PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN(Bài giảng điện tử). ThS. Bùi Thị Thanh Xuân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Bài giảng điện tử) Biên soạn: ThS Bùi Thị Thanh Xuân Thái Nguyên - 2010 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kỹ thuật yêu cầu địi hỏi thực tế, mơn tốn học vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều tốn học, vật lý dẫn đến nghiên cứu phuơng trình vi phân tương ứng Ngành tốn học góp phần xây dựng lý thuyết chung cho ngành tốn học khoa học khác Nó có mặt góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu giá trị nhiều ngành tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, tính tốn khoa học,… THƠNG TIN MƠN HỌC Thông tin môn học - Tên tiếng Việt: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - Tên tiếng Anh: Differential Equations - Số tín chỉ: 2 Điều kiện đăng ký mơn học - Mơn học: Tốn cao cấp 1, Yêu cầu môn học - Sinh viên dự lớp đầy đủ - Hoàn thành tập giao - Có kiểm tra thường xuyên để đánh giá Đánh giá môn học - Thang điểm đánh giá môn học: thang điểm 10 - Điểm kiểm tra thường xuyên: 30 % - Điểm thi học phần: 70% NỘI DUNG MÔN HỌC Chương - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Chương - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chương - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI TẬP THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT § Các khái niệm § Sự tồn nghiệm § Phương trình vi phân có biến số phân ly § Phương trình vi phân § Phương trình tuyến tính cấp § Phương trình vi phân hồn chỉnh § PT vi phân cấp chưa giải đạo hàm § Phương pháp tìm nghiệm kỳ dị §1 Các khái niệm 1.1 Định nghĩa 1.2 Trường hướng 1.3 Bài tốn Cơsi 1.4 Nghiệm tổng quát 1.5 Nghiệm riêng 1.6 Nghiệm kỳ dị Chương - Phương trình vi phân cấp §1 Các khái niệm 1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát dy  y  dx F  x, y , y    1 Nghiệm phương trình (1) hàm y = y(x) có tính chất vào phương trình (1) ta đồng thức Phương trình (1) có vơ số nghiệm Quá trình tìm nghiệm phương trình (1) gọi tích phân phương trình Nếu từ phương trình (1) ta giải y’, nghĩa (1) có dạng y  f  x, y   2 phương trình (2) gọi phương trình cấp giải đạo hàm Chương - Phương trình vi phân cấp §1 Các khái niệm 1.2 Trường hướng Giả sử hàm f(x,y) xác định liên tục miền G mặt phẳng Oxy Qua điểm (x0,y0) thuộc G ta vẽ véc tơ có độ dài lập với chiều dương trục hồnh góc α cho tgα = f(x0,y0) Làm điểm (x,y) thuộc G nhận trường véc tơ gọi trường hướng Giả sử y = y(x) nghiệm phương trình (2) Khi tập hợp điểm (x,y(x)) tạo nên đường cong mà ta gọi đường cong tích phân phương trình (2) Như vậy, điểm đường cong tích phân, hướng tiếp tuyến với đường cong trùng với hướng véc tơ trường hướng điểm Đường cong mà điểm hướng trường khơng thay đổi gọi đường đẳng phục Như phương trình đường đẳng phục có dạng f  x, y   k , k  const Đường đẳng phục đường tích phân nói chung khơng trùng với đường cong tích phân Ví dụ Chương - Phương trình vi phân cấp §1 Các khái niệm 1.2 Trường hướng dy y Ví dụ: Xét phương trình  dx x đường cong tích phân nửa đường thẳng y  Cx  x   , x  0 y  0 C số thực Dễ thấy đường cong tích phân đường đẳng phục Chương - Phương trình vi phân cấp §1 Các khái niệm 1.3 Bài tốn Cơsi Như thấy, nghiệm phương trình vi phân cấp phụ thuộc vào số C tùy ý Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất nghiệm phương trình mà ý đến nghiệm y(x) phương trình F(x,y,y’) = (1) y’= f(x,y) (2) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0 (4) x0, y0 giá trị cho trước Bài toán đặt gọi tốn Cơsi Điều kiện (4) gọi điều kiện ban đầu; x0, y0 giá trị ban đầu Về phương diện hình học, tốn Cơsi tương đương với việc tìm đường cong tích phân phương trình qua điểm M0(x0, y0) cho trước Bài tốn Cơsi khơng phải có nghiệm Sau thấy với giả thiết nghiệm tốn Cơsi tồn §5 Hệ phương trình hệ số số 5.1 Phương pháp giải 5.2 Ví dụ Chương – Hệ phương trình vi phân §5 Hệ phương trình hệ số số 5.1 Phương pháp giải Chương – Hệ phương trình vi phân §5 Hệ phương trình hệ số số 5.1 Phương pháp giải Chương – Hệ phương trình vi phân §5 Hệ phương trình hệ số số 5.1 Phương pháp giải Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân §5 Hệ phương trình hệ số số 5.1 Phương pháp giải Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân 5.1 Phương pháp giải §5 Hệ phương trình hệ số số Chương – Hệ phương trình vi phân 5.2 Một số ví dụ tham khảo §5 Hệ phương trình hệ số số Bài tập tham khảo chương 3- Hệ PTVP TÀI LIỆU THAM KHẢO