PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM MỨC ĐỘ 1 Câu 1 Cho hàm số liên tục trên K và thuộc K Công thức nào sau đây sai? A B C D Lời giải Chọn A Câu 2 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A B C D Lời giải Chọn A[.]
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM MỨC ĐỘ Câu 1: Cho hàm số f , g liên tục K a, b, c thuộc K Công thức sau sai? b A b ∫ b b b a a a a C a f (x) dx = ∫ f (x) dx B b ∫ a ∫ [ f (x) + g(x)] dx =∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx c c f (x) dx + ∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx b a b b a a D ∫ kf (x) dx =k ∫ f (x) dx Lời giải Chọn A Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A ∫ sin xdx = cos x + C B ∫ xdx = x + C D ∫ dx = ln x + C x Lời giải x x C ∫ e dx = e + C Chọn A ∫ sin xdx = − cos x + C Câu 3: Phát biểu sau x x x A ∫ e sin xdx = −e cos x + ∫ e cos xdx x x x B ∫ e sin xdx = e cos x − ∫ e cos xdx x x x C ∫ e sin xdx = e cos x + ∫ e cos xdx x x x D ∫ e sin xdx = −e cos x − ∫ e cos xdx Lời giải Chọn A u = e x du = e x dx x x x ⇒ Đặt Ta có ∫ e sin xdx = −e cos x + ∫ e cos xdx dv = sin xdx v = − cos x Câu 4: Để tính ∫ x ln ( + x ) dx u = x A dv = ln ( + x ) dx theo phương pháp nguyên hàm phần, ta đặt: u = x ln ( + x ) u = ln ( + x ) B C dv = dx dv = dx Lời giải u = ln ( + x ) D dv = xdx Chọn D Đối với nguyên hàm dạng u = ln Q ( x ) P x ln Q x d x ( ) ( ) ta đặt để tính theo phương pháp nguyên ∫ dv = P ( x ) dx hàm phần Vậy Chọn D Câu 5: Nguyên hàm ∫ + ln x dx ( x > ) x A ln x + ln x + C B x + ln x + C C ln x + ln x + C Lời giải Chọn A D x + ln x + C Ta có Câu 6: ∫ + ln x ln x 1 dx = ∫ dx + ∫ dx = ∫ dx + ∫ ln xd ( ln x ) = ln x + ln x + C x x x x Phát biểu sau đúng? x x x A ∫ e sin xdx = e cos x − ∫ e cos xdx x x x B ∫ e sin xdx = −e cos x + ∫ e cos xdx x x x C ∫ e sin xdx = e cos x + ∫ e cos xdx x x x D ∫ e sin xdx = −e cos x − ∫ e cos xdx Lời giải Chọn B Đặt u = e x du = e x dx ⇒ dv = sin xdx v = − cos x ⇒ ∫ e x sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx Câu 7: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = 2sin x − 3cos x A F ( x ) = −2 cos x − 3sin x + C B F ( x ) = cos x + 3sin x + C C F ( x ) = cos x − 3sin x + C D F ( x ) = −2 cos x + 3sin x + C Lời giải Chọn A Ta có F ( x ) = ∫ ( 2sin x − 3cos x ) dx = −2 cos x − 3sin x + C Câu 8: Biết ∫ f ( x ) dx = x − x + C Tìm A F ( x ) = x − x + C ∫ f ( − x ) dx ? C F ( x ) = − x + x + C B F ( x ) = x + x + C D F ( x ) = − x − x + C Lời giải Chọn D ∫ f ( − x ) dx = −∫ f ( − x ) d ( − x ) Câu 9: = − ( − x ) − ( − x ) + C = − x − x + C Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = − ln x + ln ( x + 1) + C − ( 0; +∞ ) x 2x +1 B F ( x ) = − ln x + ln ( x + 1) + C C F ( x ) = ln x − ln ( x + 1) + C D F ( x ) = ln x − ln ( x + 1) + C Lời giải Chọn C 1 Ta có ∫ − ÷dx = ln x − ln x + + C = ln x − ln ( x + 1) + C với x ∈ ( 0; +∞ ) x 2x +1 Câu 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A ∫ 2xdx = x + C B x x C ∫ e dx = e + C D ∫ sin xdx = cos x + C Lời giải Chọn D ∫ x dx = ln x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ⇒ D sai Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − sin x Câu 11: A ∫ f ( x)dx = C ∫ f ( x)dx = x cos x − +C x cos x + +C B D ∫ f ( x)dx = x sin x − +C ∫ f ( x)dx = x sin x + +C Lời giải Chọn C ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x − sin x ) dx = x cos x + +C MỨC ĐỘ Câu 12: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x A ∫ C ∫ 32 f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C f ( x ) dx = x ( 3ln x − 1) + C 32 B ∫ f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C 3 D ∫ f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C Lời giải Chọn A I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x ln x.dx Đặt: t = x ⇒ dt = dx ⇒ 2tdt = dx x ⇒ I = 2∫ t ln t dt = ∫ t ln t.dt du = dt u = ln t t ⇒ Đặt: dv = t dt v = t 1 1 1 ⇒ I = t ln t − ∫ t dt ÷ = t ln t − t + C ÷ = t ( 3ln t − 1) + C 3 3 = x 3ln x − + C 32 = x ( 3ln x − ) + C ( ) Câu 13: Khi tính nguyên hàm A ∫ 2u ( u − ) du ∫ x−3 dx , cách đặt u = x + ta nguyên hàm nào? x +1 B ∫( u − ) du C ∫ ( u − ) du Lời giải Chọn C dx = 2u du Đặt u = x + , u ≥ nên u = x + ⇒ x = u −1 x−3 dx = u − − 2udu = ∫ ( u − ) du Khi ∫ ∫ u x +1 D ∫( u − 3) du Câu 14: Biết ∫ xe 2x dx = axe x + be x + C ( a, b Ô ) Tính tích ab A ab = − B ab = C ab = − Lời giải D ab = Chọn C du = d x u = x ⇒ Đặt 2x 2x dv = e d x v = e 2x 2x 2x 2x 2x Suy : ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe − e + C 2 1 Vậy: a = ; b = − ⇒ ab = − x Câu 15: Kết I = ∫ xe dx B I = e x + xe x + C C I = A I = xe x − e x + C x2 x e +C D I = x2 x x e +e +C Lời giải Chọn A Cách 1: Sử dụng tích phân phần ta có I = ∫ xe x dx = ∫ x de x = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C Cách 2: Ta có I ′ = ( xe x − e x + C ) ′ = e x + xe x − e x = xe x x Câu 16: Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e F ( ) = Tính F ( 1) A F ( 1) = 11e − B F ( 1) = e + C F ( 1) = e + D F ( 1) = e + Lời giải Chọn C x Ta có F ( x ) = ∫ ( x + 1) e dx u = x + du = 5dx ⇒ Đặt x x dv = e dx v=e F ( x ) = ( x + 1) e x − ∫ 5e x dx = ( x + 1) e x − 5e x + C = ( x − ) e x + C Mặt khác F ( ) = ⇔ −4 + C = ⇔ C = ⇒ F ( x ) = ( 5x − ) e x + Vậy F ( 1) = e + 2x Câu 17: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x.e 1 2x A F ( x ) = 2e x − ÷+ C 2 2x 1 C F ( x ) = e x − ÷+ C 2 B F ( x ) = 2x D F ( x ) = 2e ( x − ) + C Lời giải Chọn C 2x Ta có F ( x ) = ∫ x.e dx 2x e ( x − 2) + C Đặt u = x ⇒ du = dx dv = e x dx chọn v = e x Khi F ( x ) = ∫ x.e x dx = Vậy F ( x ) = 2x 1 x 2x 2x x2 x x e − ∫ e dx = e − e + C = e x − ÷+ C 2 2 2x 1 e x − ÷+ C 2 Câu 18: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x cos ( x ) A F ( x ) = x sin x + cos2 x C F ( x ) = B F ( x ) = 1 x sin x + cos2 x + C 1 x sin x + cos2 x D F ( x ) = x sin x + cos2 x + C Lời giải Chọn C du = dx u = x ⇒ Đặt sin x dv = cos x dx v = x sin x x sin x cos2 x ∫ x cos ( x ) dx = − ∫ sin x dx = + + C π Câu 19: Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x.cos x thỏa F ÷ = 4 1 1 1 A F ( x ) = sin x − sin x + B F ( x ) = sin x + sin x − 10 15 10 15 1 1 C F ( x ) = sin x − sin x − D F ( x ) = sin x + sin x − 10 15 10 15 Lời giải Chọn C Đặt t = sin x ⇒ dt = 2.cos xdx ⇒ dt = cos xdx Ta có: F ( x ) = ∫ sin 2 x.cos3 xdx = 1 t − t dt = ∫ t − t dt = t − t + C ∫ 2 10 ( ) ( ) 1 = sin x − sin x + C 10 π π π F ÷ = ⇔ sin − sin + C = ⇔ C = − 10 15 4 1 Vậy F ( x ) = sin x − sin x − 10 15 Câu 20: Cho ∫ x ( 3x − ) dx = A ( 3x − ) + B ( x − ) + C vi A , B Ô v C Ă Giá trị biểu thức 12 A + B 241 23 A B 252 252 C Lời giải Chọn D 52 D t+2 ⇒ dt = dx 3 t+2 t8 t7 t dt = ∫ t +2t dt = + + C = ( x − ) + ( x − ) + C Ta có: ∫ 3 36 63 9 4 Suy A = , B= , 12 + = 36 63 36 63 Đặt t = x − ⇒ x = ( ) Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2dx 3 3 A ∫ x − = ln x − ÷ + C C ∫ x − = ln x − ÷ + C 2dx 4x − 2dx 2dx B ∫ x − = ln x − + C D ∫ x − = ln x − + C Lời giải Chọn B Ta có nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2dx = ln x − + C , vì: là: ∫ 4x − 2 4x − 1 ′ 2 ln x − + C = = = f ( x) 2 2x − 4x − ( ) F ( x ) = ax + bx − c e2 x Câu 22: Cho ( nguyên hàm hàm số ) f ( x ) = 2018 x − 3x + e2 x khoảng ( −∞; +∞ ) Tính T = a + 2b + 4c A T = −3035 Chọn A ( B T = 1007 ) − 3x + 1) e C T = −5053 Lời giải D T = 1011 2x Vì F ( x ) = ax + bx − c e nguyên hàm hàm số ( f ( x ) = 2018 x 2x khoảng ( −∞; +∞ ) nên ta có: ( F ( x ) ) ′ = f ( x ) , với x ∈ ( −∞; +∞ ) ⇔ ( 2ax + x ( 2b + 2a ) − 2c + b ) e x = ( 2018 x − x + 1) e x , với x ∈ ( −∞; +∞ ) a = 1009 2a = 2018 2021 ⇔ 2b + 2a = −3 ⇔ b = − −2c + b = 2023 c = − 2021 2023 Vậy T = a + 2b + 4c = 1009 + − ÷+ − ÷ = −3035 Câu 23: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Tìm F ( x ) thỏa mãn F ( ) = 10 2e + x A F ( x ) = ( ) ln x − ln ( 2e x + 3) + 10 + 3 B F ( x ) = ( ) x + 10 − ln ( 2e x + 3) 1 1 ln − ln x x C F ( x ) = x − ln e + ÷÷+ 10 + ln − ln D F ( x ) = x − ln e + ÷÷+ 10 − 3 3 Lời giải Chọn A F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ex d x = ∫ ( 2e x + 3) e x dx 2e x + Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx Suy F ( x) = ∫ 1 t ex x dt = ln + C = ln x ÷+ C = x − ln ( 2e + 3) + C 2t + 3 2e + ( 2t + 3) t ( ) ln ( − ln ) + C ⇔ C = 10 + 3 ln x Vậy F ( x ) = x − ln ( 2e + 3) + 10 + 3 Vì F ( ) = 10 nên 10 = ( ) Câu 24: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) = A I = e B I = e ln x Tính F ( e) - F ( 1) x C I = D I = Lời giải Chọn C Đặt t = ln x Þ dt = dx x ln x t2 ln x d x = t d t = + C = + C = F ( x ) + C Þ F ( e) - F ( 1) = ò x ò 2 Câu 25: Tính F ( x) = ∫ x sin xdx Chọn kết đúng? A F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C C F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C B F ( x) = − (2 x cos x + sin x) + C D F ( x) = (2 x cos x − sin x) + C Lời giải Chọn C du = dx u = x ⇒ Đặt , ta dv = sin xdx v = − cos x 1 1 F ( x) = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C = − (2 x cos x − sin x) + C 2 4 Câu 26: Cho hàm số F ( x ) = ∫ x x + 2dx Biết F ( ) = 23 , tính F ( ) A 40 23 Lời giải B 11 Chọn D Ta có: F ( x ) = ∫ x x + 2dx = D C 1 x + 2d ( x + ) = ∫ ( x2 + ) +C ( ) = 23 ⇔ 83 + C = 32 ⇔ C = −2 Vậy F ( ) = − = Mà F Câu 27: Cho biết ∫ −1 f ( x ) dx = 15 Tính giá trị P = ∫ f ( − x ) + dx A P = 15 B P = 37 C P = 27 D P = 19 Câu 28: Tính I = ∫ x x + 1dx kết ? A Câu 29: B 2 −1 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = A f ( ) = ln Câu 30: Cho F ( x) = 2 C D f ( ) = Tính f ( ) 1− x B f ( ) = ln + C f ( ) = −2 ln + D f ( ) = −2 ln a + ln x (ln x + b) nguyên hàm hàm số f ( x) = , a , b ∈ ¢ x x2 Tính S = a + b A S = −2 B S = C S = Lời giải D S = Chọn B + ln x Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ÷dx x 1 1 + ln x = u x dx = du ⇒ Đặt x dx = dv − = v x 1 1 I = − ( + ln x ) + ∫ dx = − ( + ln x ) − + C = − ( ln x + ) + C ⇒ a = −1; b = x x x x x Vậy S = a + b = Câu 31: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln ( x + ) A ∫ C ∫ x2 x2 + x ln ( x + ) − +C x2 x2 + x f ( x ) dx = ln ( x + ) − +C 2 f ( x ) dx = B ∫ D ∫ Lời giải Chọn B x2 − x2 − 4x ln ( x + ) − +C x2 − x2 + x f ( x ) dx = ln ( x + ) − +C 2 f ( x ) dx = dx du = u = ln ( x + ) x+2 ⇒ Đặt dv = xdx v = x x2 x2 ln x + − dx ( ) ∫ 2∫ x+2 x2 x2 − x2 − x = ln ( x + ) − ∫ x − + ln ( x + ) − +C ÷dx = 2 x+2 2 f ( x ) dx = ∫ x ln ( x + ) dx = suy Xét I = ∫ x ( x − 3) dx Bằng cách đặt: u = x − , khẳng định sau đúng? Câu 32: A I = u 5du ∫ 16 B I = u du ∫ 12 C I = ∫ u du D I = u du 4∫ Lời giải Chọn A u = x − ⇒ du = 16 x 3dx ⇒ ⇒I = du = x 3dx 16 u du ∫ 16 Câu 33: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x cos x x sin x cos x − +C cos x +C C x sin x + B x sin x − A cos x +C D x sin x cos x + +C Lời giải Chọn D I = ∫ x cos xdx du = dx u = x ⇒ Đặt dv = cos xdx v = sin x 1 1 Khi I = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C 2 Câu 34: Biết f ( x) = A B ∫ x +1 ) ( dx = ln x + x + + C Tìm sin x cos x + sin x ∫ ∫ cos x + sin x cos x + ) ( dx = ln cos x + cos x + + C ( ) dx = − ln cos x + cos x + + C nguyên hàm hàm số C ∫ D ∫ sin x cos x + sin x cos x + ) ( dx = ln x + cos x + + C ) ( dx = − ln x + cos x + + C Lời giải Chọn B ∫ Ta có : sin x cos x + dx = − ∫ d ( cos x ) cos x + ) ( = − ln cos x + cos x + + C 2x Câu 35: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e F ( ) = A 1 e+ 2 B e+2 C 2e + 1 Giá trị F ÷là 2 D e + Lời giải Chọn D 2x 2x Ta có : F ( x ) = ∫ e dx = e + C F ( 0) = 3 ⇔ + C = ⇔ C = 2 1 F ÷= e +1 2 2x Câu 36: Nguyên hàm hàm 2018 f ( x ) = x.e là: 2x 1 A F ( x) = e x − ÷+ C 2 2x C F ( x) = 2e ( x − ) + C 1 2x B F ( x) = 2e x − ÷+ C 2 2x D F ( x) = e ( x − ) + C Lời giải Chọn A du = dx u = x ⇒ Đặt 2x 2x dv = e dx v = e 2x 2x 2x x 2x 1 2x Khi đó: F ( x ) = ∫ x.e dx = x.e − ∫ e dx = x.e − e + C = e x − ÷+ C 2 2 Câu 37: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = phương trình 3F ( x ) + ln ( x + 3) = là: A S = { 2} B S = { −2; 2} 1 F ( ) = − ln Tập nghiệm S e +3 x C S = { 1; 2} Lời giải Chọn A Ta có: F ( x ) = ∫ dx ex x = − ÷dx = x − ln ( e + 3) + C x x ∫ e +3 e +3 ( ) D S = { −2;1} Chọn C Ta có: I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin x dx u = x du = dx Đặt Ta có dv = sin x dx v = − cos x I = ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin x dx = − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + C Câu 60: Biết ∫ x cos xdx = ax sin x + b cos x + C A ab = B ab = với a , b số hữu tỉ Tính tích ab ? C ab = − Lời giải Chọn A D ab = − du = dx u = x ⇒ Đặt d v = cos xdx v = sin x 1 1 Khi ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C 2 1 ⇒a= , b= Vậy ab = x Câu 61: Hàm số f ( x ) thoả mãn f ′ ( x ) = xe là: x A ( x − 1) e + C B x + e x +1 +C x +1 C x e x + C x D ( x + 1) e + C Lời giải Chọn A f ′ ( x ) = xe x ⇒ f ( x ) = ∫ xe x dx Ta có: u = x ; dv = e x dx Do đó: du = dx ; v = e x ⇒ f ( x ) = ∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C = ( x − 1) e x + C Câu 62: 2x Tìm họ nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x.e 2x B F ( x ) = e ( x − ) + C 2x 1 D F ( x ) = e x − ÷+ C 2 2x A F ( x ) = 2e ( x − ) + C 1 2x C F ( x ) = 2e x − ÷+ C 2 Lời giải Chọn D du = dx u = x ⇒ Đặt 2x 2x v = e dx v = e 1 1 1 F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = xe x − ∫ e2 x dx = xe x − e x + C = e x x − ÷+ C 2 2 2 Câu 63: Nguyên hàm f ( x ) = + ln x là: x.ln x + ln x dx = ln ln x + C x.ln x + ln x dx = ln x + ln x + C C ∫ x.ln x A + ln x dx = ln x ln x + C x.ln x + ln x dx = ln x.ln x + C D ∫ x.ln x Lời giải ∫ Chọn D Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ B ∫ + ln x dx x.ln x Đặt x ln x = t ⇒ ( ln x + 1) dx = dt Khi ta có I = ∫ + ln x dx = ∫ dt = ln t + C x.ln x t = ln x.ln x + C Câu 64: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x sin x A − x cos x + sin x + C C x cos x + sin x + C B x cos x − sin x + C D − x cos x − sin x + C Lời giải Chọn A Ta có: ∫ x sin xdx u = x du = dx ⇒ Đặt dv = sin xdx v = − cos x Vậy ∫ x sin xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C MỨC ĐỘ Câu 65: Cho hàm số f ( x ) ≠ ; f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) f ( 1) = −0,5 Tính tổng f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = a A < −1 b a a ; ( a ∈ ¢; b ∈ ¥ ) với tối giản Chọn khẳng định b b B a ∈ ( −2017; 2017 ) C b − a = 4035 D a + b = −1 Lời giải Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ⇔ ⇔− f ′( x) f ′( x) = 2x + ⇔ ∫ dx = ∫ ( x + 1) dx f ( x) f ( x) 1 = x2 + x + C ⇒ = − x2 − x − C f ( x) f ( x) Lại có: f ( 1) = −0,5 ⇒ −2 = −12 − − C ⇒ C = 1 = − ( x + x ) = − x ( x + 1) hay − f ( x ) = Vậy f ( x) x ( x + 1) 1 1 + + + + Ta có: − f ( 1) − f ( ) − f ( 3) − − f ( 2017 ) = 1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 1 1 1 2017 = − + − + − + + − = 1− = 2 3 2017 2018 2018 2018 −2017 Vậy f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = hay a = −2017 , b = 2018 ⇒ b − a = 4035 2018 Câu 66: Biết a , b ∈ ¡ thỏa mãn A ab = − 16 1 b x + 1dx = a ( x + 1) + C x > − ÷ Khi đó: 2 16 B ab = C ab = D ab = 16 Lời giải ∫ Chọn B 2 x + = t ⇒ x + = t ⇒ dx = t dt 4 3 3 3 = = = = x + 1d x t d t t + C x + + C x + Khi ∫ ( )3 +C 2∫ 8 ⇒ a = ; b = Vậy ab = Đặt ( ) 1 Đề có bổ sung thêm điều kiện x > − ÷ để có kết hợp lí 2 Câu 67: Giả sử ( x + ) dx ∫ x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) + = − g ( x ) + C ( C số) Tính tổng nghiệm phương trình g ( x ) = A −1 Chọn D ( Ta có x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) + = x + 3x )(x Đặt t = x + 3x , dt = ( x + 3) dx Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có D −3 C Lời giải B dt ∫ ( t + 1) =− + x + ) + = ( x + 3x ) + 1 +C t +1 ( x + ) dx ∫ x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) + = − x +C + 3x + Vậy g ( x ) = x + x + −3 + x = g ( x ) = ⇔ x + 3x + = ⇔ −3 − x = Vậy tổng tất nghiệm phương trình −3 3 Câu 68: Biết khoảng ; + ∞ ÷, hàm số 2 f ( x) = 20 x − 30 x + có nguyên hàm 2x − F ( x ) = ( ax + bx + c ) x − ( a, b, c số nguyên) Tổng S = a + b + c A B C Lời giải Chọn B Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ dx = tdt D t2 + t2 + 20 x − 30 x + 20 − 30 ÷ ÷+ = ∫ ( 5t + 15t + ) dt dx Khi ∫ 2x − =∫ tdt t = t + 5t + 7t + C = = ( x − 3) ( x − 3) ( x − 3) +5 + 2x − + C 2 x − + ( x − ) x − + x − + C = ( x − x + 1) x − + C Vậy F ( x ) = ( x − x + 1) x − Suy S = a + b + c = Câu 69: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e A − 15 e B − 10 e F ( ) = Hãy tính F ( −1) x 15 −4 e Lời giải C Chọn C x Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ e dx Đặt x t x = t ⇒ x = t ⇒ dx = 3t 2dt I = ∫ e dx = 3∫ e t dt t = u 2tdt = du ⇒ t ⇒ I = e t t − ∫ e t t dt Đặt t e dt = dv e = v t Tính ∫ e tdt ( ) = 3et t − 6∫ et tdt t = u dt = du ⇒ t ⇒ ∫ et tdt = tet − ∫ et dt = tet − et Đặt t e dt = dv e = v t t t Vậy ⇒ I = 3e t − ( e t − e ) + C ⇒ F ( x ) = 3e x ( x2 − e Theo giả thiết ta có F ( ) = ⇒ C = −4 ⇒ F ( x ) = 3e ⇒ F ( −1) = Câu 70: Cho 10 e D x x x −e ( x2 − e x ) +C x x −e 3 x ) −4 15 −4 e hàm f ( x) f ′ ( x ) = 2x 3 y = f ( x) số ( f ( x) ) liên tục, không âm ¡ thỏa mãn + f ( ) = Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = f ( x ) đoạn [ 1;3] A M = 20 ; m = C M = 20 ; m = B M = 11 ; m = D M = 11 ; m = Lời giải Chọn D Ta có f ( x ) f ′ ( x ) = x ( f ( x) ) +1 ⇔ Lấy nguyên hàm hai vế ta có f ( x) f ′( x) ( f ( x) ) +1 ( f ( x) ) 2 = 2x + = x + C , f ( ) = nên C = Vậy f ( x ) = x + x = x x + đoạn [ 1;3] Ta có f ′ ( x ) = x + + x2 x2 + > với x ∈ [ 1;3] nên f ( x ) đồng biến [ 1;3] Vậy M = f ( 3) = 11 ; m = f ( 1) = ( x − 2) ∫ ( x + 1) 12 10 Câu 71: Nguyên hàm 11 dx 11 1 x−2 A ÷ +C x +1 11 x−2 x−2 B − ÷ + C C ÷ +C 11 x + 33 x + Lời giải 11 x−2 D ÷ +C 11 x + Chọn C ( x − ) dx = x − 10 dx I =∫ 12 ∫ x + ÷ ( x + 1) ( x + 1) 10 x−2 1 dx ⇒ dt = dx Đặt t = x + ⇒ dt = 2 ( x + 1) ( x + 1) 11 1 x−2 Suy I = ∫ t10dt = t 11 + C = ÷ +C 33 33 x + 11 ( ax + b ) dx = 1 ax + b ÷ +C ∫ ( cx + d ) n+ n + ad − bd cx + d n Chú ý: −x −x Câu 72: Biết F ( x ) = ( ax + bx + c ) e nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − x + ) e ¡ Tính giá trị biểu thức f F ( ) A −e −1 B 20e C 9e Lời giải D 3e Chọn C Ta có F ′ ( x ) = ( ax + bx + c ) ′ e − x + ( ax + bx + c ) ( e − x ) ′ = ( 2ax + b ) e − x − ( ax + bx + c ) e − x F ′ ( x ) = − ax + ( 2a − b ) x + b − c e − x −x −x Vì F ( x ) = ( ax + bx + c ) e nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − x + ) e ¡ nên: F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ⇔ −ax + ( 2a − b ) x + b − c e − x = ( x − x + ) e − x , ∀x ∈ ¡ − a = a = −2 ⇔ 2a − b = −5 ⇔ b = b − c = c = −1 −x −0 Như F ( x ) = ( −2 x + x − 1) e ⇒ F ( ) = ( −2.0 + − 1) e = −1 Bởi f F ( ) = f ( −1) = ( 2.1 + 5.1 + ) e = 9e Câu 73: Cho số thực x > Chọn đẳng thức đẳng thức sau: ln x ln x dx = ln x + C dx = ln x + C A ∫ B ∫ x x C ∫ ln x dx = ln x + C x D ∫ ln x dx = ln x + C x ... = ( x − ) + ( x − ) + C Ta có: ∫ 3 36 63 9 4 Suy A = , B= , 12 + = 36 63 36 63 Đặt t = x − ⇒ x = ( ) Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2dx 3? ?? 3? ?? A ∫ x − = ln x − ÷ + C C ∫ x... t − t + C ÷ = t ( 3ln t − 1) + C ? ?3 ? ?3 = x 3ln x − + C 32 = x ( 3ln x − ) + C ( ) Câu 13: Khi tính nguyên hàm A ∫ 2u ( u − ) du ∫ x? ?3 dx , cách đặt u = x + ta nguyên hàm nào? x +1 B ∫(... Câu 12: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x A ∫ C ∫ 32 f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C f ( x ) dx = x ( 3ln x − 1) + C 32 B ∫ f ( x ) dx = x ( 3ln x − ) + C 3 D ∫ f ( x ) dx = x ( 3ln x