Thông tin tài liệu
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 1/25
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng
1.
Caxadx +=
∫
2.
C
x
dxx +
+
=
+
∫
1
1
α
α
α
(
)
1≠
α
3.
∫
+= Cx
x
dx
ln
4.
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
5.
Cedxe
xx
+=
∫
6.
Cxdxx +=
∫
sin.cos
7.
Cxdxx +−=
∫
cos.sin
8.
∫ ∫
+=+= Ctgxdxxtg
x
dx
)1(
cos
2
2
9.
∫ ∫
+−=+= Cgxdxxg
x
dx
cot)cot1(
sin
2
2
10.
∫
+= Cx
x
dx
2
1.
C
bax
a
dxbax +
+
+
=+
+
∫
1
)(1
)(
1
α
α
α
(
)
1,0 ≠≠ xa
2.
∫
++=
+
Cbax
a
b
ax
dx
ln
1
)0(
≠
a
3.
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
)0(
≠
a
4.
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
)sin(
1
)cos(
)0(
≠
a
5.
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
)cos(
1
)sin(
)0(
≠
a
6.
∫ ∫
++=
+
dxbaxtg
bax
dx
))(1(
)(cos
2
2
Cbaxtg
a
++= )(
1
)0(
≠
a
7
∫ ∫
++=
+
dxbaxg
bax
dx
))(cot1(
)(sin
2
2
Cbaxg
a
++−= )(cot
1
)0(
≠
a
8.
∫
++=
+
Cbax
a
bax
dx 2
)0(
≠
a
9.
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22
)0(
≠
a
10.
∫
+++=
+
Caxx
ax
dx
2
2
ln
B. PH
ƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ
I. Tích phân hàm đa th
ức
1) Tích phân dạng
( )
b
a
A= P x dx
∫
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.
2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân
trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm.
II. Tích phân hàm hữu tỷ
1) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A= dx
n
x
∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 2/25
Phương pháp: Chia P(x) cho x
n
để đưa tích phân về dạng
b
a
A= Q , dx
k
a
x
x
∫
trong đó
Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý:
+) Hàm số
1
y
x
=
có một nguyên hàm là hàm số
ln
y x
=
+) Hàm số
1
n
y
x
=
(n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm
số
( )
1
1
1
n
y
n x
−
= −
−
2) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A= dx
ax
b
+
∫
Phương pháp:
Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng
( )
b
a
A= Q + dx
ax
k
x
b
+
∫
trong đó Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý:
+) Hàm số
1
y
ax b
=
+
có một nguyên hàm là hàm số
1
ln
y ax b
a
= +
3) Tích phân dạng
(
)
( )
b
a
P x
A= dx (k , 1)
ax
k
N k
b
∈ >
+
∫
Phương pháp:
1. Đặt
ax
t b
= +
ta có:
+)
t b
x
a
−
=
+)
dt
dt adx dx
a
= ⇒ =
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng
(
)
b'
a'
A= dt
k
Q t
t
∫
4) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có hai nghiệm x
1,
x
2
)
Phương pháp:
Thực hiện biến đổi tích phân như sau:
( )( )
2
1 2
dx dx
A
ax bx c a x x x x
β β
α α
= =
+ + − −
∫ ∫
=
( )( ) ( )
(
)
(
)
( )( )
1 2
1 2 2 1 1 2
1 1
x x x x dx
dx
a x x x x a x x x x x x
β β
α α
− − −
=
− − − − −
∫ ∫
( ) ( )
( )
2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ln ln |
dx x x x x
a x x x x x x a x x
β
β
α
α
− = − − −
− − − −
∫
Chú ý:
+) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì khi đó f(x)
được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
).
+)
( )( )
1 1 1 1
x m x n m n x m x n
= −
− − − − −
5) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
vô nghiệm)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 3/25
( )
2
2
2
1
0
2
2
dx dx dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α
= = = >
+ +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ =
⇒
= +
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A được
(
)
2
' '
2
' '
1 tan
1 1
tan
C u du
A du
a C u C
a C
β β
α α
+
= =
+
∫ ∫
Chú ý:
+) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
vô nghiệm, khi đó ta luôn biểu diễn
tam thức về dạng
2
( )
2
b
f x a x C
a
= + +
(C>0).
6) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có nghiệm kép)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
2 2
2
1 1
2
2 2
dx dx dx b
A x
ax bx c a a a
b b
a x x
a a
β
β β β
α
α α α
= = = = − +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
7) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có hai nghiệm x
1,
x
2
)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
(
)
(
)
( )( )
(
)
( )( )
2
1 2 1 2
1
mx n dx mx n dx mx n dx
A
ax bx c a x x x x a x x x x
β β β
α α α
+ + +
= = =
+ + − − − −
∫ ∫ ∫
(
)
( )( )
(
)
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 1
1
1 2 1 2 1 2
1
2 1 2
1 1
m x x n mx m x x
mx n
dx dx
a x x x x a x x x x x x x x
mx nm dx dx
a x x a x x x x
β β
α α
β β
α α
− + + −
+
= = +
− − − − − −
+
= +
− − −
∫ ∫
∫ ∫
8) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
vô nghiệm)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
1
0
2
2
mx n dx mx n dx mx n dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α
+ + +
= = = >
+ +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫
1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ = ⇒ = +
,
tan
2
b
x C u
a
= −
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A.
9) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có nghiệm kép)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 4/25
( ) ( )
2 2 2
2
1 1
2 2
2
2
2 2 2
b mb
mb
m x n
n
mx n dx mx n dx
m dx
a a
a
A dx dx
b
ax bx c a a a
b b b
x
a x x x
a
a a a
β β β β β
α α α α α
+ + −
−
+ +
= = = = +
+ +
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
III. Tích phân hàm vô t
ỷ
1) Tích phân dạng:
( , , )
n
f ax b x C dx
β
α
+
∫
A =
Phương pháp:
1. Đặt u =
n
ax b
+
n
u ax b
⇒ = +
n
u b
x
a
−
⇒ =
1
.
n
n u
dx du
a
−
⇒ =
2. Đổi cận theo biến mới.
3. Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ.
2) Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp
: Đặt
2
u ax ax bx c
= + + +
(
)
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
b b
ax a ax bx c ax
du a dx dx
ax bx c ax bx c
b b
a ax bx c ax au
dx dx
ax bx c ax bx c
+ + + + +
⇒
= + =
+ + + +
+ + + + +
= =
+ + + +
2
2
dx du
b
ax bx c
au
⇒ =
+ +
+
3) Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp
:
1. Biến đổi:
( )
( )
2
1
0
dx
A k
a
k x m
β
α
= >
−
− +
∫
2. Đặt
sin cos
2 2
x m k t t dx k tdt
π π
+ = − ≤ ≤
⇒
=
3. Tính các giá trị cận theo biến mới.
4. Thay vào A được:
' ' '
2 2
' ' '
1 cos 1 cos 1 cos
cos
sin 1 sin
k tdt tdt tdt
A
t
a a a
k k t t
β β β
α α α
= = =
− − −
− −
∫ ∫ ∫
4) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a dương)
Phương pháp:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 5/25
Đặt:
2
2
2
2
2
ax b
du dx
u ax bx c
ax bx c
b
dv dx
v x
a
+
=
= + +
+ +
⇒
=
= +
( )
2
2
2
2
2
2
b
ax b x
b
a
A x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
+ +
⇒ = + + + −
+ +
∫
(
)
2
2
2
2
2
2
ax bx C
b
x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
+ +
= + + + −
+ +
∫
Ta có:
(
)
(
)
(
)
2 2
1
2 2
2 2 2
2 2
ax bx C ax bx c C c
A dx dx
ax bx c ax bx c
β β
α α
+ + + + + −
= =
+ + + +
∫ ∫
2
2
2
C c dx
A
ax bx c
β
α
−
= +
+ +
∫
Vậy ta được:
2
2
2
2 2
b C c dx
A x ax bx c A
a
ax bx c
β
α
β
α
−
= + + + − +
+ +
∫
2
2
1 2
2 2 2
b C c dx
A x ax bx c
a
ax bx c
β
α
β
α
−
⇒ = + + + −
+ +
∫
Tính
2
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.
5) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:
2
2
2
b c b
A a x x dx a C x dx
a a a
β β
α α
= − − − − = − − +
∫ ∫
1. Đặt
sin cos
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được:
'
2
'
sin cos
A a C C t tdt
β
α
= − −
∫
'
2
'
'
2
'
'
2
'
1 sin .cos
os .cos
os
C a t tdt
C a c t tdt
C a c tdt
β
α
β
α
β
α
= − −
= −
= −
∫
∫
∫
5) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 6/25
( )
2
2
2 2
m bm
ax b n
a a
A dx
ax bx c
β
α
+ + −
=
+ +
∫
(
)
2 2
2
2 2
ax b
m mb dx
dx n
a a
ax bx c ax bx c
β β
α α
+
+ −
+ + + +
∫ ∫
Tính:
(
)
1
2
2ax b
A dx
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
đặt
2
u ax bx c
= + +
Tính
2
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
6) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +
∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:
(
)
(
)
2
2
1 1
2
mx n dx mx n dx
A
a b c a
b
x x
C x
a a
a
β β
α α
+ +
= =
− −
− − −
− +
∫ ∫
1. Đặt
sin cos
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được:
'
2
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
sin
b
m C t n C tdt
a
A
a
C C t
β
α
− +
=
−
−
∫
'
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
cos
b
m C t n C tdt
a
t
a
β
α
− +
=
−
∫
'
'
1
( sin )
2
mb
m C t n dt
a
a
β
α
= + −
−
∫
7) Tích phân dạng:
ax b
dx
cx d
β
α
+
+
∫
A =
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:
ax b ax b
A dx dx
cx d
ax b cx d
β β
α α
+ +
= =
+
+ +
∫ ∫
( )
2 2
2 2
(2 ) ( )
2 2
2
2 2
a an
mx n b
ax b
m m
dx dx
mx nx k mx nx k
mx n dx
a an dx
b
m m
mx nx k mx nx k
β β
α α
β β
α α
+ + −
+
= =
+ + + +
+
+ −
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫
Tính
(
)
1
2
2
mx n dx
A
mx nx k
β
α
+
=
+ +
∫
đặt
2
u mx nx k
= + +
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 7/25
Tính
2
2
dx
A
mx nx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
Chú ý:
+) Khi dùng tính chất
A A
B
B
=
ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay
cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.
8) Tích phân dạng:
( )
2
,
A f ax bx c x dx
β
α
= + +
∫
Phương pháp:
Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản
mà ta có thể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:
+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
+) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
Cụ thể:
a. Cách 1: Đặt
2
t ax bx c
= + +
b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa
biểu thức dưới dấu tích phân.
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
2 2
( ,
f x a x dx
β
α
−
∫
sin
x a t
=
;
2 2
t
π π
∈ −
2 2
( ,
f x x a dx
β
α
−
∫
cos
a
x
t
=
0; ;
2 2
t
π π
π
∈ ∪
2 2
( ,
f x x a dx
β
α
+
∫
tan
x a t
=
;
2 2
t
π π
∈ −
IV. Tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng:
sin
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
os
n
A c xdx
β
α
=
∫
Phương pháp:
a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k
∈
N), ta biến đổi như sau:
( )
( )
2 2
1 cos2 1
sin sin 1 cos2
2 2
k
k
k
k
k
x
A xdx x dx dx x dx
β β β
α α α
−
= = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k
∈
N), ta biến đổi như sau:
( ) ( )
2 1 2 2 2
sin sin .sin sin .sin 1 cos .sin
k k
k k
A xdx x xdx x xdx x xdx
β β β β
α α α α
+
= = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
1. Đặt
cos sin sin
u x du xdx xdx du
= ⇒ = − ⇒ = −
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.
Trường hợp đối với
os
n
A c xdx
β
α
=
∫
giải tương tự.
2. Tích phân dạng:
tan
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
cot
n
A xdx
β
α
=
∫
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 8/25
Phương pháp:
a) Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 ta giải trực tiếp như sau:
sin
tan ln cos
cos
x
A xdx dx x
x
β β
β
α
α α
= = = −
∫ ∫
(Tử là đạo hàm của mẫu)
( )
[ ]
2 2
tan tan 1 1 tan
A xdx x dx x x
β β
β
α
α α
= = + − = −
∫ ∫
b) Trường hợp
3
n
≥
, ta biến đổi như sau:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
tan tan .tan tan . 1 tan 1
tan . 1 tan tan
n n n
n n
A xdx x xdx x x dx
x x dx xdx
β β β
α α α
β β
α α
− −
− −
= = = + −
= + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Tính
( )
2 2
1
tan . 1 tan
n
A x x dx
β
α
−
= +
∫
dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức.
Tính
2
2
tan
n
A xdx
β
α
−
=
∫
ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất
hoặc bậc hai.
Trường hợp đối với
cot
n
A xdx
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
3. Tích phân dạng:
sin
n
dx
A
x
β
α
=
∫
hoặc
os
n
dx
A
c x
β
α
=
∫
Phương pháp:
a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau:
( )
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
. . 1 cot .
sin sin sin sin sin sin
k
k
k k
dx dx dx dx
A x
x x x x x x
β β β
α α α
−
= = = = +
∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng
tích phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:
( ) ( )
2 1 2 2
2 2
sin sin sin
sin sin
sin 1 cos
k k
k k
dx xdx xdx xdx
A
x x
x x
β β β β
α α α α
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây, ta đặt
cos sin
u x du xdx
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng
tích phân của hàm hữu tỷ
Trường hợp đối với
cos
n
dx
A
x
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
4. Tích phân dạng:
cos sin
dx
A
a x b x c
β
α
=
+ +
∫
Phương pháp:
1. Đặt
tan
2
x
t = , khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 9/25
( )
2 2
2
1 1 2
1 tan 1
2 2 2 1
x dt
dt dx t dx dx
t
= + = + ⇒ =
+
2
2 2
1 2
cos , sin
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
5. Tích phân dạng:
sin
cos sin
xdx
A
a x b x
β
α
=
+
∫
;
cos
cos sin
xdx
B
a x b x
β
α
=
+
∫
Phương pháp:
Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng
các tổ hợp kết quả sau:
sin cos cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx a x b x
bA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
+
+ = + = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
cos sin cos sin
ln cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx b x a x
bB aA dx a x b x
a x b x a x b x a x b x
β β β
β
α
α α α
−
− = − = = +
+ + +
∫ ∫ ∫
Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán.
6. Tích phân dạng:
sin .cos
n m
A x xdx
β
α
=
∫
Phương pháp:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta
biến đổi như sau:
( )
( )
2 2
2
sin .cos .cos sin . cos .cos
sin . 1 sin .cos
k
n k n
k
n
A x x xdx x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫
Đến đây, ta đặt
sin cos
u x du xdx
= ⇒ =
, đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích
phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( )
'
2 2 ' 2 2
sin .cos sin . cos
k k
k k
A x xdx x x dx
β β
α α
= =
∫ ∫
Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó:
( )
2
2
1 tan
1
du
du x dx dx
t
= +
⇒
=
+
2
2
1
cos
1
x
u
=
+
,
2
2
2
sin
1
u
x
u
=
+
Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ.
7. Tích phân dạng:
2 2
( cos sin ).sin 2
A f a x b x c xdx
β
α
= + +
∫
Phương pháp:
1. Đặt
2 2
cos sin
u a x b x c
= + +
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học
Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 10/25
(
)
(
)
2 .sin .cos sin 2
du b a x xdx b a xdx
= − = −
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
8. Tích phân dạng:
cos .sin
m n
dx
A
x x
β
α
=
∫
Phương pháp:
a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k')
Ta thực hiện biến đổi như sau:
' 1
2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2
1 1
. .
cos .sin cos .sin .sin cos sin sin
k k
k k k k
dx dx dx
A
x x x x x x x x
β β β
α α α
−
−
= = =
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
' 1 ' 1
2 2 2
2 2 2
1
1 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .
sin cot sin
k
k k k
dx dx
x x x
x x x
β
α
− −
= + + = + +
∫ ∫
Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1)
Ta thực hiện biến đổi như sau:
( ) ( )
1 1
2 1 2 2
2 2
cos cos cos
cos .sin cos .sin
cos .sin 1 sin .sin
k k
k n k n
n n
dx xdx xdx xdx
A
x x x x
x x x x
β β β β
α α α α
+ +
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫
Đến đây, ta đặt
sin cos
u x du xdx
= ⇒ =
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
V. Tích phân hàm mũ và logarit
1. Tích phân dạng:
( )
x
A f e dx
β
α
=
∫
,
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫
Phương pháp:
1. Đổi biến
x
u e
=
, tính dx theo u và du.
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa
thức hoặc hàm số hữu tỷ.
Trường hợp tích phân
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫
tương tự.
2. Tích phân dạng:
(ln )
A f x dx
β
α
=
∫
,
( )
log
a
B f x dx
β
α
=
∫
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt:
ln
dx
u x
du
x
dv dx
v x
=
=
⇒
=
=
Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm
đa thức hoặc hàm hữu tỷ.
[...]...Tài li u luy n thi đ i h c β Trư ng h p tích phân B = ∫ f ( log a x ) dx tương t α VI Phương pháp tích phân t ng ph n β β α α 1 Tích phân d ng: A = ∫ P ( x ) cos xdx , B = ∫ P ( x ) sin xdx Phương pháp: u = P ( x ) du = P ' ( x ) dx Đ t: ⇒ dv = cos xdx v = sin x Theo công th c tích phân t ng ph n ta có: β β A = P ( x ) sin x α − ∫ P ' ( x ) sin xdx α β Đ tính tích phân ∫ P ' ( x )... α đư c k t qu c n tìm β Trư ng h p tích phân B = ∫ P ( x ) sin xdx tương t α β β α α 2 Tích phân d ng: A = ∫ P ( x ) ln xdx , B = ∫ P ( x ) log a xdx Phương pháp: dx u = ln x du = x Đ t: ⇒ dv = P ( x ) dx v = P ( x ) dx = Q ( x ) ∫ Theo công th c tích phân t ng ph n ta có: β Q ( x) β A = Q ( x ) ln x α − ∫ dx x α β Tích phân ∫ α Q ( x) dx : s có d ng tích phân c a hàm s đa th c ta đã... n tìm β Trư ng h p tích phân B = ∫ P ( x ) a x dx tương t α β β α α 4 Tích phân d ng: A = ∫ cos xe x dx , B = ∫ sin xa x dx Phương pháp: u = cos x du = − sin xdx Đ t: ⇒ x x dv = e dx v = e Theo công th c tích phân t ng ph n ta có: A = cos xe x β α β + ∫ sin xe x dx α β Đ tính tích phân ∫ sin xe dx α x ta th c hi n l i các bư c như trên, k t q a thu đư c s bi u di n qua A, ta thu đư c m t phương. .. Trư ng h p tích phân B = ∫ P ( x ) log a xdx tương t α β β 3 Tích phân d ng: A = ∫ P ( x ) e dx , B = ∫ P ( x ) a x dx x α α Phương pháp: u = P ( x ) du = P ' ( x ) dx ⇒ Đ t: x x dv = e dx v = e Theo công th c tích phân t ng ph n ta có: A = P ( x) e x β α β − ∫ P ' ( x ) e x dx α Biên so n: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 11/25 Tài li u luy n thi đ i h c β Đ tính tích phân ∫ P '... dx α x ta th c hi n l i các bư c như trên, k t q a thu đư c s bi u di n qua A, ta thu đư c m t phương trình và t đó tìm ra A β Trư ng h p tích phân B = ∫ sin xa x dx tương t α Biên so n: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 12/25 Tài li u luy n thi đ i h c C CÁC D NG BÀI T P Tính các tích phân sau đây: 1 1/I = ∫ (3x 2 − 5x + 1)dx 0 π 2 3 ∫ sin x dx 12 / I = 0 1 2/I = 3/I = 2 ∫ (2x + 1)(x − x + 3)dx 1 2... dx 317*/I = ∫ 4 2 0 cos − 3cos x + 3 x t 2et 318* /Tìm x> 0 sao cho ∫ dt = 1 2 0 (t + 2) π 3 tan x dx π 2 319*/I = ∫ 3 320*/I = ∫ −3x + 6x + 1dx cos x dx 2 π (1 − cos x) ∫ 306/I = π 4 3 307/I = ∫ tg x dx 0 1 308*/I = 1 ∫ 3 + e2x dx −1 Biên so n: Buicongluan.ltqb@gmail.com π 4 1 0 π 4 2 cos x cos x + 1 2 5 321*/I = ∫ tg x dx 0 Trang 24/25 Tài li u luy n thi đ i h c π 4 π 4 3 327*/I = ∫ ( 322/I = ∫ cotg... dx e +1 0 ln 3 1 dx 46/I = ∫ x 0 e +1 1 π 4 47/I = ∫ π 6 1 sin 2 x cot gx dx ln x 3 2 + ln 2 x 48/I = ∫ dx x 1 e sin(ln x) dx 49/I = ∫ x 1 e 1 3 4 5 50/I = ∫ x (x − 1) dx 0 Trang 14/25 Tài li u luy n thi đ i h c 1 π 2 2 3 51/I = ∫ (1 + 2x)(1 + 3x + 3x ) dx 0 2 1 52/I = ∫ 1x π 3 53/I = ∫ 1+ x 3 dx π 2 66*/I = ∫ ( 3 cos x − 3 sin x )dx 0 2 tg x + cot g x − 2dx x7 67/I = ∫ dx 8 4 2 1 + x − 2x 3 π 2 2... ∫ cos 2x(sin x + cos x)dx eπ 76/I = ∫ cos(ln x)dx 1 2 0 2 x dx 1+ x −1 1 78/I = ∫ e 79/I = ∫ 1 Biên so n: Buicongluan.ltqb@gmail.com 2 77*/I = ∫ 4 + x dx 1 + 3ln x ln x dx x Trang 15/25 Tài li u luy n thi đ i h c 3 2 80/I = ∫ ln(x − x)dx 2 e e2 e 2 96/I = 1 e2 e 83/I = 2 97/I = 1 2 98/I = 2 84/I = ∫ x ln(x + 1)dx 1 3 1 dx 85/I = ∫ 2 x +3 3 1 1 86/I = ∫ dx 2 0 4−x π2 4 87/I = 3 2 ∫ x − 2x − x + 2 dx... dx −1 x sin x dx 1 + cos 2 x 0 1 1 dx 105*/I = ∫ 2 (x + 1)(4 x + 1) −1 1 x4 106*/I = ∫ dx 1 + 2x −1 π 104*/I = ∫ π2 4 107/I = ∫ x sin xdx 0 π2 4 108/I = ∫ x cos xdx 0 Trang 16/25 Tài li u luy n thi đ i h c π 6 2 109/I = ∫ x.sin x cos xdx 0 x 2ex 110*/I = ∫ dx 2 0 (x + 2) 1 π 111/I = ∫ e 2x sin 2 xdx 0 2 2 112/I = ∫ x ln(1 + 1 1 )dx x e ln x dx (x + 1)2 1 113/I = ∫ e 1 2 sin 2x dx 4 0 1 + cos... (sin 2 x + 3) 0 118/I = ∫ 0 π 2 2 1 π 3 1 π 4 1 sin 2 x sin 2x dx ∫ 2 −π (2 + sin x) 1 dx cos x.sin 2 x π 134/I = ∫ 6 3 sin x cos xdx 0 Biên so n: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 17/25 Tài li u luy n thi đ i h c 3 π 3 135/I = ∫ sin x.tgxdx 0 π 3 136/I = 1 1 dx 138/I = ∫ 2 2 π sin x + 9cos x −2 1 151/I = ∫ 0 1 2 152/I = 3 π 2 153/I = cos x − 1 139/I = ∫ dx π cos x + 2 2 x + 4x + 13 1 dx x 3+e 3e4x + .
t b
x
a
−
=
+)
dt
dt adx dx
a
= ⇒ =
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng
(
)
b'
a'
A=. )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ =
⇒
= +
2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A được
(
)
2
' '
2
' '
1 tan
1 1
tan
C u du
A du
a
Ngày đăng: 21/03/2014, 14:55
Xem thêm: Phương pháp tìm nguyên hàm tích phân luyện thi ĐH, Phương pháp tìm nguyên hàm tích phân luyện thi ĐH