PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Câu 1: [2D3-2-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Giả sử F  x  nguyên hàm ln  x  3 cho F  2   F 1  Giá trị F  1  F   x2 f  x  10 ln  ln ln  ln A B C ln D Lời giải Chọn A Tính ln  x  3  x dx dx  u  ln  x  3 du    x3 Đặt   dx dv  v   x   x Ta có  ln  x  3 dx dx   ln  x  3   x x x  x  3 1 x   ln  x  3  ln  C  F  x, C  x x3 1 1    Lại có F  2   F 1    ln  C     ln  ln  C    2C  ln 3 3    1 10 Suy F  1  F    ln  ln  ln  ln  2C  ln  ln 3 Câu 2: [2D3-2-3](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Với số thực dương x , kí hiệu f  x   x  ln tdt Tính đạo hàm hàm số y  f  x ln x x ln x f  x  2x A f   x   B f   x   ln x x Lời giải Chọn A C f   x   ln x D Gọi F  t  nguyên hàm ln t Khi f  x    ln tdt  F  x   F 1 x Như f   x    x  F   x    F 1  ln2 x ln x 0  x x * Tính trục tiếp : u  ln t Đặt  du  dt v  t t  dv  dt x f  x   ln tdt  t ln t x x 1 Câu 3:   dt  x ln x  x   f   x   ln x x [2D3-2-3] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Biết 3  ln x   x  1 dx  a c a c  ln với a , b , c , d số nguyên dương ; b d b b d phân số tối giản Giá trị biểu thức M  ac  bd : A 17 B 20 C 145 D 11 Lời giải Chọn A Tính I    ln x  x  1 dx  u   ln x du  dx    x  Đặt  dv  d x v     x  1   x 1 3    ln x  1  1 Khi : I   dx   ln     dx x  1 x  x  1 4 x x    3 x 3 1  27   ln  ln   ln  ln    ln  4ln    ln 4 x 1 4 4  4 16 Do : a  , b  , c  27 , d  16 Vậy M  ac  bd  3.27  4.16  17 Câu [2D3-2-3] 4:  x 1  x  2017 2a  b bằng: dx  [NGUYỄN 1  x  a a KHUYẾN 1  x   b – 2017] Giả sử  C với a , b số nguyên dương Tính B 2018 A 2017 TPHCM b D 2020 C 2019 Lời giải Chọn D Ta có:  x 1  x  2017 dx    x   11  x  2017  dx   1  x  2017  1  x  2018  1  x  dx   2018 Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 Câu 5: 2018 [2D3-2-3] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM – 2017] Giả sử 3 2x  e (2x  5x  x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C Khi a  b  c  d 2x A 2 B C D Lời giải Chọn B Ta có  e2 x (2 x3  5x  x  4)dx  (ax3  bx  cx  d )e2 x  C nên  (ax  bx  cx  d )e2 x  C   (3ax  2bx  c)e2 x  2e2 x (ax3  bx  cx  d   2ax3  (3a  2b) x  (2b  2c) x  c  2d  e2 x  (2 x3  x  x  4)e x  2a  a  3a  2b  b     Do  2b  2c  2 c  2 c  2d  d  Vậy a  b  c  d  Câu 6: [2D3-2-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần - 2017 - 2018) Cho a số thực 1  dương Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x  ln  ax    thỏa x  1 mãn F    F  2018  e2018 Mệnh đề sau ? a 1  x   2019 2019    B a   0;  2018    A a   ;1  2018  a   2018;   C a  1; 2018 D Lời giải Chọn A 1 e  I   e x  ln  ax    dx   e x ln  ax  dx   dx (1) x x  x  Tính  e x ln  ax  dx :   ex u  ln  ax  du  dx x x  e ln ax d x  e ln ax  Đặt   x        x dx x d v  e d x x    v  e  Thay vào (1), ta được: F  x   e x ln  ax   C  1 F  a       F  2018  e2018  Với a  1a e ln1  C   e2018 ln  a.2018   C  e2018  C    ln  a.2018   e 2018    Vậy a   ;1  2018  Câu 7: [2D3-2-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần - 2017 - 2018) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   2017 x x  1 2018 thỏa mãn F 1  Tìm giá trị nhỏ m F  x   22017 B m  2018 Lời giải A m    22017 C m  2018 D m  Chọn B Ta  f  x  dx   có 2017  x  1  2017 2017 x x  1 2018 dx  2017 C    x  1 2017  C  F  x 2018 2017 x  1 d  x  1   Mà F 1    Do F  x    1  C   C  2018 2017 2.2 2  x  1 2017  2018 suy F  x  đạt giá trị nhỏ  x  1 2017 lớn   x  1 nhỏ x0 1  22017 Vậy m    2018  2018 2 Câu 8: [2D3-2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) [2D3-2] Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x 2e x 1 A C  f  x  dx  e  x3 1 C f  x  dx  e x 1  C B  f  x  dx  3e D f  x  dx   x3 1 C x3 x3 1 e C Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t  x   dt  3x 2dx Do đó, ta có Vậy   f  x  dx   x e 1 dx   et dt  et  C  e x 1  C 3 x3 1 f  x  dx  e x 1  C Câu 9: [2D3-2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   tan x 1 x  tan x  ln cosx  C 1 B  f  x  dx  tan x  tan x  ln cosx  C 1 C  f  x  dx  tan x  tan x  ln cosx  C 1 D  f  x  dx  tan x  tan x  ln cosx  C A  f  x  dx  tan Hướng dẫn giải Chọn D sin x dx cos5 x  cos2 x  cos2 x sinx I   f  x  dx   tan xdx     sin x.sin sinx dx  cos x   Đặt t  cos x  dt   sin xdx I   cos x 1  t  1  t  t5 dx  dt     2t  t  dt  t5 1   1        dt    t 5  2t 3   dt  t 4  t 2  ln t  C t   t t t 1 1  cos x 4  cos x 2  ln cos x  C    ln cos x  C 4 cos x cos x 2   tan x  1   tan x  1  ln cos x  C   tan x  tan x  1   tan x  1  ln cos x  C 1  tan x  tan x  ln cos x   C 4 1  tan x  tan x  ln cos x  C x 3 b dx  a ln x    C với a, b  Chọn khẳng  2x  x 1 định khẳng định sau: Câu 10: [2D3-2-3]Biết A x a  2b B b  a C 2a  1 b D a  2b Lời giải Chọn B Ta có x x 3 x 3 2 dx   dx   dx   dx  ln x   C 2  2x 1 x 1 x 1  x  1  x  1 Suy x x 3 b b dx  a ln x    C  a ln x    C  ln x   C  2x 1 x 1 x 1 x 1 a  b   Suy  b  a Câu 11: [2D3-1.29-2] Tính M   dx x(x  3) x3 A M  ln C x x B M  ln C x 3 x C M  ln C x3 x3 D M  ln C x Lời giải Chọn A M  Câu 12: dx  1 x 3     dx  ln C x(x  3)  x  x  x [2D3-2-3] (CHUYÊN VĨNH PHÚC)Tính nguyên hàm I   ex  dx Đặt t  e x  nguyên hàm thành A t  t t 2 dt  4 B  t t t dt  4 C  t 2 dt  4 D 2t dt 4 Lời giải Chọn C Câu 13: [2D3-2-3] (THPT CHU VĂN AN) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn hệ thức  f  x  sin xdx   f  x  cos x    x cos xdx Hỏi y  f  x  hàm số hàm số sau? A f  x    x ln  B f  x   x ln  D f  x    x ln  C f  x    x ln  Lời giải Chọn B   u  f  x  du  f   x  dx  Chọn   dv  sin xdx  v   cos x  f ( x) sin xdx   f ( x) cos x   f   x  cos xdx  f   x    x  f  x   x ln  Câu 14: [2D3-2-3] (THPT AN LÃO) Cho hàm số f ( x)  x ln Hàm số x không nguyên hàm hàm số f ( x ) ? A F ( x)   C x  C F ( x)  2 x B F ( x)  2  D F ( x)  1  C x x 1  1  C C Lời giải Chọn A Cách 1: Đặt t  x  2dt  dx x x ln dx   2t 2.ln 2dt  2.2t  C  2.2 x F ( x)   f ( x)dx   x  C nên A sai Ngồi ra: + D F ( x)  2.2 x C + B F ( x)  2.2 x   C  2.2 x  C  + C F ( x)  2.2 x   C  2.2 x  C  Cách 2: Ta thấy B, C, D khác số nên theo định nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai Cách 3: Lấy phương án A , B, C, D đạo hàm tìm A sai Câu 15: [2D3-2-3] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Họ nguyên hàm hàm số f  x  A      x x 1  2 x 1  C , x  B x  C x 1  C x 1 Lời giải Chọn D C  C x 1 D Ta có I     x x 1 Đặt t  x   dt  dx 1 dt  C dx Suy I      C Vậy I   t t x 1 x Câu 16: [2D3-2-3] (THPT A HẢI HẬU) Một nguyên hàm hàm số y  A  x  4  x2  B  C  x 2  x x3  x2 x  4  x2  D F ( x)  x  x Lời giải Chọn A Câu 17: ( x  x )e x dx Câu 18: [2D3-2-3] (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Tính  x  e x A F  x   xe x   ln xe x   C B F  x   xe x  ln xe x   C C F  x   xe x   ln xe x   C D F  x   e x   ln xe x   C Lời giải Chọn B Câu 19: [2D3-2-3] (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Tính 3 2 2 A F  x    x     x  1  C 3  B 3 2 F  x    x     x  1  C 3 C F  x   3 2  C x  x      3 F  x  3 2 2  C x  x      3 Lời giải D x dx x2   x2  Chọn C   Câu 20: [2D3-2-3] Xác định a , b , c để hàm số F  x   ax  bx  c e x nguyên hàm f  x    x  3x   e x A a  1; b  1; c  1 B a  1; b  5; c  7 C a  1; b  3; c  D a  1; b  1; c  Lời giải Chọn A   Ta có: F  x    x  3x  e x dx  u  x  3x   du   x  3 dx Đặt    x x   v  e dx v   e Suy ra: F  x     x  3x   e x    x  3 e x dx u1  x  du1  2dx  Đặt   x x dv1  e dx v1  e Suy ra: F  x     x  3x   e x   x  3 e x  2 e x dx    x  3x   x    e x  C    x  x  1 e x  C Vậy: a  1; b  1; c  1 Câu 21: [2D3-2-3] (THPT A HẢI HẬU) Tìm  ln xdx A x  ln x – 2ln x  1  C B x(ln x – ln x  3)  C C x  ln x – 3ln x    C D x  ln x – 2ln x    C Lời giải Chọn D Câu 22: [2D3-2-3] (THPT PHAN ĐÌNH TÙNG ) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   ln x  ln x F 1  Tính  F  e  x A  F  e     F  e    B  F  e    C  F  e    D Lời giải Chọn B Xét  f  x .dx   Đặt ln x   t Vì F  x   Do F 1  ln x  ln x dx x  ln x  t    ln  x 1 ln x dx  t.dt x C  C  Vậy  F  e    Câu 23: [2D3-2-3] (THPT Vũng Tàu - BRVT - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số f  x  liên tục f  x   với x  f   x    x  1 f  x  f 1  0,5 Tổng f 1  f     f  27  A  26 27 B 27 28 C 26 27 D  27 28 Lời giải Chọn D Từ f   x    x  1 f  x  Mặt khác f 1  0,5 f  x  2x 1 f  x C 0 1  x2  x  C f  x 1  x2  x f  x    1 f  x          x x  x x 1  27    27    1     Do f 1  f     f  27        28  28   k 1 k k   Câu 24: [2D3-2-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hàm số f  x   ; f   x    x  1 f  x  f 1  0,5 Tính tổng f 1  f    f  3   f  2017   a ; a  ;b  b  với a tối giản Chọn b khẳng định a  1 b a  b  1 B a   2017; 2017  A C b  a  4035 D Lời giải Chọn C Ta có: f   x    x  1 f  x    f  x f  x   x   f  x  dx    x  1 dx f  x 1   x2  x  C  x2  x  C  f  x f  x Lại có: f 1  0,5  2  12   C  C  Vậy 1    x  x    x  x  1 hay  f  x   x  x  1 f  x Ta có:  f 1  f    f  3   f  2017   1 1     1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 1 2017 1          1   2 3 2018 2018 2017 2018 Vậy f 1  f    f  3   f  2017   2017 hay a  2017 , b  2018 2018  b  a  4035 Câu 25: [2D3-2-3](THPT VĨNH VIỄN - TP.HCM - HKII - 2017) Biết a , b  thỏa mãn 1 b  x  1dx  a  x  1  C  x    Khi đó: 2  A ab   ab  16 B ab  C ab  16 D 16 Lời giải Chọn B Đặt 3 x   t  x   t  dx  t dt Khi  x  1dx  3 3 t dt  t  C   8   2x   C   x  1  C  a  ; b  Vậy ab  1  Đề có bổ sung thêm điều kiện  x    để có kết hợp lí 2  (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Giả sử  x  3 dx  x  x  1 x  2 x  3    g  x   C ( C số) Câu 26: [2D3-2-3] Tính tổng nghiệm phương trình g  x   A 1 D 3 C B Lời giải Chọn D  Ta có x  x  1 x   x  3   x  3x  x  3x      x  x   1 Đặt t  x  x , dt   x  3 dx Tích phân ban đầu trở thành Trở lại biến x , ta có dt   t  1  C t 1  x  3 dx  x  x  1 x  2 x  3    x C  3x  Vậy g  x   x  3x   3  x  g  x    x  3x      3  x   Vậy tổng tất nghiệm phương trình 3 Câu 27: [2D3-2-3] khoảng (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần -2018) Biết 3   ;    , hàm số 2  f  x  20 x  30 x  2x  có nguyên hàm F  x    ax  bx  c  x  ( a, b, c số nguyên) Tổng S  a  b  c A B C Lời giải Chọn B Đặt t  x   t  x   dx  tdt D  t2    t2   20  30    7   20 x  30 x    td t Khi  dx   t 2x     5t  15t   dt  t  5t  7t  C    x  3  x  3 5  x  3  2x   C x    x  3 x   x   C   x  x  1 x   C Vậy F  x    x  x  1 x  Suy S  a  b  c  Câu 28: [2D3-2-3] (Chuyên KHTN - Lần - Năm 2018) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e A  15 e x F    Hãy tính F  1 B  10 e C 15 4 e 10 e D Lời giải Chọn C Ta có I   f  x  dx   e x dx Đặt x  t  x  t  dx  3t dt I   e x dx  3 et t 2dt t  u 2tdt  du Đặt  t  t  I  et t  2 et tdt  3et t  6 et tdt e dt  dv e  v   Tính  et tdt t  u dt  du  t Đặt  t   et tdt  tet   et dt  tet  et e d t  d v e  v   Vậy  I  3et t   et t  et   C  F  x   3e x Theo giả thiết ta có F     C  4  F  x   3e  F  1   x2  e x 3 x x e  x2  e x C x x e 3 x 4 15 4 e Câu 29: [2D3-2-3] [Sở GD ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm thỏa mãn f  x  f   x   x  f  x   f    Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  f  x  đoạn 1;3 A M  20 ; m  B M  11 ; m  C M  20 ; m  D M  11 ; m  Lời giải Chọn D Ta có f  x  f   x   x  f  x  Lấy nguyên hàm hai vế ta có f  x f  x 1   f  x   f  x  1  2x   x  C , f    nên C  Vậy f  x   x  x  x x  đoạn 1;3 Ta có f   x   x   1;3 x2 x2   với x  1;3 nên f  x  đồng biến Vậy M  f  3  11 ; m  f 1  Câu 30: [2D3-2-3] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Nguyên hàm  x   dx   x  112 10 1 x2 A   C  x 1  11  x2  x2    C   C C 33  x   11  x   11 11 B   x2   C 11  x   11 Lời giải Chọn C 10 x  2   x2 I  dx    dx  12  x    x  1  x  1 10 Đặt t  x2 1  dt  dx  dt  dx 2 x 1  x  1  x  1 10 1  x2 t dt  t11  C    C  33 33  x   11 Suy I  11  ax  b  dx  1  ax  b    C   cx  d n2 n  ad  bd  cx  d  n Chú ý: D Câu 31: [2D3-2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Biết F  x    ax  bx  c  e x nguyên hàm hàm số f  x    x  5x   e x Tính giá trị biểu thức f  F    A e 1 B 20e C 9e D 3e Lời giải Chọn C Ta có F   x    ax  bx  c  e x   ax  bx  c  e x    2ax  b  e x   ax  bx  c  e  x F   x   ax   2a  b  x  b  c  e x F  x    ax  bx  c  e x Vì f  x    x  5x   e x F   x   f  x  , x  nguyên hàm hàm nên:  ax   2a  b  x  b  c  e x   x  5x   e x , x  a  a  2    2a  b  5  b  b  c  c  1   Như F  x    2 x  x  1 e x  F     2.02   1 e0  1 Bởi f  F    f  1   2.12  5.1   e  9e Câu 32: [2D3-2-3] (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho số thực x  Chọn đẳng thức đẳng thức sau: A  ln x dx  ln x  C x B  ln x dx  ln x  C x C  ln x dx  ln x  C x D  ln x dx  ln x  C x Lời giải Chọn D Ta có:  ln x dx   ln x.d  ln x   ln x  C x số Câu 33: [2D3-2-3] (ĐỀ ĐỒN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục tập số thực Miền hình phẳng hình vẽ giới hạn đồ thị hàm số y  f   x  trục hồnh đồng thời có diện tích S  a Biết   x  1 f   x  dx  b A I  a  b  c C I  a  b  c f  3  c Tính I   f  x  dx B I  a  b  c D I  a  b  c ... nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai thơi Cách 3: Lấy phương án A , B, C, D đạo hàm tìm A sai Câu 15: [2D3-2-3] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Họ nguyên hàm. ..   x    x  f  x   x ln  Câu 14: [2D3-2-3] (THPT AN LÃO) Cho hàm số f ( x)  x ln Hàm số x không nguyên hàm hàm số f ( x ) ? A F ( x)   C x  C F ( x)  2 x B F ( x)  2  D F... PHÚC)Tính nguyên hàm I   ex  dx Đặt t  e x  nguyên hàm thành A t  t t 2 dt  4 B  t t t dt  4 C  t 2 dt  4 D 2t dt 4 Lời giải Chọn C Câu 13: [2D3-2-3] (THPT CHU VĂN AN) Cho hàm số