Tài liệu ôn tập học kì 1 toán 10

MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng 1.1 Xác định mệnh đề Tính sai mệnh đề C Dạng 1.2 Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề 10 Dạng 1.3 Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ 10 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 17 TẬP HỢP 21 A Tóm tắt lý thuyết 21 B Các dạng tốn ví dụ 21 Dạng 2.1 Cách biểu diễn tập hợp 21 Dạng 2.2 Tập - hai tập 22 Dạng 2.3 Các phép toán tập hợp 24 Dạng 2.4 Tập tập số thực 26 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 30 C CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI HÀM SỐ 41 41 A Tóm tắt lý thuyết 41 B Các dạng tốn ví dụ 42 Dạng 1.1 Tính giá trị hàm số điểm 42 Dạng 1.2 Đồ thị hàm số 42 Dạng 1.3 Tìm tập xác định hàm số 43 Dạng 1.4 Sự biến thiên hàm số 46 Dạng 1.5 Hàm số chẵn - Hàm số lẻ 47 MỤC LỤC C HÀM SỐ BẬC NHẤT 64 B Các dạng toán ví dụ 65 Dạng 2.1 Xét tính đồng biến, nghịch biến 65 Dạng 2.2 Đồ thị hàm số y = ax + b 65 Dạng 2.3 Đồ thị hàm số y = |ax + b| 67 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 68 HÀM SỐ BẬC HAI 75 A Tóm tắt lý thuyết 75 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 78 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 87 87 A Tóm tắt lý thuyết 87 B Phương pháp giải 88 C Bài Tập Tự Luyện 89 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 96 Phương trình quy phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai A B 64 Tóm tắt lý thuyết CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 51 A C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Các dạng toán thường gặp - Ví dụ - Bài tập rèn luyện 107 Dạng 2.1 Giải biện luận phương trình bậc ẩn 107 Dạng 2.2 Giải biện luận phương trình bậc hai ẩn 109 Dạng 2.3 Định lí Vi-ét 112 Dạng 2.4 Phương trình vơ tỷ 114 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 123 HỆ PHƯƠNG TRÌNH A 107 139 Các dạng tốn ví dụ 139 Dạng 3.1 Phương pháp 139 Dạng 3.2 Hệ phương trình đối xứng loại 140 MỤC LỤC B Dạng 3.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 142 Dạng 3.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 144 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 147 Dạng 3.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 154 Dạng 3.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 156 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC 159 A Tóm tắt lý thuyết 159 B Bài tập tự luyện 159 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 160 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG VEC-TƠ 159 VEC-TƠ 165 167 167 A Tóm tắt lý thuyết 167 B Các ví dụ 167 C Bài tập tự luận 169 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 172 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 179 A Tóm tắt lý thuyết 179 B Các dạng tốn ví dụ 179 Dạng 2.1 Chứng minh đẳng thức vectơ 179 Dạng 2.2 Tính độ dài vectơ tổng 181 C Bài tập tự luận 181 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 184 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 190 A Tóm tắt lý thuyết 190 B Các dạng tốn ví dụ 190 Dạng 3.1 Chứng minh đẳng thức véc-tơ 190 MỤC LỤC Dạng 3.2 Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 191 Dạng 3.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 191 C Bài tập tự luận 193 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 198 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 205 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 205 A Tóm tắt lý thuyết 205 B Ví dụ 206 TÍCH VƠ HƯỚNG 207 A Tóm tắt lý thuyết 207 B Các dạng tốn 207 Dạng 2.1 Tính tích vơ hướng tính góc 207 Dạng 2.2 Chứng minh vng góc 208 Dạng 2.3 Các điểm đặc biệt tam giác 209 C Bài tập tự luận 211 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 213 Phần I ĐẠI SỐ CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP BÀI A MỆNH ĐỀ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Mệnh đề Mệnh đề khẳng định là sai khơng thể vừa vừa sai VÍ DỤ Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu chứa biến, với giá trị biến ta mệnh đề VÍ DỤ Phủ định mệnh đề Phủ định mệnh đề P ký hiệu P mệnh đề thỏa mãn tính chất P Đúng Sai P Sai Đúng VÍ DỤ Để phủ định mệnh đề P , thông thường ta thêm “khơng phải” “khơng” vào vị trí phù hợp mệnh đề P để có câu trịn ý VÍ DỤ Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “Nếu P Q ”gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P đồng thời Q sai Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Q Sai Đúng Sai Đúng P ⇒Q Sai Đúng Đúng Đúng CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Mệnh đề “−10 < −1 ⇒ (−10)2 < (−1)2 ” mệnh đề sai √ Mệnh đề “ < ⇒ < 4” mệnh đề VÍ DỤ △ ! Định lý toán học mệnh đề có dạng P ⇒ Q P : gọi giả thiết (hay P điều kiện đủ để có Q) Q: gọi kết luận (hay Q điều kiện cần để có P ) VÍ DỤ Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P △ ! Mệnh đề đảo mệnh đề chưa mệnh đề Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Ký hiệu P ⇔ Q Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Cách phát biểu khác: Q Đúng Sai Đúng Sai P ⇒Q Đúng Đúng Sai Sai + P Q + P điều kiện cần đủ để có Q + Q điều kiện cần đủ để có P VÍ DỤ Tam giác ABC cân có góc 60◦ điều kiện cần đủ để tam giác ABC VÍ DỤ Tam giác ABC tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại VÍ DỤ Ký hiệu ∀, ∃, ∃! Ký hiệu ∀: đọc với mọi; ký hiệu ∃: đọc tồn tại; ký hiệu ∃!: đọc tồn Xét câu “Bình phương số thực lớn 0” mệnh đề Ta viết: ∀x ∈ R : x2 ≥ hay x2 ≥ 0, ∀x ∈ R VÍ DỤ 10 Câu Mệnh đề ∀n ∈ N : n2 > ∃x ∈ Z : x2 = x ∃!x ∈ Z : |x| < Đọc Có số nguyên nhỏ Có số tự nhiên n mà 2n + = Mệnh đề Mệnh đề sai MỆNH ĐỀ Phủ định mệnh đề với mọi, tồn Mệnh đề P : ∀x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định ∃x ∈ X, T (x) Mệnh đề P : ∃x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định ∀x ∈ X, T (x) Phủ định “a < b” “a ≥ b” △ ! Phủ định “a = b” “a = b” Phủ định “a > b” “a ≤ b” Phủ định “a chia hết cho b” “a không chỉa hết cho b” VÍ DỤ 11 P : ∃n ∈ Z, n < phủ định P P : ∀n ∈ Z, n ≥ VÍ DỤ 12 B CÁC DẠNG TỐN VÀ VÍ DỤ DẠNG 1.1 Xác định mệnh đề Tính sai mệnh đề Căn định nghĩa mệnh đề tính sai chúng Lưu ý rằng: P, P khơng tính sai P ⇒ Q sai P đúng, Q sai P ⇔ Q hai mệnh đề P Q hay sai ∀x ∈ X, P (x) P (x0 ) với x0 ∈ X ∃x ∈ X, P (x) có x0 ∈ X cho P (x0 ) VÍ DỤ 13 Xét xem phát biểu sau có phải mệnh đề khơng? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai? Số số nguyên tố Hà Nội thủ đô nước nào? Phương trình x2 + = vơ nghiệm Hình học mơn học khó thật! x + số âm Nếu n số chẵn n chia hết cho Nếu n chia hết cho n số chẵn n số chẵn n2 chia hết cho ∃n ∈ N, n3 − n không bội 10 ∀x ∈ R, x2 − x + > Lời giải a) “Số số nguyên tố” mệnh đề sai số nguyên tố số lớn b) “Hà Nội thủ đô nước nào?” mệnh đề câu hỏi c) “Phương trình x2 + = vơ nghiệm.” mệnh đề d) “Hình học mơn học khó thật!” khơng phải mệnh đề câu cảm thán e) “x + số âm.” mệnh đề chứa biến f) “Nếu n số chẵn n chia hết cho 4.” mệnh đề sai n = số chẵn khơng chia hết cho g) “Nếu n chia hết cho n số chẵn.” mệnh đề h) “n số chẵn n2 chia hết cho 4.” mệnh đề CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 10 i) “∃n ∈ N, n3 − n không bội 3.” mệnh đề sai ∀n ∈ N, n3 − n = (n − 1)n(n + 1) chia hết cho ã Å + > j) “∀x ∈ R, x2 − x + > 0.” mệnh đề x2 − x + = x − DẠNG 1.2 Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Mệnh đề phủ định P “không phải P ” Mệnh đề phủ định “∀x ∈ X, P (x)” “∃x ∈ X, P (x)” Mệnh đề phủ định “∃x ∈ X, P (x)” “∀x ∈ X, P (x)” Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q VÍ DỤ 14 Tìm mệnh đề đảo mệnh đề sau cho biết mệnh đề đảo hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh chúng nhau” Lời giải Mệnh đề cho có dạng P ⇒ Q P “hai góc đối đỉnh”, Q “hai góc nhau” Vậy mệnh đề đảo “Nếu hai góc chúng đối đỉnh” Mệnh đề sai VÍ DỤ 15 Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết chúng hay sai? a) P : “∀x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0” b) Q: “Có tam giác khơng có góc lớn 60◦ ” Lời giải a) Mệnh đề phủ định P P : “∃x ∈ R, (x − 1)2 < 0” Đây mệnh đề sai b) Mệnh đề phủ định Q Q: “Mọi tam giác ln có góc lớn 60◦ ” Đây mệnh đề sai tam giác khơng có góc lớn 60◦ ” VÍ DỤ 16 Phát biểu thành lời phủ định mệnh đề sau ∀x ∈ R, x2 > ∃!n ∈ N, n2 + n = Lời giải a) Bình phương số thực số dương Mệnh đề phủ định “Tồn bình phương số thực số khơng dương” b) Có số tự nhiên n mà tích với số liền sau Mệnh đề phủ định “Với số tự nhiên n mà tích với số liền sau khác 0” DẠNG 1.3 Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Một định lí thường có dạng “∀x ∈ X, P (x) ⇒ Q(x)” Xác định P (x), Q(x) Lấy x ∈ X cho P (x) đúng, chứng minh Q(x) P (x) điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) điều kiện cần để có P (x) VÍ DỤ 17 Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu định lí sau a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu a + b > có số a hay b dương 202 CHƯƠNG VEC-TƠ Câu 23 Cho tam giác ABC tam giác A′ B ′ C ′ có trọng tâm G G′ Đẳng thức sau sai? A 3GG′ = AA′ + BB ′ + CC ′ B 3GG′ = AB ′ + BC ′ + CA′ ′ ′ ′ ′ C 3GG = AC + BA + CB D 3GG′ = A′ A + B ′ B + C ′ C D Câu 24 Cho hai véc-tơ a b không phương Hai véc-tơ sau phương? 1 1 B − a − b 2a + b C a − b − a + b D a + b a − 2b A −3a + b − a + 6b 2 2 C Câu 25 Cho hai véc-tơ a b không phương Hai véc-tơ sau phương? 3 A u = 2a + 3b v = a − 3b B u = a + 3b v = 2a − b 5 D u = 2a − b v = − a + b C u = a + 3b v = 2a − 9b 3 D Câu 26 Biết hai véc-tơ a b không phương hai véc-tơ 2a − 3b a + (x − 1)b phương Khi đó, giá trị x 3 B − C − D A 2 2 C Câu 27 Cho △ABC có trọng tâm G Gọi A1 , B1 , C1 trung điểm BC, AC AB Chọn khẳng định sai A GA1 + GB1 + GC1 = B AG + BG + CG = C AA1 + BB1 + CC1 = D GC = 2GC1 D Câu 28 Nếu G trọng tâm △ABC đẳng thức sau đúng? ä ä ä ä 3Ä 1Ä 2Ä 1Ä A AG = AB + AC B AG = AB + AC C AG = AB + AC D AG = AB + AC 3 B Câu 29 Cho a, b không phương x = −2a + b Véc-tơ hướng với x A 2a − b B −a + b C 4a + 2b D −a + b TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 203 B Câu 30 Cho hình bình hành ABCD điểm M thoả mãn M A + M C = AB Khi M trung điểm A AB B BC C AD D CD C Câu 31 Cho tam giác ABC Tập hợp tất điểm M thoả mãn M A + M B + M C = A Một đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC B Một đường tròn tâm trọng tâm △ bán kính C Một đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính D Một đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 18 C Câu 32 = mIM + nIB cặp Å Cho ã tam giác ABC có điểm Å I thoả ã mãn 5M A = 2M B Nếu Å IA ã Å số (m;ãn) 3 2 3 A B C − ; D ; ; ;− 5 5 5 5 A Câu 33 Cho tam giác ABC Gọi M điểm nằm cạnh BC thoả mãn M B = 2M C Khi biểu diễn AM theo AB AC 3 1 B AM = AB + AC C AM = AB + AC D AM = AB + AC A AM = AB + 3AC 4 3 C Câu 34 Cho tam giác ABC có điểm M nằm cạnh BC thoả mãn CM = 2BM I trung điểm đoạn AB Đẳng thức sau đúng? 1 1 1 1 A IM = AB − AC B IM = AB + AC C IM = AB + AC D IM = AB + AC 6 3 3 B Câu 35 Cho hai véc-tơ a b không phương Hai véc-tơ sau phương? 1 A − a + b a − 2b B a − b a + b 2 √ 1 1 D −3a + b − a + 100b C a + 2b a + b 2 2 A 204 CHƯƠNG VEC-TƠ Câu 36 Cho tam giác ABC có điểm N thuộc cạnh BC cho BN = 2N C Đẳng thức sau đúng? 1 2 2 B AN = − AB + AC C AN = AB − AC D AN = AB + AC A AN = AB + AC 3 3 3 3 D Câu 37 Cho hai điểm A, B cố định Gọi I trung điểm AB Tập hợp tất điểm M thoả mãn M A + M B = M A − M B A Đường tròn đường kính AB B Đường trung trực đoạn AB C Đường trịn tâm I bán kính AB D Nửa đường trịn đường kính AB A Câu 38 √ Tam giác ABC vuông A,√AB = AC = Độ dài véc-tơ 4AB − AC √ A 17 B 15 C D 17 D Câu 39 Cho tam giác ABC có điểm N thuộc cạnh BC cho BN = 2N C I trung điểm AB Đẳng thức sau đúng? 2 2 1 B N I = AB − AC C N I = AB − AC D N I = − AB + AC A N I = − AB − AC 6 3 6 B Câu 40 Cho tam giác ABC có I, D trung điểm AB, CI Điểm N thuộc cạnh BC cho BN = 2N C Đẳng thức sau đúng? A AN = 2DN B AN = 2N D C AN = 3N D D AN = 4DN D Câu 41 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM , I trung điểm AM Đẳng thức sau đúng? A 2IA + IB + IC = B IA + IB + IC = C 2IB + IB + IC = 4IA D IB + IC = IA A Câu 42 Cho tam giác ABC, có điểm M thoả mãn M A + M B + M C = A B C Vơ số D Khơng có điểm C CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ BÀI A GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa ’ = α với 0◦ ≤ α ≤ 180◦ Giả sử M (x0 ; y0 ) Cho xOM ○ cos α = x0 ○ tan α = y ○ sin α = y0 sin α (x0 = 0) cos α ○ cot α = y0 M cot α (y0 = 0) sin α α Nhận xét: ∀α ∈ [0◦ ; 180◦ ] ta có: x0 −1 −1 ≤ cos α ≤ −1 ≤ sin α ≤ 1 O x tan α xác định α = 90◦ cot α xác định α = 0◦ α = 180◦ Dấu giá trị lượng giác 0◦ < α < 90◦ 90◦ < α < 180◦ sin α + + cos α + − tan α + − cot α + − Tính chất Hai góc bù hai góc có tổng số đo 180◦ , chẳng hạn α 180◦ − α, ta có quan hệ góc bù sau: ○ sin(180◦ − α) = sin α ○ cos(180◦ − α) = − cos α ○ tan(180◦ − α) = − tan α ○ cot(180◦ − α) = − cot α Từ định nghĩa ta có hệ thức sau cos x sin x , cot x = cos x sin x ○ sin2 x + cos2 x = ○ tan x = ○ tan x · cot x = ○ + tan2 x = ○ + cot2 x = cos2 x sin2 x Góc hai vectơ Ä ä Cho a, b = 0, kí hiệu góc hai vectơ a b a, b Ta có: Ä ä Ä−→ −−→ä → −−→ ’ với − a, b = OA, OB = AOB OA = a, OB = b b A B Đặc biệt: ○ ○ Ä Ä ä a, b = 90◦ ⇔ a ⊥ b Ä ä Ä ä ○ a, b = b, a ä a, b = 0◦ ⇔ a, b hướng Ä ä ○ a, b = 180◦ ⇔ a, b ngược hướng 205 a O CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 206 B VÍ DỤ VÍ DỤ Chứng minh tam giác ABC ta có: sin(A + B) = sin C cos(A + B) = − cos C cos 170◦ = − cos 10◦ Lời giải a) Ta có sin(A + B) = sin(180◦ − C) = sin C b) Ta có cos(A + B) = cos(180◦ − C) = − cos C VÍ DỤ Khơng sử dụng máy tính bỏ túi Chứng minh: sin 105◦ = sin 75◦ Lời giải a) Ta có sin 105◦ = sin(180◦ − 105◦ ) = sin 75◦ b) Ta có cos 170◦ = cos(180◦ − 170◦) = − cos 10◦ VÍ DỤ Cho góc x, với cos x = Tính giá trị biểu thức P = sin2 x + cos2 x Lời giải Ta có sin2 x + cos2 x = ⇔ sin2 x = − cos2 x = − Å ã2 = P = sin2 x + cos2 x = · + = VÍ DỤ Cho hình vng ABCD Tính Ä−→ −−→ä Ä−→ −−→ä cos AC, BA sin AC, BD Ä−−→ −−→ä cos AB, CD Lời giải Ä−→ −−→ä Ä−→ −→ä −→ −−→ a) Vẽ AE = BA Ta có AC, BA = AC, AE = 135◦ √ Ä−→ −−→ä ◦ ⇒ cos AC, BA = cos 135 = − Ä−→ −−→ä Ä−→ −−→ä b) Ta có AC ⊥ BD ⇒ AC, BD = 90◦ ⇒ sin AC, BD = sin 90◦ = Ä−→ −−→ä −−→ −−→ c) Do AB ngược hướng với CD ⇒ AC, CD = 180◦ Ä−→ −−→ä ⇒ cos AC, CD = cos 180◦ = −1 E A D B C TÍCH VƠ HƯỚNG 207 BÀI A TÍCH VƠ HƯỚNG TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng hai vectơ a b số, kí hiệu a · b, xác định công thức: Ä ä a · b = a · b cos a, b △ · a = a · = ! a · b = ⇒ a ⊥ b a · a = a2 = a · a cos 0◦ = a Tính chất Với a, b, c ∀k ∈ R, ta có: Ä ä ○ a · b + c = a · b + a · c ○ a · b = b · a Ä ä Ä ä ○ (ka) b = k a · b = a k b Ä ○ a2 ≥ 0, a2 = ⇔ a = ä2 Ä ä2 ○ a − b = a2 − 2a · b + b2 = a2 + 2a · b + b2 Ä ä Ä ä ○ a + b · a − b = a2 − a2 ○ a+b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ) b = (b1 ; b2 ) Khi đó: a · b = a1 · b + a2 · b a ⊥ b ⇔ a1 · b1 + a2 · b2 = a21 + a22 a = Ä ä cos a, b = a·b = a1 b + a2 b + a22 · b21 + b22 a · b » −−→ AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 B a21 , với a = 0, b = CÁC DẠNG TỐN DẠNG 2.1 Tính tích vơ hướng tính góc Ä ä Sử dụng định nghĩa cách đưa hai vectơ a b chung gốc để xác định xác góc α = a, b Ä ä sau dùng cơng thức a · b = a · b cos a, b Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ Nếu đề cho dạng tọa độ a = (a1 ; a2 ) b = (b1 ; b2 ) a · b = a1 b1 + a2 b2 Trong tam giác ABC, biết độ dài cạnh Ä−→ −−→ä2 −−→ −→ −−→ BC = BC = AC − AB ⇒ AC · AB = AB + AC − BC △ ! Khi tính tích vô hướng hai vectơ ta thường: – Biến đổi vectơ chung gốc để việc tìm góc hai vectơ dễ dàng −−→ −−→ −− → −−→ Ví dụ: AB · BC = −BA · BC CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 208 – Đưa vectơ phương vng góc −−→ −→ −− → Ä−−→ −−→ä Ví dụ: Nếu ABCD hình chữ nhật (hình vng) AB · AC = AB · AB + BC Tính góc hai vectơ: Ä ä Góc hai vectơ: cos a, b = Các góc tam giác ABC: −−→ −→ AB · AC • cos A = ; AB · AC a·b a · b = a1 b + a2 b a21 + a22 · • cos B = b21 + b22 , với a = 0, b = −−→ −−→ BA · BC ; BA · BC • cos C = −→ −−→ CA · CB CA · CB −−→ −→ −−→ −−→ VÍ DỤ Cho △ABC đều, cạnh 4cm Tính tích vơ hướng AB · AC AB · BC Lời giải Ä−−→ −→ä −−→ −→ −−→ −→ Ta có AB · AC = AB · AC · cos AB, AC = · · cos 60◦ = A Ä−−→ −−→ä −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có AB · BC = AB · BC · cos AB, BC = · · cos 120◦ = −8 B C −−→ −→ VÍ DỤ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; −2), B(2; 5) C(−3; 1) Tính tích vơ hướng AB · AC ’ △ABC tính góc BAC Lời giải −−→ −→ Ta có AB = (1; 7); AC = (−4; 3) −−→ −→ Suy AB · AC = · (−4) + · = 17 √ −→ √ −−→ Ta có AB = 12 + 72 = 2; AC = (−4)2 + 32 = √ −−→ −→ Ä−−→ −→ä 17 AB · AC 17 √ = Suy cos AB, AC = −−→ −→ = 50 5· 2·5 AB · AC Ä −→ −→ä ’= − ⇒ BAC AB, AC ≈ 61,3◦ DẠNG 2.2 Chứng minh vng góc Dùng tính chất tích vơ hướng  a=0 Ä ä  a ⊥ b ⇔ a · b = ⇔ |a| · b · cos a, b = ⇔  b = Ä0 ä cos a, b = Dùng tính chất tích vơ hướng hệ trục tọa độ a ⊥ b ⇔ a · b = ⇔ a1 · b1 + a2 · b2 = VÍ DỤ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh a ⊥ b với a = (1; −2), b = (6; 3) Lời giải Ta có a · b = · − · = TÍCH VƠ HƯỚNG 209 Suy a ⊥ b VÍ DỤ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a = (3; −2), b = (6; m) Tìm giá trị m để a ⊥ b Lời giải Ta có a⊥b ⇔ a·b= ⇔ 3·6−2·m= ⇔ m = Vậy với m = a ⊥ b VÍ DỤ mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a = (3; −2), b = (6; −2), c = (m + 2; −4) Tìm giá trị m để Ä Trong ä a⊥ b+c Lời giải Ta có b + c = (6 + m + 2; −2 − 4) = (8 + m; −6) Khi Ä ä a⊥ b+c Ä ä ⇔ a· b+c =0 ⇔ · (8 + m) − 2.(−6) = Ä ä Vậy với m = −12 a ⊥ b + c ⇔ 24 + 3m + 12 = ⇔ m = −12 DẠNG 2.3 Các điểm đặc biệt tam giác Trực tâm H tam giác ABC giao điểm ba đường cao ® AH · BC = AH ⊥ BC Do ⇔ BH ⊥ AC BH · AC = Giải hệ ta tìm tọa độ điểm H Chân đường cao D vẽ từ A tam giác ABC ® AD ⊥ BC Do BD phương BC Giải hệ ta thu tọa độ chân đường cao D Tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC giao điểm ba đường trung trực – TH1: △ABC tam giác đặc biệt: ∗ △ABC vng A, I trung điểm BC ∗ △ABC đều, I trọng tâm – TH2: △ABC tam giác thường: ® IA = IB ∗ Cách 1: Tọa độ điểm I nghiệm hệ IA = IC ∗ Cách 2: Gọi M , N trung điểm BC AC ® IM · BC = IM ⊥ BC Ta có ⇔ IN ⊥ AC IN · AC = Tìm E F chân đường phân giác phân giác góc A AB · EC AC AB – Chân đường phân giác ngồi F (xF ; yF ), F B = · F C AC – Chân đường phân giác E(xE ; yE ), EB = − CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 210 VÍ DỤ Trong mặt phẳng Oxy, cho △ABC với A(1; 6), B(2; −6) C(−1; 1) a) Tìm tọa độ trực tâm H △ABC b) Tìm tọa độ J chân đường cao kẻ từ A c) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp I △ABC Lời giải a) Gọi trực tâm H có tọa độ H(xH ; yH ) Ta có BC = (−3; 7), AC = (−2; −5), AH = (xH − 1; yH − 6) BH = (xH − 2; yH + 6) Vì H trực tâm △ABC nên ® AH · BC = AH ⊥ BC ⇔ BH ⊥ AC BH · AC = ® (xH − 1) · (−3) + (yH − 6) · = ⇔ (xH − 2) · (−2) + (yH + 6) · (−5) = ® − 3xH + 7yH = 39 ⇔ − 2xH − 5yH = 26 ® xH = −13 ⇔ yH = Vậy trực tâm H có tọa độ H(−13; 0) b) Gọi J có tọa độ J(xJ ; yJ ) Khi AJ = (xJ − 1; yJ − 6), BJ = (xJ − 2; yJ + 6) Vì J chân đường cao kẻ từ A nên ® AJ ⊥ BC ã Å Vậy J có tọa độ J − ; 2 BJ phương BC  (xJ − 1) · (−3) + (yJ − 6) · = ⇔  xJ − = yJ + −3 ® − 3xJ + 7yJ = 39 ⇔ 7xJ + 3yJ = −4   xJ = − ⇔  yJ = c) Gọi I(a; b) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi IA = (1 − a; − b), IB = (2 − a; −6 − b) IC = (−1 − a; − b) Vì I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC ® IA = IB ⇔ IA2 = IC ® (1 − a)2 + (6 − b)2 = (2 − a)2 + (−6 − b)2 ⇔ (1 − a)2 + (6 − b)2 = (−1 − a)2 + (1 − b)2 ® 2a − 24b = ⇔ 4a + 10b = 35  15  a = ⇔  b = Å ã 15 Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC I ; 2 TÍCH VƠ HƯỚNG 211 VÍ DỤ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho △ABC với A(0; 2), B(−1; 4) C(2; 0) a) Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành Lời giải a) Gọi J có tọa độ J(xJ ; yJ ) Khi AJ = (xJ ; yJ − 2), BJ = (xJ + 1; yJ − 4), BC = (3; −4) Vì J chân đường cao kẻ từ A nên ® AJ ⊥ BC BJ phương BC  xJ · + (yJ − 2) · (−4) = ⇔  xJ + = yJ − −4 3xJ − 4yJ = −8 − 4xJ − 3yJ = −8   xJ = 25 ⇔  yJ = 56 25 ⇔ Vậy J có tọa độ J Å ã 56 ; 25 25 ® b) Gọi G(xG ; yG ) tọa độ trọng tâm tam giác ABC Khi  x + xB + xC  xG = A = 3  yG = yA + yB + yC = Å ã Vậy G ;2 c) Gọi D = (xD ; yD ) Khi AB = (−1; 2), DC = (2 − xD ; −yD ) Tứ giác ABCD hình bình hành ⇔ ⇔ AB ® = DC − = − xD ® = −yD xD = yD = −2 Vậy D có tọa độ D(3; −2) C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Trong mặt phẳng Oxy, tính tích vơ hướng hai véc-tơ a b trường hợp sau a) a = (1; −2), b = (3; 4) b) a = (−3; 2), b = (6; 1) 212 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính góc hai véc-tơ a b trường hợp sau a) a = (2; −3), b = (6; 4) b) a = (3; 2), b = (5; −1) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4; −2), B(1; 5) C(−3; 7) a) Tính tích vơ hướng AB · AC, BA · BC ’ ABC ’ b) Tính góc BAC, Bài Cho tam giác ABC vuông cân A BC = a Tính BC · CA ’ = 60◦ Tính CB · BA Bài Cho tam giác ABC vuông A BC = a, ABC Bài Cho a = (2; −3) Tìm véc-tơ b phương với a biết a · b = −26 Bài Cho a = (1; 3), b = (6; −2) Tìm tọa độ véc-tơ c để a⊥c b · c = 20 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(10; 5), B(3; 2) C(6; −5) Chứng minh tam giác ABC vuông B Bài Tìm m để véc-tơ sau vng góc với a) a = (1; 2), b = (m; 1) b) a = (−3; 2), b = (4; m) TÍCH VƠ HƯỚNG 213 Bài 10 Tìm độ dài véc-tơ AB biết A(4; 5), B(2; 9) √ Bài 11 Tìm m để AB = biết A(1; m), B(2; 3) √ Bài 12 Cho a = (−1; 2) Tìm tọa độ véc-tơ b phương với a biết |b| = 10 √ Bài 13 Cho a = (−2; 1) Tìm tọa độ véc-tơ b vng góc với a biết |b| = Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác với A(1; 1), B(1; 7), C(9; 1) Tìm tọa độ điểm K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(4; 3), B(−1; −1), C(2; −4) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ K chân đường cao kẻ từ C D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Cho hai véc-tơ a b khác Xác định góc hai véc-tơ a b a · b = −|a| · |b| A 180◦ B 0◦ C 90◦ D 45◦ Câu Cho a b hai véc-tơ hướng khác Khẳng định sau đúng? A a · b = |a| · |b| B a · b = C a · b = D a · b = −1 214 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ ◦ Câu Cho √ |a| = 3, |b| = 5, (a, b) = 135 √ Tích vơ hướng a b √ 15 15 15 15 B − C D − A 2 2 Câu Cho tam giác ABC vuông B Mệnh đề sau sai? 2 A AB · AC = B AB = AB C AB · BC = D BC = BC Câu Cho hai véc-tơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) khác Mệnh đề sau sai? A a · b = a1 b1 + a2 b2 B |a| = a21 + a22 C a · b = (a1 b1 ; a2 b2 ) D |b| = b21 + b22 Câu Cho hai véc-tơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) khác Mệnh đề sau đúng? a1 · a2 + b · b a1 · a2 + b · b A (a, b) = B cos(a, b) = 2 2 a1 + a2 · b + b a21 + a22 · b21 + b22 a1 · b + a2 · b a1 · b + a2 · b D cos(a, b) = C cos(a, b) = 2 2 2 2 a .+ a .· b .+ .b.2 .a.1 · a .2.· .b.1 ·.b.2 Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho a = (1; 3), b = (−2; 1) Tích vơ hướng a · b A (−2; 3) B (−1; 4) C −5 D Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho √ M (−3; 2), N (5; −4) Độ dài đoạn √ thẳng M N A B 29 C D 10 Câu Cho √ tam giác ABC có cạnh2 a Giá trị AB · AC a2 · a a2 A B − C a2 D 2 Câu 10 Cho hình vng ABCD cạnh√a Tích vơ hướng AB · AC A a B a · C D a2 TÍCH VÔ HƯỚNG 215 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai véc-tơ a = (−1; 1), b = (2; 0) Góc hai véc-tơ a b A 45◦ B 135◦ C 30◦ D 90◦ Câu 12 Cặp véc-tơ sau vng góc? A a = (2; −1) b = (−3; 4) B a = (3; −4) b = (−3; 4) C a = (−2; −3) b = (−6; 4) D a = (7; −3) b = (3; −7) Câu 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(−1; 1), B(1; 3) C(1; −1).√Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC cân B B |BC| = C Tam giác ABC vuông A D AC = Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6; 0), B(3; 1) C(−1; −1) Tính số đo góc B △ABC A 15◦ B 60◦ C 120◦ D 135◦ Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho △ABC có A(−6; −4), B(3; 5), C(6; 2) Tọa độ trực tâm H △ABC ã Å D H(0; −1) ; A H(3; 5) B H(−6; −4) C H 2 Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(−2; 2), B(−3; −1) điểm C trục tung cho tam giác ABC vuông ã Å ã Å Å A.ãTọa độ C C (0; −2) D 0; ;0 B 0; A 3 Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với điểm O(0; 0), A(−21; −20), B(−15; −20) Chu vi tam giác OAB A 60 (đvđd) B 30 (đvđd) C 35 (đvđd) D 54 (đvđd) Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(5; 2),và điểm M thuộc trục tung độ dài đoạn AM = 13 Tọa độ điểm M A M (0; −10) M (0; 14) B M (0; −4) M (0; 0) C M (0; 10) M (0; −14) D M (0; 4) M (0; 0) 216 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho △ABC có A(1; −2), B(−3; 5), C(−1; 4) Gọi AH đường cao △ABC Tọa độ điểm H A H(3; 2) B H(6; 8) C H(5; 6) D H(4; 4) Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 4), B(1; 1) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B A C(4; 0); C(−2; 2) B C(−1; 5); C(5; 3) C C(0; 4); C(2; −2) D C(5; 1) Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho △ABC có A(3; −1), B(−3; 2), C(3; 5) Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp Å tam giác ã ABC Å ã Å ã Å ã 3 ; −2 B I −1; ;2 D I −1; A I C I 4 ... Câu 59 Lớp 10 A có 40 học sinh có 10 bạn giỏi Tốn, 15 bạn giỏi Lý, 22 bạn không giỏi môn học hai mơn Tốn, Lý Hỏi lớp 10 A có bạn học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Lý? A B 25 C 10 D 18 ... Câu 60 Một lớp học có 25 học sinh học môn tự nhiên, 24 học sinh học môn xã hội 10 học sinh học môn tự nhiên lẫn môn xã hội, đặc biệt học sinh chưa học hai nhóm mơn Hỏi lớp có học sinh nhóm mơn... (1; +∞) x? ?1 Lời giải Với ∀x1 , x2 ∈ (1; +∞), x1 = x2 Ta có: f (x1 ) − f (x2 ) = 4x2 4x1 − x1 − x2 − 1 HÀM SỐ 47 = −4(x1 − x2 ) (x1 − 1) (x2 − 1) Khi đó: f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 = = ® −4(x1