Tài liệu học tập giải tích 12 học kỳ 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN TÀI LIỆU HỌC TẬP 12 GIẢI TÍCH HỌC KỲ II 31 30 29 28 27 31 30 26 29 25 28 10 24 27 11 23 12 26 22 13 25 10 21 14 20 24 11 19 18 17 16 15 23 12 22 13 21 14 20 30 19 18 17 16 15 29 28 27 26 25 10 24 11 23 12 22 13 21 14 20 19 18 17 16 15 July August September 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 10 11 12 13 31 14 30 19 18 17 16 15 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 June 10 11 12 13 14 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 May 19 18 17 16 15 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 6 10 11 12 13 14 April October 19 18 17 16 15 19 18 17 16 15 31 30 29 6 28 7 27 8 26 9 25 10 10 24 11 11 23 12 12 22 3 13 13 21 31 14 14 4 20 30 5 19 18 17 16 15 19 18 17 16 15 29 6 28 28 7 27 27 31 8 30 26 26 9 29 25 25 10 28 10 24 24 11 27 11 23 23 12 12 26 22 22 13 13 25 10 21 21 14 14 20 20 24 11 19 18 17 16 15 19 18 17 16 15 23 12 22 13 21 14 20 19 18 17 16 15 November March February December January LƯU HÀNH NỘI BỘ 10 11 12 13 14 Muåc luåc Phần I Chương GIẢI TÍCH NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài Ngun hàm A Tóm tắt lí thuyết B Các dạng toán Dạng 1.Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm Dạng 2.Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Dạng 3.Tìm nguyên hàm phương pháp phần 14 C Bài tập trắc nghiệm 18 Bài Tích phân 28 A Tóm tắt lí thuyết 28 B Các dạng toán 29 Dạng 1.Dùng định nghĩa tính tích phân 29 Dạng 2.Tính tích phân bảng nguyên hàm 32 b |f (x)| dx 37 Dạng 3.Tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối a Dạng 4.Phương pháp đổi biến số 39 Dạng 5.Phương pháp phần 47 C Bài tập trắc nghiệm 52 Bài Ứng dụng tích phân 69 A Tóm tắt lí thuyết 69 B Các dạng toán 70 Dạng 1.Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành hai cận 70 Dạng 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 73 Dạng 3.Thể tích khối trịn xoay 77 Dạng 4.Thể tích vật thể 79 Dạng 5.Bài tốn thực tế: Tìm vận tốc, quãng đường 81 C Bài tập trắc nghiệm 84 Năm học 2021-2022 Chương TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC 108 Bài Số phức 108 A Tóm tắt lí thuyết 108 B Các dạng toán 110 Dạng 1.Xác định phần thực - phần ảo số phức 110 Dạng 2.Xác định mô-đun số phức 110 Dạng 3.Hai số phức 111 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm biểu diễn 112 Dạng 5.Số phức liên hợp 113 C Bài tập trắc nghiệm 114 Bài Cộng, trừ nhân số phức 126 A Tóm tắt lí thuyết 126 B Các dạng toán 127 Dạng 1.Cộng trừ hai số phức 127 Dạng 2.Phép nhân hai số phức 128 C Bài tập trắc nghiệm 131 Bài Phép chia số phức 140 A Tóm tắt lí thuyết 140 B Các dạng tập 140 Dạng 1.Phép chia số phức đơn giản 140 Dạng 2.Các tốn tìm phần thực phần ảo số phức 141 Dạng 3.Một số tốn xác định mơđun số phức 143 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN 145 C Bài tập trắc nghiệm 148 Bài Phương trình bậc hai với hệ số thực 157 A Tóm tắt lí thuyết 157 B Các dạng toán 157 Dạng 1.Giải phương trình bậc hai hệ số thực 157 Dạng 2.Phương trình bậc cao với hệ số thực 159 C Bài tập trắc nghiệm 162 MỤC LỤC ii PHẦN I GIẢI TÍCH TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Chûúng NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ NGUN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG Bâi A NGUN HÀM Tóm tắt lí thuyết Ą Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F (x) = f (x) với x ∈ K Ą Định lí 1.1 Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K với số C, hàm số G(x) = F (x) + C nguyên hàm hàm số f (x) K Ą Định lí 1.2 Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm hàm số f (x) K có dạng F (x) + C, với C số Ą Định lí 1.3 Mọi hàm số f (x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất nguyên hàm Ą Tính chất 1.1 f (x) dx = f (x) + C Ą Tính chất 1.2 kf (x) dx = k Ą Tính chất 1.3 [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx (k số khác 0) f (x) dx ± g(x) dx Phương pháp tìm nguyên hàm 2.1 Phương pháp đổi biến số Ą Định lí 1.4 Nếu f (u) du = F (u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f (u(x))u (x) dx = F (u(x)) + C 2.2 Phương pháp phần Ą Định lí 1.5 Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u(x).v x() dx = u(x)v(x) − CHƯƠNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG u (x)v(x) dx Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Lưu ý: Vì u (x) dx = dv, u (x) dx = du nên đẳng thức viết dạng u du = uv − v dv f (x) dx phần ta làm sau: Để tính nguyên hàm ○ Bước Chọn u, v cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v (x) dx) Sau tính v = dv du = u · dx ○ Bước Thay vào cơng thức (∗) tính vdu Lưu ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân tính v du dễ u dv Ta thường gặp dạng sau: ï ò sin x Dạng I = P (x) dx Với dạng này, ta đặt cos x   u = P ï(x) ò sin x dx  dv = cos x ax+b Dạng I = P (x) e dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt ® u = P (x) Dạng I = Dạng I = dv = eax+b dx P (x) ln (mx + n) dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt ® u = ln (mx + n) ï ò dv = P (x) dx sin x ex dx Với dạng này, ta đặt cos x  ï ò sin x  u= cos x  dv = ex dx BẢNG NGUYÊN HÀM dx = x + C xn dx = xn+1 +C n+1 dx =− +C x x dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C ax +C ln a kdx = kx + C (ax + b)n dx = 10 11 ax dx = 13 cos xdx = sin x + C 14 15 sin xdx = − cos x + C 16 12 (ax + b)n+1 +C a n+1 dx 1 =− +C (ax + b) a ax + b dx = ln |ax + b| + C ax + b a eax+b dx = eax+b + C a aαx+β aαx+β dx = +C α ln a cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a NGUYÊN HÀM Năm học 2021-2022 dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x 17 19 18 20 21 tan xdx = − ln |cos x| + C 22 23 cot xdx = ln |sin x| + C 24 25 B TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 x2 x−a 1 +C ln dx = −a 2a x+a 26 dx tan(ax + b) + C + b) a dx = − cot(ax + b) + C a sin (ax + b) tan(ax+b)dx = − ln |cos(ax + b)|+C a cot(ax + b)dx = ln |sin(ax + b)| + C a x dx = arctan + C 2 x +a a a cos2 (ax = Các dạng tốn Dạng Tính ngun hàm bảng nguyên hàm Phương pháp giải: Phương pháp Tích đa thức lũy thừa −−−−−−−→ khai triển Phương pháp Tích hàm mũ −−−−−−−→ khai triển theo cơng thức mũ Phương pháp Chứa −−−−−−−→ chuyển lũy thừa Phương pháp Tích lượng giác bậc sin cos −−−−−−−→ sử dụng cơng thức tích thành tổng [sin(a + b) + sin(a − b)] ○ sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] ○ cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] ○ sin a cos b = Phương pháp Bậc chẵn sin, cos −−−−−−−→ hạ bậc ○ sin2 a = 1 − cos 2a 2 Nguyên hàm hàm số hữu tỷ ○ cos2 a = 1 + cos 2a 2 P (x) dx với P (x), Q(x) đa thức Q(x) Phương pháp ○ Nếu bậc tử P (x) ≥ bậc mẫu Q(x) −−−−−−−→ chia đa thức Phương pháp ○ Nếu bậc tử P (x) < bậc mẫu Q(x) −−−−−−−→ phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, sử dụng đồng thức đưa tổng phân số A Bx + C = + , với ∆ = b2 − 4ac (x − m) (ax + bx + c) x − m ax + bx + c A C B D = + + + 2 (x − a) (x − b) x − a (x − a) (x − b) (x − b)2 Ví dụ minh họa VÍ DỤ Tính ngun hàm hàm số sau: a) f (x) = 3x2 + x BÀI GIẢI CHƯƠNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b) f (x) = (x2 − 3x) (x + 1) Năm học 2021-2022 a) Ta có: F (x) = TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Å ã x2 3x + x dx = x3 + + C x2 − 3x (x + 1)dx = b) Ta có: F (x) = x3 − 2x2 − 3x dx = x4 2x3 3x2 − − + C Nguyên hàm hữu tỷ Nguyên hàm hàm hữu tỷ P (x) dx Q(x) VÍ DỤ Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2x2 − 3x + 2x + a) f (x) = b) f (x) = x x+1 c) f (x) = 2x − −x−2 x2 BÀI GIẢI Å ã 2x2 − 3x + 1 a) F (x) = dx = 2x − + dx = x2 − 3x + ln |x| + C x x b) Thực chia đa thức 2x + cho x + ta 2x + 1 f (x) = =2− x+ xã+ Å1 F (x) = 2− dx = 2x − ln |x + 1| + C x+1 (Sắp xếp phép chia đa thức hình bên) 2x − A B (A + B)x − 2A + B 2x − = = + = − x − 2) ®(x + 1)(x − 2) x +®1 x − (x − 2)(x + 1) A+B =2 A=1 Đồng thức vế ta được: ⇔ − 2A + B = −1 B=1 1 2x − = + Ta viết lại: f (x) = (x − x − 2) x +Å1 x − ã 1 2x − dx = + dx = ln |x + 1| + ln |x − 2| + C Khi đó: F (x) = x2 − x − x+1 x−2 c) Ta viết f (x) = (x2 Tìm nguyên hàm Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k VÍ DỤ Tìm nguyên hàm F (x) hàm số sau: a) f (x) = −x3 + 3x2 − 2x thỏa mãn F (1) = 1 b) f (x) = f (x) = thỏa mãn F (1) = ln 2x − c) f (x) = , biết f (0) = f (2) = Tính giá trị P = f (−2) + f (5) x−1 BÀI GIẢI x4 + x3 − x2 + C 14 Theo giả thiết: F (1) = ⇔ − + 13 − 12 + C = ⇔ C = 4 a) Ta có F (x) = −x3 + 3x2 − 2x dx = − NGUYÊN HÀM Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 x4 + x3 − x2 + 4 1 b) Ta có: F (x) = dx = ln |2x − 5| + C 2x − 1 Theo giả thiết: F (1) = ln ⇔ ln |2.1 − 5| + C = ln ⇔ ln + C = ln 2 ⇔ C = ln 3 Vậy F (x) = ln |2x − 5| + ln 2 c) Ta có: f (x)dx = f (x) + C ⇔ f (x) = dx − C = ln |x − 1| − C x −®1 ® ® ® f (x) = ln |x − 1| + C1 = −2 ln |0 − 1| − C1 = f (0) = ⇒ ⇔ ⇔ Ta có f (x) = ln |x − 1| + C2 = −4 ln |2 − 1| − C2 = f (2) = Ta có: P = f (−2) + f (5) = (2 ln + 2) + (2 ln + 4) = ln 144 + Vậy F (x) = − Bài tập tương tự Bài Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f (x) = 2x3 − 5x2 − 4x + b) f (x) = 6x5 − 12x3 + x2 − c) f (x) = (x − 1) (x2 + 2) d) f (x) = x (x2 + 1) ɓ Lời giải Bài Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f (x) = − + x x x 1 c) f (x) = + x (2 − x)2 (2x − 1)3 d) f (x) = − (3x − 1)2 3x − b) f (x) = ɓ Lời giải Bài Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f (x) = +1− − 2x cos2 x c) f (x) = 3x − e3x + sin2 4x CHƯƠNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b) f (x) = π + 2x + cos − 3x x d) f (x) = − 31−4x + sin 2x Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 ɓ Lời giải Bài Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f (x) = sin2 x + c) f (x) = cos 2x cos x + 1 + cos2 2x d) f (x) = cos x cos 3x + sin2 x2 b) f (x) = ɓ Lời giải Bài Tính nguyên hàm hàm số sau: (x2 − 1) x2 b) f (x) = c) f (x) = (1 − 3x)5 d) f (x) = a) f (x) = √ x+ √ √ x+ √ − 4x + √ x + 2x ɓ Lời giải Bài Tính nguyên hàm hàm số sau: 4x2 + 2x x3 + c) f (x) = x+2 2x − e) f (x) = 2x − x − a) f (x) = x−1 2x + d) f (x) = x +x−2 f) f (x) = x(x + 3) b) f (x) = ɓ Lời giải NGUYÊN HÀM Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Câu Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa Tìm giá trị nguyên m để |z − i| < z − 3i z−1 = = mãn A B C D Vô số z−i z+i Câu 19 Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa Tính P = a + b 2(z + i) a |z|2 A P = B P = −1 + 2iz + = Tính P = mãn z 1−i b C P = D P = A P = B P = Câu 10 Có số phức z thỏa mãn |z|2 = 5 |z + z| + |z − − i| = |z − + 3i|? C P =5 D P =− A B C D Câu 20 Có số phức z thỏa mãn z + Câu 11 √Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn + i − |z|(1 + i) = 0? 5+i z− − = Tổng giá trị tất phần A B C D z tử S √ Bài toán tập hợp điểm A B − 3i √ √ Câu Cho số phức z thay đổi thỏa mãn√|z−1| = C −3 − 3i D − 3i Biết tập hợp số phức w = (1+ 3i)z+2 Câu 12 Có số phức z thỏa mãn đường trịn có bán kính R Tính R z |z + + 3i| = số ảo? z−2 A R = B R = A B Vô số C D C R = 16 D R = Câu 13 Có số phức z thỏa mãn |z + Câu Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp z điểm biểu diễn số phức số ảo + 3i| = √ z thỏa mãn điều kiện z−2 |(1 + i)z − + 2i| = đường tròn Xác định tọa độ tâm I bán kính R đường trịn A B vơ số C D Câu 14 √ Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn A I(1; −3), R = 5+i √ z− − = Tính tổng tất phần z B I(4; −2), R = tử S C I(1; −3), R = √ √ A − 3i B −3 − 3i D I(−1; 3), R = √ C D − i z−1 Câu Cho số phức z thỏa mãn +i = Câu 15 Có số phức z thỏa mãn |z − − i √ z 3i| = số ảo Biết tập hợp biểu diễn số phức w = z−4 (1 − i)z + 2i có dạng (x + 2)2 + y = m Tìm A B C D Vơ số m Câu 16 Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp z1 đồng thời thỏa mãn ∈ R |z1 − z2 | = z2 √ Tính mơ đun số phức z1 √ A |z1 | = B |z1 | = √2 C |z1 | = D |z1 | = A m = 96 C m = 50 B m = 92 D m = 100 Câu Cho số phức z thỏa mãn |(1−i)z−4+2i| = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R đường trịn √ A I(3; −1), R = B I(3; −1), R = Câu 17 Tìm phần thực số phức z, biết √ C I(3; 1), R = D I(3; 1), R = |z|2 z+ = 10 z Câu Cho số phức z thỏa mãn |z − 1| = Biết Ärằng √ tập ähợp điểm biểu diễn số phức A 20 B 10 C D 15 w = + 3i z + đường trịn Tính bán m+1 Câu 18 Cho số phức z = , (m ∈ R) kính R đường trịn + m(2i − 1) 155 CHƯƠNG SỐ PHỨC Năm học 2021-2022 A R = C R = TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 B R = 16 D R = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, (H) Ä gọi √ ä tập hợp điểm biểu diễn số phức w = + 3i z+ thỏa mãn |z − 1| ≤ Tính diện tích hình (H) A 8π B 18π C 16π D 4π Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z = z−1 9 A Đường tròn x2 + y − x − = 9 2 B Đường tròn x + y − x + = 9 2 C Đường tròn x + y + x + = Å 4ã D Đường tròn tâm I 0; bán kính R = Câu Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2z − i| = đường trịn có bán kính √ √ A 2 B C D Câu 13 Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z1 +z2 Xét mệnh đề sau 1) |z ñ | = |z2 | ⇔ z1 = z2 ; z1 = −z2 # » # » 3) Nếu OA · OB = z1 · z2 + z2 · z1 = 0; 2) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; 4) OC + AB = (OA2 + OB ) Trong mệnh đề có mệnh đề đúng? A B C D A B C D √ Câu 14 Cho số phức z có mơ-đun 2 Biết tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w = (1−i)(z+1)−i đường trịn có tâm I(a; b), bán kính R Tổng a + b + R 2z − z + 3i = z+i Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn A Một Parabol B Một đường thẳng Câu Cho số phức z thỏa mãn |z + i| = C Một đường tròn D Một Elip Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i)z + + i đường tròn tâm I Câu √ 16 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)|z| = 17 Điểm I có tọa độ + − 3i Biết tập hợp điểm biểu diễn cho z A (6; −2) B (6; 2) số phức w = (3 − 4i)z − + 2i đường tròn tâm C (2; 1) D (−2; −1) I, bán kính R Khi √ Câu 10 Cho số phức z thỏa điều kiện |z| = 10 A I(−1; −2), R = √ w = (6 + 8i) · z + (1 − 2i)2 Tập hợp điểm biểu B I(1; 2), R = diễn cho số phức w đường trịn có tâm C I(−1; 2), R = A I(−3; −4) B I(3; 4) D I(1; −2), R = C I(1; −2) D I(6; 8) Câu 17 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| = z−i hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn = Biết Ärằng tập hợp điểm biểu diễn số phức √ ä z+i w = + i z + i đường trịn Bán kính r đường trịn A Hình chữ nhật giới hạn đường x = A B C D 36 Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − + 3i| ≤ Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + − i hình có diện tích A S = 25π C S = 9π ±1, y = ±1 B Trục Ox C Đường tròn (x + 1)2 + (y − 1)2 = D Hai đường thẳng y = ±1, trừ điểm (0; −1) B S = 16π D S = 36π PHÉP CHIA SỐ PHỨC 156 Năm học 2021-2022 Baâi A TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Tóm tắt lí thuyết Căn bậc hai số thực âm Các bậc hai số thực a âm ±i |a| Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với a, b, c ∈ R, a = Xét biệt thức ∆ = b2 − 4ac phương trình Khi đó: ○ Khi ∆ = 0, phương trình có nghiệm thực x = − b 2a √ −b ± ∆ ○ Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = 2a −b ± i |∆| ○ Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = 2a ĄVí dụ Giải phương trình x2 + x + = ɓ Lời giải Ta có ∆ = b2 − 4ac = 12 − 4.1.1 = √  −3 = 3i √ −1 −1 + 3i = + i x1 = 2  √ √ Phương trình có nghiệm phức:  −1 − 3i −1 x2 = = − i 2 Ą Định lí 4.1 (Địnhlý Vi-et) Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = với b  x1 + x2 = − a a, b, c ∈ R, a =  x1 x2 = c a B Các dạng tốn Dạng Giải phương trình bậc hai hệ số thực Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai biết Lưu ý: Với phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0, a = ta đặt t = x2 để đưa phương trình bậc hai lưu ý tập số phức khơng cần điều kiện t ≥ ĄVí dụ Giải phương trình x2 + 4x + = tập số phức ɓ Lời giải Biệt thức thu gọn phương trình ∆ = 22 − × = −1 = i2 157 CHƯƠNG SỐ PHỨC Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Do phương trình cho có hai nghiệm phức: x1 = −2 − i x2 = −2 + i Bài Giải phương trình z − 3z + 10 = tập số phức ɓ Lời giải Bài Giải phương trình z + 5z + = ( ) tập số phức ɓ Lời giải Bài Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z − 2z + = Tính F = |z1 | + |z2 | ɓ Lời giải Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z − 3z − = Tính tổng T = 2 2 z1 + z2 + z3 + z4 ɓ Lời giải Bài Giải phương trình z − z + = tập số phức ɓ Lời giải LUYỆN TẬP Giải phương trình 2z + 3z − = tập số phức LUYỆN TẬP Biết phương trình z + az + b = (trong a, b ∈ R) có nghiệm phức + 2i Tính tích ab LUYỆN TẬP Cho phương trình z + 2z − = có nghiệm tập số phức z1 , z2 , z3 , z4 Tính giá trị biểu thức F = z12 + z22 + z32 + z42 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 158 Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 LUYỆN TẬP Ä √ √ ä (1 + i)3 = i 8z tập số phức Giải phương trình 3z + + 2i z − 1−i LUYỆN TẬP Ä √ ä √ (1 + i)3 Giải phương trình 3z + + 2i z − = i 8z tập số phức 1−i Dạng Phương trình bậc cao với hệ số thực Phương pháp giải: ○ Phân tích thành nhân tử để đưa phương trình tích ○ Đặt ẩn phụ ĄVí dụ Giải phương trình z − 2z − = tập số phức ɓ Lời giải Đặt t = z , phương trình cho trở thành t2 − 2t − = ⇔ t = −2 t = ○ Với t = suy z = ⇔ z = ±2 √ ○ Với t = −2 suy z = −2 ⇔ z = ±i Ta trình bày theo cách sau: ñ ñ √ z = −2 z = ±i z − 2z − = ⇔ ⇔ z =4 z = ±2 Bài Giải phương trình z − 27 = tập số phức ɓ Lời giải Bài Giải phương trình z + 4z + 6z + = tập số phức ɓ Lời giải Bài Giải phương trình sau tập số phức z + 2z − z + 2z + = ɓ Lời giải 159 CHƯƠNG SỐ PHỨC Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Bài Giải phương trình sau tập số phức 2z − 7z + 9z − 7z + = ɓ Lời giải Bài Giải phương trình sau tập số phức 2z − 7z + 9z − 7z + = ɓ Lời giải 2 Bài Giải phương trình sau tập số phức 25 (5z + 2) + (25z + 6) = ɓ Lời giải Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z + z − 12 = Tính tổng T = |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z4 | ɓ Lời giải LUYỆN TẬP Giải phương trình (z + 4)4 + (z + 6)4 = 82 tập số phức LUYỆN TẬP Giải phương trình z + 2z − z + 2z + = tập số phức PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 160 Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 LUYỆN TẬP Ä Ä Ä √ ä √ ä √ ä Giải phương trình z − + z + + z − + z + = tập số phức LUYỆN TẬP Phương trình z + z − 13z − 14z − 13z + z + = có nghiệm thực? LUYỆN TẬP Giải phương trình sau tập số phức (z + 3z + 6)2 + 2z(z + 3z + 6) − 3z = LUYỆN TẬP Giải phương trình sau tập số phức (z + 3z + 6)2 + 2z(z + 3z + 6) − 3z = Số phức đề thi tốt nghiệp, ĐH-CĐ [TN THPT-2006] Giải phương trình 2x2 − 5x + = tập số phức [TN THPT-2007-Lần 1] Giải phương trình x2 − 4x + = tập số phức [TN THPT-2007-Lần 2] Giải phương trình x2 − 6x + 25 = tập số phức [TN THPT-2008-Lần 1] Tìm giá trị biểu thức: P = (1 + [TN THPT-2008-Lần 2] Tìm giá trị biểu thức: Giải phương trình x2 − 2x + = tập số phức [TN THPT-2009] Giải phương trình 8z − 4z + = tập số phức [TN THPT-2010] Cho hai số phức: z1 = + 2i, z2 = − 3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 − 2z2 [TN THPT-2011] Giải phương trình (1 − i)z + (2 − i) = − 5i 25i , biết z = − 4i z 10 [TN THPT-2012] Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z − − 4i = Tìm số phức liên hợp z 11 [ĐH-Khối A-2009] Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 12 [ĐH-Khối B-2009] Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = 13 [ĐH-Khối D-2009] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 14 161 [TN THPT-2012] Tìm số phức 2z + z √ √ 3i) + (1 − 3i)2 √ 10 z · z¯ = 25 √ √ [ĐH-Khối A-2010] Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i)2 (1 − 2i) 15 [ĐH-Khối B-2010] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện |z − i| = |(1 + i)z| 16 [ĐH-Khối D-2010] Tìm số phức z thỏa mãn |z| = 17 [ĐH-Khối A-2011] Tìm tất số phức z, biết z = |z|2 + z CHƯƠNG SỐ PHỨC √ z số ảo Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 18 √ 5+i [ĐH-Khối B-2011] Tìm tất số phức z, biết z − −1=0 z 19 [ĐH-Khối D-2011] Tìm tất số phức z, biết z − (2 + 3i)z = − 9i 20 [ĐH-Khối A-2012] Cho số phức z thỏa mãn w = + z + z2 21 (z + i) = − i Tính mơ-đun số phức z+1 [ĐH-Khối D-2012] Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 + 2i) = + 8i Tìm mơ-đun số 1+i phức w = + + i [ĐH-Khối D-2013] Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)(z − i) + 2z = 2i Tính mơ-đun số phức z − 2z + w= z2 22 C Bài tập trắc nghiệm Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm 1.1 Mức độ nhận biết Câu Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − 2z + = Tìm số phức z1 liên hợp w = 2−i A w = − 3i B w = i Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình C w = −3 + i D w = −i z + 2z + = Tính M = |z12 | + |z22 | √ √ Câu Gọi z1 , z2 hai nghiệm A M = 34 B M = phương trình z + 5z + 10 = Tính giá trị C M = 12 D M = 10 biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương A A = 10 B A = 50 trình z + 2z + = Tính M = |z1 |2 + |z2 |2 C A = 20 D A = 40 √ √ A M = 34 B M = Câu Phương trình (z − 1)(z + 8) = có bao C M = 12 D M = 10 nhiêu nghiệm phức? Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình A B C D z − 2z + = Tính P = |z1 |2 + |z2 |2 Câu Gọi z1 z2 hai nghiệm phức A 10 B C 12 D 14 phương trình 4z + 3z + = Giá trị biểu Câu Nghiệm phương trình z − z + = thức |z1 | + |z2 | √ √ tập số phức A B C D √ √ 3 A z1 = + i; z2 = − i Câu 10 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức 2 √2 √ phương trình z − 2z + = Giá trị biểu B z1 = + i; z2 = − i √ √ thức |z12 | + |z22 | 3 i; z2 = − i C z1 = + √2 √2 A B C D 8i D z1 = + 3i; z2 = − 3i Câu 11 Cho z1 , z2 hai nghiệm phức √ √ phương trình 2z + = (trong số phức z1 7 Câu Hai số phức + i − i nghiệm có phần ảo âm) Tính z + 3z 2 2 √ √ phương trình sau đây? A z1 + 3z2 = 2i B z1 + 3z2 = − √ √ A z − 3z − = B z + 3z + = C z1 + 3z2 = − 2i D z1 + 3z2 = C z − 3z + = D z + 3z − = Câu 12 Giả sử z , z nghiệm phức PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 162 Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 phương trình z + (1 − 2i)z − − i = Khi Câu 21 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức |z1 − z2 | phương trình z −z +2 = Tính |z1 |2 +|z2 |2 A B C D A B C D 3 Câu 13 Gọi z1 , z2 (z1 có phần ảo lớn z2 ) Câu 22 Giải phương trình z − 4z + = hai nghiệm phức phương trình z − 4z + = tập số phức ta nghiệm Phần ảo (z2 + z2 z1 ) √ √ √ √ A −2 + i, −2 − i B + i, − i A − B C − 2i D 2i C + i, − i D −4 + i, −4 − i Câu 14 Cho phương trình z − 6z + 10 = Một Câu 23 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm nghiệm phức phương trình cho phương trình z + 2z + = Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z1 A z = + 3i B z = − 4i Ä √ ä C z = + i D z = − i A M −1; − B M (−1; 2) Ä √ ä Câu 15 Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm C M (−1; −2) D M −1; − 2i phương trình 2z − 6z + = Số phức iz0 Câu 24 Ký hiệu z1 ; z2 hai nghiệm phức phương trình z − 4z + = Giá trị |z1 | + |z2 | 3 + i A − + i B 2 2 √ √ 3 A B C 12 D C − − i D − i 2 2 Câu 25 Tìm x y thỏa mãn x+(y +2i)i = 2+i Câu 16 Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương với i đơn vị ảo phương trình 4z − 16z + 17 = Trên mặt A x = 4; y = B x = 3; y = phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn C x = −1; y = D x = 0; y = số phức w = iz0 ? Å ã Å ã 1 A M2 − ; B M1 ;2 1.2 Mức độ thông hiểu Å ã Å2 ã 1 Câu Số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) nghiệm ;1 C M3 − ; D M4 4 phương trình (1 + 2i)z − − i = Tính S = a + b Câu 17 Gọi S tập nghiệm phương trình A S = −1 B S = z + z + = tập số phức Số tập S C S = −5 D S = A B C D Câu Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức Câu 18 Giải phương trình z + 2z + = phương trình z − 3z + = Giá trị |z1 | + |z2 | tập hợp số phức, ta có tập nghiệm S √ √ 5 A B C D 10 A S = {1 − i; + i} Câu Gọi z1 z2 hai nghiệm phức B S = {1 − i; −1 + i} phương trình z + 2z + 10 = Tính giá trị C S = {−1 − i; −1 + i} biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 D S = {−1 − i; + i} A A = 10 B A = 15 Câu 19 Tập nghiệm phương trình x2 +9 = C A = 20 D A = 25 tập hợp số phức tập hợp sau đây? Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương A ∅ B {−3; 3} trình z −8z+25 = Giá trị |z1 −z2 | C {0; 3} D {−3i, 3i} A B C D Câu 20 Tìm số phức z có phần ảo dương thỏa Câu Gọi số phức z0 nghiệm phức có phần ảo z − 2z + 10 = dương phương trình 4z + 4z + 37 = Trên A z = + 3i B z = −1 + 3i mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn C z = + 6i D z = −2 + 6i số phức w = iz0 163 CHƯƠNG SỐ PHỨC Năm học 2021-2022 Å ã A M1 −3; ã2 Å C M3 3; TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Å ã B M2 3; − ã Å D M4 −3; − A √ 10 B 20 √ C 10 D 10 Câu 15 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z −2z +10 = Giá trị |z1 |+|z2 | Câu Gọi z1 z2 hai nghiệm phức √ √ A 10 B C 10 D 20 phương trình 4z − 4z + = Giá trị biểu thức |z1 | + |z2 | Câu 16 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức √ √ √ phương trình 3z − z + = Tính P = |z1 | + A B C D |z2 | Câu Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương √ 14 phương trình 4z + 4z + 37 = Trên mặt A P = B P = 3√ phẳng tọa độ, điểm sau điểm biểu diễn √3 3 số phức w = iz0 ? C D P = P = ã ã Å Å 3 1 A M1 −3; B M2 3; − Câu 17 Trong tập số phức, phương trình z + ã Å ã2 Å 3iz + = có hai nghiệm z1 , z2 Đặt S = 1 C M3 3; D M4 −3; − |z1 | − |z2 | Tìm S 2 Câu Biết z = − 2i nghiệm phương trình z + az + b = (với a, b ∈ R) Khi a + b A B −3 C D −4 A S ∈ {3} C S ∈ {−3} B S ∈ {3; −3} D S ∈ {0} Câu 18 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − 2z + = Tính |z1 |2 + z1 z2 Câu Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương A B 10 C 15 D trình z + 2z + 10 = Giá trị biểu thức Câu 19 Số phức bậc hai T = |z1 |2 + |z2 |2 số phức z = −3 + 4i? √ A T = 10 B T = 10 √ A + i B − i C + 2i D − 2i C T = 20 D T = 10 20 Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình Câu 10 Gọi M, N điểm biểu diễn hai Câu nghiệm phức phương trình z − 2z + 10 = 2z 2+ z +2 = Tính giá trị biểu thức A = |z1 | + |z2 | Tính độ dài đoạn M N A M N = C M N = −6i B M N = 6i D M N = A C A B C D Câu 21 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương 2 Câu 11 Gọi z1 , z2 nghiệm phức trình z + 2z + 10 = Giá trị T = |z1 | + |z2 | phương trình z − 8z + 25 = Giá trị |z1 − z2 | bằng A B C 10 D 20 B D Câu 22 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z = −1 Giá trị |z1 | + |z2 | Câu 12 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − 4z + = 0; M, N điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Độ dài A B C D đoạn thẳng M N Câu 23 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phương √ √ A B C D trình z − 4z + = Giá trị |z1 |2 + |z2 |2 Câu 13 Gọi z1 , z2 nghiệm phức √ phương trình z + 4z + = Số phức z1 z¯2 + z¯1 z2 A B 10 C D Câu 24 Gọi z1 , z√ hai nghiệm phức A B 10 C 2i D 10i phương trình 2z + 3z + = Giá trị biểu Câu 14 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức thức T = z12 + z22 phương trình z +2z+10 = Giá trị |z12 |+|z22 | A T = B T =− 18 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 164 Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 A − 8i B 20 D T =− C D 10 Câu 25 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − 2z + = Giá trị |z1 | + |z2 | Câu 35 Cho phương trình z + az + b = với a, b tham số thực nhận số phức + i nghiệm Tính a − b √ √ A B C 14 D 10 A −2 B −4 C D Câu 26 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần thực âm phần ảo dương phương trình z + 2z + Câu 36 Có số phức z thỏa mãn z + 10 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm |z| = 0? điểm biểu diễn số phức w = i2019 z0 ? A B C D A M (3; −1) B M (−3; 1) Câu 37 Biết phương trình z + az + b = với a, C M (3; 1) D M (−3; −1) b ∈ R có nghiệm z = − 2i Tính a + b C T = Câu 27 Phương trình z + 2z + 10 = có hai nghiệm z1 ; z2 Giá trị |z1 − z2 | A B −5 C −3 D Câu 38 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − 5z + = Giá trị biểu Câu 28 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức thức |z1 − z2 | √ phương trình z − 2z + 10 = Tính giá trị biểu √ √ √ 2 thức P = |z1 | + |z2 | A 3i B − 3i C D √ A P = 40 B P = 10 Câu 39 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức √ C P = 20 D P = 10 phương trình z + z + = Giá trị |z1 | + |z2 | Câu 29 Gọi z1 ; z2 hai nghiệm phức phương trình z − 6z + 10 = Biểu thức |z1 − z2 | A B C D có giá trị Câu 40 Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức A 6i B 2i C D phương trình z −2z +3 = Giá trị |2z1 |+|z2 | Câu 30 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm √ √ √ √ phương trình z + 2z + = Trên mặt phẳng A 3 B 2 C D tọa độ, điểm biểu diễn cho số phức z1 có tọa độ Câu 41 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + = A (−2; −1) B (2; −1) Tính P = |z1 | + |z2 | C (−1; −2) D (1; −2) √ √ A P = B P = Câu 31 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức √ √ C P = 3 D P = phương trình z − 5z + = Tính P = |z1 |2 + |z2 | Câu 42 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức √ √ phương trình z − 8z + 17 = Tìm giá trị A B 56 C 14 D T = |z1 | + |z2 |? Câu 32 Ký hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức √ A T = 34 B T = 17 phương trình z − 4z + = Giá trị |z1 | + |z2 | √ C T = 17 D T = 17 √ √ A B C 12 D Câu 43 Gọi z1 nghiệm có phần ảo âm Câu 33 Kí hiệu z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z − 4z + 20 = Tìm tọa độ điểm phương trình z − z + = Giá trị |z1 | + |z2 | biểu diễn z1 A M (−2; −4) B M (−4; −2) √ C M (2; −4) D M (4; −2) A B C D A B C D Câu 34 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức Câu 44 Gọi z1 z2 = + 4i hai nghiệm phương trình z − 4z + = Giá trị biểu phương trình az + bz + c = (a, b, c ∈ R, a = 0) thức |z12 | + |z22 | Tính T = 2|z1 | − |z2 | 165 CHƯƠNG SỐ PHỨC Năm học 2021-2022 A T = C T = 10 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Câu Biết z = − 2i nghiệm phương trình z + az + b = (với a, b ∈ R) Khi a + b B T = D T = Câu 45 Gọi z1 , z2 nghiệm phức A B −3 C D −4 phương trình az + bz + c = 0, (a, b, c ∈ R, a = 2 0, b − 4ac < 0) Đặt P = |z1 + z2 | + |z1 − z2 | − Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức |z1 |2 − |z2 |2 Mệnh đề sau đúng? z thỏa mãn |z−1+2i | = Tập hợp điểm biểu √ c diễn cho số phức w = z(1 + i) đường tròn A P = a2 + b B P =− √ a A Tâm I(3; −1), R = a 2b C P = D P =− 3c 3a B Tâm I(−3; −1), R = √ C Tâm I(−3; 1), R = Câu 46 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − 8z + 25 = Khi đó, giả sử D Tâm I(−3; 1), R = z12 = a + bi a + b Câu Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm A B −7 C 24 D 31 phương trình z + 2z + = Trên mặt phẳng tọa điểm biểu diễn số phức Câu 47 Giả sử z1 , z2 nghiệm phương độ, điểm 2019 w = i z 0? trình z + 4z + 13 = Tính giá trị biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 A 22 B 20 C 26 D 18 Câu 48 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 5z − 4z + = Giá trị biểu thức z12 z2 + z22 z1 −8 −2 A B C D 25 25 25 25 A M (−2; 1) C M (−2; −1) B M (2; 1) D M (2; −1) Câu Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho phương trình z − 2mz + 2m2 − 2m = có nghiệm phức mà mơđun nghiệm Tổng bình phương phần tử tập hợp S A B C D Câu 49 Tìm tham số m để phương trình z + Câu Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương (2 − m)z + = có nghiệm − i trình z − 4z + 7z − 16z + 12 = Tính biểu thức A m = −2 B m = T = (z12 + 4) (z22 + 4) (z32 + 4) (z42 + 4) C m = D m = A T = 2i B T = Câu 50 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức C T = −2i D T = phương trình z + 2z + 10 = Giá trị biểu Câu Gọi z1 z2 hai nghiệm phức thức T = |z1 |2 + |z2 |2 phương trình z − 2z + = 0, z2 có √ A T = 10 B T = 10 phần ảo âm Tìm phần ảo b số phức w = √ C T = 10 D T = 20 [(z1 − i)(z2 + 2i)]2018 1.3 Mức độ thông hiểu A b = 21009 C b = −22018 B b = 22017 D b = 22018 Câu Gọi S tổng tất số thực m để phương trình z − 2z + − m = có nghiệm phức Câu Gọi S tập hơp 2giá trị thực của2tham số m cho phương trình z − (m + 4)z + m + = z thỏa mãn |z| = Tính S có nghiệm phức z0 thỏa mãn |z0 | = Số phần tử A S = B S = 10 tập hợp S C S = −3 D S = A B C D Câu Gọi z1 z2 hai nghiệm phức Câu 10 Trên tập số phức C, gọi z , z z ba phương trình z + 2z + 10 = Tính giá trị nghiệm phương trình z − 8z + 37z − 50 = biểu thức T = |z1 |2 + |z2 |2 Tính giá trị biểu thức P = |z1 | + |z2 | + |z3 | √ √ A T = 10 B T = 10 A P = 10 B P = C T = 10 D T = 20 C P = 11 D P = 12 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 166 Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Câu 11 Biết phương trình z + bz + c = 0, C z − 4z + 13 = D z − 4z + = b, c ∈ R có nghiệm phức z1 = + 2i Khẳng Câu Biết phương trình z + bz + c = 0, (b, c ∈ định sau đúng? R) có nghiệm phức z1 = 1+2i Khẳng định A b + c = B b + c = sau đúng? C b + c = D b + c = A b + c = B b + c = z+1 C b + c = D b + c = Câu 12 Có hai số phức z thỏa mãn −z− z+2 Câu Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phương = z1 , z2 Tính T = |z1 − i|2 + |z2 − i|2 trình z +2z+10 = Giá trị |z1 |·|z2 | A T = 10 B T = A B C 10 D 20 C T = D T = 16 Câu 13 Gọi z1 z2 nghiệm phức Câu Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương phương trình z − 2z + = Giá trị biểu trình z − 2z + = Tính giá trị biểu thức thức z14 + z24 P = |z1 + z2 | + |z1 − z2 | A 14 B −7 C −14 D A P = √ C P = 2 + B P = √ D P = + Câu 14 Biết phương trình z + 2017 · 2018z + 22018 = có hai nghiệm z1 , z2 Tính S = |z1 | + Câu Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức |z2 | phương trình 2z − z + = Tính S = A 22018 B 22019 C 21009 D 21010 |z1 · z2 + z2 · z1 | 27 Câu 15 Nếu z = i nghiệm phức A B C D phương trình z + az + b = với (a, b ∈ R) a + b Câu Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình 2z + 4z + = Tính giá trị biểu A −1 B C −2 D thức P = |z1 z2 + i(z1 + z2 )| Định lí Viet ứng dụng A P = B P = √ Câu Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương C P = D P = trình z + (1 − 3i)z − 2(1 + i) = Khi w = z12 + z22 − 3z1 z2 số phức có mơ-đun Câu 10 Biết phương trình z +az +b = với a, b √ √ √ số thực, có nghiệm phức z = − i, A B 13 C 13 D 20 giá trị biểu thức a10 + b Câu Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương A 1026 B C D 1024 trình 3z − z + = Tính T = |z1 |2 + |z2 |2 A T = B T = 3 11 C T = D T =− Câu Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình 2z − 4z + = Tính P = + z1 ? z2 A P =− B P = 9 C P = D P =− Câu Phương trình bậc hai nhận hai số phức − 3i + 3i làm nghiệm? A z + 4z + 13 = 167 CHƯƠNG SỐ PHỨC B z + 4z + = Câu 11 Kí hiệu z1 z2 hai nghiệm phương trình z + mz + m = với m số thực Tìm giá trị tham số m để biểu thức P = z12 +z22 đạt giá trị nhỏ A m= B m = C m = D m=− Câu 12 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 5z − 4z + = Giá trị biểu thức z12 z2 + z22 z1 −8 −2 A B C D 25 25 25 25 Câu 13 Biết z1 , z2 nghiệm phức z1 z2 + phương trình z − z + = Tính z2 z1 Năm học 2021-2022 A B − TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 C D C Phần thực −5, phần ảo D Phần thực 5, phần ảo −3 Câu 14 Gọi z1 , z2 nghiệm phương Câu 22 Trong tập số phức C, biết z1 , z2 trình 4z + 4z + = Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình z − 2z + = Tính |z1 | + |z2 | giá trị biểu thức (z1 + z2 )2 √ √ 5 A B C D A B C D 2 Câu 23 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức Câu 15 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương phương trình z − 4z + 10 = Khi giá trị trình z − 2z − i = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 − z1 · z2 P = |z1 + z2 − 2i| √ √ A P = 14 B P = −14 A B C 2 D C P = −6 D P = Câu 16 Cho số phức z1 = + 2i, z2 = − 2i Câu 24 Phương trình z + 3z + = có hai Phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 z2 nghiệm phức z , z Tính S = z z + z + z A z + 6z − 13 = C z − 6z + 13 = B z + 6z + 13 = D z − 6z − 13 = A −6 B C 12 D −12 Câu 25 Trên tập số phức, tích nghiệm Câu 17 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình x (x2 − 1) (x + 2) = 24 phương trình z − 4z + = Giá trị biểu A −24 B −12 C 12 D 24 thức |z12 | + |z22 | Câu 26 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương A 10 B 20 C D − 8i trình z − 4z + = Khi đó, phần thực w = z12 + z22 Câu 18 Gọi z1 , z√ hai nghiệm phức phương trình 2z + 3z + = Tính giá trị A B C 16 D z1 z2 biểu thức T = + Câu 27 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức z2 z1 √ phương trình z + 3z + = Tính |z1 + z2 | 3 A T = i B T =− + i √ 2√ 2 A B C D 3 C T =− D T =− Câu 28 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương 2 trình z − 7z + 51i2008 = Tính giá trị biểu thức Câu 19 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương P = 2z1 − z1 z2 + 2z2 trình z − 2z + = Tính giá trị biểu thức z2 z2 A P = −37 B P = 58 P = + z2 z1 C P = −65 D P = −44 22 38 22 Câu 29 Biết phương trình z + az + b = (a, b ∈ A B − C − D −12 5 R) có nghiệm z = −2+i Tính T = a+b Câu 20 Trên tập số phức, hai số phức z1 = a−3i z2 = a + 3i, a ∈ R hai nghiệm phương trình đây? A z + 2az + a2 − = B z + 2az + a2 + = C z − 2az + a2 − = D z − 2az + a2 + = A T = C T = B T = D T = −1 Câu 30 Phương sau nhận hai số √ trình √ phức z1 = 1+ 2i z2 = 1− 2i làm nghiệm? A z − 2z + = C z + 2z + = B z − 2z − = D z + 2z − = Câu 31 Trong mặt phẳng phức, gọi M, N Câu 21 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức điểm biểu diễn số phức nghiệm phương trình z + 3z + = Tìm phần thực, phương trình z − 4z + = Tính độ dài đoạn phần ảo số phức w = z1 z2 + (z1 + z2 )i thẳng M N A Phần thực 5, phần ảo B Phần thực 3, phần ảo A M N = C M N = 20 B M N = √ D M N = PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 168 Năm học 2021-2022 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Câu 32 Cho số phức z = a + bi Phương trình Câu 40 Biết z1 , z2 nghiệm phức nhận z z làm nghiệm? phương trình z − 4z + = Giá trị biểu thức z1 z2 + A z − 2az + a2 b2 = z2 z1 B z − 2az + a2 + b2 = −4 16 A B C D 2 C z − 2az − a − b = 5 5 2 D z + 2az + a + b = Phương trình quy bậc hai Câu 33 Biết √ z1 z2 hai nghiệm phương trình 2z + 3z + = Khi đó, giá trị z12 + z22 Câu Biết phương trình z + z + 2z + 3z − = có hai nghiệm ảo Tích hai nghiệm 9 A B − C D A 3i B −3 C D −3i 4 Câu 34 Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình 2z + 4z + = Tính giá trị biểu thức P = |z1 z2 + i(z1 + z2 )| A P = B P = √ C P = D P = Câu Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình 4z + 4z + 37 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức iz0 ? Å ã Å ã 1 A M2 −3; B M3 3; 2ã Å Å ã 1 C M4 3; − D M1 −3; − Câu 35 Phương trình z + az + b = với a, b 2 tham số thực nhận số phức + i Câu Tổng nghiệm phức phương trình nghiệm Tính a − b z + z − = A −2 B −4 C D A B −1 C − i D + i Câu 36 Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức Câu Gọi z , z hai nghiệm phương trình phương trình |z|4 + z = −4 (z2 số phức có phần ảo âm) Khi z2 2 2 z − 3z + z + 3z + − z + 2z + z = |z1 + z2 | Giá trị biểu thức |z1 |+|z2 |+|z3 |+|z4 | √ √ A 3(1 + 2) B √ √ √ √ C 2(1 + 2) D 3(1 + 3) A B C D Câu Cho số phức z, ω khác thỏa mãn z Khi z +ω = + = z ω z+ω ω √ 1 Câu 37 Biết z1 = − i nghiệm phức A B C D √ phương trình z + bz + c = (b, c ∈ R), gọi nghiệm 3 cịn lại z2 Tìm số phức w = bz1 + cz2 Câu Có số phức z thoả mãn z + |z| = 0? A w = 18 − i B w = 18 + i C w = − 9i D w = + 9i A B C D Câu 38 Cho số phức w hai số thực a, b Biết Câu Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 , z2 = z1 = w − − 3i z2 = 2w − hai nghiệm 1 z1 phức phương trình z + az + b = Tính 0; z1 +z2 = z1 + z2 = z1 + z2 Tính z2 √ √ T = |z12 | + |z22 | √ 2 √ A B √ C D A T = 13 B T = 10 2 C T = D T = 25 Câu 39 Biết √ z1 z2 hai nghiệm phương trình 2z + 3z + = Khi giá trị z12 + z22 9 A B C D − 4 169 CHƯƠNG SỐ PHỨC ... x2 + xdx d) D = x2 + xdx sin3 x cos xdx BÀI GIẢI a) Đặt t = − x ⇒ x = − t ⇒ dx = −dt A=− t2 021 (1 − t)dt = − t2 021 − t2 022 dt = t2 023 t2 022 − +C 20 23 20 22 (1 − x )20 23 (1 − x )20 22 − +C 20 23 20 22. .. NGUYÊN HÀM Năm học 20 21 -20 22 dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x 17 19 18 20 21 tan xdx = − ln |cos x| + C 22 23 cot xdx = ln |sin x| + C 24 25 B TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 x2 x−a 1 +C... DỤNG hàm số y B 2ex + tan x + C = Năm học 20 21 -20 22 C 2ex − tan x + C Câu 22 TÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 D 2ex − 3x2 + 2x − dx x2 x3 + x2 − 3x + C x3 B 3x + ln |x| − + C x (x3 + x2 − 3x) + C C