BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word image marked

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN NGUN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM ⓣⓗⓑⓣⓝ Khái niệm nguyên hàm tính chất Khái niệm nguyên hàm — Cho hàm số f (x ) xác định K Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) K nếu: F ¢(x ) = f (x ), " x Ỵ K — Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) K thì họ nguyên hàm của hàm số f (x ) K là: ò f (x ) ×dx = F (x ) + C , const = C Î ¡ Tính chất: Nếu f (x ), g(x ) hàm số liên tục K k ¹ ta ln có: ò kf (x )dx = k ò f (x )dx · ò f ¢(x )dx = · ò éêëf (x ) ± g(x )ùúûdx = ò f (x )dx ± ò g(x )dx f (x ) + C · Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C là hằng sớ tùy ý) x a+1  ò x ×dx = +C a+1 a  ò x ×dx =  òx  ò sin x ×dx = -  ò cosx ×dx =  ò sin  ò cos  òe ×dx = - 2 x x ln x + C x +C x cos x + C ò ax + b ×dx = ò (ax + b) ×ln ax + b + C a ×dx = - 1 × +C a ax + b ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C a sin x + C ò cos(ax + b) ×dx = ×sin(ax + b) + C a ×dx = - cot x + C ò sin (ax + b)dx = ×dx = t an x + C ò cos (ax + b)dx = ×dx = e x + C ax +C  ò a ×dx = ln a x (ax + b)n + ò (ax + b) ×dx = a × n + + C n 2 òe ax + b òx ×dx = - cot (ax + b) + C a t an(ax + b) + C a ax + b ×e +C a dx x- a = ×ln +C 2a x+a - a ♦ Nhận xét Khi thay x bằng (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 × a 1| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Một số lưu ý Cần nắm vững bảng nguyên hàm Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm) Dạng toán TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM ⓣⓗⓑⓣⓝ A PHNG PHP GII TON PP ắ đ khai trin Tích đa thức lũy thừa ¾ ¾ PP ắ đ khai trin theo cụng thc m Tớch cỏc hm m ắ ắ PP ắ đ chuyn lũy thừa Chứa ¾ ¾ PP ¾ ® khai triển theo cơng thức tích Tích lượng giác bậc sin cosin ¾ ¾ thành tổng · sin ax cos bx = 1é sin(a + b)x + sin(a - b)x ù ú û êë · sin ax sin bx = 1é cos(a - b)x - cos(a + b)x ù ú û êë · cos ax cos bx = 1é cos(a + b)x + cos(a - b)x ù ú û ờở PP ắ đ H bc Bc chn ca sin cosin ¾ ¾ B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm a) f (a ) = 3a + a × ĐS: F (a ) = a + a2 + C ……………………………………………………………………………………………………………………… b) f (b) = 2b - 5b + ĐS: F (b) = b4 5b2 + 7b + C 2 ……………………………………………………………………………………………………………………… c) f (c ) = 6c - 12c + c - | THBTN ĐS: F (x ) = c - 3c + c3 - 8c + C TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN ……………………………………………………………………………………………………………………… d) f (x ) = (x - 3x ) ×(x + 1) × ĐS: F (x ) = x 2x 3x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… e) f (x ) = (3 - x )3 (3 - x )4 + C ĐS: F (x ) = - ……………………………………………………………………………………………………………………… f) 1 f (x ) = - x - × x x3 x + C ĐS: F (x ) = - x 3 ……………………………………………………………………………………………………………………… g) f (x ) = 102x ĐS: F (x ) = 102x + C ln 10 ……………………………………………………………………………………………………………………… h) f (x ) = x - 4x + × x ĐS: F (x ) = x4 + 2x + ln x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… i) f (t ) = 2t + × t2 ĐS: F (t ) = ×t - + C t ……………………………………………………………………………………………………………………… j) f (x ) = x- × x2 ĐS: F (x ) = ln x + + C x ……………………………………………………………………………………………………………………… k) f (x ) = sin x × ĐS: F (x ) = x + sin x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… l) f (x ) = cos2 x ĐS: F (x ) = 1 x + sin 2x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… m) f (x ) = t an x ĐS: F (x ) = t an x - x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… n) f (x ) = × sin x cos2 x ĐS: F (x ) = - + C sin 2x ……………………………………………………………………………………………………………………… o) f (x ) = sin 3x cos 2x ĐS: F (x ) = - cos 5x - cos x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… p) f (x ) = e x (e x - 1) ĐS: F (x ) = 2x e - ex + C ……………………………………………………………………………………………………………………… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 3| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN ỉ e- x ữ ữ q) f (x ) = e x ìỗỗỗ2 + ữì ỗố cos2 x ữ ứ S: F (x ) = 2e x + t an x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… r) I = ò( x + 3 23 ĐS: I = ×x + C x ) ìdx s) I = ổ ỗ ũ ỗỗỗố2x + ữ ữ ìdx ì ữ ÷ x ø ĐS: I = 2 x + 33 x + C I = x + C x ……………………………………………………………………………………………………………………… t) I = ò2 + x 3 + x 5 ×dx × ĐS: F (x ) = x x + 25 x + x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… u) I = ò sin x ×dx ĐS: I = 2x - sin 2x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… v) I = ò + cos 4x ×dx ĐS: I = x sin 4x + + C ……………………………………………………………………………………………………………………… w) I = x- ò (3 cos x - ) ×dx × ĐS: I = sin x - 3x - + C ln ……………………………………………………………………………………………………………………… x) I = ò (t an x - cot x )2 dx ĐS: I = tan x - cot x - 9x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… y) I = ò ĐS: I = u (u - 4).du 33 u - 33 u + C ……………………………………………………………………………………………………………………… BT Chứng minh F (x ) nguyên hàm hàm số f (x ) trường hợp sau: Phương pháp: Để F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x ), ta cần chứng minh: F ¢(x ) = f (x ) a) F (x ) = 5x + 4x - 7x + 120 f (x ) = 15x + 8x - b) F (x ) = ln(x + x + 3) f (x ) = x + | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN c) F (x ) = (4x - 5) ×e x f (x ) = (4x - 1) ×e x d) F (x ) = t an x + 3x - f (x ) = t an x + t an x + ỉx + - 2x ÷ ÷ e) F (x ) = ln ỗỗỗ v f (x ) = ữ ữ ỗốx + ø (x + 4) ×(x + 3) f) 2(x - 1) F (x ) = ln f (x ) = x4 + x2 + x + x2 - x + BT Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trường hợp sau: Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f (x ), tức tính ò f (x ) ×dx = F (x ) + C Rồi sau F (x ) + C = ××× để tìm số C o a) f (x ) = x - 4x + 5, F (1) = ĐS: F (x ) = x4 - x + 5x - × 4 b) f (x ) = - cos x , F ( p ) = ĐS: F (x ) = 3x - sin x + - 3p c) f (x ) = - 5x , F (e ) = x ĐS: F (x ) = ln x - 5x 5e + - 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 5| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x2 + , F (1) = × d) f (x ) = x x2 + ln x + ĐS: F (x ) = e) f (x ) = x x + , F (1) = - ĐS: F (x ) = x 22 x +2 x× 5 f) I = ổp ữ ỗỗ ữ = Â sin x cos x dx , biết F ũ ỗố ữ ữ ứ S: F (x ) = - 1 cos x - cos x + × 12 g) I = ò 3x - 2x + ×dx , biết F (1) = x2 ĐS: F (x ) = x - x - + x x + 3x + 3x - h) I = ò ×dx , biết F (0) = (x + 1)2 x2 ĐS: F (x ) = +x+ × x+1 i) I = ò sin ỉp p x ữ= ì ìdx , bit F ỗỗ ữ ỗố ÷ ÷ ø ĐS: F (x ) = x sin x + - × 2 j) I = ổ 1ử ữ ũ x ìỗỗỗốx + x ứữữữìdx , biờt F (1) = ì S: F (x ) - x2 + 3x + + ln x + x k) I = æp ữ cos2 x - ỗỗ ữ = p × biế t × dx , F ò cos2 x ỗố ữ ữ ứ S: F (x ) = 2x - t an x + | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BT Tìm điều kiện tham số m a, b, c để F (x ) nguyên hàm hàm số f (x ) : Phương pháp: Để F (x ) là một nguyên hàm của hàm sớ f (x ) Û F ¢(x ) = f (x ) Từ đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm ìï F (x ) = mx + (3m + 2)x - 4x + ï × a) í ïï f (x ) = 3x + 10x - ïỵ ĐS: m = ìï F (x ) = ln x - mx + ïï × b) ïí 2x + ïï f (x ) = ïïỵ x + 3x + ĐS: m = - ìï F (x ) = (ax + bx + c ) ×e x ï × c) í ïï f (x ) = (x - 3) ìe x ùợ S: a = 0, b = 1, c = - ìï F (x ) = (ax + bx + c ) ×e - 2x ï × d) í ïï f (x ) = - (2x - 8x + 7) ìe - 2x ùợ S: a = 1, b = - 3, c = ìï F (x ) = (ax + bx + c ) ×e - x ï × e) í ïï f (x ) = (x - 3x + 2) ×e - x ïỵ ĐS: a = - 1, b = 1, c = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 7| TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN ìï ï F (x ) = (a + 1) sin x + b sin 2x + c sin 3x f) ïí × ïï f (x ) = cos x ïïỵ ĐS: a = b = c = ìï F (x ) = (ax + bx + c ) × 2x - ïï g) ïí × ïï f (x ) = 20x - 30x + ïï 2x - ỵ ĐS: a = 4, b = - 2, c = ìï f (x ) = x - x , (x £ 3) ï h) ïí × ïï F (x ) = (ax + bx + c ) × - x ïỵ ĐS: a = 2 12 ; b= - ; c= × 5 C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Nguyên hàm hàm số f (x ) = x + 3x + hàm số hàm số sau? x4 3x + + 2x + C A F (x ) = C F (x ) = Câu Câu x4 x2 + + 2x + C x4 + 3x + 2x + C B F (x ) = D F (x ) = 3x + 3x + C Hàm số F (x ) = 5x + 4x - 7x + 120 + C họ nguyên hàm hàm số sau đây? A f (x ) = 15x + 8x - B f (x ) = 5x + 4x + 5x 4x 7x + C f (x ) = D f (x ) = 5x + 4x - Họ nguyên hàm hàm số: y = x - 3x + x x3 - x + ln x + C A F (x ) = x3 - x + ln x + C B F (x ) = C F (x ) = x3 + x + ln x + C D F (x ) = 2x - - | THBTN +C x2 TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Câu Câu Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Tìm ngun hàm hàm số f (x ) = (x + 1)(x + 2) x3 + x + 2x + C A F (x ) = x3 2 + x + 2x + C B F (x ) = 3 C F (x ) = 2x + + C D F (x ) = Nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = A F (x ) = - ln - 2x + ln x C F (x ) = ln - 2x + ln x - Câu +C x +C x B F (x ) = - ln - 2x + ln x + +C x D F (x ) = - ln - 2x - ln x + +C x B 3x - 6x + C C x - 6x + C B - 20x + 8x + C D - x + - 20x + 8x C x +C Một nguyên hàm hàm số f (x ) = (x - 3) A Câu x4 - x + 5x + C D x - x + 5x + C Một nguyên hàm hàm số g(x ) = - 5x + 4x - là: A - x + Câu - 2x + hàm số nào? x x + Một nguyên hàm hàm số f (x ) = x - 3x + A 3x - 6x Câu x3 2 - x + 2x + C 3 (x - 3) B (x - 3) C (x - 3) D (x - 3) Một nguyên hàm hàm số f (x ) = x - 3x + A 3x - 6x x4 - x + 5x + C D x - x + 5x + C C B 3x - 6x + C Câu 10 Một nguyên hàm hàm số g(x ) = - 5x + 4x - là: A - x + x - 6x + C B - 20x + 8x + C D - x + - 20x + 8x C x +C Câu 11 Một nguyên hàm hàm số f (x ) = (x - 3) là: A Câu 12 Tính (x - 3) B (x - 3) C (x - 3) D (x - 3) æ ỗỗ3x + - 2ữ ữ dx ữ ũ ỗố ÷ x ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 9| TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN x3 + ln x - 2x + C B x - - 2x + C C x + ln x + C A x D x + ln x - 2x + C Câu 13 Cho f (x ) = - x + 3x - 2x Một nguyên hàm F (x ) f (x ) thỏa F (1) = là: x4 x4 1 + x - x + + x3 - x2 A B 4 4 x4 + x3 - x2 - C x4 + x3 - x2 + D Câu 14 Gọi F (x ) tập hợp tất nguyên hàm hàm số f (x ) = 3x - 2x + F (x ) là: A F (x ) = 3x - 2x + x + C B F (x ) = x - x + + C C F (x ) = x (x - x + 1) + C D F (x ) = Câu 15 Kết A F (x ) = Câu 16 (x ò x (x 2 ) + dx bằng: ) +1 +C 3 ö x2 ổ ỗỗx + x ữ ữ C F (x ) = +C ữ ữ ỗỗố ứ B F (x ) = Một nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = là: x A F (x ) = - x2 x - x + x+C B F (x ) = D F (x ) = x2 (x ) +1 x2 x +1 +C ( C F (x ) = ln x Câu 17 Tìm họ nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = sin x + +C ) D F (x ) = - x , ta kết là: x A F (x ) = cos x + ln x + C B F (x ) = - cos x + ln x + C C F (x ) = cos x - ln x + C D F (x ) = - cos x - ln x + C Câu 18 Tìm họ nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = 3x – 3x , ta kết là: 3x +C ln A F (x ) = x C F (x ) = Câu 19 Tính x3 3x +C ln B F (x ) = x + D F (x ) = 3x +C ln x3 3x + +C ln ò (1 - x ) dx , ta kết là: A F (x ) = 10 1- x) + C ( 10 B F (x ) = - 10 1- x) + C ( 10 C F (x ) = 10 1+ x) + C ( 10 D F (x ) = - 10 1+ x) + C ( 10 10 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 B Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ò ln x ln x dx = +C x ò ln x + ln x dx = x ò ln x ln x xdx = +C x C D (3 + ln x ) 10 - (3 + ln x ) +C Câu 181 Nguyên hàm hàm số y = f (x ) = e 2x + 23x + x A F (x ) = e 2x 23x x2 + + +C ln 2 B F (x ) = e 2x 23x x2 + + +C ln 23x x2 + +C ln D F (x ) = e 2x 23x + + 1+ C ln C F (x ) = e 2x + Câu 182 Hàm số F (x ) = ln sin x - cos x nguyên hàm hàm số hàm số sau đây: A f (x ) = cos x + sin x sin x - cos x B f (x ) = cos x + sin x C f (x ) = - cos x - sin x sin x - cos x D f (x ) = Câu 183 Tính ( ò2 A 2 x x ln sin x - cos x cos x + sin x dx , kết sai là: x ) +1 +C ( B 2 x ) - +C C 21+ x D +C x +C Câu 184 Kết sai kết sau: dx = ln ln (ln x ) + C x ln x ln (ln x ) A ò C ò + cos x ( dx = ) x t an + C 2 dx B òx D ò 3- x2 + = ln x2 + - +C x2 + + xdx - = ln - 2x + C 2x Câu 185 Tìm nguyên hàm hàm số f (x ) = e cos x sin x cos x e cos x + C A ò f (x )dx = C ò f (x )dx = - cos x e +C Câu 186 Tìm nguyên hàm hàm số f (x ) = A C 54 | THBTN B ò f (x )dx = 3e cos x + C D ò f (x )dx = 3e cos x cos x + C ln x +C ln x 2x ò f (x )dx = ln x +C B ò ò f (x )dx = ln x +C 4x D ò f (x )dx = f (x )dx = +C 2x TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 187 Nguyên hàm hàm số: I = òx x - 1dx là: é2 ù A F(x) = ê (x - 1) + (x - 1) + (x - 1) + (x - 1)ú x - + C ê9 ú ë û é2 ù 6 B F(x) = ê (x - 1) + (x - 1) + (x - 1) + (x - 1)ú x - + C ê9 ú ë û é2 ù 6 C F(x) = ê (x - 1) + (x - 1) + (x - 1) + (x - 1)ú x - + C ê9 ú 7 ë û é2 ù 6 D F(x) = ê (x - 1) + (x - 1) + (x - 1) + (x - 1)ú x - + C ê9 ú ë û Câu 188 Nguyên hàm hàm số: I = A F(x) = C F(x) = ò dx ( 2x - + 4) + C 2x - + ln ( 2x + + 4) + C 2x - - ln Câu 189 Nguyên hàm hàm số: y = × là: 2x - + ( 2x + + 4) + C ln ( 2x - + 4) + C B F(x) = 2x + - ln D F(x) = 2x - - cos5 x ò - sin x dx là: A cos x - sin x cos x +C B sin x - sin 3x cos 4x +C C sin x - sin x cos x +C D sin x - sin x cos x +C Câu 190 Nguyên hàm hàm số: y = (x + x )e x ò x + e - x dx là: A F(x) = xe x + - ln xe x + + C B F(x) = e x + - ln xe x + + C C F(x) = xe x + - ln xe - x + + C D F(x) = xe x + + ln xe x + + C Câu 191 Nguyên hàm hàm số: y = A x- a ln +C 2a x + a B a- x ln +C 2a a + x B dx là: - a2 òa òx C x- a ln +C a x+a D x+a +C ln a x- a C x- a ln +C a x+a D x+a +C ln a x- a dx là: - x2 a+ x +C ln 2a a - x Câu 193 Nguyên hàm hàm số: y = A x+a +C ln 2a x- a Câu 192 Nguyên hàm hàm số: y = A òx 4x + dx là: 3ù éê2 (4x + 7)2 - ×2 (4x + 7)2 ú+ C ú 20 êë5 û B 3ù éê2 (4x + 7)2 - ×2 (4x + 7)2 ú+ C ú 18 êë5 û http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 55 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 C Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 3ù éê2 (4x + 7)2 - ×2 (4x + 7)2 ú+ C ú 14 êë5 û D 3ù éê2 (4x + 7)2 - ×2 (4x + 7)2 ú+ C ú 16 êë5 û Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ⓣⓗⓑⓣⓝ A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Định lý: Nếu hai hàm số u = u (x ) và v = v(x ) có đạo hàm và liên tục K thì I = ũ u(x ) ìv Â(x ) ìdx = u(x ) ìv(x ) - ũ u Â(x ) ìv(x ) ×dx hay I = ò udv = uv - ò vdu × Vận dụng giải toán: — Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác ò e sin x dx , x V i phõn ỡù u = ììììììììììì ắ ắ ắ ắđ du = ììììììììììdx ù ì Suy ra: I = — Đặt: í Ngun ha#m ïï dv = ××××××dx ắ ắ ắ ắ ắđ v = ììììììììììì ùợ ũ udv = uv - ò vdu — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại Nghĩa có ln x dv = lại Nếu khơng ln a có ln; log chọn u = đa thức dv = lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn ln hay loga x chọn u = ln hay u = loga x = u = lượng giác,… — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 17 Tính các nguyên hàm sau: a) I = ò x ×sin x ×dx × ĐS: I = sin x - cos x + C b) I = ò (1 - 2x ) ×e x ×dx × ĐS: I = (3 - 2x ) ×e x + C 56 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 c) I = òe x ×cos x ×dx × Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ex (sin x + cos x ) + C ĐS: I = d) I = ò (2x - 1) ×ln x ×dx × ĐS: I = (x - x ) ln x - x2 + x + C e) I = 3x ò x ×e ×dx × ĐS: I = xe 3x e 3x + C f) I = ò x ×ln 2x ×dx × ĐS: I = x ln 2x x + C g) I = ò ln x ×dx × ĐS: I = x ln x - x + C h) I = ò (x + 1) ×sin 2x ×dx × ĐS: I = - x+1 cos 2x + sin 2x + C i) I = ò x ×e - x ×dx × ĐS: I = - (1 + x ) ×e - x + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 57 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN j) I = x ò e ×sin x ×dx × ĐS: I = e x ×(sin x - cos x ) + C k) I = ò x ×cos x ×dx × ĐS: I = x sin x + cos x + C l) I = x ò x ×sin ×dx × ĐS: I = - 2x cos x x + sin + C 2 m) I = ò x ×e x ×dx × ĐS: I = xe x - e x + C n) I = ò x ×ln(1 - x ) ×dx × x2 ln(1 - x ) (1 + x )2 ln(1 - x ) + C ĐS: I = 2 o) I = ò x ×sin x ×dx × ĐS: I = x x sin 2x cos 2x + C 4 p) I = ò ln(x + + x ) ×dx × ĐS: I = x ln(x + 1+ x2) - 1+ x2 + C 58 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN q) I = ò x ×ln 1+ x ×dx × 1- x ĐS: I = x + x2 - 1+ x ln + C 1- x r) I = ò ln x ×dx × x3 ĐS: I = - ln x + C 2x 4x s) I = ò x ×sin x ×cos x ×dx × 1 x cos 2x + sin 2x + C ĐS: I = - t) I = òe - 2x ×cos 3x ×dx × ĐS: I = - 2x e (3 sin 3x - cos 3x ) + C 13 u) I = x ×dx ò + cos 2x × ĐS: I = 1 x t an x + ln cos x + C 2 v) I = ò x ×(2 cos x - 1) ×dx × ĐS: I = x ×sin 2x + cos 2x + C w) I = ò x ×ln x ×dx × ĐS: I = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 x ln x x + C 16 59 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x) I = x ò sin x ×dx × ĐS: I = - x cot x + ln sin x + C y) I = ò (x - 2) ×e 2x ×dx × ĐS: I = 1 (x - 2)e 2x - e 2x + C z) I = ò x ×ln(x + 1) ×dx × ĐS: I = (x + 1) ln(x + 1) - x - + C BT 18 Tính các nguyên hàm sau: a) I = x2 - ò x ×ln x ×dx × ỉ 1ư ữ S: I = ỗỗỗx + ữ ìln x - x + + C ÷ ÷ xø x è b) I = ò cos x ×dx × ĐS: I = x sin x - cos x + C c) I = ò sin x ×dx × ĐS: I = - x cos x + sin x + C 60 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 d) I = ò (8x Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN 2 - 2x ) ×e x ×dx × ĐS: I = (4x - 1) ×e x - 4e x + C e) I = òx e x ×dx × ĐS: I = x2 x2 x e - e + C 2 f) I = x ò x ×e ×dx × ĐS: I = x3 x3 x e - e + C 3 g) I = òe sin x ×sin 2x ×dx × ĐS: I = sin x e sin x - 2e sin x + C h) I = ò x ×e x ×dx × ĐS: I = 2xe x - xe x + 4e x + C i) I = ò x ×ln(x + 1) ×dx × ĐS: I = (x + 1) ln(x + 1) - x - x + C j) I = ò + ln(x + 1) ×dx × x2 ĐS: I = - 1 x - ln x + + ln + C x x x+1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 61 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN k) I = òe x ×ln(e x + 1) ×dx × ĐS: I = (e x + 1) ln(e x + 1) - e x + C l) I = ò ln(4x + 8x + 3) ×dx × (x + 1)3 ĐS: 4x + 8x + ln 4x + 8x + - ln x + + C 2(x + 1) m) I = ổ ũ ỗỗỗỗố1 + ữ ữ ữìln(x + ứ xữ x - 1) ìdx ì S: I = (x + x - 1) ln x + x - 1- x- x + C C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 194 Một nguyên hàm hàm số f (x ) = xe x là: B e x (x - 1) + C A e x + C C e x (x + 1) + C D x2 x e +C Câu 195 Một nguyên hàm hàm số f (x ) = (x + 2x ).e x là: B x 2e x A (2x + 2).e x C (x + x ).e x D (x - 2x ).e x Câu 196 Cho hàm số f (x ) = x e - x Một nguyên hàm F (x ) f (x ) thỏa F (0) = là: A - (x + 1)e - x + B - (x + 1)e - x + C (x + 1)e - x + D (x + 1)e - x + Câu 197 Cho f (x ) = x sin x Nguyên hàm f (x ) là: A - x cos x + C B x sin x + cos x + C C sin x + x cos x + C D - x cos x + sin x + C Câu 198 Nguyên hàm hàm số f (x ) = xe x hàm số: A F (x ) = 2e x B F (x ) = x2 e C F (x ) = 2x 2e x 2 D F (x ) = e x + xe x x Câu 199 Cho f (x ) = ò ln tdt Đạo hàm f '(x ) hàm số đây? A 62 | THBTN x B ln x C ln x D ln x TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 200 Một nguyên hàm f (x ) = x 3e x là: A (x - 3x + 6x - 6)e x B (x - 6x + 6)e x C (x + 3x - 6)e x D 3x 2e x Câu 201 Một nguyên hàm hàm số f (x ) = x e x : A F (x ) = 2e x B F (x ) = 2x 2e x C F (x ) = x2 e 2 D F (x ) = xe x + e x Câu 202 Hàm số f (x ) = (x + 1) sin x có nguyên hàm là: A F (x ) = (x + 1) cos x + s in x + C B F (x ) = - (x + 1) cos x + s in x + C C F (x ) = - (x + 1) cos x - s in x + C D F (x ) = (x + 1) cos x - s in x + C Câu 203 Hàm số f (x ) = ln x có nguyên hàm là: +C x A F (x ) = x (ln x - 1) + C B F (x ) = ln x +C C F (x ) = D F (x ) = x (ln x + 1) + C æ ö ÷ Câu 204 Hàm số f (x ) = cos x ỗỗ cú cỏc nguyờn hm l: + xữ ữ ữ ỗốcos x ứ ổ x 2ử ữ ữ A F (x ) = sin x ỗỗ + +C ữ ỗốsin x x ứ ữ B F (x ) = x (1 + sin x ) - cos x + C C F (x ) = x (1 + sin x ) + cos x + C D F (x ) = x (1 - sin x ) + cos x + C Câu 205 Gọi hàm số F (x ) nguyên hàm f (x ) = x cos 3x , biết F (0) = Vậy F (x ) là: A F (x ) = 1 x sin 3x + cos 3x + C B F (x ) = 1 x sin 3x + cos 3x + C F (x ) = x sin 3x D F (x ) = 1 x sin 3x + cos 3x + 9 ò xe dx , ta kết là: A F (x ) = e – xe + C C F (x ) = - e – xe + C B F (x ) = e x + xe x + C ò x cos xdx , ta kết là: A F (x ) = x sin x + cos x + C C F (x ) = - x sin x + cos x + C B F (x ) = x sin x - cos x + C Câu 206 Tính x x x x x D F (x ) = - e x + xe x + C Câu 207 Tính Câu 208 Tìm A ò x cos 2xdx D F (x ) = - x sin x - cos x + C là: 1 x sin 2x + cos 2x + C B 1 x sin 2x + cos 2x + C 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 63 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x sin 2x +C C D sin 2x + C ( ) Câu 209 Một nguyên hàm hàm số f (x ) = x + 2x e x A F (x ) = (2x + 2).e x B F (x ) = x 2e x C F (x ) = (x + x ).e x D F (x ) = (x - 2x ).e x Câu 210 Một nguyên hàm f (x ) = x 2e x x3 x e A F (x ) = (x - 2x + 2)e x B F (x ) = C F (x ) = (x - 2x - 2)e x D F (x ) = 2xe x Câu 211 Nguyên hàm F (x ) f (x ) = xe - x thỏa F (0) = A F (x ) = - (x + 1)e - x + B F (x ) = - (x + 1)e - x + C F (x ) = (x + 1)e - x + D F (x ) = (x + 1)e - x + Câu 212 Kết sai kết sau ? - x cos x +C A ò x sin xdx = C ò x cos xdx = x sin x + cos x + C B ò x sin xdx = - x cos x + sin x + C D ò x sin 2xdx = B ò xe dx = xe D òe B ò ln xdx = D ò x ln xdx = - x cos 2x + sin 2x + C Câu 213 Kết sai kết sau ? A 3x ò xe dx = C x ò xe dx = xe 3x 3x - e +C x2 x e + C x x dx = x x - ex + C -x - x +C x e e Câu 214 Kết sai kết sau ? A ò ln xdx = x ln x - C ò x ln xdx = x+C x2 x2 ln x +C +C x x3 x3 ln x +C Câu 215 Kết sai kết sau ? A ò ln C ò xdx = x ln x - (x ln x - x ) + C ln x - ln x dx = +C x x x ln x +C B ò ln xdx = ln x - ln x dx = +C x 2x 4x D ò B ò xe Câu 216 Kết sai kết sau ? A 64 | THBTN x òe 2x dx = -x +C 2x 2e 4e 2x - x dx = - xe - x - e - x + C TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN xe 3x 3x - e +C C ò xe dx = x 2x e + C D ò xe dx = 3x 2x Câu 217 Kết sai kết sau ? A ò x ln xdx = x3 +C x B ò x ln xdx = x3 x3 ln x +C C ò ln (x + D òe x ) ( + x dx = x ln x + sin xdx = e x (sin x - cos x ) ) 1+ x2 - 1+ x2 + C +C Câu 218 Tìm nguyên hàm hàm số f (x ) = x sin (2x + 1) A ò f (x )dx = - x cos (2x + 1) + sin (2x + 1) + C B ò x2 cos (2x + 1) + C C ò f (x )dx = D ò f (x )dx = - f (x )dx = - x cos (2x + 1) - sin (2x + 1) + C x cos (2x + 1) + sin (2x + 1) + C 2 Câu 219 Tìm nguyên hàm hàm số f (x ) = x ln (1 + x ) ò x2 f (x )dx = +C 2(x + 1) B ò x2 f (x )dx = ln (1 + x ) - x ln(1 + x ) + C C ò f (x )dx = (x D ò A f (x )dx = ) - ln (1 + x ) - x x + +C x2 x ln (1 + x ) - x + ln(x + 1) + C 2 Câu 220 Nguyên hàm hàm số: I = ò cos 2x ln(sin x + cos x )dx A F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) - sin 2x + C ( B F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) - sin 2x + C ( C F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) - sin 2x + C ( 4 D F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) + sin 2x + C ( 4 là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 65 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 221 Nguyên hàm hàm số: I = A F(x) = - (x - 2)cos 3x + ò (x - 2)sin 3xdx sin 3x + C là: B F(x) = (x - 2)cos 3x + sin 3x + C (x - 2)cos 3x 1 + sin 3x + C sin 3x + C D F(x) = 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM – DẠNG TOÁN KHÁC ( ĐỌC THÊM ) C F(x) = - (x + 2)cos 3x + Câu 222 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hàm số F (x ) = x + 6x + x + 10 G (x ) = nguyên hàm hàm 2x - 2x - số B Hàm số F (x ) = + sin x G (x ) = - cos 2x nguyên hàm hàm số C Hàm số F (x ) = x - 2x + nguyên hàm hàm số f (x ) = x- x - 2x + D Hàm số F (x ) = sin x nguyên hàm hàm số f (x ) = cos x Câu 223 Các mệnh đề sau, mệnh đề SAI? ò kf (x )dx = k ò f (x )dx (k Ỵ R ) B ò f (x ).g (x )dx = ò f (x )dx ò g (x )dx dx = ò f (x )dx + ò g (x )dx C ò éêf (x ) + g (x )ù ú ë û f (x ) D ò f (x ) f ¢(x )dx = +C m+1 A m+1 m Câu 224 Để F (x ) = (a sin x + b cos x )e x nguyên hàm f (x ) = cos x e x giá trị a , b : A a = 1, b = B a = 0, b = C a = b = D a = b = Câu 225 Cho hàm số f (x ) xác định K Hàm số F (x ) gọi nguyên hàm hàm số f (x ) K nếu: A F ’(x ) = f (x ), " x Ỵ K B F ’(x ) ¹ f (x ), " x Î K C f (x ) = F (x ), " x ẻ K D f (x ) F (x ), " x Ỵ K Câu 226 Các tính chất ngun hàm sau tính chất sai? ò f '(x )dx = f (x ) + C C ò éëêf (x ) ± g(x )ù údx = ò f (x )dx ± ò g(x )dx û A ò Kf (x )dx = K ò f (x )dx (K D ò F (x )dx = f (x ) + C B ¹ 0) Câu 227 Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai 66 | THBTN TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN f (x ) +C A ò f '(x ) f (x )dx = C ò éêëf (x ) + g(x )ù ú ûdx = ò f (x )dx + ò g(x )dx B ò éêëf (x ).g(x )ùúûdx = ò f (x )dx ò g(x )dx D ò kf (x )dx = k ò f (x )dx ( k số) Câu 228 Nếu f (x ) = (ax + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số g(x ) = 10x - 7x + 2x - æ1 khong ỗỗ ; + Ơ ỗố2 ữ ữ thỡ a + b + c có giá trị ÷ ÷ ø A B C D Câu 229 Xác định a , b , c cho g(x ) = (ax + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số f (x ) = 20x - 30x + 2x - ổ3 khong ỗỗ ; + Ơ çè2 ÷ ÷ ÷ ÷ ø A a = 4, b = 2, c = B a = 1, b = - 2, c = C a = - 2, b = 1, c = D a = 4, b = - 2, c = Câu 230 Tìm nguyên hàm f (x ) = e x F (x ) = e x (a t an x + b t an x + c) ỉ p pư ÷ t an x khon ỗỗỗ- ; ữ ữ ố 2ữ ứ A F (x ) = e x ổ1 ỗỗ çç t an x çè2 æ1 ç B F (x ) = e x ỗỗ t an x ççè2 2÷ ÷ t an x + ÷ ữ 2 ứ ữ ổ1 1ữ ỗ C F (x ) = e x ỗỗ t an x + t an x + ÷ ÷ ççè2 2÷ ÷ ø Câu 231 Nếu nguyên hàm ( ) F (x ) = ax + bx + c e - x ( D F (x ) = e x æ1 çç çç t an x çè nguyên hàm ö 1÷ t an x + ÷ ÷ ÷ 2ø ÷ t an x hàm 2ư ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø số ) f (x ) = - 2x + 7x - e - x (a ;b; c ) bao nhiêu? A (2; - 3;1) Câu 232 Cho A B (1; 3;2) ò f (x )dx = F (x ) + C Khi đó, với a ¹ F (ax + b) + C 2a C F (ax + b) + C C (1; - 1;1) D (- 2;7; - 4) , ta có ò f (ax + b)dx B F (ax + b) + C a D a F (ax + b) + C ìï cos x e sin x ; " x < ïï Câu 233 Cho f (x ) = ïí Nhận xét sau ? ïï ;"x ³ ïïỵ + x ìï e sin x ; " x < ï A F (x ) = ïí nguyên hàm f (x ) ïï + x - 1; " x ³ ïỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65 67 | TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Chun đề: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN ìï e cos x ; " x < ï B F (x ) = ïí nguyên hàm f (x ) ïï + x - 1; " x ³ ïỵ ìï e sin x ; " x < ï C F (x ) = ïí nguyên hàm f (x ) ïï + x ; " x ³ ïỵ ìï e cos x ; " x < ï D F (x ) = ïí nguyên hàm f (x ) ïï + x ; " x ³ ïỵ Câu 234 Kết Một nguyên hàm ò (x - 2)sin 3xdx = - (x - a )cos 3x b + sin 3x + 2017 tổng c S = a.b + c A S = 15 B S = 14 Câu 235 Cho hàm số f (x ) = 20x - 30x + 2x - C S = ( D S = 10 ; F (x ) = ax + bx + c ) 2x - với x > Để hàm số F (x ) nguyên àm hàm số f (x )thì giá trị a, b, c A a = 4;b = 2; c = - B a = 4;b = 2; c = C a = 4;b = - 2; c = - D a = 4;b = - 2; c = 68 | THBTN TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM ... sin cosin ¾ ¾ B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm a) f (a ) = 3a... BT Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trường hợp sau: Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f (x ), tức tính ò f (x ) ×dx = F (x ) + C Rồi sau F (x ) + C = ××× để tìm số C... x +C Một nguyên hàm hàm số f (x ) = (x - 3) A Câu x4 - x + 5x + C D x - x + 5x + C Một nguyên hàm hàm số g(x ) = - 5x + 4x - là: A - x + Câu - 2x + hàm số nào? x x + Một nguyên hàm hàm số f (x