Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) NGUYÊN HÀM – CÁC PH Nguyên hàm – Tích phân NG PHÁP TÌM ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Nguyên hàm – ph ng pháp tính nguyên hàm thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng ( x 2)2 Bài Tính nguyên hàm sau: 1) I1 dx x Gi i 1) I1 2) I (2 x 5)2015 dx ( x 2)2 dx x 12 x x 4 dx x +) Cách 1: I1 dx x 4.x dx x x 2 4.x 2x x x 4x C 4x x C 3 2 dx dx +) Cách 2: Do d ( x 2) ( x 2) '.dx 2d ( x 2) nên ta có: x x dx I1 ( x 2)2 ( x 2)2 2d ( x 2) 2 ( x 2) d ( x 2) ( x 2)3 C x 2) I (2 x 5) 2015 (2 x 5)2016 2015 dx (2 x 5) d (2 x 5) C 4032 Bài Tính nguyên hàm sau: 1) I1 sin x.(1 cos3x sin x)dx 2) I 1 sin 3x dx Gi i 1 cos x 1) I1 sin x sin x cos 3x sin xdx sin x sin x sin x dx 2 1 1 1 1 sin x sin x sin x cos x dx cos x cos x cos x sin x x C 2 2 4 cos x 2) I 1 sin 3x dx 1 2sin 3x sin 3x.dx 1 2sin 3x dx 3 2sin 3x cos x dx x cos 3x sin x C 2 12 2 Bài Tính nguyên hàm sau: 2) I 1) I1 tan xdx (cos x 2sin x)(cos x 2sin x) dx cos 2 x cos3 x Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân tan x 1) I1 tan xdx 1 tan x tan x tan x dx tan x dx cos x tan x sin x d cos x tan x tan tan dx dx xd x cos x cos x ln cos x C cos2 x 2) I (cos x 2sin x)(cos x 2sin x) cos 2 x 4sin x dx cos2 x.(1 cos x) dx cos 2 x cos3 x cos2 x 4sin x 1 dx dx dx cot x tan x C dx 2 2 2 2cos x.sin x sin x cos x sin x cos x Bài Tính nguyên hàm sau: 1) I1 2x 2) I dx x x ( x x)( x x 3) ln(ln x) dx x ln x Gi i ln(ln x) dx ln (ln x) d ln x ln(ln x) ln(ln x).d ln(ln x) C ln x x ln x 2x dx 2x dx dx I J 2) I 4x 4x 1 ( x x)( x2 x 3) x x ( x x)( x x 3) 1) I1 +) Tính I dx dx d (2 x 1) C1 2 4x 4x 1 (2 x 1) (2 x 1) 2(2 x 1) +) Tính J 2x 2x 2x dx dx dx ( x x)( x x 3) ( x 3x)( x2 3x 2) x( x 2)( x 1)( x 3) 2 ( x2 3x 2) ( x2 3x) 1 (2 x 3)dx (2 x 3)dx 2 ( x 3x)( x 3x 2) x 3x x 3x 2x 2x d ( x2 3x 2) x2 3x d ( x 3x) ln C2 dx dx x 3x x 3x x 3x x 3x x2 3x Suy I 1 1 x2 3x x2 3x C1 ln C2 ln C 2(2 x 1) x 3x 2(2 x 1) x 3x Bài Tính nguyên hàm sau: dx dx 1) I1 2) I sin x cos x dx dx 4) I 5) I sin x cos x sin x sin x 6 x 3) I sin sin xdx 6) I (1 2sin x)(sin x cos6 x)dx Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1) 2) 3) 4) 5) Nguyên hàm – Tích phân x d dx dx dx 4 x I1 cot C sin x x x 2 4 x x 2sin sin sin cos 2 4 2 4 2 1 ( ho c bi n đ i ) sin x 2 x cos x 2sin 2 2 4 x d dx dx tan x C I2 x x cos x 2 cos cos 2 x x x x x x I sin sin xdx 2 sin cos dx 4 sin d sin sin C 2 2 dx dx dx I4 sin x cos x cos x cos x 4 4 x d dx cot x C 2 sin x sin x 2 8 2 8 2 8 2dx dx dx 2 I5 sin x sin x cos x sin x cot x sin x sin x cos x 2 d cot x cot x ln cot x C 6) I (1 2sin x)(sin x cos6 x)dx 1 2sin x cos x Ta có: 6 2 2 2 sin x cos x (sin x cos x) 3sin x.cos x(sin x cos x) sin x 1 Khi I cos x 1 sin 2 x dx 1 sin 2 x d sin x sin x sin x C 2 Bài Tính nguyên hàm sau: x x 1 1) I1 dx x 3x x x x x4 3x2 x x x2e2 x 2) I sin 3x sin x tan x 2cot x dx x Gi i x x 1 x x 1 1) I1 dx dx x 3x x x x (2 x 1)( x 2) ( x 1) ( x 3)( x 3) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân x 3( x 2) (2 x 1) (2 x 1)( x 2) 2x 1 x (2 x 1)( x 2) x 1 x 1 2 +) Ta có 2 x ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 ( x 3) ( x 3) 1 x3 x3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) 1 1 1 +) Khi I1 dx x x x ( x 1) x x x3 ln x ln x ln x ln C x 1 x Nh n xét: Vi c tách đ c x 3( x 2) (2 x 1) ta tr i qua công đo n làm nháp nh sau : a 2b a Ta bi u di n x a ( x 2) b(2 x 1) x (a 2b) x 2a b Khi 2a b b 1 Các b n s tìm hi u k l p nguyên hàm h u t ph n tích phân s đ c đ c p ph n sau x4 3x2 x x x2e2 x 2 2) I x x x x sin sin tan 2cot dx x2 1 1 cos x x2 e2 x sin 3x 1 dx x x x x cos x sin x 3 1 x2 x e2 x sin 3x cos x dx x x 2 cos x sin x 1 2x 1 x3 ln x e x cos3x sin x tan x 2cot x C 3 x x x2 x ex 2) I dx 2e x x x Bài Tính h nguyên hàm sau: 1) I1 x x dx Gi i: 1) I1 x x dx x2 x x x2 dx x2 dx 2 x dx x dx x x x x3 x2 x 3x x2 C C 3 3 x2 x x2 x ex ex ex I dx dx dx dx 2) x2 ( x 1) 2e x 1 x x x x e x x e Hocmai.vn – Ngôi tr dx dx d (2e x 1) 1 ln x ln(2e x 1) C x x 1 x 2e x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài Tìm a đ hàm s F ( x) Nguyên hàm – Tích phân ax a m t nguyên hàm c a hàm s x Gi i: f ( x) 6 ( x 2)2 ax a a 2a +) V i x ta có: F '( x) = = ( x 2) x a 2a 6 +) F ( x) m t nguyên hàm c a f ( x) : F '( x) f ( x) , x 2 ( x 2) ( x 2) a a 2a a a a 3 V y v i a ho c a 3 F ( x) m t nguyên hàm c a f ( x) Bài Tìm m, n, p cho F ( x) (mx2 nx p) x m t nguyên hàm c a hàm s 15 x2 3x 1 f ( x) kho ng ; 2x 1 2 Gi i: mx2 nx p 1 +) V i x ; ta có: F '( x) (2mx n) x 2x 1 2 (2mx n)(2 x 1) mx nx p 5mx2 (3n 2m) x p n 2x 1 2x 1 1 +) F ( x) m t nguyên hàm c a f ( x) : F '( x) f ( x) v i x ; 2 5mx (3n 2m) x p n 15 x2 3x 1 , x ; 2x 1 2x 1 2 5m 15 m 3n 2m 3 n p n 1 p Bài 10 Tìm m t nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x) th a mãn u ki n cho tr 2) f ( x) x.e x 1) f ( x) 8x3 3x2 x F (1) 3) f ( x) x F (0) x 1 1 c: F (0) 3e 4) f ( x) e x e x v i F (2) 2e Gi i: 1) Ta có: F ( x) (8x 3x x 5)dx x4 x3 x2 5x C i u ki n F (1) 1 C C 5 V y F ( x) x4 x3 x2 5x e x 1 dx e x 1d ( x2 1) C 2 2) Ta có: F ( x) x.e x2 1 e x 1 3e 3e e e i u ki n F (0) C C e V y F ( x) 2 2 x x 1 dx dx x 3) Ta có: F ( x) dx x 1 x 1 x 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 1 2( x 1) x ( x 1) ( x 1) dx x 1 C 10 i u ki n F (0) C C 3 2( x 1) x 1 10 V y F ( x) x 1 3 4) Ta có: F ( x) e e 2dx x x x x 2x 2x e e e e dx x x x x x x e e dx e e dx e e C x x 2 i u ki n F (2) 2e e e1 C 2e C 2e1 V y F ( x) e e e e sin x Nguyên hàm F ( x) c a f ( x) th a mãn F (0) F 4 Xác đ nh m Khi tìm F ( x) Gi i: 4m 4m cos x 4m 1 +) Ta có: F ( x) sin x dx cos x dx dx 2 4m x sin x C 2 F (0) C C C +) V i 4m m C m F C 4 3 V y m F ( x) x sin x 4 2 Bài 11 Cho f ( x) 4m (a b)sin x b v i a , b s th c sin 2 x Tìm nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x) bi t F ; F F 3 6 4 Gi i: (a b)sin x b a sin x b cos x dx +) Ta có: F ( x) 4sin x cos2 x dx sin 2 x a b a tan x b cot x C cos x sin x Bài 12 Cho hàm s +) f ( x) 1 a b F 6 C 3a 3b 12C a b a b C a b 4C i u ki n F 4 C 3 3a 3b 12C 12 1 b 3 F 3a C 1 3 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) V y F ( x) Nguyên hàm – Tích phân tan x cot x Bài 13 ( HQGHN – 96) Tìm m t nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x) 2sin x x cho đ th F ( x) c t f ( x) t i m t m thu c Oy Gi i: 3 2 +) Ta có: F ( x) 2sin x x dx cos x x x x C 5 5 3 3 +) Giao m c a f ( x) tr c Oy m A 0; nên F (0) C C 5 5 2 +) V y F ( x) cos x x x x 5 Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -