Công thức môn toán 12 chương i hàm số và các bài toán liên quan file word image marked

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f ( x) đồng biến K f '( x)  với x K b) Nếu hàm số f ( x) nghịch biến K f '( x)  với x K • [ f ( x) đồng biến K ]  [ f '( x)  với x K ] • [ f ( x) nghịch biến K ]  [ f '( x)  với x K ] [ f ' ( x ) = với x K ]  [ f ( x) không đổi K ] Định lý 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K a) Nếu f ' ( x )  với x K hàm số f ( x) đồng biến K b) Nếu f ' ( x )  với x K hàm số f ( x) nghịch biến K c) Nếu f ' ( x ) = với x K hàm số f ( x) khơng đổi K • [ f ' ( x )  với x K ]  [ f ( x) đồng biến K ] • [ f ' ( x )  với x K ]  [ f ( x) nghịch biến K ] Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a) Nếu f '( x)  với x K f ' ( x ) = số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f ( x) đồng biến K b) Nếu f '( x)  với x K f ' ( x ) = số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f ( x) nghịch biến K Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) , ta có f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c a) Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) đồng biến R  f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c  x  R b) Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) nghịch biến R  f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c  x  R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a 0) ta cú: f ( x) " x ẻ R f ( x) £ " x Ỵ R Û ìïï D £ í ïïỵ a > ïìï D £ í ïïỵ a < VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f ( x ) , ta thực bước sau: – Tìm tập xác đònh hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghòch biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) Cho hàm số y = f ( x, m) , m tham số, có tập xác đònh D • Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D • Hàm số f nghòch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y = ax2 + bx + c thì:  a = b =  c  • y '  0, x  R     a     •  a = b =  c  y '  0, x  R     a     3) Đònh lí dấu tam thức bậc hai g( x) = ax2 + bx + c : • Nếu   g ( x ) dấu với a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word • Nếu  = g ( x ) dấu với a (trừ x = − b ) 2a • Nếu   g ( x ) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g ( x ) khác dấu với a , khoảng hai nghiệm g ( x ) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x) = ax2 + bx + c với số 0:    • x1  x2    P  S      x1  x2   P  S  • • x1   x2  P  5) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) ( x1; x2 ) d ta thực bước sau: • Tính y • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghòch biến: a     • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − 4x1x2 = d2 (1) ( 2) • Sử dụng đònh lí Viet đưa ( 2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: • Chuyển bất đẳng thức dạng f ( x)  (hoaëc , ,  ) Xét hàm số y = f ( x) tập xác đònh đề đònh • Xét dấu f ' ( x ) Suy hàm số đồng biến hay nghòch biến • Dựa vào đònh nghóa đồng biến, nghòch biến để kết luận Chú ý: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f ' ( x ) ta đặt h ( x ) = f ' ( x ) quay lại tiếp tục xét dấu h ' ( x ) … xét dấu 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f ( a)  f ( b) Xét tính đơn điệu hàm số f ( x) khoảng ( a; b) VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f ( x ) = g ( x ) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: • Chọn nghiệm x0 phương trình • Xét hàm số y = f ( x) ( C1 ) vaø y = g(x) ( C2 ) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghòch biến Khi ( C1 ) ( C2 ) giao điểm có hoành độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f ' ( x0 ) = Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục khoảng ( a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a; x0 ) ( x0 ; b) Khi a) Nếu f '( x)  với x  ( a; x0 ) f '( x)  với x  ( x0 ; b) hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x)  với x  ( a; x0 ) f '( x)  với x  ( x0 ; b) hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng ( a; b) chứa điểm x0 , f ( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f  ( x0 )  hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f  ( x0 )  hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 Định lý 4: a) Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) có hai điểm cực trị  f ' ( x ) = 3ax2 + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y = f ( x ) = ax4 + bx2 + c ( a  0) có ba điểm cực trị http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  f ' ( x ) = 4ax3 + 2bx = có ba nghiệm phân biệt VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí • Tìm f  ( x ) • Tìm điểm xi ( i = 1,2 ,) mà đạo hàm đạo hàm • Xét dấu f  ( x ) Nếu f  ( x ) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trò xi Qui tắc 2: Dùng đònh lí • Tính f  ( x ) • Giải phương trình f  ( x ) = tìm nghiệm xi ( i = 1, 2, ) • Tính f  ( x ) f  ( xi ) ( i = 1, 2, ) Nếu f  ( xi )  hàm số đạt cực đại xi Nếu f  ( xi )  hàm số đạt cực tiểu xi VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực trò điểm x0 f  ( x0 ) = x0 đạo hàm Để hàm số y = f ( x) đạt cực trò điểm x0 f  ( x ) đổi dấu x qua x0 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trò  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y ( x0 ) hai cách: + y ( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d + y ( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y ax2 + bx + c P( x) = • Hàm số y = a' x + b' Q( x) nghiệm phân biệt khác − ( aa '  0) có cực trò  Phương trình y = có hai b' a' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y ( x0 ) hai cách: y ( x0 ) = P ( x0 ) hoaëc y ( x0 ) = Q ( x0 ) P ' x0 Q ' x0 • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, đònh lí Vi–et VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d • Chia f ( x ) cho f  ( x ) ta được: f ( x ) = Q ( x ) f  ( x ) + Ax + B  y = fx1 = Ax1 + B • Khi đó, giả sử ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) điểm cực trò thì:   y2 = fx1 = Ax2 + B  Các điểm ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) nằm đường thẳng y = Ax + B 2) Hàm số phân thức y = f ( x) = P( x) ax2 + bx + c = Q( x) dx + e • Giả sử ( x0 ; y0 ) điểm cực trò y0 = P ' ( x0 ) Q ' ( x0 ) • Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò là: y = P ' ( x) Q ' ( x) = 2ax + b d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng • Tính f  ( x ) • Xét dấu f  ( x ) lập bảng biến thiên • Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn  a; b • Tính f  ( x ) • Giải phương trình f  ( x ) = tìm nghiệm x1, x2 ,, xn  a; b (nếu có) • Tính f ( a) , f ( b) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) • So sánh giá trò vừa tính kết luận M = max f ( x) = max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a; b] m = f ( x) = min f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a; b] VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN hàm số • Chứng minh bất đẳng thức • Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Một số kiến thức thường dùng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  b  a) f ( x) = ax + bx + c = a  x +  − 2a  4a  b) Bất đẳng thức Cô-si: a+ b  ab  a + b  ab Với hai số a, b không âm ( a, b  0) ta ln có: Dấu "=" xảy a = b Với ba số a, b, c không âm ( a, b, c  0) ta có: a+ b+ c  abc  a + b + c  33 abc Dấu "=" xảy a = b = c c) Một số bất đẳng thức thường dùng a2 + b2 1) a + b  2ab  ab  2 2) (a + b)2  4ab  ab  (a + b)2 3) (a + b)2  2(a2 + b2 )  a2 + b2  (a + b)2 VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trò Xét toán tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) miền D cho trước Gọi y0 giá trò tuỳ ý f ( x ) D , hệ phương trình (ẩn x) sau có nghieäm:  f ( x) = y0  x  D (1) (2) Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m  y0  M (3) Vì y0 giá trò f ( x ) nên từ (3) ta suy được: f ( x) = m; max f ( x) = M D D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử f ( x ) hàm số liên tục miền D có f ( x) = m; max f ( x) = M D D Khi đó:  f ( x) =  1) Hệ phương trình  có nghiệm  m    M x  D  f ( x)   2) Hệ bất phương trình  có nghiệm  M   x  D  f ( x)   3) Hệ bất phương trình  có nghiệm  m   x  D 4) Bất phương trình f ( x )   với x  m   5) Bất phương trình f ( x )   với x  M   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 ĐƯỜNG TIỆM CẬN Đònh nghóa: • Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thò hàm số y = f ( x) điều kiện sau thoả maõn: lim f ( x) = − ; lim f ( x) = + ; x→ x0+ x→ x0+ lim f ( x) = + ; x→ x0− lim f ( x) = − x→ x0− • Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thò hàm số y = f ( x) điều kiện sau thoả maõn: lim f ( x) = y0 ; x→+ lim f ( x) = y0 x→− • Đường thẳng y = ax + b, a  ñược gọi đường tiệm cận xiên đồ thò hàm số y = f ( x) điều kiện sau thoả mãn: lim  f ( x) − (ax + b) = ; x→+ lim  f ( x) − (ax + b) = x→− Chú ý: a) Nếu y = f ( x) = P( x) hàm số phân thức hữu tỷ Q( x) • Nếu Q ( x ) = có nghiệm x0 đồ thò có tiệm cận đứng x = x0 ( ) ( ) • Nếu bậc ( P ( x ) ) = bậc ( Q ( x ) ) + đồ thò có tiệm cận xiên • Nếu bậc P ( x )  bậc Q ( x ) đồ thò có tiệm cận ngang b) Để xác đònh hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: a = lim f ( x) ; x b = lim  f ( x) − ax hoaëc a = lim f ( x) ; x b = lim  f ( x) − ax x→+ x→− x→+ x→− http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 12 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số • Tìm tập xác đònh hàm số • Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm điểm đạo hàm y không xác đònh + Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò hàm số • Vẽ đồ thò hàm số: + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thò + Xác đònh số điểm đặc biệt đồ thò giao điểm đồ thò với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thò để vẽ xác + Nhận xét đồ thò: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thò http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 13 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán tổng quát (C ) : y = f ( x) Trong mp ( Oxy ) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số:  (C2 ) : y = g( x) (C1 ) ( C2 ) cắt (C1 ) ( C2 ) tiếp xúc (C1 ) ( C2 ) khơng có điểm chung Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f ( x) = g ( x) (1) * Tùy theo số nghiệm phương trình (1) mà ta kết luận số điểm chung hai đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Lưu ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) số giao điểm hai đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Chú ý : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 14 * (1) vô nghiệm  (C1 ) ( C2 ) khơng có điểm điểm chung * (1) có n nghiệm  (C1 ) ( C2 ) có n điểm chung Chú ý : * Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ điểm chung ( C1 ) ( C2 ) Khi tung độ điểm chung y0 = f ( x0 ) y0 = g ( x0 ) TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) : y = f(x) điểm M 0(x0;y0)  (C) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 15 Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với ( C ) M ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = k ( x − x0 ) hay Trong đó: y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) x0 : hoành độ tiếp điểm y0 : tung độ tiếp điểm y0 = f ( x0 ) k: hệ số góc tiếp tuyến tính cơng thức: k = f ' ( x0 ) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Gọi M ( x0; y0 )  (C) tiếp điểm tiếp tuyến với ( C ) Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f  ( x0 ) = k , từ suy y0 = f ( x0 ) = ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16 Bước 3: Thay yếu tố tìm vào phương trình: y − y0 = k ( x − x0 ) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng: y = ax + b hệ số góc (  ) là: k = a Định lý 2: Trong mp ( Oxy ) cho hai đường thẳng (1) và(2 ) Khi đó: 1 //   k 1 = k 2 1 ⊥   k 1 k 2 = −1 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) : y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A ( xA ; yA ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 17 Phương pháp : Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) với ( C ) điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C) (d ) : y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) (* ) Bước 2: Định x0 để ( d ) qua điểm A ( xA; yA ) Ta có: ( d ) qua điểm A ( xA; yA )  yA = f '( x0 )( xA − x0 ) + f ( x0 ) (1) Bước 3: Giải phương trình (1) tìm x0 Thay x0 tìm vào ( * ) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 18 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp Xét phương trình f ( x ) = g ( x ) (1) Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ giao điểm ( C1 ) : y = f ( x ) y (C1 ) (C2 ) : y = f ( x ) (C ) x x0 Bài toán: Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng: f ( x ) = m (* ) Phương pháp: (C ) : y = f ( x) y m2 x O m1  (0; m) y=m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 19 Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: • (C) : y = f ( x) : (C) làđồthòcốđònh • ( ) : y = m : () làđườ ng thẳ ng di độ ng cù ng phương Ox vàcắ t Oy M(0;m) Bước 2: Vẽ ( C ) (  ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm (  ) ( C ) Từ suy số nghiệm phương trình ( * ) Minh họa: Dạng: f (x) = g(m) giải tương tự http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 20 TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định tập D Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp ( C ) tất điểm có toạ độ ( x; f ( x) ) với x  D gọi đồ thị hàm số y = f ( x) Từ định nghĩa ta có: (C) = M / M ( x; y) vớix  D vày = f(x)  M ( x0 ; y0 )  (C )  x0  D y = f ( x0 ) Phương pháp chung Đặt M (x0 , y0 )Ỵ (C ) với y0 = f (x0 ) điểm cần tìm; Từ điều kiện cho trước ta tìm phương trình chứa x0 ; Giải phương trình tìm x0 , suy y0 = f (x0 ) ® M (x0 ; y0 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 22 ... đề thi – t i liệu file word 12 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số • Tìm tập xác đònh hàm số • Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm i m... thi – t i liệu file word CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: ( i u kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị i m x0 Khi f có đạo hàm x0 f ' ( x0 ) = Định lý 2: ( i u kiện đủ thứ I. .. nghiệm xi ( i = 1, 2, ) • Tính f  ( x ) vaø f  ( xi ) ( i = 1, 2, ) Neáu f  ( xi )  hàm số đạt cực đ i xi Nếu f  ( xi )  hàm số đạt cực tiểu xi VẤN ĐỀ 2: Tìm i u kiện để hàm số