BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN NGUN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM �ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ � Khái niệm nguyên hàm tính chất Khái niệm nguyên hàm — Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm (x) = f (x), " x �K của hàm số f (x) K nếu: F � — Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) K thì họ nguyên hàm của hàm số f (x) K là: �f (x) �dx = F (x) +C , const = C �� Tính chất: Nếu f (x), g(x) là hàm số liên tục K và k � thì ta ln có: �� kf (x)dx = k�f (x)dx � �f � (x)dx = f (x) + C � �� f (x) �g(x)� dx = �f (x)dx �� g(x)dx � � Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) xa +1 +C a +1 a �x �dx =  �x �dx = ln x +C  �x  �sin x �dx = -  �cosx �dx = sin x +C  �sin x �dx = -  �cos x �dx = tan x + C �cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) +C  �e �e  x �a �dx = 1 � dx = - +C x cosx + C cot x + C x � dx = ex + C ax +C lna n �(ax + b) �dx = (ax + b)n+1 � +C a n +1  1 �ax + b �dx = a �ln ax + b +C �(ax + b) � dx = - 1 � +C a ax + b cos(ax + b) +C a ) =�sin(ax + bdx �cos(ax + b) �dx = a �sin(ax + b) +C �sin (ax + b)dx = 1 cot(ax + b) + C a ax+b � e +C a dx x- a �x2 - a2 = 2a �ln x + a +C ax+b � dx = ♦ Nhận xét Khi thay x bằng (ax + b) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm � a Một số lưu ý http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 1| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Cần nắm vững bảng nguyên hàm Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giơ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của hàm thành phần Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng ngun hàm) Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM �ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ � A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PP Tích của đa thức lũy thừa ��� � khai triển PP Tích các hàm mũ ��� � khai triển theo công thức mũ PP Chứa ��� � chuyển về lũy thừa PP Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ��� � khai triển theo công thức tích thành tổng � sinax.cosbx = 1� sin(a + b)x + sin(a - b)x� � 2� � sinax.sinbx = � cos(a - b)x - cos(a + b)x� � � � cosax.cosbx = 1� cos(a + b)x + cos(a - b)x� � 2� PP Bậc chẵn của sin và cosin ��� � Hạ bậc B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm a a) f (a) = 3a2 + � ĐS: F (a) = a3 + a2 +C ……………………………………………………………………………………………………………………… b) f (b) = 2b - 5b + b4 5b2 ĐS: F (b) = + 7b + C 2 ……………………………………………………………………………………………………………………… c) f (c) = 6c5 - 12c3 + c2 - | THBTN ĐS: F (x) = c6 - 3c4 + c3 - 8c + C TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ……………………………………………………………………………………………………………………… d) f (x) = (x2 - 3x) � (x + 1) � ĐS: F (x) = x4 2x3 3x2 +C ……………………………………………………………………………………………………………………… e) f (x) = (3 - x)3 (3 - x)4 +C ĐS: F (x) = - ……………………………………………………………………………………………………………………… f) f (x) = 1 - x2 - � x ĐS: F (x) = - x3 x +C x 3 ……………………………………………………………………………………………………………………… g) f (x) = 102x ĐS: F (x) = 102x +C 2ln10 ……………………………………………………………………………………………………………………… h) f (x) = x3 - 4x + � x ĐS: F (x) = x4 + 2x2 + 3.ln x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… i) f (t) = 2t + � t2 ĐS: F (t) = � t - +C t ……………………………………………………………………………………………………………………… j) f (x) = x- � x2 ĐS: F (x) = ln x + +C x ……………………………………………………………………………………………………………………… k) f (x) = 2sin2 x � ĐS: F (x) = x + sin x +C ……………………………………………………………………………………………………………………… l) f (x) = cos2 x 1 ĐS: F (x) = x + sin2x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… m) f (x) = tan2 x ĐS: F (x) = tan x - x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… n) f (x) = � sin x.cos2 x ĐS: F (x) = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 +C sin2 2x 3| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ……………………………………………………………………………………………………………………… o) f (x) = 2sin3x cos2x ĐS: F (x) = - cos5x - cosx + C ……………………………………………………………………………………………………………………… p) f (x) = ex (ex - 1) ĐS: F (x) = e2x - ex + C ……………………………………………………………………………………………………………………… � e- x � � x � � + � � q) f (x) = e � � � � � � cos x � ĐS: F (x) = 2ex + tan x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… ( x + x) � dx r) I = � ĐS: I = 23 � x +C ……………………………………………………………………………………………………………………… � � � � � � x + � dx � s) I = � � � 2� � � x � ĐS: I = x3 + 33 x + C I = x x +C ……………………………………………………………………………………………………………………… + + � dx � t) I = � x x x ĐS: F (x) = x + 25 x + x +C ……………………………………………………………………………………………………………………… 4sin2 x � dx u) I = � ĐS: I = 2x - sin2x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… + cos4x v) I = � � dx ĐS: I = x sin4x + +C ……………………………………………………………………………………………………………………… (3cosx - 3x- 1) � dx � w) I = � ĐS: I = 3sin x - 3x- +C ln3 ……………………………………………………………………………………………………………………… (tan x - 2cot x)2.dx x) I = � ĐS: I = tan x - 4cot x - 9x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN y) I = � u.(u - 4).du ĐS: I = 33 u - 33 u4 + C ……………………………………………………………………………………………………………………… BT Chứng minh F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trường hợp sau: Phương pháp: Để F (x) một nguyên hàm hàm số f (x), ta cần (x) = f (x) chứng minh: F � a) F (x) = 5x3 + 4x2 - 7x + 120 và f (x) = 15x2 + 8x - b) F (x) = ln(x + x2 + 3) và f (x) = x2 + c) F (x) = (4x - 5) � ex và f (x) = (4x - 1) � ex d) F (x) = tan4 x + 3x - và f (x) = 4tan5 x + 4tan3 x + � - 2x x2 + 4� � � � F (x) = ln� và f (x) = � � � � (x + 4) � (x2 + 3) x + 3� � e) f) F (x) = ln x2 - x + x2 + x + và f (x) = 2(x2 - 1) x4 + BT Tìm ngun hàm hàm sớ thỏa mãn điều kiện cho trước trường hợp sau: Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f (x), tức tính http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 5| TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN �f (x) �dx = F (x) +C Rồi sau F (x ) +C = ���để tìm số C o a) f (x) = x3 - 4x + 5, F (1) = ĐS: F (x) = x4 - x2 + 5x - � 4 b) f (x) = - 5cosx, F (p) = ĐS: F (x) = 3x - 5sin x + - 3p c) f (x) = - 5x2 , F (e) = x ĐS: F (x) = 3ln x - 5x2 5e2 + - 2 d) f (x) = x2 + , F (1) = � x ĐS: F (x) = x2 + ln x + e) f (x) = x x + x , F (1) = - ĐS: F (x) = 22 x +2 x � 5 � p� � � sin2x.cosxdx , biết F � = �� f) I = � � � � �3� ĐS: F (x) = - 1 cosx - cosx + � 12 3x4 - 2x3 + g) I = � � dx, biết F (1) = x2 ĐS: F (x) = x3 - x2 - + x x3 + 3x2 + 3x - � dx, biết F (0) = h) I = � (x + 1)2 ĐS: F (x) = x2 +x + � x +1 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 i) I = � sin2 � p� p x � � = � � � dx, biết F � � � � 2� � Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ĐS: F (x) = x sin x + - � 2 � 1� � � x� x+ � � dx, biết F (1) = � � j) I = � � � � � x� ĐS: F (x) - x2 + 3x + + 3ln x + x � � p p� 2cos2 x - � F� = � � k) I = � biết � dx , � � 4� � � cos2 x ĐS: F (x) = 2x - tan x + BT Tìm điều kiện của tham số m a, b, c để F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) : Phương pháp: Để F (x) một nguyên hàm hàm số f (x) � F � (x) = f (x) Từ đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm � F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 - 4x + � � a) � ĐS: m = � f ( x ) = x + 10 x � � � F (x) = ln x2 - mx + � � � b) � � 2x + � f (x) = � � x + 3x + � ĐS: m = - � F (x) = (ax2 + bx + c) � ex � � c) � � f (x) = (x - 3) � ex � � ĐS: a = 0, b = 1, c = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 7| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN � F (x) = (ax2 + bx + c) � e- 2x � � d) � - 2x � f ( x ) = (2 x x + 7) � e � � ĐS: a = 1, b = - 3, c = � F (x) = (ax2 + bx + c) � e- x � � e) � � f (x) = (x2 - 3x + 2) � e- x � � ĐS: a = - 1, b = 1, c = - � b c � F (x) = (a + 1)sin x + sin2x + sin3x � � f) � � � f ( x ) = cos x � � ĐS: a = b = c = � F (x) = (ax2 + bx + c) � 2x - � � � g) � � 20x2 - 30x + � f ( x ) = � � 2x - � ĐS: a = 4, b = - 2, c = �f (x) = x - x, (x �3) � � h) � � � F ( x ) = ( ax + bx + c ) � x � � 2 12 ĐS: a = ; b = - ; c = � 5 C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x + 3x + là hàm số nào các hàm số sau? A F ( x) = | THBTN x4 3x2 + + 2x +C B F ( x) = x4 + 3x2 + 2x + C TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN x4 x2 + + 2x + C C F ( x) = D F ( x) = 3x + 3x + C Câu Hàm số F ( x) = 5x + 4x - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A f ( x) = 15x + 8x - B f ( x) = 5x + 4x + 5x2 4x3 7x2 + C f ( x) = D f ( x) = 5x + 4x - Câu Họ nguyên hàm của hàm số: y = x2 - 3x + A F ( x) = x3 - x + ln x + C C F ( x) = x3 + x + ln x + C là x x3 - x + ln x + C D F ( x) = 2x - - + C x B F ( x) = Câu Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1) ( x + 2) A F ( x) = x3 + x + 2x + C C F ( x) = 2x + + C Câu Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = A F ( x) = - ln - 2x + 2ln x C F ( x) = ln - 2x + 2ln x - +C x +C x B F ( x) = x3 2 + x + 2x + C 3 D F ( x) = x3 2 - x + 2x + C 3 2 + + là hàm số nào? - 2x x x B F ( x) = - ln - 2x + 2ln x + +C x D F ( x) = - ln - 2x - 2ln x + +C x Câu Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 - 3x2 + là A 3x2 - 6x B 3x2 - 6x + C C x4 - x3 + 5x + C D x4 - x3 + 5x + C Câu Một nguyên hàm của hàm số g(x) = - 5x4 + 4x2 - là: A - x5 + x3 - 6x + C B - 20x3 + 8x + C C - 20x3 + 8x D - x5 + x3 + C Câu Một nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x - 3) là A ( x - 3) 4 B 4( x - 3) C ( x - 3) 5 D ( x - 3) 3 Câu Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 - 3x2 + là http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 9| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 A 3x2 - 6x Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN B 3x2 - 6x + C C x4 - x3 + 5x + C D x4 - x3 + 5x + C Một nguyên hàm của hàm số g(x) = - 5x4 + 4x2 - là: Câu 10 A - x5 + x3 - 6x + C B - 20x3 + 8x + C C - 20x3 + 8x D - x5 + x3 + C Một nguyên hàm của hàm số f (x) = ( x - 3) là: Câu 11 A Câu 12 ( x - 3) B 4( x - 3) Tính A C ( x - 3) D ( x - 3) 3 � � � � � x + dx � � �� � x � � x3 + ln x - 2x + C B x3 - - 2x + C C x2 x3 + ln x + C D x + ln x - 2x + C Cho f (x) = - x3 + 3x2 - 2x Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa F ( 1) = Câu 13 là: A - x4 x4 + x3 - x2 + B + x3 - x2 4 4 x4 + x3 - x2 - Câu 14 D - C x4 + x3 - x2 + Gọi F (x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 - 2x + thì F (x) là: A F (x) = 3x3 - 2x2 + x + C B F (x) = x3 - x2 + 1+ C C F (x) = x(x2 - x + 1) +C 1 D F (x) = x3 - x2 + x + C Câu 15 �x ( x Kết quả của x A F (x) = ( ) +1 +C � x2 � x3 � � � + x +C C F (x) = � � � � �3 2� � ) + dx bằng: x B F (x) = ( ) D F (x) = +1 +C x2 x + +C ( Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f (x) = là: x 1 A F (x) = - B F (x) = C F (x) = ln x x x ) Câu 16 10 | THBTN D F (x) = - x TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 C Câu 180 ( �2x 1+ x ) Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ( 1+ x ) dx = x 2 Kết quả nào sai các kết quả sau ? ln x �x B ln x ln2 x dx = +C �x D Câu 181 dx = ln2 x + C ln x + 2ln x dx = x � ( + 2ln x) 10 - ( + 2ln x) +C ln2 x ln3 x xdx = +C �x 2x 3x Nguyên hàm của hàm số y = f ( x) = e + + x là A F ( x) = e2x 23x x2 + + +C ln2 B F ( x) = e2x 23x x2 + + +C ln8 23x x2 + +C ln8 D F ( x) = e2x 23x + + 1+C ln8 C F ( x) = e2x + Câu 182 ) ln + x2 x �1+ x2 dx = +C D +C A C ( Hàm số F ( x) = ln sin x - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số nào các hàm số sau đây: A f ( x) = cosx + 3sin x sin x - 3cosx B f ( x) = cosx + 3sin x C f ( x) = - cosx - 3sin x sin x - 3cosx D f ( x) = Câu 183 Tính �2 ( x ln2 dx , kết quả sai là: x ) ( x A 2 + + C Câu 184 C 21+ x D x + C +C Kết quả nào sai các kết quả sau: dx ( C �1+ cosx = tan +C dx ) = ln ln( ln x) + C �x ln x.ln( ln x) x x2 + - = ln +C B � x x2 + x2 + + dx D xdx - = ln - 2x2 + C 2x �3 - Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e3cosx sin x A �f (x)dx = 3e C �f (x)dx = - 54 | THBTN ) x B 2 - + C A Câu 185 sin x - 3cosx cosx + 3sin x 3cosx cosx + C 3cosx e +C B �f (x)dx = 3e +C D �f (x)dx = 3e cosx + C 3cosx 3cosx TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Câu 186 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = A �f (x)dx = ln2 x +C C �f (x)dx = ln2 x +C 4x Câu 187 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ln x 2x ln2 x +C D �f (x)dx = +C 2x B �f (x)dx = x3 x - 1dx là: Nguyên hàm của hàm số: I = � � � 2 x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) �x - + C A F(x) = � ( � � � � � � 2 6 x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) �x - + C B F(x) = � ( � � � � � � 2 6 x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) �x - + C C F(x) = � ( � � 7 � � � � 2 6 x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) + ( x - 1) �x - + C D F(x) = � ( � � � � Câu 188 Nguyên hàm của hàm số: I = � A F(x) = 2x - - 4ln 2x + - 4ln ( Câu 189 ln ( 2x - + �là: ) F(x) = ) F(x) = 2x - + + C B ) 2x + + + C C F(x) = 2x - + 4ln 2x - - ( dx ( 2x + + + C D ) 2x - + + C cos5 x Nguyên hàm của hàm số: y = � dx là: 1- sin x A cosx - sin3 x cos4 x +C B sin x - sin3 3x cos4 4x +C C sin x - sin3 x cos4 x +C D sin x - sin3 x cos4 x +C Câu 190 (x2 + x)ex dx là: Nguyên hàm của hàm số: y = � x + e- x x x A F(x) = xe + 1- ln xe + + C x x B F(x) = e + 1- ln xe + + C x -x C F(x) = xe + 1- ln xe + + C x x D F(x) = xe + + ln xe + + C Câu 191 dx Nguyên hàm của hàm số: y = � là: x - a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 55 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 A x- a ln +C 2a x + a B x +a +C ln 2a x - a C x- a ln +C a x +a D x +a +C ln a x- a D x +a +C ln a x- a dx Nguyên hàm của hàm số: y = � là: a - x2 Câu 192 A Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN a- x ln +C 2a a + x Câu 193 B a +x +C ln 2a a - x C x- a ln +C a x +a x 4x + dx là: Nguyên hàm của hàm số: y = � 3� 1� 2( � 4x + 7) - � ( 4x + 7) � +C � 20 � � � 3� 1� 2( � C 4x + 7) - � ( 4x + 7) � +C � � 14 � � A 3� 1� 2( � 4x + 7) - � ( 4x + 7) � +C � 18 � � � 3� 1� 2( � D 4x + 7) - � ( 4x + 7) � +C � � 16 � � B Dạng toán TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN �ⓣ ⓗ ⓑ ⓣ ⓝ � A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Định lý: Nếu hai hàm sớ u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục K thì I =� u(x) � v� (x) � dx = u(x) � v(x) - (x) � v(x) � dx hay I �u� = �udv = uv - �vdu � Vận dụng giải toán: — Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác , �e sin xdx x Vi ph� n � u ����������=����‫=����������׾‬ du dx Suy ra: Đặt: � � � Nguy� n # m — � dv �����������=�����‫=�����׾‬ dx v � � I =� udv = uv — �vdu Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mu và dv = phần còn lại Nghĩa là nếu có ln hay loga x thì chọn u = ln hay u = loga x = ln x và dv = lna lại Nếu khơng có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,… — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm phần luân hồi 56 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 17 Tính các nguyên hàm sau: x� sin x � dx � a) I = � ĐS: I = sin x - cosx + C (1- 2x) � ex � dx � b) I = � ĐS: I = (3 - 2x) � ex + C ex � cosx � dx � c) I = � ĐS: I = ex (sin x + cosx) + C (2x - 1) � ln x � dx � d) I = � ĐS: I = (x2 - x)ln x - x2 + x +C x� e3x � dx � e) I = � ĐS: I = xe3x e3x +C x2 � ln2x � dx � f) I = � ĐS: I = x3 ln2x x3 +C ln x � dx � g) I = � ĐS: I = x ln x - x + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 57 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 (x + 1) � sin2x � dx � h) I = � Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x +1 cos2x + sin2x +C ĐS: I = - x� e- x � dx � i) I = � ĐS: I = - (1 + x) � e- x + C ex � sin x � dx � j) I = � ĐS: I = ex � (sin x - cosx) +C x� cosx � dx � k) I = � ĐS: I = x sin x + cosx + C x l) I = � x� sin � dx � x x ĐS: I = - 2x cos + 4sin + C 2 x� ex � dx � m) I = � ĐS: I = xex - ex + C x� ln(1- x) � dx � n) I = � ĐS: I = x2 ln(1- x) (1 + x)2 ln(1- x) +C 2 x� sin2 x � dx � o) I = � 58 | THBTN ĐS: I = x2 x sin2x cos2x +C 4 TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN p) I = � ln(x + + x2 ) � dx � ĐS: I = x ln(x + + x2 ) - + x2 + C q) I = � x� ln 1+ x � dx � 1- x ĐS: I = x + x2 - 1 + x ln +C 1- x lnx dx � r) I = � � x ĐS: I = - ln x +C 2x 4x2 x� sin x � cosx � dx � s) I = � ĐS: I = - 1 x cos2x + sin2x + C e- 2x � cos3x � dx � t) I = � ĐS: I = - 2x e (3sin3x - 2cos3x) + C 13 x� dx � u) I = � + cos2x 1 ĐS: I = x tan x + ln cosx + C 2 x� (2cos2 x - 1) � dx � v) I = � ĐS: I = x � sin2x + cos2x + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 59 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x3 � ln x � dx � w) I = � ĐS: I = x4 ln x x4 +C 16 x dx � x) I = � � sin x ĐS: I = - x cot x + ln sin x + C (x - 2) � e2x � dx � y) I = � 1 ĐS: I = (x - 2)e2x - e2x + C x� ln(x2 + 1) � dx � z) I = � ĐS: I = (x2 + 1)ln(x2 + 1) - x2 - + C BT 18 Tính các nguyên hàm sau: x2 - a) I = � � ln x � dx � x � 1� � x+ � � ln x - x + + C � ĐS: I = � � � � x � x� cos x � dx � b) I = � ĐS: I = x sin x - 2cos x +C sin x � dx � c) I = � ĐS: I = - x cos x + 2sin x + C 60 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (8x3 - 2x) � ex � dx � d) I = � 2 ĐS: I = (4x2 - 1) � ex - 4ex + C 1 ĐS: I = x2ex - ex + C 2 x3.ex � dx � e) I = � 1 ĐS: I = x3ex - ex + C 3 x5 � ex � dx � f) I = � esinx � sin2x � dx � g) I = � ĐS: I = 2sin xe sin x - 2esin x +C ex� dx � h) I = � x � ĐS: I = 2xe x - xe x + 4e x + C x� ln(x2 + 1) � dx � i) I = � ĐS: I = (x2 + 1)ln(x2 + 1) - x2 - x +C + ln(x + 1) � dx � j) I = � x2 ĐS: I = - 1 x - ln x + + ln +C x x x +1 ex � ln(ex + 1) � dx � k) I = � ĐS: I = (ex + 1)ln(ex + 1) - ex + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 61 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ln(4x2 + 8x + 3) � dx � l) I = � (x + 1)3 ĐS: 4x2 + 8x + ln 4x2 + 8x + - 4ln x + +C 2(x + 1) � � � � � + � ln(x + x - 1) � dx � � m) I = � ĐS: I = (x + x - 1) ln x + x - - x � � � � � x� x +C C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 194 Một nguyên hàm của hàm số f (x) = xex là: x B e ( x - 1) + C A ex + C Câu 195 D x2 x e +C Một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x2 + 2x).ex là: A (2x + 2).ex Câu 196 x C e ( x + 1) +C C (x2 + x).ex B x2ex D (x2 - 2x).ex Cho hàm số f (x) = xe - x Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa F (0) = là: A - (x + 1)e- x + B - (x + 1)e- x + C (x + 1)e- x + D (x + 1)e- x + Câu 197 Cho f (x) = x sin x Nguyên hàm của f (x) là: A - x cosx + C B x sin x + cosx +C C sin x + x cosx + C D - x cosx + sin x + C Câu 198 Nguyên hàm của hàm số f (x) = xex là hàm số: B F (x) = ex 2 A F (x) = 2ex C F (x) = 2x2ex 2 D F (x) = ex + xex x Câu 199 lntdt Đạo hàm f '(x) là hàm số nào đây? Cho f (x) = � A Câu 200 x B lnx C ln2 x D Một nguyên hàm của f (x) = x3ex là: A (x3 - 3x2 + 6x - 6)ex B (x3 - 6x + 6)ex C (x3 + 3x2 - 6)ex D 3x2ex 62 | THBTN ln x TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Câu 201 Chuyên đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN x là : Mợt nguyên hàm của hàm số f ( x) = xe A F ( x) = 2ex B F ( x) = 2x2ex 2 C F ( x) = ex D F ( x) = xex + ex 2 Hàm số f (x) = (x + 1)sin x có các nguyên hàm là: A F (x) = (x + 1)cosx + sinx +C B F (x) = - (x + 1)cosx + sinx + C C F (x) = - (x + 1)cosx - sinx + C D F (x) = (x + 1)cosx - sinx + C Câu 202 Câu 203 Hàm số f (x) = ln x có các nguyên hàm là: A F (x) = x(ln x - 1) + C C F (x) = Câu 204 ln2 x +C B F (x) = +C x D F (x) = x(ln x + 1) + C �1 � � + x� � Hàm sớ f (x) = cosx � có các nguyên hàm là: � � � cosx � � �x � �+ C + x2� � A F (x) = sin x � � � sin x � � � B F (x) = x(1+ sin x) - cosx + C C F (x) = x(1 + sin x) + cosx + C D F (x) = x(1- sin x) + cosx + C Câu 205 Gọi hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) = x cos3x , biết F (0) = Vậy F (x) là: 1 A F (x) = x sin3x + cos3x + C C F (x) = x2 sin3x Câu 206 Tính 1 B F (x) = x sin3x + cos3x + 1 D F (x) = x sin3x + cos3x + 9 �xe dx , ta được kết quả là: x x x A F ( x) = e �xe + C x x B F ( x) = e + xe +C x x C F ( x) = - e �xe + C x x D F ( x) = - e + xe +C Câu 207 Tính �x cosxdx , ta được kết quả là: A F ( x) = x sin x + cosx +C B F ( x) = x sin x - cosx +C C F ( x) = - x sin x + cosx +C D F ( x) = - x sin x - cosx + C Câu 208 Tìm �x cos2xdx là: A 1 x sin2x + cos2x +C B C x2 sin2x +C D sin2x + C Câu 209 ( 1 x sin2x + cos2x + C 2 ) x Một nguyên hàm của hàm số f (x) = x + 2x e là A F (x) = (2x + 2).ex B F (x) = x2ex http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 63 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN C F (x) = (x2 + x).ex Câu 210 D F (x) = (x2 - 2x).ex Một nguyên hàm của f (x) = x2ex là x3 x e A F (x) = (x2 - 2x + 2)ex B F (x) = C F (x) = (x2 - 2x - 2)ex D F (x) = 2xex Câu 211 Nguyên hàm F ( x) của f (x) = xe- x thỏa F ( 0) = là - x A F (x) = - ( x + 1) e + - x B F ( x) = - ( x + 1) e + - x C F (x) = ( x + 1) e + - x D F (x) = ( x + 1) e + Câu 212 Kết quả nào sai các kết quả sau ? - x2.cosx +C A �x sin xdx = C �x cosxdx = x sin x + cosx +C Câu 213 3x �xe dx = C x �xe dx = xe3x 3x - e +C x2 x e +C �lnxdx = x lnx - C x2 x2 �x ln xdx = ln x - +C A C Câu 216 A x +C 2 �ln xdx = x ln x - 2( x ln x - x) +C ln x �x dx = - ln x +C x x 64 | THBTN - x cos2x + sin2x + C B �xe dx = xe D �e x x x dx = x - ex + C -x - x +C ex e B �lnxdx = x +C D x3 x3 �x ln xdx = ln x - +C ln3 x +C ln x - ln x +C D � dx = x 2x 4x2 B �ln xdx = Kết quả nào sai các kết quả sau ? x �e 2x dx = -x +C 2x 2e 4e2x xe3x 3x C � xe dx = - e +C A �x sin2xdx = Kết quả nào sai các kết quả sau ? 3x Câu 217 D Kết quả nào sai các kết quả sau ? A Câu 215 �x sin xdx = - x cosx + sin x +C Kết quả nào sai các kết quả sau ? A Câu 214 B B �xe -x dx = - xe- x - e- x + C x2 2x D � xe dx = e + C 2x Kết quả nào sai các kết quả sau ? �x ln xdx = x3 +C x TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN B x3 x3 �x ln xdx = ln x - +C C �ln( x + D �e Câu 218 A x ) ( ) + x2 dx = x ln x + + x2 - sin xdx = ex ( sin x - cosx) + x2 + C +C Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x.sin( 2x + 1) �f (x)dx = - x cos( 2x + 1) + sin ( 2x + 1) + C x2 �f (x)dx = - cos( 2x + 1) +C x C �f (x)dx = cos( 2x + 1) - sin ( 2x + 1) + C x D �f (x)dx = - cos( 2x + 1) + sin ( 2x + 1) + C 2 B Câu 219 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x.ln ( + x) x2 +C A �f (x)dx = 2(x + 1) x2 ln( 1+ x) - x3 ln(1 + x) +C 1 x C �f (x)dx = x2 - ln ( + x) - x2 + +C B �f (x)dx = ( D Câu 220 �f (x)dx = ) x2 x ln( + x) - x2 + ln(x + 1) + C 2 cos2x.ln(sin x + cosx)dx là: Nguyên hàm của hàm số: I = � A F(x) = 1 + sin2x) ln ( + sin2x) - sin2x + C ( B F(x) = 1 + sin2x) ln( + sin2x) - sin2x + C ( C F(x) = 1 + sin2x) ln ( + sin2x) - sin2x + C ( 4 D F(x) = 1 + sin2x) ln ( + sin2x) + sin2x + C ( 4 Câu 221 Nguyên hàm của hàm số: I = � ( x - 2) sin3xdx là: A F(x) = C F(x) = - ( x - 2) cos3x + sin3x +C ( x + 2) cos3x + sin3x + C B F(x) = ( x - 2) cos3x + sin3x + C D F(x) = - ( x - 2) cos3x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 + sin3x + C 65 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM – DẠNG TOÁN KHÁC ( ĐỌC THÊM ) Câu 222 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Hàm số F (x) = x2 + 6x + x2 + 10 và G (x) = là nguyên hàm của một 2x - 2x - hàm số B Hàm số F (x) = + 2sin2 x và G (x) = 1- cos2x là nguyên hàm của một hàm số C Hàm số F (x) = x2 - 2x + là nguyên hàm của hàm số f (x) = x- x2 - 2x + D Hàm số F (x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x Câu 223 Các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? �kf ( x) dx = k�f ( x) dx ( k �R ) f ( x) dx � g( x) dx B �f ( x) g( x) dx = � � f ( x) + g( x) � dx = � f ( x) dx + � g( x) dx C � � � f ( x) D �f ( x) f � ( x) dx = m + +C A m+1 m Câu 224 x x thì giá Để F ( x) = ( a sin x + bcosx) e là một nguyên hàm của f ( x) = cosxe trị của a , b là : A a = 1,b = Câu 225 B a = 0,b = C a =b = D a =b = Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) K nếu: A F � ( x) = f ( x) , " x �K B F � ( x) � f ( x) , " x �K C f ( x) = F ( x) , " x �K D f ( x) �F ( x) , " x �K Câu 226 A C Câu 227 Các tính chất nguyên hàm sau tính chất nào sai? �f '(x)dx = f (x) +C f (x) �g(x)� dx = �f (x)dx �� g(x)dx �� � � 66 | THBTN �0) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai f 3(x) �f '(x)f (x)dx = +C � f (x) + g(x)� dx =�f (x)dx +� g(x)dx C � � � A �K f (x)dx = K �f (x)dx ( K F (x)dx = f (x) +C D � B B f (x).g(x)� dx =�f (x)dx.� g(x)dx � � �� D �kf (x)dx =k�f (x)dx ( k là hằng sớ) TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 228 là Nếu g(x) = f (x) = (ax2 + bx + c) 2x - 10x2 - 7x + 2x - A Câu 229 hàm của C hàm số D Xác định a , b , c cho g(x) = (ax2 + bx + c) 2x - là một nguyên hàm 20x2 - 30x + 2x - � � � � ; +�� khoảng � � � � � � A a = 4, b = 2, c = C a = - 2, b = 1, c = B a = 1, b = - 2, c = D a = 4, b = - 2, c = Tìm nguyên hàm F (x) = ex 2(a tan2 x + b tan x + c) là một nguyên hàm của f (x) = ex � p p� � � - ; � tan3 x khoản � � � � � 2� � x 2� � F ( x ) = e tan2 x A � � � � 2� � x � tan x + � B F (x) = e � 2� � � 1� � x 2� � tan x + tan x + C F (x) = e � � � � � 2 � � � � Câu 231 nguyên � � � � ; +�� khoảng � thì a + b + c có giá trị là � � � � � B của hàm số f (x) = Câu 230 một ( ) F (x) = ax2 + bx + c e- x Nếu ( là � � � tan2 x � � � � � x 2� tan2 x D F (x) = e � � � � � một nguyên hàm � 1� tan x + � � 2� � � tan x của hàm 2� � � � � 2� � số ) f ( x) = - 2x2 + 7x - e- x thì ( a;b;c) bằng bao nhiêu? A ( 2;- 3;1) Câu 232 A Cho C ( 1;- 1;1) D ( - 2;7;- 4) �f ( x) dx = F ( x) +C Khi đó, với a �0 , ta có �f ( ax + b) dx F ( ax + b) + C 2a C F ( ax + b) +C Câu 233 B ( 1;3;2) B bằng F ( ax + b) + C a D a.F ( ax + b) + C � cosxe sinx ; " x < � � Cho f ( x) = � Nhận xét nào sau ? � � ; " x �0 � � � 1+ x � esin x ; " x < � � A F ( x) = � là một nguyên hàm của f ( x) � + x - 1; " x �0 � � � ecosx ; " x < � B F ( x) = � là một nguyên hàm của f ( x) � + x - 1; " x �0 � � � esin x ; " x < � � C F ( x) = � là một nguyên hàm của f ( x) � + x; " x �0 � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 67 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN � ecosx ; " x < � � D F ( x) = � là một nguyên hàm của f ( x) � + x ; " x �0 � � Câu 234 Kết Một nguyên hàm �( x - 2) sin3xdx = - + c bằng tổng S = ab A S = 15 B S = 14 Câu 235 Cho các hàm số f ( x) = ( x - a) cos3x + sin3x + 2017 thì b C S = 20x2 - 30x + 2x - c D S = 10 ( ) ;F ( x) = ax2 + bx + c 2x - với Để hàm số F ( x) là một nguyên àm của hàm số f ( x) thì các giá trị của a,b,c là A a = 4;b = 2;c = - B a = 4;b = 2;c = C a = 4;b = - 2;c = - D a = 4;b = - 2;c = x> 68 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM ... ��� � Hạ bậc B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm ngun hàm hàm sớ sau (giả sử điều kiện được xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm a a) f (a) =... BT Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trường hợp sau: Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f (x), tức tính http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có... c để F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) : Phương pháp: Để F (x) một nguyên hàm hàm số f (x) � F � (x) = f (x) Từ đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm � F (x) = mx3 +