LTDH ... TÍCH PHÂN HÀM NHỊ PHÂN THỨC

www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC I Trước tìm hiểu chuyên đề tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức  Có dạng x m (a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p   Tùy thuộc vào tính chất mối quan hệ qua lại lũy thừa m, n, p mà ta có cách đặt khác m 1 m 1 Cụ thể xét ba số p; ; p n n TH 1: Nếu p  Z ta đặt x  t q với q mẫu số chung nhỏ phân số tối giản m n p m 1 s TH 2: Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   ta đặt t   a  bx n  t  a  bx n n r Đặc biệt r - Nếu p   Z ta đặt t  a  bx n s r - Nếu p   Z p  2,3, ta sử dụng tích phân phần, p  TPTP lần, p  s TPTP hai lần, … a  bx n m 1 s TH 3: Nếu  p  Z , p  , r , s  Z  ta đặt  tr n r xn Bài tập giải mẫu: TH 1: Nếu p  Z ta đặt x  t q với q mẫu số chung nhỏ phân số tối giản m n Bài 1: Tính tích phân sau I   dx  x 1 x  Giải: 1   Ta có I     x 1  x  dx x x 1   dx  1  Nhận xét: m  1, n  , p  1  Z  q  2 Cách 1: Đặt x  t2 x t dx  2tdt www.mathvn.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  x  t  Đổi cận   x  t  Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 2 t dt  1 Khi I  2 dt    2      ln t  ln  t   ln t 1 t t 1 t  t 1  t   1 Cách 2:  x   t  1 Đặt  x  t   dx   t  1 dt  x  t  Đổi cận   x  t  3  t  1 dt dt 1  I  2    dt  ln t   ln t  2ln       t  1 t t 1 t   t  1 t  2 Khi TH 2: Nếu p m 1 s  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   ta đặt t   a  bx n  t  a  bx n n r Đặc biệt r  Z ta đặt t  a  bx n s r - Nếu p   Z p  2,3, ta sử dụng tích phân phần, p  TPTP lần, p  s TPTP hai lần, … - Nếu p  Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I   x  x dx Giải: 1 Phân tích I   x  x dx   x  x xdx 0 m 1 Nhận xét: m  3, n  2, p    2 n Cách 1:  x2   t Đặt t   x    xdx  tdt x  t  Đổi cận    x  t  1  Khi I    t  t  dt   t 1  t  dt   t 1 2 t   1 dt   t  t    15 3 Cách 2: www.mathvn.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 x2   t  Đặt t   x   dt  xdx    x  t    Đổi cận    x  t  Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 1 1 3  2  12 2  2 Khi I    t 1  t  dt   t 1  t  dt    t  t dt   t  t   21 20 0 23  15  Cách 4: Đặt x  cos t  dx   sin tdt   0 Khi I   sin t cos tdt   sin t 1  sin t  cos tdt Cách 4.1 Đặt sin t  u  cos tdt  du Khi 1  u u5  I   u (1  u )du    u  u  du       15  0 Cách 4.2  2    I   sin t  sin t d  sin t    0    sin t sin t  sin t  sin t d  sin t      2  15   Cách 4.3     12  cos 4t 12 12 I   sin 2t costdt   cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt 40 40 80 80 Cách 5: 1 1 I    x2  x d  x    x2  1  x d  x 20 20  1    x2 20   d  x    x2 20 dt Cách 3: Đặt t  x   xdx      Bài 3: Tính tích phân I       d 1  x  x dx x2  Giải :  x2  t   Cách 1: Đặt t  x     xdx  t dt  www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 t   x  Đổi cận    x  t  Khi I   www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com 2  t  1 t dt 3  t t  93      t  t  dt      t 21   10 x2  x xdx Cách 2: x2  t   Đặt t  x    dt  xdx   t   x  Đổi cận   t   x  8  t  1 dt    13 3  Khi I      t  t  dt   t  t  21 1 25 1  t x3 x Cách 3: Phân tích x  x  x  1  x   x  x  1  3 x 1 x 1 Cách 4: Sử dụng tích phân phần u  x du  xdx   Đặt  x d  x  1   v  x  dv  dx      3  x 1 x 1  Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I  x dx x2  Giải: Phân tích I x dx x2    x x 1 1   dx Nhận xét: m  1, n  2, p   m 1   0 n  x2  t  Đặt t  x     xdx  tdt t   x  Đổi cận   t   x  Khi I  x xdx x2  5 tdt dt t 3   ln  ln  t  t ( t  9) t  4  Cách 2: www.mathvn.com www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 x2  t   Đặt t  x    dt  xdx   25 dt Khi I   đến liệu ta làm không, cách đặt 16 t  9 t u  t … bạn đọc giải tiếp u  t2   2udu  dt Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx Giải: I   x 1  x  dx   x 1  x  x dx 0 Nhận xét: m  5, n  3, p   Z  m 1  0 n Cách 1:  dt   x dx Đặt t   x    x3   t  x  t  Đổi cận    x  t  1 1 6  t t8  Khi I    t 1  t dt   t 1  t dt    t  t dt      31 30 30   168 Cách 2: 6 I   x5 1  x3  dx   x 1  1  x   1  x3  dx   x 1  x  dx   x 1  x  dx 0 0 1 1  x    1  x3  d 1  x    1  x3  d 1  x3    30 1  1  x  8   168 2 Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I   x  x  1 dx Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân phần du   x  1 dx u   x  12  Đặt   x2 dv  xdx v     2 2  x x  34 x 2 Khi I   x  1   x  x  1 dx     x  x   dx       0 0  www.mathvn.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Cách 2: x  t  Đặt t  x    dx  dt  x  t  Đổi cận    x  t  Khi 3  t t  34 I    t  1 t dt    t  t  dt       1 1 Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có x  x  1  x  x  x  1  x  x  x Email: Loinguyen1310@gmail.com  x x x  34 Khi I    x3  x  x  dx       0  Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1 2 2 Khi I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1  TH 3: Nếu 0  x  1 4   x  1 3  34 a  bx n m 1 s  p  Z , p  , r , s  Z  ta đặt  tr n r xn Bài 7: Tính tích phân sau I   dx x  x2 Giải: Nhận xét: m  2; n  2; p  x2  m 1   p   Z nên đặt t n x2  x   t 1  x2  Đặt  t2   tdt x  xdx     t  1   x  t  Đổi cận   x  t   Ta có I dx x4  x2  www.mathvn.com dx x6 1 x2   t  1 t tdt t  1  t3     t  1 dt    t  3  2 2 5 8 24 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 8: Tính tích phân sau: I   Email: Loinguyen1310@gmail.com 3 x  x  x4 dx HD: 1 1  3 Ta có I     1 dx   x 3  1  x 2  dx  x 1 x 3 m 1 Nhận xét: m  3, n  2, p    1 Z n dt dx Đặt t      …  I  bạn đọc tự giải x x Bài 9: Tính tích phân sau I  dx  (1  x )3 Giải : Ta có m  0; n  2; p  3 m 1   p  1  Z n   t   x x 1 Đặt t  x2  xdx  tdt (t  1)  x    t  Đổi cận  3  x  t    Khi I   3 dt 1       2 t 2 (1  x )  x (t  1) t t t 2 x4 3 (t  1) x x xdx tdt Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I   dx x x3  HD: Đặt t  x3   dt  3x2 x3  dx  dx x x3   Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I  x www.mathvn.com dt t 1 dx x2   ln www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I   dx x x2  Email: Loinguyen1310@gmail.com  12  Cách 1: Đặt t  x   dt  x dx  dx xdx  x2  x x2  x2 x2  1 dx   Cách 2: Đặt t  , t   0;    dt cos t  2 x x2  1  π C1: Đặt x  với t   0;  x  cos t sin t  2  dt   dt t  tanu ,   u  ,  du 2 t 1 t 1 C2: Đặt x   t C3: Đặt x   t C4: Đặt x  t C5: Phân tích    x  1  x  Bài 4: Tính tích phân I   1 x3 x2  dx  C1: Đặt x  tan t C2: Phân tích x  x  x  1  x u  x  C3: Đặt  x dx dv  x   C4: Đặt x  t C5: Phân tích x dx  x xdx   x  1  1 d  x  1 Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I   x3 1 x 2 dx  x4 Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I   x5  141 20 dx Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I   x x  dx  14 Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I   x  x dx   1 468 2 1 Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I   x x  1dx  Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I   www.mathvn.com x  1.x5 dx  848 105 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I   x3 x  3dx  Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I   x5  x dx  Email: Loinguyen1310@gmail.com 8 105 x dx  ln 2 1 x Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I   32 Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân  Bài 14: Tính tích phân I   x 2  x dx  I dx  x x 2  1  1    12 Bài 16: Tính tích phân I   dx x2 x    2 b Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga “con mắt” tích phân hàm nhị phân thức  p Mở rộng I   u m  x   a  bu n  x   d u  x   với với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p   Và cụ thể hóa trường hợp sau p m 1 s Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   ta đặt t   a  bu n  x   t  a  bu n  x  n r r Đặc biệt : Nếu p   Z ta đặt t  a  bu n  x  s Ta xét thí dụ sau ln Thí dụ (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I   ln e2 x ex  dx Lời giải ln Ta có I   e2 x x ln dx    e x 1  e x   de x tích phân nhị thức với e 1 ln m 1 m  n  1, p      Z u  x   e x n x e  t  x Đặt e   t   x e dx  2tdt  x  ln t  Đổi cận    x  ln t  t  tdt 2 20 2 Khi I     t  dt  t  2t  t 1 ln  www.mathvn.com    www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Cách khác: Đặt e x   t e Thí dụ (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I   Email: Loinguyen1310@gmail.com  3ln x ln x dx x Lời giải e e 1  3ln x ln x dx   ln x 1  3ln x  d  ln x  tích phân nhị thức với x 1 m 1 m  n  1, p     Z u  x   ln x n  t2 1 ln x   Đặt  3ln x  t    dx  tdt  x  x  e t  Đổi cận   x  t  2 t2 1 2  t t  116 Khi I   t dt   (t t )dt      31 91   135 Ta có I   Cách khác: t   3ln x e ln x  ln x dx x Thí dụ (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I   Lời giải e e ln x  ln x dx   ln x 1  ln x  d  ln x  tích phân nhị thức với x 1 m 1 m  1, n  2, p     Z u  x   ln x n Ta có I   ln x t dt  dx x  x  e t  3 Đổi cận   x  t  Đặt t   ln x  3 3 3 3 t4 Khi I   t.t dt   t dt  232 32 3  3 3  23   Cách khác: Đặt  ln x  t e Thí dụ (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I   ln x x   ln x  dx Lời giải www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 e ln x 2 Ta có I   dx   ln x   ln x  d  ln x  tích phân nhị thức với x   ln x  m 1   Z , p  2  Z u  x   ln x n ln x  t   Đặt t   ln x   dx  x  dt m  1, n  1,  Khi I   t  2 t 2 1 dt     t 2t 2 3   dt   ln t    ln  t2   ln Thí dụ (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I   e x dx e x  1 Lời giải ln Ta có I  ln e x dx  e x  1   e x  1  de x tích phân nhị thức với m 1    Z u  x   e x n x Đặt t  e   2tdt  e x dx  dx  2tdt tdt 12 Khi I    2  1 t t 2 m  0, n  1, p   Thí dụ Tính tích phân sau I   dx x  x3 Lời giải 2 dx Ta có I     x 3  x x  x  x2  Đặt t  x    dt  2 x   t Đổi cận   x  t Ta có I    5 2  x x 1 Khi I   dt t  t  1 www.mathvn.com dx tích phân nhị thức với m  3, n  2, p  1  Z  xdx 2 1  t 1  dx   x x x  1 dx  1 1 1 t 5      ln  dt       ln  ln 2   t  1 t 1 t   t 1 t 1  2   11 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Thí dụ Tìm nguyên hàm: I   Email: Loinguyen1310@gmail.com x dx 39 1  x  Lời giải Ta có I   x dx 1  x  39   x 1  x  39 dx tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z  m 1  3 Z n Đặt t   x  x   t  dx   dt Khi 1  t  dt 1 1 1 I      39 dt   38 dt   37 dt     C với t   x 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t  sin x.cos x dx  cos x Thí dụ (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Lời giải Phân tích    2 sin x.cos x sin x.cos x 1 I dx   dx  2  cos x 1  cos x  d  cos x  tích phân nhị thức  cos x  cos x 0 với m  2, n  1, p  1  Z u  x   cos x dt   sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t    t  x  Đổi cận   t   x  Khi I  2   t  1 t 2  t2 1  dt    t    dt    2t  ln t t 2 1  2   ln  1 Thí dụ (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx Lời giải  2  2 Ta có I   sin x cos x 1  cos x  dx    cos x 1  cos x  d  cos x  tích phân nhị thức với 0 m  1, n  1, p   Z u  x   cos x sin xdx   dt Đặt t   cos x   cos x  t  www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  x  Đổi cận   t   x  Email: Loinguyen1310@gmail.com  t t  17 Khi I     t  1 t dt    t  t  dt        12 Nhận xét: Nếu gặp tích phân tổng (hiệu) hai tích phân nhị thức mà có cách đặt ta tính lý thuyết  Thí dụ 10 (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin x  sin x  3cos x dx Lời giải  Ta có I   sin x  cos x  1  3cos x     dx    cos x 1  3cos x  d  cos x    1  3cos x  d  cos x  0     I1 I2 Nhận xét: Đây tổng hai nhị thức u  x   cos x với I1 ta có m  n   m 1   Z với I n m 1  1 Z n Vậy lại ta  t2 1 cos x   Đặt  3cos x  t   2dt  sin x dx     3cos x ta có m  0, n     t  x  Đổi cận   t   x   4t 2   34  Khi I      dt   t  t   9  27  27 1  sin x dx  cos x Thí dụ 11 (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   Lời giải    sin x 3sin x  4sin x 1 dx   dx     4cos x  1 1  cos x  d  cos x  tổng  cos x  cos x 0 Ta có I   hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z  m 1   Z u  x   cos x nên ta n cos x  t  đặt t   cos x    dt  sin xdx www.mathvn.com 13 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  x  Đổi cận   t   x  2  t  1    Khi I    dt    4t    dt   2t  3ln t  8t   3ln  t t  1 Để kết thúc viết mời bạn tự giải tích phân sau e3 Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I  ln x x ln x  1 ln Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I  e  Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =  x dx  e 1 ln x dx   ln x e Bài 4: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau I  2x x e dx  x 76 15 2 42 3  ln x dx  10  11  ln x ln x Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I   dx  (ln  1) 2 x  ln x  1 e e Bài 7: Tính tích phân sau I   log 32 x dx  x  3ln x 27 ln ln Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I   ln e x  1.e x dx  ln e ln Bài 9: Tính tích phân sau I   ln x  1 e ex   e x  1.e x e x dx ln x dx  sin x dx   ln  cos x Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I    Bài 11: Tính tích phân sau I   sin x 1  sin x  dx  15  sin x cos x dx  cos x Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I    sin x  sin 3 x 1 dx    ln  cos x Bài 13: Tính tích phân I   www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I  dx  xx  ln Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài 15: Tìm nguyên hàm I   x dx 1 3 1     C 10 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 ( x  1) Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa www.mathvn.com 15 [...]... bạn tự giải các tích phân sau e3 Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I  ln 2 x x ln x  1 1 ln 2 Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I  e  Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =  x 1 dx  e 1 ln x dx  1  ln x e Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I  2x x 0 e dx  x 76 15 2 2 3 42 2 3 3  2 ln x dx  10 2  11 3 1  2 ln x ln x 1 Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I  ...  9 9 9  1 27  27 1  2 sin 3 x dx 1  cos x 0 Thí dụ 11 (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   Lời giải  2  2 3  2 sin 3 x 3sin x  4sin x 1 dx   dx     4cos 2 x  1 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tổng của 1  cos x 1  cos x 0 0 0 Ta có I   hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z  m 1  3  Z và u  x   cos x nên ta n cos x  t...  1 1 e e Bài 7: Tính tích phân sau I   1 log 32 x 2 dx  x 1  3ln x 4 27 ln 3 2 ln 8 Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I   ln 8 e x  1.e 2 x dx  ln 3 e ln 5 Bài 9: Tính tích phân sau I   ln 2 x  1 e ex  1  e x  1.e x e x dx ln 3 x dx  2 sin 4 x 3 dx  2  6 ln 2 4 0 1  cos x Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I    2 3 Bài 11: Tính tích phân sau I   sin 2 x... 39   x 2 1  x  39 dx đây là tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z  m 1  3 Z n Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt Khi đó 2 1  t  dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 I      39 dt  2  38 dt   37 dt     C với t  1  x 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t  2 sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0 Thí dụ 8 (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Lời giải Phân tích  2   2 2 sin 2 x.cos x sin... Loinguyen1310@gmail.com 1 2  t 4 t 3  2 17 Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt       4 3  1 12 2 1 Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như trong lý thuyết  2 Thí dụ 10 (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   0 sin 2 x  sin x 1  3cos x dx Lời giải  2 Ta có I   0 sin x  2 cos x  1 1  3cos x  2  2 1  2  1 dx  ... 2 1  cos x 0 Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I    6 sin 3 x  sin 3 3 x 1 1 dx    ln 2 1  cos 3 x 6 3 0 Bài 13: Tính tích phân I   www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 3 Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I  dx  xx 0 3  ln Email: Loinguyen1310@gmail.com 6 2 3 Bài 15: Tìm nguyên hàm I   x dx 1 1 3 1 3 1 1 1     C 1 0...  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức 1  cos x 1  cos x 0 0 0 với m  2, n  1, p  1  Z và u  x   cos x dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 1 Khi đó I  2  2  t  1 t 2 2  t2 1  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t t 2 1  2 2   2 ln 2  1 1 2 Thí dụ 9 (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x... x 3  1 Lời giải ln 3 Ta có I  ln 3 e x dx  e 0 x  1 3   e x  1  1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 1 m 1   1  Z và u  x   e x 2 n 2 x Đặt t  e  1  2tdt  e x dx  dx  2tdt 2 tdt 12 Khi đó I  2  3  2  2 1 t t 2 2 m  0, n  1, p   2 Thí dụ 6 Tính tích phân sau I   1 dx x  x3 5 Lời giải 2 2 dx Ta có I   5   x 3 1  x 2 3 1 x  x 1  x2  Đặt t ... dx   ln x  2  ln x  d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 2 1 x  2  ln x  1 m 1  2  Z , p  2  Z và u  x   ln x n ln x  t  2  Đặt t  2  ln x   dx  x  dt m  1, n  1,  3 Khi đó I   t  2 t 2 2 3 1 2 dt     2 t 2t 2 3 3 1   dt   ln t    ln  t2 2 3   ln 3 Thí dụ 5 (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I   0 e x dx e x 3  1 Lời giải ln 3 Ta... là tích phân nhị thức với 0 0 m  1, n  1, p  2  Z và u  x   cos x sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 2  t 4 t 3  2 17 Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt       4 3  1 12 2 1 Nhận xét: Nếu gặp tích ... Tp.HCM – 2007) Tính tích phân  Bài 14: Tính tích phân I   x 2  x dx  I dx  x x 2  1  1    12 Bài 16: Tính tích phân I   dx x2 x    2 b Tích phân hàm phân thức, lượng giác, m ... Tính tích phân sau I   Lời giải    sin x 3sin x  4sin x 1 dx   dx     4cos x  1 1  cos x  d  cos x  tổng  cos x  cos x 0 Ta có I   hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức. .. Thí dụ (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Lời giải Phân tích    2 sin x.cos x sin x.cos x 1 I dx   dx  2  cos x 1  cos x  d  cos x  tích phân nhị thức  cos x  cos x 0 với