { = , 584} Gợi ý:Sử dụng định lý tồn nghiệm, nghiệm đặc biệt 201 −( − ) = đổi biến = = , 584 Định lý cấu trúc nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai (202-209) thỏa mãn phương trình tuyến tính cấp hai 202 Các hàm , { −6 + 12 = 0, 585} Lập pt tìm NTQ 203 Các hàm , thỏa mãn phương trình tuyến tính cấp hai =3 −2 Tìm nghiệm pt thỏa mãn (1) = 1, (1) = + 204 Giải pt + = biết nghiệm = = 205 Tìm điều kiện cần để pt + độc lập tuyến tính , cho khơng đủ Xét ví dụ + = 206 Giải − + ( ) − ( ) = có hai nghiệm = Chứng tỏ điều kiện { + =3 = 0, 585} +2 = cách nhẩm nghiệm { = 207 Giải + ′ đổi biến 25 ′= + ( − 1)} { = ′( 208 Giải ( 209 − 1) − 1) đổi biến − + = ′= + = , 586} , 587 = cách nhẩm nghiệm { = , 587} + Giải phương pháp biến thiên số (210-219) + 210 + =0 =2+ −2 211 a) ( )= b) ( )= c) ( )= a) ( )= b) ( )= + = { = + (1 + − + ), 591 ( | | − 1), , 592 } + + { =( + − + , , 592 + + 1) ( √1 − + + =3 − + 1) + , 593} (1 − , 593 + , 594} + , 595} − { = = ) + + = + | |− + , 596 = + + + ( | |+ + , 596} +2 = ( ) + 1) { = ( )= −( { = + + ) √1 − 216 −2 a) ( ) = ( b) , 595 = ( ) c) ( ) = 213 − 215 + { = = 214 + = ( ) + = − 212 + + + ( | | − 1) − , , 590} + + ( | | − 1) − , , 590} + 1) { = biết phương trình có nghiệm đa thức 26 217 ( + 1) − + = ( + 1) có nghiệm đa thức 2−1 +2 = + −4 218 + 1) , , 591 2 + + + , , 588 1− = ( ) + ( )= a) −( +4 = = 219 biết phương trình = + + − + , 588 b) ( ) = = + √ − √ − − √ − + √ − , 588 Giải phương pháp vế phải đặc biệt (220-228) −2 220 + = ( ) (V603) a) ( )= = + + b) ( )= = + + −7 221 a) ( )= b) ( )= c) ( )= +6 = ( ) = = = −4 222 ( )=3 b) ( ) = 2( + c) ( )= + ) + + + + − (V606) = = + + + + +1+ − 3 − 12 ) + 2 = + − + ( )= = e) + + +4 = ( ) a) d) (V604) ( )= + + + (4 +3 = 27 )+ + (5 + f) ( ) = 8( + ) + { = 223 −2 a) ( ) = b) d) + ( )= + ( + ( )= (1 + + 224 a) ( ) = b) ( )= ( ( )− + )+ ( | ) )+ |+ ( = (2 )+ + = ( ) + − ) − (V611) = + − +1+ + + + −1+ = + + − = ( ) phép = + + − b) ( )= = + + −2 = = −3 +5 = + =6 ( , 575 , 574 ), 581 −3 = | |+ | | + 3), 581} = phép = − − ( + − phép { = −2 = phép + = ( )= 228 + a) 227 )+ + + c) 226 } + +1 = 225 +4 +3+4 (V609) = ( )= = +2 +2 = ( ) = c) + + − − , 581 Giải hệ phương trình vi phân đưa phương trình vi phân cấp cao (228-232) 28 +2 + 229 = −4 −2 = = −2 = 230 = = + +2 − (2 + 1) − + + = + 231 = = 232 = = + ) − ( + = , 582 −2 − + ( + = − 1) − + , 583 = + + , 582 + = + = , 584 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số (233-250) 233 ̇ =2 + ̇ =3 +4 = =− 234 ̇= − ̇ = −4 = =2 + −2 613 235 ̇ =8 − ̇= + =2 = −4 + , 613 236 ̇ =2 + ̇=4 − 237 ̇ =3 − ̇=4 − ) =( + = (2 − + 238 ̇ =2 −3 ̇ = −2 =( +2 ) =( + +2 ) 239 ̇= + ̇ =3 −2 240 ̇ = −3 ̇=3 + + +3 , 612 ) =( + ) =( + + = ( = [( + ) = = 29 ( ( + +( + − ) , 514 , 614 , 615 ) − ) ] , 616 ) , 616 ) 241 ̇ + +5 = ̇− − =0 242 ̇ = −2 − ̇ =− + + ̇= − 243 ̇= − + ̇= + − ̇=2 − 244 = [(2 − ) = − (2 + ) + 2 ] = +3 = −2 + = + −2 + = = = ̇ =2 − + ̇ = +2 − ̇ = − +2 , 617 + −3 + , 618 −5 + + = = , 618 = + + = + + 245 ̇ =− +3 − ̇ = −3 + − ̇ = −3 + + =2 246 ̇ =4 −2 +2 ̇ =2 +2 ̇=− + + 247 ̇= − + ̇= + − ̇ = − +2 248 ̇ =− + −2 ̇ =4 + ̇=2 + − 249 ̇ =2 + ̇ = +3 − ̇ =− +2 +3 = = , 579 + −3 + =2 =− + , 580 + − ) + =( + ) =( −2 + ) + =( − + , 619 ) =( + − (2 + + ) ) −( + + =2 = , 617 ( ) + + [( + ) ] = +( − ) [(2 − ) + + (2 + ) , 620 = = 250 ̇ =2 − +2 ̇ = +2 ̇ = −2 + − +( = =2 = + + +2 ) +( +2 ) −( + ) , 621 ] , 621 Hà Nội 8/5-2011 30 ... > 0, 33.12 Hàm √ , = √ , ( 484) √ + + = 18 ; điều kiện (2,2,2) = ; ThiGT2 − 08} { + điều kiện > 0, > 0) + , , = ; = ; ThiGT2 − 08 = điều kiện + + =5 + + =8 , , { 33.13 Hàm + + = + = , , (2,2,1)... Có thể giải ngắn PP sử dụng2 lần bđt Cauchy cho số: đầu cho ( − ) ( + 35 Tìm GTLN, GTNN hàm số tập compact 35.1 = + − 12 + 16 bao đóng = { { 35.2 (−3,4) = 125, = + + − giới hạn đường = , 10 =1... = hạn chế mặt phẳng = 6, = 0, = 10√10 − , 496 (AD 105) 107 Áp dụng 105, tìm diện tích mặt trụ tập số 85,86 ( 496) 108 (Viên) Cho = 2+ , = + a) Trong miền mặt phẳng tích phân đường =∫: + không