Bài tập tích phân thực tế

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG BÀI 6_TÍCH PHÂN THỤC TIỂN Câu 1: Một chất điểm chuyển động trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v ( t ) = 3t − 6t ( m / s ) Tính quãng đường chất điểm từ thời điểm t1 = ( s ) đến t2 = ( s ) ? A 16m B 24m C 8m Lời giải D 12m Chọn A t2 t1 Áp dụng công thức s =  v ( t ) dt =  ( 3t − 6t )dt = 16 Câu 2: Bạn Minh ngồi máy bay du lịch giới vận tốc chuyển động máy bay v ( t ) = 3t + ( m / s ) Tính quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10 A 246m B 252m Chọn D Quãng đường 10 10 4 mà máy bay C 1134m Lời giải từ giây D 966m thứ đến giây thứ 10 là: s =  v ( t ) dt =  ( 3t + 5)dt = 966m Câu 3: Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0, 2m B 2m C 10m D 20m Lời giải Chọn C Lúc bắt đầu đạp phanh v = −5t + 10 = 10  t = 0; thời điểm tơ dừng hẳn v ( t ) = −5t + 10 =  t = 2 0 Khi quãng đường cần tìm s =  v ( t ) dt =  ( −5t + 10 )dt = 10 Chú ý: Nếu chất điểm chuyển động với vận tốc v = f ( t ) (phụ thuộc vào thời gian) qng t2 đường từ thời điểm t1 → t2 là: s =  f ( t ) dt t1 Câu 4: Một ôtô đường với vận tốc v ( t ) = t ( m / s ) (  t  30 ) Giả sứ thời điểm t = quãng đường s = m Phương trình thể quãng đường theo thời gian ô tô là: 4 t t +2 A s = B s = t C s = t D s = 3 Lời giải Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Chọn A +) Ta có s ( t ) =  v ( t ) dt =  t dt = 32 t +C = t +C 3 +) Mà s ( ) =  C = Vậy s = Câu 5: t +2 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v ( t ) = 3t + , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính theo đơn vị m Biết thời điểm t = s vật quãng đường 12 m , thời điểm t = 30 s vật quãng đường bao nhiêu? A 1412 m B 1140 m C 302 m D 240 m Lời giải Chọn A +) Ta có s ( t ) =  v ( t ) dt =  ( 3t + ) dt = t + 2t + C +) Tại thời điểm t = s ta có s ( ) = 12  C = Suy s ( t ) = t + 2t + Vậy thời điểm t = 30 s vật quãng đường s ( 30 ) = 1412 m Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) ( m / s ) , có gia tốc a ( t ) = m / s ) Vận tốc ban đầu ( t +1 vật ( m / s ) Hỏi vận tốc ( m / s ) vật sau giây bao nhiêu? A ln10 − ( m / s ) B ln10 + ( m / s ) C ln11 + ( m / s ) D ln10 ( m / s ) Lời giải Chọn B Cách 1: dt = ln t + + C t +1 +) Tại thời điểm t = s ta có v ( ) =  C = +) Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  Suy v ( t ) = ln t + + Vậy thời điểm t = s vận tốc vật v ( ) = ln10 + ( m / s ) Cách 2: 9 dt = + ( ln t + ) = + ln10 ( m / s ) t +1 Vận tốc vật sau giậy v = v0 +  Câu 7: Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t ) −2 ( m / s ) Khi t = vận tốc vật 30 ( m / s ) Tính quãng đường vật di chuyển sau giây ( m mét, s giây) A 48 m B 46 m C 47 m D 49 m Lời giải Chọn A Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  −20 (1 + 2t ) dt = −2 10 +C + 2t 10 + 20 + 2t chuyển Vì v ( ) = 30 nên 10 + C = 30  C = 20 hay v ( t ) = Quãng đường vật di sau giây là:  10  S =  v ( t ) dt =   + 20  dt = ( 5ln + 2t + 20t )  48 ( m ) + 2t  0 Câu 8: Một chất điểm chuyển động với vận tốc v = 30 ( m / s ) đột ngột thay đổi gia tốc a ( t ) = − t ( m / s ) Tính quãng đường kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến thời điểm vận tốc lớn ( m mét, s giây) 64 848 m m A B 3 C 128 m D 424 m Lời giải Chọn D t2 Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  ( − t ) dt = 4t − + C t2 + 30 = − ( t − ) + 38  38, t 2 Vận tốc lớn đạt thời điểm t = giây Vì v ( ) = 30 nên C = 30 hay v ( t ) = 4t −     t2 t3 424 Quãng đường cần tính là: S =  v ( t ) dt =   4t − + 30  dt =  2t − + 30t  = (m)   0 0 Câu 9: Một vận động viên đua xe F1 chạy với vận tốc 10 ( m / s ) tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 6t ( m / s ) Tính quãng đường xe thời gian 10 ( s ) kể từ tăng tốc B 100 m A 1010 m C 1100 m D 1110 m Lời giải Chọn C Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  6tdt = 3t + C Vì v ( ) = 10 nên C = 10 hay v ( t ) = 3t + 10 Quãng đường 10 0 xe 10 ( s ) kể từ tăng tốc là: S =  v ( t ) dt =  ( 3t + 10 ) dt = ( t + 10t ) = 1100 ( m ) 10 Câu 10: Một vật chuyển động với vân tốc 10 m/s theo thời gian t a (t ) vật khoảng 10s kể từ tăng tốc 130 4300 3400 A B C km km km 3 Lời giải Chọn B Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 3t t Tính quãn đường D 130km NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Ta có: v (t ) a (t )dt 10 Khi s (t ) ( 3t 2 t )dt (3t t3 10)dt ( t3 3t 2 t2 C Do vận tốc ban đầu v=10 t4 12 10t ) 10 C=10 4300 Câu 11: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)=160-10t (m/s).Tính quãng đường S mà vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t=0(s) đến thời điểm vật dừng lại A S 2560m B S 2180m C S 1280m D 1840m Lời giải Chọn C Vật dừng lại 16 v (t ) 160 10t t 16( s ) (160 10t )dt S 1280 m Câu 12: Một ô tô chạy người lái đạp phanh,từ thời điểm đó,ơ tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)= -12t+24 (m/s),trong t khoảng thời gian tính giây,kể từ lúc bắt đầu đạp phanh.Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn,ơ tơ cịn di chuyển mét? A 18m B 24m C 15m D 20m Lời giải Chọn B Ta có: v (t ) t Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: ( 12t S 24)dt 24 ( ) Câu 13: Một vật chuyển động với vận tốc 10m / s tăng tốc với gia tốc v' ( t ) = 2t + t m / s Tính quãng đường S mà vật khoảng thời gian 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 2304m B 2424m C 720m D 3576m Lời giải Chọn B v' ( t ) = 2t + t  v ( t ) =  ( 2t + t ) dt  v ( t ) = t + t + C v ( t ) = t + t + 10 Ta có Vì v ( ) = 10 nên Vậy quãng đường S mà vật khoảng thời gian 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 1   1  12 S =   t + t + 10  dt =  t + t + 10t  = 2424m 12  3  1 12 Chọn đáp án B m / s ) Vận tốc ban đầu ( t +1 vật 6m / s Tính vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị) Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) m / s có gia tốc v' ( t ) = A v = ( m / s ) B v = 13 ( m / s ) C v = 10 ( m / s ) D v = 15 ( m / s ) Lời giải Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Chọn B 10 Ta có v ( t ) = v0 +  10 dt = + 3ln t +  + 7,19  13 ( m / s ) Chọn đáp án B t +1 Câu 15: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc v ( t ) m / s có gia tốc v' ( t ) = m / s ) vận tốc ban ( t +1 đầu vật v ( ) = 6m / s Tính vận tốc v ( 10 ) vật sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) A v ( 10 ) = ( m / s ) B v (10 ) = 24 ( m / s ) C v ( 10 ) = 13 ( m / s ) D v (10 ) = 24 ( m / s ) Lời giải Chọn C Ta có v ( t ) =  dt =3ln t + + C Khi v ( ) =  C = suy v ( t ) = 3ln t + + t +1 Vậy v (10 ) = 3ln11 +  13 Chọn đáp án C Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) có gia tốc a(t ) = 3t + t (m/s ) Vận tốc ban đầu vật 2(m/s) Hỏi vận tốc vật sau 2s A m/s B 16 m/s C 10 m/s D 12 m/s Lời giải Chọn D t2 C Vận tốc ban đầu vật 2(m/s)  v(0) =  C = v(t ) 3t a (t )dt  v(t ) = t + t dt t3 t2 +  v(2) = 12(m/s) Câu 17: Một ơtơ chạy với vận tốc 15m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a m/s Biết ơtơ chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng A 4;5 B 3; C 6;7 D 5;6 Lời giải Chọn D Gọi x (t ) hàm số biểu diễn quãng đường, v(t ) hàm số biểu diễn vận tốc Ta có: t v(t ) v(0) ( a)dt at v(t ) ( at 15)dt t x(t ) t v(t ) dt 0 at 15 at Ơtơ chuyển động thêm 20m dừng hẳn 15t v(t ) x(t ) 20 Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” at 15 at 15t 20 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG at 15 0 t at 15t 20 45 a (5;6) Câu 18: Hai ô tô xuất phát thời điểm đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ bắt đầu xuất phát từ A theo hướng từ A đến B với vận tốc v(t ) 2t 1(km/h) ; ô tô thứ hai xuất phát từ O cách A khoảng 22km theo hướng từ A đến B với vận tốc 10 km/h , sau khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ thứ hai chuyển động chậm 5t 20(km/h) Hỏi sau khoảng thời gian kể từ xuất dần với vận tốc v0 (t ) phát hai tơ gặp A h B h C h D h Lời giải Chọn C Khoảng thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc đạp phanh t h Quãng đường xe khoảng thời gian trên: +)Xe thứ từ A đến C nên đoạn đường AC có độ dài AC (2t 1)dt km +)Xe thứ từ O đến D nên đoạn đường OD có độ dài OD CD 22 20 2.10 20 km 36 km Chọn mốc thời gian vị trí xuất phát, sau thời gian t1 hai xe gặp Hai xe vị trí tức thời C , D t1 +) Li độ xe thứ x1 t1 +) Li độ xe thứ hai x2 Hai xe gặp x1 (2t 1)dt (km) ( 5t 20)dt CD(km) x2 t1 (2t t1 1)dt ( 5t 20)dt 36 t1 6(h) Vậy sau khoảng thời gian h kể từ lúc xuất phát hai xe gặp Câu 19: Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t ) −2 ( m / s ) Khi t = vận tốc vật 30 m / s Tính quãng đường vật di chuyển sau giây (làm trịn kết đến hàng đơn vị) A m B 108 m C 68 m D 48 m Lời giải Chọn D −20 (1 + 2t ) 10 Ta có: v ( t ) =  a ( t ) dt =  −20 (1 + 2t ) dt = +C = +C −1 + 2t 10 10 + C = 30  C = 20 Do v ( t ) = + 20 Khi đó: v ( ) = 30  + 2.0 + 2t ( −2 ) −1 Vậy quãng đường vật di chuyển sau giây là: Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  10  s =  + 20  dt = ( 5ln + 2t + 20t ) = 5ln + 40  48, 0471896 + 2t  0 Câu 20: Một ôtô dừng bắt đầu chuyển động theo đường thẳng với gia tốc a ( t ) = − 2t ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động Hỏi quãng đường ôtô kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến vận tốc ôtô đạt giá trị lớn mét? 45 27 m m A 18 m B 36 m C D Lời giải Chọn C Ta có: v ( t ) =  ( − 2t ) dt = 6t − t + C Ta có v ( t ) =  C = (thời điểm ban đầu ơtơ dừng) Khi đó: v ( t ) = 6t − t = − ( − t )   vmax = t = Suy S =  ( 6t − t ) dt = 18 m Câu 21: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = − 2sin 2t ( m / s ) Tính quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm t = A 3 − 1( m ) B 1( m ) C 3 (s) 3 + 1( m ) D ( m ) Lời giải Chọn A Quãng đường vật di chuyển: s = 3 3  (1 − 2sin 2t ) dt = (t + cos 2t ) 04 = 3 − 1( m ) Câu 22: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t )( m / s ) có gia tốc a ( t ) = m / s ) Vận tốc ban đầu ( t +1 vật ( m / s ) Hỏi vận tốc vật sau 10 giây bao nhiêu? A 3ln11 + ( m / s ) B 3ln + ( m / s ) C 2ln11 + ( m / s ) D 3ln11 − ( m / s ) Lời giải Chọn A Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  dt = 3ln t + + C t +1 Theo ta có v0 = ( m / s ) nên thay v ( ) =  C =  v ( t ) = 3ln t + + Vận tốc vật sau 10 giây là: v (10 ) = 3ln11 + Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc 10 ( m / s ) tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t ( m / s ) Tính quãng đường vật khoảng 10 giây kể từ lúc vật bắt đầu tăng tốc 4300 4000 127 A B C D (m) (m) (m) (m) 12 3 12 Lời giải Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Chọn B t3 Ta có v ( t ) =  a ( t ) dt =  ( 3t + t )dt = t + + C Giả sử thời điểm vật bắt đầu tăng tốc t = Khi ta có v0 = 10 ( m / s ) nên: t3 v ( ) = 10  C = 10  v ( t ) = t + + 10 Quãng đường vật khoảng 10 giây kể từ lúc vật bắt đầu tăng tốc là: 3   t3 t4  10 4300 t3 s =  v ( t ) dt =   t + + 10 dt =  + + 10t  | = (m) 3   12 0 0 10 10 Câu 24: Tại nơi khơng có gió khí cầu đứng yên độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v ( t ) = 10t − t , t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v ( t ) tính theo đơn vị mét/phút ( m / p ) Hỏi bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu bao nhiêu? Lời giải A v = ( m / p ) B v = ( m / p ) C v = ( m / p ) D v = ( m / p ) Chọn C Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động t = , thời điểm vật bắt đầu tiếp đất t = t1 Khi đó, quãng đường khí cầu từ thời điểm t = đến thời điểm t = t1 là:  t  t1 t13 s =  v ( t ) dt =  (10t − t ) dt =  5t − | = 5t1 − 30  0 t1 t1 Theo ta có s = 162  5t12 − t13 t 0;10 = 162 ⎯⎯⎯ → t = (giây) Khi vận tốc vật là: v ( ) = 10.9 − 92 = ( m / p ) t (m / s) , t khoảng thời gian giây tính từ lúc M bắt đầu chuyển động Sau giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động M giữ nguyên vận tốc chuyển sang trạng thái chuyển động thẳng đều, trạng thái trì phút Tính quãng đường mà M dịch chuyển 10 giây A 14m B 16m C 6m D 10m Lời giải Chọn A Quãng đường mà M di chuyển giây đầu là: Câu 25: Một chất điểm M chuyển động nhanh dần đường thẳng với vận tốc v ( t ) = 6 t t2 S1 =  v ( t ) dt =  dt = = ( m) 0 Vận tốc vật sau giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động v ( ) = ( m / s ) Suy quãng đường mà M di chuyển giây là: 4.2 = ( m ) Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Vậy quãng đường mà M di chuyển 10 giây là: + = 14 ( m ) sin ( t ) + ( m / s ) Gọi S1 quãng đường vật 2  giây đầu S quãng đường từ giây thứ đến giây thứ Kết luận sau Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = đúng? A S1 S2 B S = 2S1 C S1 S2 D S1  S2 Lời giải Chọn A  sin ( t )   sin ( t )  + dt  0,31831 m S = + Ta có: S1 =   , ( )   dt  0,31831( m )  2   2   0 3 Suy S1 Câu 27: S2 (THPTQG-2017-101-4) Một vật chuyển động với vận tốc v ( km / h ) phụ thuộc vào thời gian t ( h ) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường S mà vật di chuyển ( kết làm tròn đến hàng phần trăm) A S 23, 25 km B S = 21,58 ( km ) C S 15,50 km D S = 13,83 ( km ) Lời giải Chọn B Trong khoảng thời gian từ t1 = 0h → t2 = 1h vật chuyển động với vận tốc: v = at + bt + c = f ( t )( km / h ) Do đồ thị qua điểm ( 0; ) có đỉnh I ( 2;9 ) c = c =   5  b  =2 Suy ra: −  a = −  v = f ( t ) = − t + 5t + 4  2a   f ( ) = 4a + 2b + c = b = Khi t2 = 1h vận tốc v = 31 ( km / h ) Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Suy khoảng thời gian từ t2 = 1h → t3 = 3h vật chuyển động với vận tốc v = 31 ( km / h ) Vậy quãng đường vật là: 31 259   S =   − t + 5t + dt +  dt =  21,58 ( km ) 4 12   1 Câu 28: (THPTQG – 2017 – 102 – 38) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t ( h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 24, 25 (km) C s = 24, 75 (km) B s = 26, 75 (km) D s = 25, 25 (km) Lời giải Chọn C Trong khoảng thời gian từ t1 = h đến t2 = h vật chuyển động với vận tốc: v = at + bt + c = f ( t ) (km/h) Do đồ thị qua điểm ( 0;6 ) có đỉnh I ( 2;9 ) , suy ra: c = c =     −b  =   a = −  v = f ( t ) = − t + 3t +   2a   f ( ) = 4a + 2b + c = b = 99   Vậy quãng đường vật là: s =   − t + 3t +  dt = = 24, 75 (km) 4  0 Câu 29: (THPTQG – 2017 – 103 – 35) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 10 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG A s = 26,5 (km) C s = 27 (km) B s = 28,5 (km) D s = 24 (km) Lời giải Chọn C Trong khoảng thời gian từ t1 = h đến t2 = h vật chuyển động với vận tốc: v = at + bt + c = f ( t ) (km/h) Do đồ thị qua điểm O ( 0;0 ) có đỉnh I ( 2;9 ) , suy ra: c = c =   −9  b  − =   v = f ( t ) = − t + 9t  a = 4  2a  b =  f ( ) = 4a + 2b + c =  27 Khi t2 = h vận tốc v = (km/h) +) Suy khoảng thời gian từ t2 = h đến t3 = h vật chuyển động với vận tốc v = 27 (km/h) 27   Vậy quãng đường vật s =   − t + 9t  dt +  dt = 27 km 4  0 3 Câu 30: (THPTQG – 2017 – 104 – 35) Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc 1  vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I  ;8  trục đối xứng 2  song song với trục tung hình bên Tính quãng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ bắt đầu chạy A s = (km) B s = 2,3 (km) C s = 4,5 (km) D s = 5,3 (km) Lời giải Trong khoảng thời gian từ h đến h vật chuyển động với vận tốc: Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 11 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1  v = at + bt + c = f ( t ) (km/h) Do đồ thị qua điểm O ( 0;0 ) có đỉnh I  ;8  , suy ra: 2   c =  c =  b  =  a = −32  v = f ( t ) = −32t + 32t −  2a  b = 32  1 a b f  = + +c =8  2 4 ( ) Vậy quãng đường vật 45 phút s =  −32t + 32t dt = = 4,5 km Câu 31: Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xã 40 phút với tộc độ lưu lượng nước thời điểm t giây v ( t ) = 10t + 500 ( m3 / s ) Hỏi sau thời gian xả lũ hồ nước nhà máy thoát lượng nước bao nhiêu? A 4.106 ( m3 ) B 3.107 ( m3 ) C 6.106 ( m3 ) D 5.104 ( m3 ) Lời giải: Chọn B Ta có 40 phút = 2400 giây 2400 Lượng nước thoát 40 phút :  (10t + 500) dt = (5t + 500t ) 2400 = 3.107 ( m3 ) Câu 32: Gọi h ( t ) ( cm ) mực nước bồn chứa sau bơm nước t giây Biết 13 t + lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm) h ' (t ) = A 3,33 ( cm ) Ta B 2,66 ( cm ) Lời giải: Chọn B có mức nước bồn C 2,33 ( cm ) sau bơm D 5,06 ( cm ) giây là: 6 13 t + 8dt = ( t + 8) = 2, 66 ( cm ) 5 0 h ( t ) =  h ' ( t )dt =  Câu 33: Người ta bơm nước vào bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước bồn chứa sau bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo hàm số h = h ( t ) h tính cm , t tính giây Biết h ' ( t ) = 2t + Mức nước bồn sau bơm 13 giây là: A 243 ( cm ) B 243 ( cm ) C 30 ( cm ) D 60 ( cm ) Lời giải: Chọn C 13 13 13 Cách 1: Ta có h (13) − h ( ) =  h ' ( t )dt =  2t + 1dt  h (13) =  2t + 1dt + h ( ) = 30 + = 30 ( cm ) 0 Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 12 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Cách : Ta có h ( t ) =  2t + 1dt =  h ( 0) =  C = − ( 2t + 1) 2t + + C , mà lúc đầu (t = 0) bể khơng có nước 3  h ( t ) =  2t + 1dt = ( 2t + 1) 2t + −  h (13 ) = 30 8 Câu 34: Trong phịng thí nghiệm, người ta quan sát đám vi trùng ban đầu có 250000 (con), tới ngày thứ n số lượng vi trùng đám f ( n ) con, với f ' ( n ) = 4000 Gọi x số + 0, 5n lượng vi trùng đám sau 10 ngày, giá trị x gần với kết kết sau đây? A x  264000 B x  264334 C x  14334 D x  14000 Lời giải Chọn B Ta có: f ( n ) =  f ' ( n ) dn =  4000 8000 dn =  d ( n + ) = 8000 ln ( n + ) + C + 0,5n 2+n Khi đó: f ( ) = 8000 ln + C = 250000  C = 250000 − 8000 ln Suy ra: f (10 ) = 8000 ln12 + C = 8000 ln12 + 250000 − 8000 ln  264334 Câu 35: Bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h ( t ) thể tích nước bơm sau t giây Cho h ' ( t ) = 3at + bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150m3 , sau 10 giây thể tích nước bể 1100m Tính thể tích nước bể sau bơm 20 giây A 8400m3 B 4200m3 C 600m D 2200m3 Lời giải Chọn A Ta có: h ( t ) =  h ' ( t ) dt =  ( 3at + bt )dt = at + b t2 +C Do ban đầu bể khơng có nước: h ( ) =  C =  h ( t ) = at + b Do đó: h ( ) = a53 + b t2 52 102 = 150 h (10 ) = a103 + b = 1100 Suy a = 1; b = 2 Từ ta có h ( t ) = 1.t + t2 = t + t  h ( 20 ) = 8400m3 Câu 36: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t ) đô la năm, với D ' ( t ) = 90 ( t + ) t + 12t t thời gian (tính theo năm) kể từ cơng ty bắt đầu vay nợ Sau năm công ty phải chịu D ( t ) = 1626000 la Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần công ty + 1610640 B D ( t ) = 30 (t + 12t ) C D ( t ) = 30 ( t + 12t ) + 1610640 D D ( t ) = 30 (t + 12t ) A D ( t ) = 30 (t + 12t ) 3 3 +C + 1595280 Lời giải Chọn A Ta có: Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 13 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG ( ) D ( t ) =  90 ( t + ) t + 12tdt = 45 ( 2t + 12 ) t + 12t dt ( = 45 t + 12t 2 ) d (t ) + 12t = 30 (t + 12t ) +C Do sau bốn năm D ( t ) = 1626000  D ( ) = 30 (4 + 12.4 ) + C = 1626000  C = 1610640 Vậy D ( t ) = 30 (t + 12t ) + 1610640 Câu 37: Trong Vật lý, cơng hình thành lực tác động vào vật gây dịch chuyển, ví dụ xe đạp Một lực F ( x ) biến thiên, thay đổi, tác động vào vật thể làm vật di b chuyển từ x = a đến x = b cơng sinh lực tính theo cơng thức W =  F ( x)dx a Với thông tin trên, tính cơng W sinh lực F ( x) = 3x − tác động vào vật thể làm vật di chuyển từ x = đến x = A W = 12 B W = 18 C W = 20 Lời giải D W = 14 Chọn D Ta có W = 6 1 2 2 3x − 2dx =  (3x − 2) d(3x − 2) = (3x − 2) = (3x − 2)3 = 31 3 9 ( 16 −1) = 14 Câu 38: Sau t làm việc người công nhân A sản xuất với tốc độ cho công thức p(t ) = 100 + e −0.5t đơn vị/giờ Giả sử người bắt đầu làm việc từ sáng Hỏi người sản xuất đơn vị từ sáng đến 11 trưa? A 200 − 2e −0.5 − 2e −1.5 B 200 + 2e−0.5 + 2e−1.5 C 200 − 2e −0.5 + 2e −1.5 D 200 + 2e−0.5 − 2e−1.5 Lời giải Chọn D Chọn mốc thời gian ứng với t = 11 ứng với t = 3 3 −0.5t −0.5t −0.5t −0.5 −1.5  p(t )dt =  (100 + e )dt = 100 dt − 2 e d (−0.5t ) = 100 t − e = 200 + 2e − 2e 3 1 1 Câu 39: Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1(m ) cửa rào sắt 700000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng phần nghìn) Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 14 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG A 6.417.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng Lời giải D 6.620.000 đồng Chọn A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có đỉnh điểm C (0; 2) nên có dạng y = ax + (a  0) 5 5 3 Do Parabol qua điểm B  ;  nên = a   +  a = − 25 2 2 2 Suy phương trình Parabol y = − 2 x + 25 Khi diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đường: y=− 2 x + 2; y = (Ox); x = −2.5; x = 2.5 25 2.5  x3  55   Từ S =   − x +  dx =  − + 2x  = 25   25  −2.5 −2.5  2.5 Vậy số tiền ông An phải trả để làm cửa sắt T = S (700.000)  6.417.000 (đồng) Câu 40: Trên địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối cấu thành phần ( khoảng cách từ tâm cầu tới mặt cắt nửa bán kính) Tính tỉ số thể tích phần lớn phần bé khối cầu 27 24 27 A B C D 8 5 Lời giải Chọn D Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 15 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Tại điểm có hồnh độ x   R − h; R  dựng mặt phẳng ( a ) vng góc Ox cắt mặt cầu ( O; R ) theo đường trịn có bán kính rx Gọi S ( x ) diện tích hình trịn Khi dó thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h khối cầu bán kính R là: R Vc.cau = R  S ( x ) dx =   ( r ) x R −h R −h Áp dụng tốn,ta có h = R  x3  h  dx =   ( R − x ) dx =   R x −  =  h2  R −   R−h 3   R −h R 2 R 5 R3  Vc.cau = 24 5 R R − 24 = 27 Vậy tỉ số là: 3 5 R 24 Câu 41: Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ 1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.826.000 đồng Lời giải D 7.128.000 đồng Chọn B Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 16 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x2 y + = , với a  b  a b2 Từ giả thiết ta có 2a = 16  a = 2b = 10  b = Giả sử elip có phương trình  y=− 64 − y  x y Vậy phương trình elip + =1  64 25  y = 64 − y  2 ( E1 ) ( E1 ) Khi diện tích dải vườn giới hạn đường ( E1 ) ; ( E2 ) ; x = −4; x = diện tích 4 5 64 − x dx =  64 − x dx 20 −4 dải vườn S =  Khi số tiền T = S 100000 = 7652891,82 7.653.000 đồng Câu 42: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 2.388.000 (đồng) B 3.895.000 (đồng) C 1.194.000 (đồng) D 1.948.000 (đồng) Lời giải Chọn D Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn y = R2 − x2 = (2 ) − x = 20 − x Phương trình parabol ( P ) có đỉnh gốc O có dạng y = ax Mặt khác ( P ) qua điểm M ( 2;4 ) đó: = a ( −2 )  a = Phần diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) nửa đường trịn.( phần tơ màu) Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 17 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG ( ) Ta có cơng thức S1 = 20 − x − x dx  11,94m2 −2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Strongco = Shinhtron − S1  19, 47592654 Vậy số tiền cần có Strongxo  100000  1.948.000 (đồng) Câu 43: Người thợ gốm làm chum từ khối cầu có bán kính dm cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối Tính thể tích chum biết chiều cao dm (quy trịn chữ số thập phân) A 135, 02 dm3 B 104, 67 dm3 C 428, 74 dm3 D 414, 69 dm3 Lời giải Chọn D Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số x = 25 − y ; x = đường thẳng y = −3; y = Khi quay hình phẳng ( H ) quay quanh trục tung ta hình dạng chum (như hình vẽ) Vậy thể tích chum là: V =  −3 ( 25 − y ) dy =   ( 25 − y ) dy = 132  414, 69 → Đáp án D −3 Câu 44: Để trang trí tồn nhà người ta vẽ lên tường sau: cạnh hình lục giác có cạnh dm cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol ( P ) cách cạnh lục giác dm nằm phía ngồi hình lục giác, đầu mút cạnh điểm giới hạn đường ( P ) Hãy tính diện tích hình (kể lục giác) A + 12 ( dm2 ) B + 24 ( dm2 ) C + 24 ( dm2 ) D + 12 ( dm2 ) Lời giải Chọn C Xét cánh hoa hình parabol mơ tả; đặt hệ trục hình vẽ Do parabol ( P ) có đỉnh điểm I ( 0;3) nên có dạng: y = ax + Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 18 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Do ( P ) qua điểm (1;0 )  a = −3  y = −3x + ( ) ( Suy diện tích cánh hoa là: S1 =  −3x + dx = − x3 + 3x −1 Diện tích lục giác S2 = a ) −1 = ( dm2 ) 22 = =6 Vậy tổng diện tích hình cần trang trí là: S = 6S1 + S2 = 24 + ( dm2 ) → Đáp án C Câu 45: Một bồn nước thiết kê với chiều cao dm , miệng bồn nước hình chữ nhật có chiều dài 20 dm , chiều rộng dm bề mặt cong với mặt cắt ngang hình parabol hình vẽ bên Hỏi bồn chứa tối đa lít nước? A 1280 (lít) B 1280 (lít) C 2560 (lít) D 1280 (lít) Lời giải Chọn C Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục hình vẽ Do Parabol có đỉnh O ( 0;0 ) nên có dạng: y = ax Đồ thị qua điểm A ( 4;8 ) nên: = 16a  a = 1  y = x 2 64 128 x dx = 64 − = dm2 ) ( 3 −4 Diện tích phần mặt cắt là: S = Shv −  128   (Hoặc tính: S =   − x  dx = dm2 )  −4  ( ) Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 19 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 20 Khi thể tích bồn là: V =  Sdx = 20 128 2560 dx = dm3 ) → Đáp án C ( 3  Câu 46: Một thùng rượu có bán kính đáy 30 cm , thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm , Chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu bao nhiêu? A 425162 lit B 212581 lit C 212, lit D 425, lit Lời giải Chọn D ( P ) : x = ay + by + c Gọi A ( 4;0 ) , B ( 3,5 ) , C ( 3; −5 )  a = 4; b = 0; c = − qua 1  ( P) : x = − y2 + 25 25    V =    − y +  dy  425, dm3 = 425, lit  Chọn D 25  −5  Câu 47: Một đồng hồ cát hình vẽ, gồm hai phần đối xứng qua mặt phẳng nằm ngang đặt hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua mặt hai parabol chung đỉnh đỗi xứng với qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết phần đồng hồ chiều cao h mực cát chiều cao bên Cát chảy từ xuống với lưu lượng không đổi 2,90cm3 / phút Khi chiều cao cát cịn 4cm bề mặt cát tạo thành đường tròn chu vi 8 cm Biết sau 30 phút cát chảy hết xuống bên đồng hồ Hỏi chiều cao khối trụ bên cm ? Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 20 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG A cm B 12 cm C 10 cm D cm Lời giải Chọn C Xem thiết diện chứa trục đồng hồ cát hình vẽ Do parabol có đỉnh điểm O ( 0;0 ) nên có dạng: y = ax 1  y = x2 4 Thể tích cát ban đầu thể tích khối trịn xoay sinh ta quay nhánh bên phải parabol quanh trục Oy lượng cát chảy 30 phút Parabol qua điểm A ( 4; ) nên a = h ( ) Ta tích: V =   y dy = 2,9.30 = 87  ( y 2 ) = 87  h = h 0 87 2 4 87  10 cm  Chọn đáp án C Vậy chiều cao hình trụ bên ngồi bằng: .h = 3 2 Câu 48: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu A 19m B 21m C 18m Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D 40m3 21 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lời giải Chọn D Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ Bề mặt cầu có hình dáng parabol có phương trình x + 2,5 , phần cầu parabol có phương trình y = − x +2 40 361 19 Các parabol cắt tia Ox điểm có hồnh độ x = 10 x = Diện tích hình phẳng giới hạn parabol trục hoành y=− là: 8780     S =   − x + 2,5  dx −   − x +  dx = 40 361 1083   0 0 10 10 5 8780 dx  40,54m3 1083 Lượng bê tông đủ để đổ cầu V =  S dx =  Câu 49: Trong Cơng Viên Tốn Học có mảnh đất hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Leminiscate có phương trình ( ) hệ tọa độ Oxy 16y = x 25 − x hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli, biết đơn vị hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét A S = ( ) 125 m B S = ( ) 125 m C S = ( ) 250 m D S = ( ) 125 m Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đường lemniscate trục hoành: x = x 25 − x =   x = 5 Gọi S  phầ diện tích thuộc goác phần tư thứ mảnh đất ( ) ( ) Do tính chất đối xứng nên ta có S = 4S  Xét hình phẳng H ( ) x , y   16y = x 25 − x  y = có phần diện tích S  có x 25 − x Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 22 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  y  Khi x y  x x 25 − x 125 125 Casio =0  S  =  x 25 − x 2dx ⎯⎯⎯→ S = m Chọn C 40 12 =0 =5 = ( ) I30 A 10 50 15 B Câu 50: Ông An xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m chiều dài 50m Để m giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ơng An chia sân bóng làm hai phần (tơ màu khơng tơ màu) hình vẽ Phần tơ màu gồm hai miền diện tích đường cong AIB parabol có đỉnh I Phần tơ màu trồng cỏ nhân tạo với gía 130 nghìn đồng/ m phần cịn lại trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/ m Hỏi ông An phải trả tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? A 165 triệu đồng B 151 triệu đồng C 195 triệu đồng Lời giải D 135 triệu đồng Chọn D Chọn hệ trục Oxy hình vẽ ( ) Do parabol có đỉnh O 0; nên có dạng y = ax ( ) Parabol ssi qua điểm A −15;10 nên a = 15 2x y = 45 45 Do đó, diện tích phần tơ màu là: S  =  10 − −15 ( ) 2 x dx = 400 m 45 ( ) Mặt khác diện tích sân bóng đá mini hình chữ nhật S = 30.50 = 1500 m2 ( ) Phần khơng tơ màu có diện tích S2 = S − S  = 1100 m Khi số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng là: ( ) S .130000 + S2 90000 = 400.130000 + 1100.90000 = 151000000 m Chọn B Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 23 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 24 ... nước Gọi h ( t ) thể tích nước bơm sau t giây Cho h ' ( t ) = 3at + bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150m3 , sau 10 giây thể tích nước bể 1100m Tính thể tích nước bể sau bơm... TỐN HỌC 4.0” 18 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Do ( P ) qua điểm (1;0 )  a = −3  y = −3x + ( ) ( Suy diện tích cánh hoa là: S1 =  −3x + dx = − x3 + 3x −1 Diện tích lục giác S2 = a ) −1 =... )  a = Phần diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) nửa đường trịn.( phần tơ màu) Sưu tầm biên soạn đề thi: Duy Hiếu Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 17 NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG (