Phương pháp tìm nguyên hàm tích phân luyện thi ĐH

2 Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có t

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

a

x x

( cos

2 2

9.∫ =∫ + g x dx= − gx+C

x

dx

cot )

cot 1 ( sin

+

+

= +

+

∫( ) 1( 1)

1α

α

+b a ax b C ax

dx

ln

1

) 0 ( ≠a

a dx

e ax+b = ax+b+

∫ 1 ( ≠a 0 )

a dx b

∫cos( ) 1sin( ) ( ≠a 0 )

a dx b

∫sin( ) 1cos( ) ( ≠a 0 )

+b tg ax b dx ax

dx

)) (

1 ( ) ( cos

2 2

cot 1 ( ) ( sin

2 2

) 0 ( ≠a

dx

ln 2

A= P x dx∫

Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản

2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân

trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm

II Tích phân hàm hữu tỷ

1) Tích phân dạng b ( )

a

P x A= n dx

x

∫

Phương pháp: Chia P(x) cho xn để đưa tích phân về dạng b

ax

k x

2 Đổi cận của tích phân

3 Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng b' ( )

=

∫ (trong đó f(x) = ax + bx + c 2 có hai nghiệm x 1, x 2 )

Phương pháp: Thực hiện biến đổi tích phân như sau:

=

∫ (trong đó f(x) = ax + bx + c 2 vô nghiệm)

Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:

2 Đổi cận của tích phân

ax bx c

β α

+

=

∫ (trong đó f(x) = ax + bx + c 2 có hai nghiệm x 1, x 2 )

Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:

ax bx c

β α

+

=

∫ (trong đó f(x) = ax + bx + c 2 vô nghiệm)

Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:

ax bx c

β α

2 Đổi cận theo biến mới

3 Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ

3 Tính các giá trị cận theo biến mới

4 Thay vào A được:

=∫ + + (Hệ số a dương)

Phương pháp:

Đặt: 2 2

2 2

βα

β α

βα

A

ax bx c

β α

βα

βα

=∫ + + (Hệ số a âm)

Phương pháp: Ta biến đổi như sau:

2 2

'

2 '

' 2 ' ' 2 '

α β α

ax bx c

β α

β α

β α

β α

++

Tính 2

2

dx A

mx nx c

β α

Phương pháp: Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản

mà ta có thể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:

+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân

+) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân

−

∫

cos

a x

β α

Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất

b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k∈N), ta biến đổi như sau:

3 Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức

Trường hợp đối với osn

β α

=∫ giải tương tự

2 Tích phân dạng: tann

β α

β α

=∫

tan 1 tan tan

=∫ ta giải tương tự

3 Tích phân dạng:

sinn

dx A

x

β α

=∫ hoặc

osn

dx A

c x

β α

sin k sin k sin k 1 cos k

x

β α

=∫ ta giải tương tự

4 Tích phân dạng:

dx A

β α

β α

β α

Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán

6 Tích phân dạng: sin cosn m

β α

u

=+Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ

7 Tích phân dạng: A f a( cos2x bsin2 x c).sin 2xdx

β α

Phương pháp:

1 Đặt u=acos2x+bsin2x+ , khi đó ta có: c

du=2(b−a).sin cosx xdx=(b−a)sin 2xdx

β α

Phương pháp:

a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k')

Ta thực hiện biến đổi như sau:

b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1)

Ta thực hiện biến đổi như sau:

cos k sinn cos k sinn cos k .sin 1 sin k .sin

β α

=∫ tương tự

2 Tích phân dạng: A f(ln )x dx

β α

=∫ , B f (loga x dx)

β α

Trường hợp tích phân B f (loga x dx)

β α

VI Phương pháp tích phân từng phần

1 Tích phân dạng: A P x( )cosxdx

β α

=∫ , B P x( )sinxdx

β α

Để tính tích phân P x'( )sinxdx

β α

∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được kết quả cần tìm

Trường hợp tích phân B P x( )sinxdx

β α

2 Tích phân dạng: A P x( )lnxdx

β α

=∫ , B P x( )loga xdx

β α

Tích phân Q x( )

dx x

β α

∫ : sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính Trường hợp tích phân B P x( )loga xdx

β α

3 Tích phân dạng: ( ) x

A P x e dx

β α

B P x a dx

β α

Để tính tích phân '( ) x

P x e dx

β α

∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được kết quả cần tìm

Trường hợp tích phân ( ) x

B P x a dx

β α

4 Tích phân dạng: cos x

β α

β α

Để tính tích phân sin x

xe dx

β α

∫ ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A

Trường hợp tích phân sin x

β α

∫ 13*/ I =

3 3 2

3

sin x sin x

cot gx dx sin x

2

cos2sin

π

18/ I =∫4 +

0 2

20/ I = ∫4

0 6cos1

ln x

dx x(ln x 1) +

4 3 3

dx x

−

∫

40*/I =

2 2

2 2

∫

41/I =

ln 2 x 0

e − 1dx

∫

42/I =

1 0

1 dx

3 2x −

∫

43/I =2 5

0sin xdx

π

∫

44*/I =

3 0

1 dx cos x

π

∫

45/I =

2x 1 x 0

∫

46/I =

ln 3

x 0

1 dx

ln x 2 ln x

dx x

+

∫

49/I =

e 1

sin(ln x)

dx x

51/I =

1

2 3 0

1 dx

+

∫

63/I =

2 1

0

x

dx (x 1) x 1 + +

x 1 xdx −

∫

70/I =

2 3 0

x 1

dx 3x 2

+ +

∫

71*/I = 6

0

x sin dx 2

π

∫

72*/I =

2 0

ln(1 x)

dx

+ +

π

+

∫

76/I =e 1

4 x dx +

∫

78/I =2 1

1 3ln x ln x

dx x

+

∫

80/I =

3

2 2

1 dx

4cos 2x 1dxπ

π

∫

100/I =

2 0

1 sin xdx

π+

∫

101/I =

3 4

4sin 2x dxπ

106*/I =

4 1

x 1

x dx

x cos xdxπ

∫

2 0

x e

dx (x 2) +

∫

113/I =

e

2 1

e

ln x

dx (x 1) +

2x 9

dx

x 3

+ +

∫

127/I =

4 2 1

1 dx

sin 2x

dx (2 sin x)

−π∫ +

129/I =

1

2 0

x 3

dx (x 1)(x 3x 2)

4x dx (x + 1)

∫

132/I =

3 3

2 0

sin x

dx (sin x 3)

π

π

∫

sin x

dx (tg x 1) cos x

π

π

−

− +

0

sin x

dx cos x

1

dx 4x x −

∫

149/I =

2

2 1

1 dx

dx

1 e

+ +

∫

153/I =

4

2 7

0

cos x

dx cos x sin x

cos x dx

∫

160/I =

1 0

x sin x dx

π

∫

x e

dx (x 2) +

∫

177/I =

e

2 1

e

ln x

dx (x 1) +

∫

178/I =

1 2 0

1 dx

x (x 1) +

∫

186/I =

1 2 0

ln(1 x)

dx

+ +

∫

187/I

4 1

6 0

1 x

dx

1 x

+ +

ln x dx

∫

194/I =

2 4

dx

+ +

∫

196/I =3

2 4

tgx

dx cos x 1 cos x

ln(1 x)

dx x

dx x

+

∫

207/I =

3 4 2 0

sin x

dx cos x

e

ln x

dx (x 1) +

∫

211/I =

1 0

2 0

x dx

x dx

4 x −

∫

214/I =

1 4 2 2 0

x dx

2 0

x dx

1 x −

∫

217/I =

2 2

∫

218/I =

3 7

0

x dx

∫

224/I =

1

2 2x 0

(1 x) e dx +

∫

225/I =2

2 0

cos x

dx cos x 1

+ +

2x 0

2 0

sin x.cos x

dx cos x 1

1 dx

x 1

dx 3x 2

+ +

∫

237/I =

4

2 7

π

− +

π

+ +

2 0

x dx

1 x −

∫

245/I =

2

3 2

2 0

x dx

1 x −

∫

246/I =

2 1

2 2

2

1 x

dx x

−

∫

247/I =

2 1

2 0

3

1 dx

1 dx (1 x)x +

+ +

∫

258/I =

1

2 3 0

1 dx (4 x ) +

∫

261/I =

2 1

3 0

5 1

1 x

dx x(1 x )

− +

sin x

dx cos x

π

∫

265/I =

3 6

0

sin x sin x

dx cos 2x

π

∫

+ +

0

x

dx (x + 1)

∫

278/I =

1

3 0

x dx (2x 1) +

2

1 dx

x 1 x −

∫

281*/I =

2 1

2 0

(x 1) ln x dx −

∫

283/I =

3 2 0

x ln(x 1)dx +

∫

284/I =

3 2

2 1

2 1

2

1

dx (3 2x) 5 12x 4x

287/I =

1 0

3

1 dx

x x − 1

∫

296/I =

3 7

0

x dx

1 dx

x 1 x +

∫

298/I =

3 1

2 0

0

cos x

dx cos x 1

1 dx

3 e

−∫ +

309*/I =

2 x

0

sin x

dx cos x sin x

315*/I =

1 3x 1 0

e + dx

∫

316*/I =

2 1 2 0

0

cos x

dx cos 3cos x 3

2 0

t e

dt 1 (t 2) + =

∫

319*/I =3

2 4

tan x

dx cos x cos x 1

sin x

dx cos x 1

∫

328*/I =

1 3 1 2

x dx

x x

dx x

∫

331/I =

1 4

e

2 1