Lớp 12 - Luyện thi ĐH Bài tập phương trình đường tròn

Chuyờn PHNG TRèNH NG TRềN OXY Luy n thi I HC 2011 Giỏo viờn: Lấ B BO T Toỏn Trng THPT Phong in M 0 D R I Chuyờn : PHNG TR èNH NG TRềN I- Lí THUY T : 1. Phng trỡnh ng trũn: Dng 1: Ph ng trỡnh ng trũn ( ) C cú tõm ( ; )I a b , bỏn kớnh 0R > : ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R - + - = D ng 2: Ph ng tr ỡnh t ng qu ỏt: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = (*) cú tõm ( ; )I a b , bỏn kớnh 2 2 R a b c= + - Lu ý: i u ki n (*) l ph ng trỡnh c a m t ng trũn l: 2 2 0a b c+ - > THUT TON L p phng trỡnh ng trũn Bc 1 : Xỏc nh tõm ( ; )I a b c a ( ) C . Bc 2: Xỏc nh bỏn kớnh 0 R > . Kt lun: Ph ng trỡnh ng trũn ( ) C cú tõm ( ; )I a b , bỏn kớnh 0R > : ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R- + - = Nh n xột : Ph ng tr ỡnh (*) hon ton xỏc nh n u bi t c ỏc h s , , a b c . Nh v y chỳng ta c n 3 gi thit xỏc nh , , a b c . 2. Tip tuyn ca n g trũn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = a. Ti p tuyn ca ( ) C ti 0 0 0 ( ; )M x y ( 0 M : ti p im ) Ti p tuy n c a ( ) C t i 0 0 0 ( ; )M x y cú ph ng trỡnh: 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 xx yy a x x b y y c+ - + - + + = ( CT phõn ụi to ) Nhn xột: 0 0 0 0 0 0 ( ; ) ( ; )Rõ ràng tiếp tuyến đi qua và có 1 vectơ pháp M x y IM x a y b 0 0 0 0 : ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y b. iu kin tip xỳc: ng thng : 0ax by cD + + = l tip tuyn ca ( ) ( ) ; C d I R D = Lu ý: ti n trong vi c tỡm ph ng trỡnh ti p tuy n c a ( ) C , chỳng ta khụng nờn xột ph ng trỡnh ng th ng d ng y kx m= + ( tn ti h s gúc k ). V ỡ nh th d n n sút tr ng h p ti p tuy n th ng ng x C= ( khụng cú h s gúc ) . Nhc: * Đờng thẳng có hệ số góc . * Đờng thẳng (vuông góc ) không có hệ số góc. y kx m k x C Ox 0 0 ( ; ) 0 Do đó, trong quá trình viết pt tiếp tuyế n với (C) từ 1 điểm M (ngoài (C)) ta có thể thực hiện bằng 2 p.pháp: x y * Phơng pháp 1: 0 0 ( ; ) 0 Gọi đờng thẳng bất kì qua M và có h.s.g k: x y 0 0 ( ) y y k x x R I www.buiphan.net Chuyờn PHNG TRèNH NG TRềN OXY Luy n thi I HC 2011 Giỏo viờn: Lấ B BO T Toỏn Trng THPT Phong in 0 áp dụng đk tiếp xúc, giải đợc k. * Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tơng ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong. * Nếu giải đợc 1 h.g.góc k, thì xét đờng thẳng (đây là tiếp tuyến thứ hai)x x . * Phơng pháp 2: 2 2 0 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 Gọi là 1 v.t pháp của đ.thẳng đi qua Mn a b a b x y 0 0 ( ) ( 0 ) a x x b y y , . áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta đợc 1 phơng trình đẳng cấp bậc hai theo a b Nhn xột: Phơng pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn. 3. V trớ tng i ca hai ng trũn - S tip tuyn chung: Cho hai ng trũn ( ) 1 C cú tõm 1 I , bỏn kớnh 1 R v ( ) 2 C cú tõm 2 I , bỏn kớnh 2 R . Tr ng hp Kt lun S tip tuyn chung R 2 R 1 I 2 I 1 1 2 1 2 + < R R I I ( ) 1 C kh ụng c t ( ) 2 C (ngoi nhau) 4 I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2 R R I I+ = ( ) 1 C ti p xỳc ngoi v i ( ) 2 C 3 I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2 1 2 R R I I R R+ > > - ( ) 1 C c t ( ) 2 C t i hai i m phõn bi t 2 I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2 R R I I - = ( ) 1 C ti p xỳc trong v i ( ) 2 C 1 www.buiphan.net Chuyờn PHNG TRèNH NG TRềN OXY Luy n thi I HC 2011 Giỏo viờn: Lấ B BO T Toỏn Trng THPT Phong in I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2 R R I I - < ( ) 1 C kh ụng c t ( ) 2 C ( l ng v o nhau) 0 V N 1: Nhn dng 1 phng trỡnh bc hai l phng trỡnh ng trũn. Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn. Phng phỏp: Cỏch 1: a ph ng trỡnh v d ng 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = (1) Ki m tra, n u bi u th c : 2 2 0a b c+ - > thỡ (1) l ph ng trỡnh ng trũn ỡ ù ớ = + - ù ợ 2 2 Tâm ( ; )I a b R a b c Cỏch 2: a ph ng trỡnh v d ng : - + - = 2 2 ( ) ( )x a y b m v k t lu n . LUYN TP: Bi tp 1: Trong cỏc ph ng trỡnh sau, ph ng trỡnh no bi u di n ng trũn. Tỡm tõm v bỏn hớnh n u cú: + - + + = + + - - = + + + + = + - + - = + - = + - + + = + + + - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0 ) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0 ) 4 0 ) 2 4 8 1 0 ) 2 4 5 0 a x y x y b x y x y c x y x y d x y x y e x y y f x y x y g x y xy y Bi t p 2: Cho ph ng trỡnh + - + + - = 2 2 2 4 6 1 0x y mx my m (1) a. V i gi ỏ tr n o c a m thỡ pt(1) l ph ng tr ỡnh c a ng tr ũn? b. N u (1) l ph ng trỡnh ng trũn, hóy tỡm to tõm v tớnh bỏn kớnh ng trũn ú theo m . Bi tp 3 : Cho ph ng trình : 2 2 2 6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + - - + + - = . a. Tìm i u ki n c a m pt trên l l phơng trình ng tròn. b. Tìm qu tích tâm ng tròn. Bi tp 4: Cho ph ng trỡnh: 2 2 1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x ya a . ;1 0 a. Với giá trị nào của thì phơng trình trên là p.trình của một đờng tròn. b. Tìm giá trị để đờng tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất. c. Tìm quỹ tích tâm đờng tròn, khi thay đổi trên đoạn 0 a a a 0 80 . Bi tp 5 : Cho ph ng trình ( ) m C : 2 2 2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + - - - + = . a. Tìm m ( ) m C l ph ng trình c a m t ng tròn. b. Tìm m ( ) m C l ng tròn tâm (1; 3).I - Vi t ph ng trình ng tròn. c. Tìm m ( ) m C l ng tròn có bán kính 5 2.R = Vi t ph ng trình ng tròn. d. Tìm t p h p tâm các ng tròn ( ) m C . Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luy ện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: Cách 1: Tìm tâm ( ; ) I a b , b án kính > 0R . Suy ra ( ) ( ) - + - = 2 2 2 ( ) :C x a y b R Cách 2: G ọi ph ươ ng trình đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = - T ừ đ i ều ki ện c ủa đ ề b ài đư a đ ến h ệ ph ươ ng tr ình v ới ẩn s ố , , a b c . - Gi ải h ệ ph ươ ng trình tìm , , a b c . LUY ỆN TẬP: Bài tập 1: L ập p h ươ ng tr ình đư ờng tr òn (C) trong các tr ư ờng h ợp sau: a. (C) có tâm ( 1;2)I - và tiếp x úc v ới đường th ẳng : 2 7 0x yD - + = . b. (C) có đư ờng k ính là AB v ới (1;1), (7;5) A B Bài tập 2: Vi ết ph ươ ng trình đường tròn đ i qua ba đ i ểm v ới (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C- - . Bài tập 3 : Cho 3 đ i ểm (1;2), (5;2), (1; 3) A B C - . a. L ập ph ươ ng trình đường tròn (C) ngo ại ti ếp tam giác ABC. b. Xác đ ịnh t âm và bán kính c ủa (C). Bài tập 4: Viết phươ ng trình đường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC v ới (1;5), (4; 1),A B - ( 4; 5) C - - Bài tập 5: L ập ph ươ ng trình đường tròn (C), có tâm (2;3)I trong các tr ường h ợp sau: a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua đ i ểm (1;5)A . c. (C) ti ếp xúc v ới tr ục Ox d. (C) ti ếp xúc v ới tr ục Oy e. (C) ti ếp xúc v ới đường th ẳng : 4 3 12 0x yD + - = Bài tập 6 : L ập ph ươ ng tr ình đư ờng tr òn (C) đ i qua hai đ i ểm ( 1;2), ( 2;3) A B- - v à có tâm ở tr ên đường th ẳng : 3 10 0x yD - + = . G ợi ý: Cách 1: Gọi ( ;3 10) ΔI a a + Î . Do (C) qua A, B nên ( ) IA IB R= =   Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d c ủa đoạn AB. Bư ớc 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ . Bài tập 7: L ập ph ươ ng trình c ủa đường tròn (C) đ i qua 2 đ i ểm (1;2), (3;4) A B v à ti ếp xúc v ới đường th ẳng : 3 3 0x yD + - = . G ợi ý: Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn. Theo giả thiết: ( ) ;Δ IA IB d I IA = ì ï Þ í = ï î gi ải ra I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Gọi tâm của (C) là I dÎ ( tọa độ 1 ẩn ). Do Δ ti ếp xúc với (C) nên ( ) ;Δd I IA= Þ gi ải ra I. Bài tập 8: L ập ph ươ ng trình đường tròn (C) đ i đ i ểm (4;2)M và tiếp x úc v ới các tr ục to ạ độ . Gợi ý: Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luy ện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a b R= = . TH 1: ( ; ), a b I a a R a= Þ = Phương trình (C): ( ) ( ) 2 2 2 x a y a a- + - = Do ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 (4;2) 4 2 12 20 0 10 = é Î Û - + - = Û - + = Û ê = ë a M C a a a a a a V ậy có 2 đường tròn: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 : 2 2 4 C x y- + - = và ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 10 10 100 C x y- + - = . TH 2: ( ; ), a b I a a R a= - Þ - = Phương tr ình (C): ( ) ( ) 2 2 2 x a y a a - + + = Do ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖm Î Û - + + = Û - + =M C a a a a a Bài tập 9: Cho 3 đường th ẳng : 1 2 : 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0D + - = D + - = + - =x y x y d x y . L ập ph ươ ng trình đường tròn (C) có tâm I n ằm trên đường th ẳng d và (C) ti ếp xúc v ới 1 2 , D D . G ợi ý: Cách 1: G ọi ( ;1 2 ) I a a d- Î là tâm c ủa đường tròn (C). Do 1 2 , D D là các ti ếp tuyến của (C) nên suy ra: ( ) ( ) 1 2 ; ;D = D Þd I d I giải ra I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1 D và 2 D . 2 2 2 2 3 4 1 4 3 8 3 4 1 4 3 8 3 4 4 3 + - + - = Û + - = + - + + x y x y x y x y ( ) 1 2 3 4 1 4 3 8 : 7 0 3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0 + - = + - - - = é é Û Û ê ê + - = - + - - - = ë ë x y x y T x y x y x y T x y Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và 1 2 , . T T Bài tập 10 : L ập ph ươ ng tr ình đư ờn g tròn đ i qua hai đ i ểm (0;1), (2; 3) A B  v à có bán kính 5 R  . Gợi ý: Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn (C). Theo giả thiết 5 IA IB IA R = ì í = = î Cách 2: Bư ớc 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB. Bước 2: Gọi I dÎ (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết 5 IA = Þ gi ải ra I. Bài tập 11: L ập ph ươ ng trình đường tròn (C) có tâm (1;1) I , bi ết đường th ẳng : 3 4 3 0 x y    c ắt (C) theo d ây cung AB v ớ i 2.AB  Gợi ý: www.buiphan.net Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luy ện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Dễ thấy ( ) 2 2 ;Δ 4 AB R d I= é ù + ë û Bài tập 1 2: ( ĐH A -2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và (4; 2)C - . G ọi H là ch ân đư ờng cao k ẻ t ừ B ; M, N l ần l ư ợt l à trung đ i ểm c ủa AB v à BC. Vi ết ph ươ ng tr ình đư ờng tr òn qua các đ i ểm H, M, N. Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N. Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN. D ễ thấy tâm I của (C) thuộc d . Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d . Suy ra IM R= . Bài tập 1 3 : Vi ết phươ ng tr ình đư ờng tr òn đ i qua đ i ểm (1;1) A v à có bán kính 10 R  , t âm (C) n ằm tr ên Ox. Gợi ý: Gọi ( ;0)I a OxÎ là tâm của (C). Theo giả thiết, 10IA = , từ đây giải ra I. Bài tập 1 4 : Vi ết phươ ng tr ình đư ờng tr òn đ i qua đ i ểm (2;3) M v à ti ếp x úc đ ồng th ời v ớ i hai đường th ẳng 1 2 : 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y        Gợi ý: Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ;Δ ;Δ ;Δ IM d I R d I d I ì = = ï Þ í = ï î giải ra I. Bài t ập 1 5: Viết phươ ng trình đường tròn đ i qua g ốc to ạ độ , bán kính 5R  và ti ếp xúc v ớ i đường th ẳng : 5 0 2x y    . Gợi ý: G ọi ( ; ) I a b là tâm c ủa (C). Theo giả thiết ( ) ( ) 5 ;Δ 5 OI R d I ì = = ï Þ í = ï î gi ải ra I. Bài tập 1 6: Cho đường th ẳng : 3 0 d x y   và đường tròn 2 2 ( ) : 7 0. C x y x y    Ch ứn g minh r ằ ng d c ắt ( )C . Hãy vi ết ph ươ ng tr ình đư ờng tr òn ( ')C đ i qua ( 3;0)M  và các giao đ i ểm c ủa d v à ( )C . G ợi ý: Xét hệ phương trình: 2 2 2 2 3 0 3 7 0 7 0 (1) (2) x y y x x y x y x y x y                             Thay (1) vào (2) : 2 1 2 (1; 2) 7 6 0 6 3 (0; 3) x y A x x x y B = Þ = - - é - + = Û ê = Þ = - - ë Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm (1; 2), (0; 3) A B- - và ( 3;0) M  . ( Dùng k ỹ năng: Gọi phương trình 2 2 2 2 0x y ax by c+ - - + = và thay t ọa độ) Chuyờn PHNG TRèNH NG TRềN OXY Luy n thi I HC 2011 Giỏo viờn: Lấ B BO T Toỏn Trng THPT Phong in Bi tp 17 : Cho ng th ng : 3 0 d x y v ng trũn 2 2 ( ) : 7 0. C x y x y Ch n g minh r ng d c t ( )C t i hai i m phõn bi t , A B . Hóy vi t ph ng trỡnh ng trũn ( ') C i qua , A B v cú bỏn kớnh 3R . Gi ý: Xỏc nh cỏc giao im A, B ca d v (C). G i ( ; )I a b l tõm ca ( ')C . Theo gi thit: 3 IA IB IA = ỡ ớ = ợ . Bi t p 1 8: Vi t ph ng trỡnh ng trũn (C) i qua hai i m (1; 1), (3;1) P Q v ti p xỳc v i ng tr ũn 2 2 ( '): 4 C x y . G i ý: 2 2 ( '): 4 C x y cú tõm (0;0), 1 O R = . Lp phng trỡnh ng trung trc ca PQ. Gi I ẻ (ta 1 n) l tõm ca (C) Xột 2 trng hp: TH 1: (C) v (C) ti p xỳc ngoi, tc l 1 2 1OI R R OI IA= + = + ị gi i ra I. TH 2: (C) v (C) ti p xỳc trong, tc l 1 2 1OI R R OI IA= - = - ị gii ra I. Bi tp 19 : Vi t ph ng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh 2R , i qua (2;0)M v ti p xỳc v i ng tr ũn 2 2 ( '): 1. C x y Gi ý: G i ( ; )I a b l tõm ca ( )C . Theo gi thit: 1 IM R IO R = ỡ ớ = + ợ . T õy, gii ra I. Bi tp 20 : Vi t ph ng tr ỡnh ng tr ũn cú bỏn kớnh 2R , v ti p x ỳc v i ng tr ũn 2 2 ( '): 1 0 và đờng thẳng C x y y . Gi ý: Gi ( ; )I a b l tõm ca ( )C . Ta cú, (C) ti p xỳc vi Ox nờn 2 2 2 b R b b b = ộ = = ờ = - ở TH 1: 2 ( ;2) b I a= ị . Theo gi thit 1 2 'IO R R= + . T õy, gii ra I. TH 2: 2 ( ; 2)b I a= - ị - . Theo gi thit 1 2 'IO R R= + . T õy, gii ra I. Bi tp 21 : Vi t ph ng trỡnh ng trũn ti p xỳc v i ng th ng : 2 0 d y t i i m (4;2)M v ti p xỳc v i ng trũn 2 2 ( '): ( 2) 4. C x y G i ý: Qua M d ng ng thng vuụng gúc v i d . Lỳc ú, tõm I ẻ (ta 1 n). D thy R IM= TH 1: ' ' ' 'II R R II IM R= + = + . T õy, gii ra I. TH 2: ' ' ' ' II R R II IM R= - = - . T õy, gii ra I. Bi tp 22 : Cho ng trũn 2 2 ( '): 8 C x y . Vi t ph ng trỡnh ng trũn ( )C ti p xỳc v i ng th ng : 3 0 x v ng tr ũn (C) t i i m (2;2) M . Gi ý: www.buiphan.net Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luy ện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lập phương trình đường thẳng 'I M . Tâm 'I I MÎ (t ọa độ 1 ẩn). Ta có: ( ) ' ' ' , 3 'II IM I M II d I x I M= + Û = - + . Từ đây, giải ra I. Bài tập 23 : ( Đ ề dự bị 2003 ) Cho đư ờng th ẳng : 7 10 0 d x y- + = . Vi ết ph ươ ng tr ình đư ờng tr òn có tâm thu ộc đường th ẳng : 2 0x yD + = và ti ếp xúc v ới đường th ẳng d t ại đ i ểm (4;2)A . G ợi ý: Tâm ΔI Î (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết ( ) ,IA d I d= . Từ đây, giải ra I. V ẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TI ẾP TUY ẾN C ỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài tập 1 : Cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 2 1 25x y- + - = . Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa (C) trong các tr ường h ợp sau: a. T ại đ i ểm (5; 3)M - b. Bi ết ti ếp tuy ến song song : 5 12 2 0x yD - + = c. Bi ết ti ếp tuy ến vu ông góc : 3 4 2 0 x yD + + = d. Bi ết ti ếp tuy ến đ i qua (3;6)A . Bài tập 2 : Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến v ới (C): 2 2 4 2 0x y x y+ - - = t ại giao đ i ểm c ủa (C) và đường th ẳng : 0 x yD + = . Bài t ập 3 : Vi ết phươ ng tr ình ti ếp tuy ến c ủa (C): 2 2 4 2 0x y x y+ - - = xu ất ph át t ừ (3; 2) A - . Gợi ý: (C) có tâm (2;1)I và 5R = . Cách 1: G ọi ( ) ( ) 2 2 ; 0n a b a b= + >  là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm: : ( 3) ( 2) 0 3 2 0 a x b y ax by a bD - + + = Û + - + = . D là tiếp tuyến của (C) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 ; 5 3 5 a b a b d I R b a a b a b + - + Û D = Û = Û - = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 9 6 5 2 3 2 0 1 1 2 2 b b a a b ab a a b b ab a b b a a é = Û = ê Û - + = + Û - - = Û ê ê = - Û = - ê ë TH 1: 2b a= . Lúc đó: : ( 3) 2 ( 2) 0 3 2( 2) 0 2 1 0a x a y x y x yD - + + = Û - + + = Û + + = (do 0a ¹ ) TH 2: 1 2 b a= - Lúc đó: 1 1 : ( 3) ( 2) 0 3 ( 2) 0 2 8 0 2 2 a x a y x y x yD - - + = Û - - + = Û - - = (do 0a ¹ ) Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. 1 : 2 1 0x yD + + = , 2 : 2 8 0x yD - - = . Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm. G ọi ( ) 0 0 0 ;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C). Suy ra: 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 ( ) . 0 x y x y M C M A M I M A M I ì + - - = Î ì ï Û í í ^ = î ï î   Từ đây, giải ra hai tiếp điểm… www.VNMATH.com Chuyên đ ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luy ện thi ĐẠI HỌC 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Bài tập 4 : Cho đường tròn (C): 2 2 6 2 6 0x y x y+ - + + = và đ i ểm (1;3)A . a. Ch ứng t ỏ A n ằm ngoài đường tròn (C). b. L ập ph ươ ng tr ình ti ế p tuy ến v ới (C) xu ất ph át t ừ A. Bài tập 5 : Cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 1 2 9x y+ + - = và đ i ểm (2; 1)M - . a. Ch ứng t ỏ qua M ta v ẽ được hai ti ếp tuy ến 1 D và 2 D v ới (C). Hãy viết phươ ng trình c ủa 1 D và 2 D . b. G ọi 1 M và 2 M l ần l ượt là hai ti ếp đ i ểm c ủa 1 D và 2 D v ới (C), hãy viết phươ ng trình 1 2 M M . Gợi ý: (C) có tâm ( 1;2) I - và 3R = . a. Ta có (3; 3) 3 2 3IM IM R- Þ = > =  nên M nằm ngoài (C). Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C). Cách 1: Gọi ( ) ( ) 2 2 ; 0n a b a b= + >  là m ột vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: G ọi ( ) 0 0 0 ;M x y là ti ếp điểm. Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại 0 M có dạng :D ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 2 2 9x x y y+ + + - - = . M ặt khác do D qua (2; 1)M - nên: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - = (1) Do ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 ; ( ) 1 2 9 (2)M x y C x yÎ Û + + - = Từ (1) và (2), giải hệ: ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1, 1 2, 2 1 2 9 x y x y x y x y - = ì = - = - é ï Û í ê = - = - + + - = ë ï î Suy ra hai ti ếp điểm 1 2 ( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - - TH 1: Tiếp tuyến 1 D qua (2; 1)M - và 1 ( 1; 1) M - - có phương trình: 1y = - . TH 2: Tiếp tuyến 2 D qua (2; 1)M - và 2 ( 2; 2)M - - có phương trình: 2 1 4 6 0 2 2 2 1 x y x y - + = Û - - = - - - + . b) Theo trên, hai tiếp điểm là 1 2 ( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - - . Cách 1: Phương trìn h 1 2 2 2 : 0 1 2 1 2 x y M M x y + + = Û - = - + - + . Cách 2: ( Không c ần xác định tọa độ 1 2 , M M ) G ọi ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; , ; M x y M x y . Tiếp tuyến của (C) tại 1 M : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 9 x x y y+ + + - - = . Mặt khác do D qua (2; 1) M - nên: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 9 0 x y x y+ + + - - - = Û - = (3) Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại 1 M : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 9x x y y+ + + - - = . M ặt khác do D qua (2; 1) M - nên: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - = (4) T ừ ( 3 ), (4) d ễ thấy: 1 2 , : 0M M x yÎD - = hay đường thẳng 1 2 : 0M M x y- = . Bài t ập 6 : L ập ph ươ ng tr ình ti ếp tuy ến chung c ủa hai đư ờng tr òn: a) 2 2 1 ( ) : 6 5 0C x y x+ - + = và 2 2 2 ( ) : 12 6 44 0C x y x y+ - - + = . Chuyờn PHNG TRèNH NG TRềN OXY Luy n thi I HC 2011 Giỏo viờn: Lấ B BO T Toỏn Trng THPT Phong in b) 2 2 1 ( ) : 2 3 0C x y x+ - - = v 2 2 2 ( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + = c) 2 2 1 ( ) : 2 2 3 0 C x y x y+ + - - = v 2 2 2 ( ) : 4 4 16 20 21 0 C x y x y+ - - + = d) 2 2 1 ( ) : 1 C x y+ = v 2 2 2 ( ) : 4 5 0 C x y y+ - - = Gi ý: 6b) 2 2 1 ( ) : 2 3 0C x y x+ - - = v 2 2 2 ( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + = Ta cú ( ) 1 C cú ( ) 1 1 1;0 2 I R ỡ ù ớ = ù ợ Tâm Bán kính v ( ) 2 C cú ( ) 2 2 4;4 2 I R ỡ ù ớ = ù ợ Tâm Bán kính Ta cú: 1 2 1 2 1 2 (3;4) 5 4I I I I R R= ị = > = + . Vy ( ) 1 C v ( ) 1 C ngoi nhau nờn tn ti 4 tip tuyn chung cn tỡ m. Gi ( ) 2 2 : 0 0ax by c a bD + + = + > l tip tuyn chung ca ( ) 1 C v ( ) 2 C . Lỳc ú, theo gi thit: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 4 4 4 4 2 2 a c a c a b d I R a b d I R a b c a b c a b a b ỡ + = ù ỡ + = + ỡ D = + ù ù ù ớ ớ ớ D = + + ù + + = + ù ù ợ ợ = ù + ợ (1) (2) T (1) v (2) suy ra: ( ) 3 4 0 4 4 4 4 5 4 4 4 2 a b a c a b c a c a b c a b a c a b c c + = ộ + = + + ộ ờ + = + + - - ờ ờ + = - + + = ở ở TH 1: 4 3 4 0 3 a b a b+ = = - . Lỳc ú, (1) tr thnh: 2 2 14 4 16 4 10 2 3 3 9 3 3 2 c b b c b b b c b c b ộ = ờ - = + - = ờ = - ở * Vi 14 4 , 3 3 c b a b= = - ti p tuyn 1 4 14 : 0 4 3 14 0 3 3 bx by b x yD - + + = - + + = . * V i 4 2 , 3 c b a b= - = - tip tuyn 2 4 : 2 0 4 3 6 0 3 bx by b x yD - + - = - + - = . TH 2: 5 4 2 a b c - - = . Lỳc ú, (1) tr thn h: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 2 3 4 4 3 4 4 2 0 2 9 24 16 16 16 7 24 0 24 74 7 7 a b a a b a b a b a b a b a c b a ab b a b a a b a b c b - - + = + + = + + = + = ị = - ộ ờ + + = + - = ờ = ị = - ở * V i 2 , 0c b a= - = tip tuyn 3 : 2 0 2 0by b yD - = - = . * V i 74 24 , 7 7 c b a b= - = tip tuyn 4 24 74 : 0 24 7 74 0 7 7 bx by b x yD + + = + - = . [...]... x - 7 y + 10 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : 2 x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2) 8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng d : x - y - 1 = 0 và đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y - 2 ) = 4 2 2 Viết phương trình đường tròn ( C / ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d Tìm toạ độ giao điểm của ( C / ) và ( C ) Gợi ý: 2 2 Tõ (C): ( x - 1) + ( y -. .. A(1;0) , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C của tam giác thứ tự có phương trình: x - 2 y + 1 = 0 và 3x + y - 1 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiế p tam giác ABC Gợi ý: Phương trình AB : x - 3 y = 1 Þ B (-5 ; -2 ) Phương trình AC : 2x + y = 2 Þ C (-1 ;4) Sử dụng kỹ năng gọi đường tròn đi qua 3 điểm A(1;0) , B (-5 ; -2 ) và C (-1 ;4) ta tìm được 36 10 43 = 0 phương trình ( C ) :... - 4a - 6b + 3 = 0 (2) (1) và ( 2) ì ìa = -1 ìa = 3 ïa2 + b2 - 10b + 15 = 0 Ûí Ûí hay í ï4a - 4b + 12 = 0 ỵb = 2 ỵb = 6 ỵ Vậy ta có 2 đường tròn thỏa ycbt là ( x + 1) 2 + ( y - 2 ) 2 = 10 ( x - 3) 2 + ( y - 6 ) 2 = 10 14) (ĐH D-2006) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d : x - y + 3 = 0 Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường. .. : x 2 + y 2 + 4 x - 2 y - 20 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của ( C1 ) , ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6 y - 6 = 0 b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) 4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8 y + 16 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2... OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011     Từ (**) suy ra: IA.IB = 0 Û ( -my A + 2m - 1) ( -myB + 2m - 1) + ( y A + 2 ) ( yB + 2 ) = 0 Sử dụng định lí Vi-et đối với phương trình (*), suy ra kết quả 4 2 23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 2 ) + y 2 = và hai 5 đường thẳng Δ1 : x - y = 0, Δ 2 : x - 7 y = 0 Xác định tâm K và bán kính của đường tròn ( C1 ) , biết đường tròn. .. hai đường tròn ( C1 ) : x + y - 4 x - 8 y + 11 = 0 và ( C2 ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 2 = 0 Cách 3: Dùng cơng thức SDAMN = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền A Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY a Xét vị trí tương đối của hai đường tròn b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( C ) : ( x - 1) + ( y + 3) = 9 và đường. .. + y2 -4 x - 6 y - 12 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C) Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I ( 2,3) , R=5 M ( x M ,y M ) Ỵ ( d ) Û 2x M - y M + 3 = 0 Û y M = 2x M + 3 IM = Û ( x M - 2 ) 2 + ( y M - 3) 2 = 10 ( x M - 2 ) 2 + ( 2x M + 3 - 3) 2 = 10 Û 5x2 - 4x M - 96 = 0 M é x M = -4 Þ y M = -5 Þ M ( -4 , -5 ) ê... Trường THPT Phong Điền Chun đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN OXY Cách 1: Ta cã: AB = a - 1 , AC = 3 a - 1 , BC = 2 a - 1 Do ®ã: SΔABC = Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 1 3 2 AB AC = ( a - 1) 2 2 a -1 3 ( a - 1) 2S Ta cã: r = = = = 2 AB + AB + BC 3 a - 1 + 3 a - 1 3 +1 2 VËy a - 1 = 2 3 + 2 y ỉ7+4 3 6+2 3 ư TH 1: a1 = 2 3 + 3 Þ G1 ç ; ÷ 3 3 ø è ỉ -1 - 4 3 -6 - 2 3 ư TH 1: a2 = -2 3 - 3 Þ G2 ç ; ÷ 3 3 è ø O B Cách... thuộc đường tròn (C) Gợi ý: 4 (1) 5 tiếp xúc với Δ1, Δ 2 Û d ( K ; D1 ) = d ( K ; D 2 ) ( = R1 ) Gọi tâm của ( C1 ) là K (a; b) Ỵ ( C ) Û Theo giả thi t, đường tròn ( C1 ) ( a - 2) 2 + b2 = 1 é é5a - 5b = a - 7b êa = - 2 b Û = Û 5 a - b = a - 7b Û ê Û ê 2 50 ë5a - 5b = 7b - a ë a = 2b Thay vào (1), giải ra kết quả a-b a - 7b 24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1)... (C1 ) : (x - 2 ) + ( y - 7 ) = 49 12) (Đề dự bị 2005) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 12 x - 4 y + 36 = 0 Viết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngồi với (C) 2 2 2 phương trình 2 Gợi ý: ( C ) Û x 2 + y 2 - 12 x - 4 y + 36 = 0 Û ( x - 6 ) + ( y - 2 ) = 4 Vậy (C) có tâm I ( 6,2 ) và R=2 Vì đường tròn ( C1 ) tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm I1 nằm trên 2 đường thẳng . y - = ì = - = - é ï Û í ê = - = - + + - = ë ï î Suy ra hai ti ếp điểm 1 2 ( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - - TH 1: Tiếp tuyến 1 D qua (2; 1)M - và 1 ( 1; 1) M - - có phương trình: 1y = - qua (2; 1)M - và 2 ( 2; 2)M - - có phương trình: 2 1 4 6 0 2 2 2 1 x y x y - + = Û - - = - - - + . b) Theo trên, hai tiếp điểm là 1 2 ( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - - . Cách 1: Phương trìn h. - - é - + = Û ê = Þ = - - ë Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm (1; 2), (0; 3) A B- - và ( 3;0) M  . ( Dùng k ỹ năng: Gọi phương trình 2 2 2 2 0x y ax by c+ -