CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN A. Phương pháp dùng bảng nguyên hàm Bài 1. (ĐH-B-2003) Tính tích phân 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x π − + ∫ Bài 2. Tính tích phân 4 2 0 sin 2 4 cos x dx x π − ∫ Bài 3. (ĐH-A-2006) Tính tích phân 4 2 2 0 sin 2 cos 4sin x dx x x π + ∫ Bài 4. Tính tích phân ( ) ln3 3 0 1 x x e dx e + ∫ Bài 5. Tính tích phân ( ) 2 3 3 sin cos sin cos x x dx x x π π + − ∫ Bài 6. Tính tích phân 1 3 2 0 1 x dx x + ∫ Bài 7. Tính tích phân 3 2 2 4 sin os 1 cos xdx c x x π π + ∫ Bài 8. Tính tích phân 1 0 1 x dx e+ ∫ Bài 9. (ĐH-D-2005) Tính tích phân ( ) 2 sin 0 cos cos x e x xdx π + ∫ Bài 10. Tính tích phân 1. 6 0 sin 2 cos3x xdx π ∫ ; 2. 2 3 cos cos5x xdx π π ∫ Bài 11. Tính tích phân 1. 4 3 0 sin xdx π ∫ ; 2. 3 4 0 cos x π ∫ Bài 12. Tính tích phân ( ) 1 3 0 1 xdx x + ∫ Bài 13. Cho hàm số 2 3 3 3 3 3 2 x x y x x + + = − + 1. Xác định các hằng số A, B, C để ( ) 2 1 2 1 A B C y x x x = + + − + − 2. Tìm họ các nguyên hàm của y. Bài 14. B. Phương pháp đổi biến số Bài 1. (ĐH-A-2004) Tính tích phân 2 3 2 5 4 dx x x + ∫ Bài 2. Tính tích phân 2 1 1 1 xdx x+ − ∫ Bài 3. Tính tích phân 1 1 3ln .ln e x x dx x + ∫ Bài 4. Tính tích phân 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x π + + ∫ Bài 5. Tính tích phân ln5 2 ln2 1 x x e dx e − ∫ Bài 6. Tính tích phân 4 7 3 3 4 0 1 1 x dx x+ + ∫ Bài 7. Tính tích phân 1 2 3 0 2x x dx+ ∫ Bài 8. Tính tích phân 1 2 0 1x x dx+ ∫ Bài 9. Tính tích phân 3 1 3 ln 1 2ln x x xdx − + ∫ Loại 2. Đổi biến x = -t Bài 1. Cho ( ) f x là hàm số lẻ trên [ ] ;a a− và tồn tại ( ) 0 a a f x dx − = ∫ . Chứng minh rằng ( ) 0 a a f x dx − = ∫ . Bài 2. Cho ( ) f x là hàm số chẵn trên [ ] ;a a− và tồn tại ( ) a a f x dx − ∫ . Chứng minh rằng ( ) ( ) 0 2 a a a f x dx f x dx − = ∫ ∫ . Bài 3. Tính tích phân 2 6 2 1 x x dx e − + ∫ Bài 4. Tính tính phân: ( ) 4 2 3 4 cos 1 x dx I x e π π − − = + ∫ Loại 3. Phép đổi biến nếu như biểu thức dưới dấu tích phân có chứa số hạng dạng: 2 2 a x− , với 0a > . Bài 1. Tính tích phân: 3 2 1 4I x dx − = − ∫ . Bài 2. Tính tích phân: ( ) 3 2 3 2 3 2 2 9 dx x − − ∫ Bài 3. 2 2 2 2 0 1 x dx x− ∫ Bài 4. Tính tích phân: 6 2 3 2 9 dx x x − ∫ Loại 4. Phép đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức dạng ( ) 2 2 , 0 k a x a+ > . Bài 1. Tính tích phân 2 2 0 4 dx x+ ∫ Bài 2. Tính tích phân ( ) 3 3 2 3 3 1 dx x − + ∫ Bài 3. Tính tích phân 1 4 2 0 1 xdx x x+ + ∫ Bài 4. Tính tích phân 1 4 2 0 4 3 dx x x+ + ∫ Loại 5. Đổi biến khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lượng giác. Bài 1. (ĐH-B-2005) Tính tích phân 2 0 sin 2 cos 1 cos x xdx x π + ∫ Bài 2. Tính tích phân 2 0 cos 7 cos2 xdx x π + ∫ Bài 3. Tính tích phân 2 3 5 0 sin cosx xdx π ∫ Bài 4. Tính tích phân 2 3 sin dx x π π ∫ Bài 5. Tính tích phân 2 0 1 sin cos dx x x π + + ∫ Bài 6. Tính tích phân 4 2 4 4 0 sin sin cos xdx x x π + ∫ Bài 7. Tính tích phân: 2 0 sin 1 cos x x dx x π + ∫ Bài 8. Tính tích phân 2 0 sin cosx x xdx π ∫ Bài 9. Tính tích phân ( ) 4 0 ln 1 tan x dx π + ∫ Bài 10. Tính tích phân: 2 2 sin ( 3 ) 1 cos x x I dx x t x π π π = = − + ∫ Loại 6. Một vài phép đổi biến khác khi lấy tích phân. Bài 1. (ĐH-B-2006) Tính tích phân ln5 ln3 2 3 x x dx e e − + − ∫ Bài 2. Tính tích phân ( ) 1 6 5 3 0 1x x dx− ∫ Bài 3. Tính tích phân 2 0 2 2 x dx x + − ∫ C. Phương pháp tích phân từng phần Bài 1. (ĐH-D-2004) Tính tích phân ( ) 3 2 2 ln x x dx− ∫ Bài 2. (ĐH-D-2006) . Tính tích phân ( ) 1 2 0 1 x x e dx− ∫ Bài 3. Tính tích phân 3 2 1 ln e x xdx ∫ Bài 4. Tính tích phân ( ) 2 2 0 sin cosx x xdx π + ∫ Bài 5. Tính tích phân 2 1 3 0 x x e dx ∫ Bài 6. Tính tích phân 2 2 0 cos3 x e xdx π ∫ Bài 7. Tính tích phân 4 0 1 cos2 xdx x π + ∫ Bài 8. Tính tích phân ( ) 2 2 2 0 2 x x e dx x + ∫ TÍCH PHÂN VỚI HÀM CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ MỘT VÀI TÍCH PHÂN TRUY HỒI Bài 1. (ĐH-D-2003) Tính tích phân 2 2 0 I x x dx= − ∫ Bài 2. Tính tích phân 0 1 sin 2xdx π − ∫ Bài 3. Tính tích phân ( ) 5 3 2 2x x dx − + − − ∫ Bài 4. Cho ( ) 3 2 3 4 1f x x x x= − − + và ( ) 3 2 2 3 1g x x x x= + − − Tính tích phân ( ) ( ) 2 1 I f x g x dx − = − ∫ Bài 5. Cho 2 0 sin n n I xdx π = ∫ và 2 0 cos n n J xdx π = ∫ 1. Chứng minh 2 1 n n n I I n − − = , 2 1 n n n J J n − − = với 2n ≥ . 2. Áp dụng tính 4 5 ,I J . Bài 6. Cho 1 0 n x n I x e dx= ∫ , với 1n ≥ là số tự nhiên 1. Chứng minh 1n n I e nI − = − 2. Áp dụng tính 5 I . Bài 7. Cho tích phân 0 cos cos n n I x nxdx π = ∫ Chứng minh rằng 1 1 2 n n I I + = . Từ đó hãy tính 5 I . . CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN A. Phương pháp dùng bảng nguyên hàm Bài 1. (ĐH-B-2003) Tính tích phân 2 4 0 1 2sin. x dx x + − ∫ C. Phương pháp tích phân từng phần Bài 1. (ĐH-D-2004) Tính tích phân ( ) 3 2 2 ln x x dx− ∫ Bài 2. (ĐH-D-2006) . Tính tích phân ( ) 1 2 0 1